phương pháp hàm số giải hệ phương trình phần 1

PP HÀM SỐ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]... Hàm số đồng biến.. Chứng tỏ hàm số nghịch biến.. Hàm số đồng biến.

Trang 1

Ví dụ 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình

2

, (1)







x xy y y

(x y; ∈ℝ)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: 4

5

≥ −

x

Nếu y=0⇒x=0 không thỏa mãn (2)

Nếu y≠0 Chia cả hai vế của (1) cho 5

y ta được

5

( )

y y f f y

Xét hàm số f t( )= +t5 t⇒ f t'( )=5t4+ > ∀ ∈1 0, t ℝ, suy ra f t( ) đồng biến tên ℝ

 

 

(2)⇔ 4x+ +5 x+ = ⇔8 6 4x+ + + +5 x 8 2 4x +37x+40 =36

2

23

23 5 0

4(4 37 40) (23 5 )

9 378 369 0



23

5

1; 41



≤





x

x x

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (1; 1) và (1; −1)

( )

1 2

x x y y

x y





+ =



Từ (2) suy ra : x, y ≤1

f t = −t t⇒ f t = t − < ∀ ∈ −t

Do vậy f(t) là một hàm số nghịch biến Vậy để có (1) chỉ xảy ra khi x = y

Khi đó (2) trở thành : 8 ( )

Ví dụ 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình :

1

x x y y

x y





+ =



Học sinh giải ví dụ 2, từ đó suy ra cách giải ví dụ 2

Ví dụ 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau :

y

x

x x x

y y y

−







12 PP HÀM SỐ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

Trang 2

Đặt u = x – 1 ; v = y – 1 khi đó hệ có dạng :

2

1 3

v

u

u u

v v





+ + =



Trừ hai phương trình vế với vế ta có phương trình : u+ u2+ + = +1 3u v v2+ +1 3v(*)

Xét hàm số : 2

2

1

u

+ Hàm số đồng biến

Để có (*) thì chỉ xảy ra khi u = v Thay vào (1) ta có

2

1

1 1

u u

+

+ + + Chứng tỏ hàm số nghịch biến Nhưng ta lại có f(0)=0

vì vậy phương trình có nghiệm u = 0 và v = 0 Do đó hệ có nghiệm duy nhất : x = y = 0







Điều kiện : 3, 5

x≤ y≤ Đặt : 1( 2)

2

t= − y ⇒y= −t , thay vào (1) của hệ ta có :

2

t

Xét hàm số f u( )= +u3 u⇒ f u'( )=3u2+ >1 0 ∀u⇒ f u( )đồng biến

Do đó :

2

5 4

5 2 2

2

x

y x y −

Thay vào phương trình (2) của hệ ta được

2 2

x

= +  + − = ∀ ∈ 

Dễ thấy x = 0 và x = 3/4 không là nghiệm

với : 1 0 1; 0

g  x y

 

  là nghiệm của hệ

Ví dụ 6: [ĐVH] Giải hệ phương trình:







PT (1) ⇔ x3+ 3 x = y3+ 3 y

Xét hàm f t( )= +t3 3t Hàm số đồng biến Từ (1) ⇒ f x( )= f y( )⇒x=y

Thay và (2) tiếp tục sử dụng PP hàm số C/m PT (2) có 1 nghiệm duy nhất x = 1 ⇒ y = 1







Từ điều kiện và từ phương trình (2) có x ≥ 1; y − ≥ 1 1

3

(1)⇔x −3x= y−1 −3 y−1, xét hàm số 3

( ) 3

f t = −t t trên [1;+∞)

Trang 3

Hàm số đồng biến trên [1; +∞ ), ta có f x( )= f( y−1)⇒x= y−1

Với x= y−1 thay vào (2) giải được x = 1; x = 2 1, 2

1 2

x y x y





+ − + =





Từ phương trình (2)

1

⇒ −  + +  =

x  y  nên

− ≤ − ≤x và − ≤ + ≤y

(1)⇔ −(x 1) −12(x− =1) (y+1) −12(y+1) nên xét f t ( ) = − t3 12 t trên 3 3

;

2 2

−

Chỉ ra f(t) nghịch biến Ta có ( f x− =1) f y( +1)⇒x− = +1 y 1

Nghiệm ( ; ) 1; 3 ; 3; 1

x y    

= −   − 

1

+







BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình

3



− = −





 = +



y x

2



− = −







x xy

Bài 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 1 2





+ − =



x y

y x









=

− +

=

− +

2 2

x y

y x

Bài 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình 1 7 4

 + + − =













=

− + +

=

− + +

4 7 9

x y

y x

2

( 2) 1 ( 1)







x y y x x







2







Trang 4

Bài 10: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( )

( )





+ = − +

Bài 11: [ĐVH] Giải hệ phương trình

3

4

1







 + = +





 + − + = −



3

log log (4 ) 10 2







e e x y x

y

3

2







 = +



x y

3

2(2 1) 2 1 (2 3) 2





+ + + =



3

2 1 0







x y

x x y y

3 3

 + − + + =







Bài 18: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2

2

 − = −





2



− = −







xy x y

2







x x y y

Định dạng
Số trang	4
Dung lượng	100,44 KB