giai he phuong trinh bang phuong phap ham so

Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số, hệ phương trình ôn thi đại học, hệ phương trình, phương pháp giải hệ phương trình, bài tập hệ phương trình giải bằng phương pháp hàm số, giải phương trình bất phương trình hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

Trang 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Ôn thi TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015)

Biên soạn: Huỳnh Chí Hào - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

2 12 25 18 2 9 4 (1)

3 1 3 14 8 6 4 (2)



(Thi thử của THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa)

Bài giải

♥ Điều kiện:

2

1 3

x

y y

 



   



(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y

(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u  f v  )

2y 12y 25y18 2x9 x4    3   3

2 y  y2 2 x4  x (3) [Tại sao ?]

♦ Xét hàm đặc trưng f t 2t3 trên  ta có: t

f' t 6t2      1 0, t f t đồng biến tr  ên 

4 (4)



♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

3x 1 6 x 3x214x 8 0 (5)

♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x 5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân

liên hợp

5  3x1  6x 3x 14x50 (Tách thành các biểu thức liên hợp)

3 5 5   

0





5

x

 

♦ Với x   5 y 1 (thỏa điều kiện (*))

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;   5;1 

Trang 2

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp hàm số

+ Biến đổi một phương trình của hệ về dạng f(u) = f(v) (u, v là các biểu thức chứa x,y)

+ Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây là hệ thức đơn giản chứa x, y)

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn

Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cần ôn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn)

Bài 2 : Giải hệ phương trình

2

17 32 6 9 24 (1)



(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

Bài giải

♥ Điều kiện: 4

x

y x

 



   

x  x  x  y  y  y [Tại sao ?]   3    3  

♦ Xét hàm đặc trưng   3

5

f t   trên  ta có: t t

  2

f t  t      t  f t đồng biến trên   

Nên:  3  f x  2 f y 3x2  y 3 yx1 (4)

    2

3 4 9 11 9 10

x x  x x x  x (5) ♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x 5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân

liên hợp

5  x3 x43  x 9 x114 x 2x35 (Tách thành các biểu thức liên hợp)

 3  5  9  5  5 7

Trang 3

7 0 (6)

x

  



 ♦ Chứng minh (6) vô nghiệm

    [Tại sao ?]

0



 

: phương trình VN

♦ Với x   5 y 6 (thỏa điều kiện (*))

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;   5;6 

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Giải các hệ phương trình

1)



2



2



3



Trang 4

4 4



(Phạm Trọng Thư GV THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp – THTT số 2)

Bài giải

♥ Điều kiện: x  (*) 2

♦ x 3 4x 2 y4 5 y  4 x 2 x   2 5 y y4 (3) 5

5

f t  t t  trên nữa khoảng 0;

f liên tục trên 0; và    3  

4

2

5

t

  f t đồng biến trên   0; 

Do 4x  2 0 và  2

4y x y 2   nên y 0  3  f4 x2 f y 4 x2yxy42 (4)

 4 2

0

2 4 0 (5)

y

 



           ♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

Xét hàm số   7 4

g y y  y   trên nữa khoảng y 0; 

Do g liên tục trên 0; và   6 3  

g' y 7y 8y    1 0, y 0;  g y đồng biến tr  ên 0; Nên:  5 g y g 1   y 1

♣ Với y 0  x 2 [thỏa (*)]

♣ Với y 1  x 3 [thỏa (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y; là 2; 0 và  3;1 

Trang 5

Bài 4: Giải hệ phương trình:  

      







     



x

x x y y y

y

1

3 6 9 2 ln 0 1

1 log 3 log 1 2

Bài giải

♥ Điều kiện:

1 0 1

3

0 0

x y

x x

y y







 







 



(*)

♦  1  x133x12lnx1  y133y12lnx1 (3)

♦ Xét hàm đặc trưng f t t33t2lnt trên khoảng0; 

  2 1

t

        f t đồng biến tr  ên khoảng 0; 

Do x   và 1 0 y  1 0 nên

 3  f x 1 f y 1x 1 y 1 yx2 (4)

x2log2x3log3x2 x 1 (5)

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

 5 2  3  2  3   

♣ Xét hàm số   2  3 

1

2

x



 trên khoảng 3;  

 

     2

g x đồng biến tr  ên khoảng 3; 

Nên  6 g x g 5 x   [thỏa mãn (*)] 5  4 y 3

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  5;3

Trang 6

Bài 5 : Giải hệ phương trình:      

       





     



x y y x y xy x

13 3 14 1 5 2

Bài giải

♥ Điều kiện:

1

1 0

14

3 14 0

3

x x

 



 



  

 *

♦  1   3    3  

1 3 1 1 3 1

x  x  y  y (3)

3 ,

f t t  t t 

  2

3 3 0,

f t  t    t  f t  đồng biến trên 

Do x  1 0 và y  1 0 nên

 3  f x 1 f y 1x 1 y 1 x 2 y (4)

2x11  3x 8 x15  5

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

Ta nhận thấy 11

2

x  không là nghiệm của phương trình  5 nên

 5 3 8 1 5 0

2 11

x

     

  6

Xét hàm số

  3 8 1 5 , 8 11; 11;

2 11 3 2 2

x

   

       

    

 

3 1 10 3 1 3 8 10

0

2 3 8 2 1 2 11 2 3 8 1 2 11

g x

  

8 11 11

; & ;

3 2 2

x    

    

   

 g x đồng biến trên các khoảng 8 11; & 11;

3 2 2

   



   

   

♣ Trên khoảng 8 11;

3 2

 





thì g x đồng biến, 3 8 11; ,  3 0

3 2 g

 

  

 6  g x g 3 x  3  4 y 5 [thoả mãn (*)]

♣ Trên khoảng 11;

2

 



 

 thì g x đồng biến, 8 11; ,  8 0

2 g

 

  

 6  g x g 8 x  8  4 y 10 [thoả mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y,   3;5 , x y,   8;10

Trang 7

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Giải các hệ phương trình







2)

3



3)



Trang 8

3

9 4 2 6 7 (2)



(Thi thử của THPT Trần Phú – Thanh Hóa)

Bài giải

♥ Điều kiện:

1

x

y

 





  

♦ 2y3 y 2x 1 x 3 1x  3

2y  y 2 1 x 2x 1 x 1 x

 2y3 y 2 1 x 1 x 1x (3)

2

f t  t  trên  ta có: t

  2

f t  t      t  f đồng biến trên 

0

1

y

 



 

 (4)

4x 5 2x26x1 (5)

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ đối xứng loại II

 Phương trình (5) viết lại thành:  2

2x3 2 4x  5 11 Điều kiện

Đặt 4x   5 2t 3 3

2

t

 

  

 

 , ta được hệ phương trình: [Tại sao ?]

2 2

2 3 4 5 (6)

2 3 4 5 (7)



 Trừ theo từng vế của (6) và (7) ta được:

4 x t 3 x  t 4t 4x  xtx   t 2 0

+ Khi x , thay vào (7) ta được: t

4x212x 9 4x 5 x24x    1 0 x 2 3

So với điều kiện của x và t ta chọn x  2 3 [không thỏa mãn (*)]

+ Khi x      , thay vào (7) ta được: t 2 0 t 2 x

Trang 9

 2 2

12x 4x 5 x 2x    1 0 x 1 2 (loại)

So với điều kiện của x và t ta chọn x  1 2

♦ Với x  1 2 y  42 [thỏa mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y là ;  1 2;42 và 1 2; 24 

Bài 7 : Giải hệ phương trình 3 2 3 

3

2 14 3 2 +1 (2)



(Thi thử của THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng)

Bài giải

♥ Điều kiện:

3 2 2

y

x

 



 



(*)

♦ Do x  không thỏa hệ nên ta có: 0

 1  2 4 32 13 2 2 y 3 2y

 1 1 3 1 1 3 2y 3 2y 3 2y

f t   trên  ta có: t t

f' t 3t2      1 0, t f đồng biến trên 

Nên:   1   1



  (4)

x 2 315  (5) x 1

♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x 7 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật

nhân liên hợp

 5  x   2 3 2 315  x 0

  

 2

0

x





 x  7

Trang 10

♦ Với x 7  111

98

y  [thỏa mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm x y là ;  7;111

98

 

 

 

2

3

3 1 + (1)

1

9 2 7 2 2 2 3 (2)

x

    





(Thi thử của THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng)

Bài giải

♥ Điều kiện:

1 2 9

x

y

 





 

 (*)

♦ Ta có  1  2 1 3 1 1 3 1

1

      

 (3)

♦ Xét hàm đặc trưng   2 1

3

t

   trên 0; ta có: 

      

2 2

t

3  f y  f x  1 y x  1 x y  (4) 1

9y 1 37y22y 5 2y3 (5)

♦ Phương trình (5) có hai nghiệm là y 2 y 3và nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp Định hướng biến đổi về dạng y2y3   h x  hay 0  2   

y  y h x   5  9y2y237y22y5y10

2 2

2

0

  

2

y





Trang 11

 2 2

3

y

 



 

 ♦ Với y 2  x  [thỏa mãn (*)] 3

♦ Với y 3  x  [thỏa mãn (*)] 8

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm x y là ;   3; 2 ;  8;3 

 

     





  



 



x y y x y

x y

5

2

Bài giải

♥ Điều kiện:

8 3 0

12 0

x y











   





 *

♦  1   2

1 0 1

y x   y x (3)

3 8 1 5

2 11

x

   

  5 ♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

 5 3 8 1 5 0

2 11

x

     

  6

Xét hàm số

  3 8 1 5 , 8 11; 11;

2 11 3 2 2

x

   

       

    

 

3 1 10 3 1 3 8 10

2 3 8 2 1 2 11 2 3 8 1 2 11

f x

  

8 11 11

; & ;

3 2 2

x    

    

   

 f x đồng biến trên các khoảng 8 11; & 11;

3 2 2

   



   

   

♣ Trên khoảng 8 11;

3 2

 





thì f x đồng biến, 3 8 11; ,  3 0

3 2 f

 

  

 6  f x  f 3 x  3  4 y 4 [thoả mãn (*)]

♣ Trên khoảng 11;

2

 



 

 thì f x đồng biến, 8 11; ,  8 0

2 f

 

  

 6  f x  f 8 x  8  4 y 9 [thoả mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y,   3;5 , x y,   8;10

Trang 12

XEM THÊM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DẠNG TRÊN

CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG

axbn p a x n '  b' qxr

( x là ẩn số; p q r a b a b, , , , , ', ' là các hằng số; paa ' 0; n  2;3 Dạng thường gặp:  2

' '

axb  p a x b qxr

1 Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ:

+ Đặt n a x'  b' ayb nếu pa ' 0 + Đặt n a x'   b' ayb nếu pa ' 0

Bài toán dẫn đến giải hệ phương trình hai ẩn đối với x và y :

( )

h x Ay Bx C



(*) thường là hệ đối xứng loại 2 đối với x và y

Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa về phương trình bậc bốn

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình 2x1532x232x20 (1)

Lời giải

2

x   x

2 4x2  2x1528

Đặt 2x154y 2 1

2

y

  

 , ta được hệ phương trình:

2 2



Trang 13

4y4x4 4 y4x2xy  xy18x y 10

+ Khi x , thay vào (3) ta được: y

 2 2

1 2

11 8

x



 



  





So với điều kiện của x và y ta chọn 1

2

x 

8

        , thay vào (3) ta được:

So với điều kiện của x và y ta chọn 9 221

16

 Tập nghiệm của (1) là 1; 9 221

S



Ví dụ 2: Giải phương trình 4x2 3x  1 5 13x (1)

Lời giải

3

x     x

2x3   3x  1 x 4

Đặt 3x  1 2y 3 3

2

y

 

  

 

 , ta được hệ phương trình:

2 2

2 3 3 1 (3)



2 2x2y6 xy 2y2x  xy2x2y  5 0 + Khi x , thay vào (3) ta được: y

4 2 12 9 3 1 4 2 15 8 0 15 97

8

So với điều kiện của x và y ta chọn 15 97

8

x 

Trang 14

+ Khi 2x2y  5 0 2y 5 2x, thay vào (3) ta được:

2 2 3 1 4 11 3 0

8

        

So với điều kiện của x và y ta chọn 11 73

8

x 

 Tập nghiệm của (1) là 11 73 15; 97

S



3 Một số bài toán tự luyện

Giải các phương trình

1) x 6 x24x 2) x24x 3 x5 3) 2x 1 x23x 1 0

4) 4x214x 11 4 6x10 5) 9x212x 2 3x 7) 6) 8 9x26x 5 3x 5

-Hết -

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	340,03 KB