A) Phương Pháp:
Với phương trình có dạng : f(x) = g(m)
Chúng ta thực hiện các bước sau ñây:
Bước 1: Xem ñó là phương trình hoành ñộ giao ñiểm của f (x) và g (m) Do ñó số nghiệm của phương trình là số giao ñiểm của 2 hàm số
Bước 2: Xét hàm số y = f (x)
• Tìm tập xác ñịnh D
• Tính ñạo hàm 'y , rồi giải phương trình y' = 0
• Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 3: Kết luận:
• Phương trình có nghiệm ⇔ min f(x) ≤g(m) ≤ max f(x)
• Phương trình có k nghiệm phân biệt ⇔ dựa vào bảng biến thiên xem g (m) cắt f (x) tại
k ñiểm Suy ra giá trị cần tìm
• Phương trình vô nghiệm ⇔ hai hàm số không cắt nhau
Với bất phương trình có dạng : f(x) ≤ g(m)
Chúng ta thực hiện các bước sau ñây:
Bước 1: Xét hàm số y = f (x)
• Tìm tập xác ñịnh D
• Tính ñạo hàm 'y , rồi giải phương trình y' = 0
• Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 2: Kết luận:
• Bất phương trình có nghiệm D∈ ⇔ miny ≤ g(m)
• Bất phương trình nghiệm ñúng ∀x ∈ D ⇔ maxy ≤ g(m)
Chú ý : Nếu f(x) ≥ g(m) thì:
• Bất phương trình có nghiệm D∈ ⇔ miny ≥ g(m)
• Bất phương trình nghiệm ñúng ∀x ∈ D ⇔ maxy ≥ g(m)
Chú ý chung :
Nếu có ñặt ẩn phụ t = h (x) Từ ñiều kiện của x chuyển thành ñiều kiện của t Có 3 hướng ñể tìm ñiều kiện :
• Sử dụng BðT Cô si cho các số không âm
• Sử dụng bất ñẳng thức Bunhiacopxki
• Sử dụng ñạo hàm ñể tim min và max ( lúc ñó t sẽ thuộc min và max )
B).Bài Tập Ứng Dụng :
Loại 1: Bài toán tìm m ñối với phương trình
Bài 1.Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm : a) x2 +x+ 1 − x2 −x+ 1 =m
b)x x+ x+ 12 =m( 5 −x+ 4 −x)
c) x + 9 −x = −x2 + 9x+m
d) 4 x2 + − x =m
1
Trang 2e) 4 x4 − 13x+m+x− 1 = 0
f) m( x− 2 + 2 4 x2 − 4 ) − x+ 2 = 2 4 x2 − 4
g) tan 2 x+ cot 2 x+m(tanx+ cotx) + 3 = 0
Bài làm :
a) x2 +x+ 1 − x2 −x+ 1 =m
Xét hàm số y = x2 +x+ 1 − x2 −x+ 1
• Miền xác ñịnh : D = R
• ðạo hàm :
1 2
1 2 1
2
1 2 '
2
−
− + +
+
=
x x
x x
x
x y
1 )
1 2 ( 1 )
1 2 ( 0 ' = ⇔ x− x2 +x+ = x+ x2 −x+
y
+
− +
= + +
−
>
+
−
⇔
) 1 (
) 1 2 ( ) 1 (
) 1 2 (
0 ) 1 2 )(
1 2 (
2 2 2
2
x x x
x x x
x x
⇔ vô nghiệm
Mà y' ( 0 ) = 1 > 0 nên hàm số ñồng biến trên R
• Giới hạn :
1 1
2 lim
) 1 1
( lim lim
2 2
2
+
− + + +
= +
−
− + +
=
+∞
→ +∞
→ +∞
→
x x x
x
x x
x x
x y
x x
x
1 1 1
2 lim
lim
2
+
− + + +
=
−∞
→
−∞
→
x x x
x
x y
x x
• Bảng biến thiên :
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi − 1 <m< 1
b) x x + x+ 12 =m( 5 −x + 4 −x) ðiều kiện :
4 0
0 4
0 5
0 12
0
≤
≤
⇔
≥
−
≥
−
≥ +
≥
x
x x x
x
(*)
Viết phương trình về dạng :
m x x
x x
Xét hàm số : y= (x x + x+ 12 )( 5 −x− 4 −x)
• Miền xác ñịnh : D=[ ]0 , 4
x − ∞ + ∞
'
y 1
-1
Trang 3• Nhận xét rằng :
- Hàm h(x) = (x x+ x+ 12 )là hàm ñồng biến trên D
- Hàm g(x) = 5 −x− 4 −x có :
D x x
x
x x
x
−
−
−
−
−
4 5 2
4 5
) (
⇒ y = h(x).g(x) là hàm ñồng biến trên D
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi : f( 0 ) ≤m≤ f( 4 )
12 )
2 5 (
c) x+ 9 −x = −x2 + 9x+m
ðiều kiện :
0 9
0
≤
≤
⇔
≥
−
≥
x x
x
Biến ñổi phương trình : 9 + 2 x( 9 −x) = −x2 + 9x+m
m x x x
Xét hàm số y= x2 − 9x+ 9 + 2 −x2 + 9x
• Miền xác ñịnh : D=[ ]0 , 9
• ðạo hàm :
x x
x x
y
9
) 9 2 ( 9 2 '
2 +
−
+
−
−
−
=
9
1 1
) 9 2 ( 0 '
+
− +
−
⇔
=
x x x
y
2
9
=
⇔ x
• Bảng biến thiên :
Vậy phương trình có nghiệm khi : 9
4
9
≤
≤
d) 4 x2 + − x =m
1
ðiều kiện : x≥ 0 Xét hàm số : y= 4 x2 + − x
1
• Miền xác ñịnh : D= ,[0 +∞)
x
0
2
9 9 '
y – 0 +
y 9 9
4 9
−
Trang 4• ðạo hàm :
x x
x y
2
1 ) 1 ( 2
'
+
=
) 1 ( 0
' = ⇔ x x = x +
y
) 1 ( +
=
⇔ x2 =x2 + 1 (vô nghiệm) Suy ra y ' x( ) không ñổi dấu trên D, mà 0
2
1 8 2
1 ) 1 ( '
=
y
Do ñó y' (x) < 0 ∀x∈D ⇔hàm số ñồng biến
• Giới hạn:
0 ) 1 )(
1 (
1 lim
) 1 (
lim lim
2
+ + +
+
=
− +
=
+∞
→ +∞
→ +∞
→
x x
x x
x x
y
x x
x
• Bảng biến thiên:
Vậy phương trình có nghiệm khi : 0< m≤ 1
e) 4 x4 − 13x+m+x− 1 = 0
Biến ñổi phương trinh : 4 x4 − 13x+m = 1 −x
−
= +
−
≥
−
) 1 ( 13
0 1
x m
x x
x
= +
−
−
≤
⇔
m x x
x
x
13 )
1 (
1
4 4
Xét hàm số y= ( 1 −x) 4 −x4 + 13x
• Miền xác ñịnh : D=(− ∞ , 1]
• ðạo hàm :
y' = − 4 ( 1 −x)3− 4x3 + 13 = − 12x2 + 12x+ 9
y' = 0 ⇔ − 12x2 + 12x+ 9 = 0
−
=
=
⇔
) ( 2 1
) ( 2 3
n x
l x
• Giới hạn : = [ − − + ]= +∞
−∞
→
−∞
x
xlim lim ( 1 ) 4 4 13
• Bảng biến thiên:
x 0 + ∞
'
y 1
0
Trang 5Vậy ñể phương trình có nghiệm khi :
2
3
−
≥
m
4 2
2 )
4 2
2 ( x− + x − − x+ = x −
m
ðiều kiện : x≥ 2
VP
VT
≠
⇔
=
−
= 0
2
(loại) Khi x> 2 : Chia 2 vế cho 4 2
4
−
x ta ñược :
2
2 2
2
2
4
−
+
−
+ +
−
x
x x
x
ðặt 4
2
2
−
+
=
x
x t
Tìm ñiều kiện cho t
2
2 )
−
+
x
x x f
ðạo hàm :
0 2
2 2
1
2
2 4
1 2
2 )
( '
4
3 2
4
3
'
<
−
+
−
−
=
− +
−
+
=
x
x x
x x x
x x f
Suy ra hàm số f (x) nghịch biến ∀x> 2
1 )
( lim ) ( > ⇔ >
⇔
+∞
x f
x
Cách 2: Ta có x> 2
Mà 4
2
2
−
+
=
x
x t
2
2
4
−
+
=
⇔
x
x t
1
) 1 ( 2
2 )
2 (
4 4 4
−
+
=
⇔
+
=
−
⇔
t
t x
x x
t
Do ñó:
>
−
<
⇔
−
<
>
⇔
>
−
⇔
>
−
⇔
>
− +
1
1 1
1 0
1
0 1
4 2
1
) 1 ( 2
2
2 4
4 4
4
t
t t
t t
t t
t
x − ∞
2
1
− 1 '
y — 0 +
y + ∞ 12
2 3
−
Trang 6Mặc khác t > 0 ⇒t > 1
1 2
2 2
2
t f m g t
t t m t
t
+
+
=
⇔
=
−
+
⇒
Xét hàm số
1 2
2 )
(
2
+
+
=
t
t t t f
• Miền xác ñịnh : D= ,(1 +∞)
+
+ +
1 2
2 2 2 ) (
2
t
t t t
• Giới hạn : = +∞
+∞
lim f t
t
• Bảng biến thiên:
Vậy ñể phương trình có nghiệm : g(m) > 1 ⇔m> 1
g) tan2 x+ cot2 x+m(tanx+ cotx) + 3 = 0 ðặt t= tanx+ cotx⇒t2 = tan2 x+ cot2 x+ 2
Tìm ñiều kiện cho t :
2 cot
tan 2 cot tan
cot
t
(vì tanx cotx= 1 )
2
t
t m mt
Xét hàm số
t
t t
2 +
=
• Miền xác ñịnh: D= ( −∞ , − 2 ) ∨ ( 2 , +∞ )
t
t t
f' ( ) = −1> 0 ∀ ∈
2 2
±∞
→
±∞
t t
f
t t
1 lim ) ( lim
2
• Bảng biến thiên :
x 1 + ∞
'
y + ∞
1
x − ∞ − 2 2 + ∞ '
y + +
y
2
5
− + ∞
∞
−
2 5
Trang 7Vậy ñể phương trình có nghiệm:
>
−
<
2
52 5
m m
Bài 2.Tìm m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm phân biệt
a) 4 2x+ 2x+ 2 4 6 −x+ 2 6 −x =m
b) x4 − 4x3 + 16x+m+4 x4 − 4x3 + 16x+m = 6
Bài làm :
a) 4 2x+ 2x+ 2 4 6 −x+ 2 6 −x =m (1)
0 6
0 2
≤
≤
⇔
≥
−
≥
x x
x
Xét hàm số y= 4 2x+ 2x+ 2 4 6 −x+ 2 6 −x
• Miền xác ñịnh: D=[ ]0 , 6
• ðạo hàm
x x
x x
y
−
−
−
− +
=
6
1 )
6 ( 2
1 2
1 )
2 ( 2
1 '
0 6
1 2
1 )
6 ( 2
1 )
2 ( 2
1 0
'
−
− +
−
−
⇔
=
x x
x x
y
0 6
1 2
1 )
6 ( 2
1 6
1 2
1 2
1 6
1 2
1
4 4
4 4
− + +
−
+
−
+
−
−
⇔
x x
x x x
x x
x
4
1 2
1
x
⇔
x
2
=
⇔ x
• Bảng biến thiên:
ðể (1) có hai nghiệm phân biệt: 2 ( 4 6 + 6 ) ≤m< 3 ( 4 4 + 4 )
x 0 2 6 '
y + 0 —
y 3 ( 4 4 + 4 )
) 6 6 (
2 4 + 4 12 + 12
Trang 8b) x4 − 4x3 + 16x+m+4 x4 − 4x3 + 16x+m = 6
ðặt t=4 x4 − 4x3 + 16x+m (t≥ 0 )
Lúc ñó : t2 +t = 6 ⇔t2 +t− 6 = 0
− = = ⇔ ) ( 3 ) ( 2 l t n t Với t= 2 ⇔ x4 − 4x3 + 16x+m= 16 ⇔ x4 − 4x3 + 16x= 16 −m (*) Xét hàm số : f(x) =x4 − 4x3 + 16x • Miền xác ñịnh: D = R • ðạo hàm : f' (x) = 4x3 − 8x2 + 16 f' (x) = 0 ⇔ 4x3 − 8x2 + 16 = 0
= − = ⇔ 2 1 x x • Giới hạn = − + = +∞
+∞ → +∞ → ( ) lim ( 4 16 ) lim f x x4 x3 x x x = − + = +∞
−∞ → −∞ → ( ) lim ( 4 16 ) lim f x x4 x3 x x x • Bảng biến thiên: Vậy ñể có hai nghiệm khi : 16 −m> − 11 ⇔m< 27 3.Tìm m ñể phương trình mx2 + 1 = cosx có ñúng 1 nghiệm thuộc ) 2 , 0 ( π Bài làm: Biến ñổi phương trình: mx2 = cosx− 1 (1) Nhận xét: (1) có nghiệm khi m≤ 0 ( vì m> 0 lúc ñó VT > 0 , VP< 0 ) Lúc ñó (1) m x x x x m = − ⇔ − = ⇔ 2 2 2 2 4 2 sin 2 1 cos x − ∞ -1 2 + ∞
' y — 0 + 0 +
y + ∞ + ∞
16
-11
Trang 9m
x
x
2 2
2 sin
2
2
−
=
⇔ (2)
ðặt
2
x
∈
⇒
∈
4 , 0 2
,
t x
t
t m
t
t
2
sin 2
2
2
−
=
⇔
−
=
⇔
Xét hàm số:
t
t t
f( ) = sin
• Miền xác ñịnh
= 4 ,
0 π
D
t
t t t t
t t t t
f' ( ) = .cos 2−sin = cos .( −2 tan ) < 0 ∀ ∈ ( vì t∈D⇒ cost> 0 , tant<t )
Do ñó hàm f (t) nghịch biến
• Giới hạn : lim ( ) lim sin 1
0
=
→
t t
f
t t
• Bảng biến thiên:
Vậy ñể phương trình có ñúng một nghiệm :
2 2
2 2
4 2
1 1 2
8 1 sin
8 1 ) ( 2 2
π π
π
π < ⇔ <− < ⇔− < <−
<
⇔
<
t
t t
f
4.Tìm m ñể phương trình m x2 + 2 = x+m có ba nghiệm phân biệt
Bài làm:
Biến ñổi phương trình: m( x2 + 2 − 1 ) =x
1 2
=
⇔
x
x
m (vì x2 + 2 ≥ 2)
Xét hàm số
1 2 )
(
=
x
x x
f
• Miền xác ñịnh : D = R
t
0
4
π
) (
' t
)
(t
f 1
π
2 2
Trang 10
• ðạo hàm :
2 2 2 2 ) 1 2 ( 2 2 2 ) ( ' − + + + − = x x x x f f' (x) = 0 ⇔ x2 + 2 = 2 ⇔ x= ± 2 • Giới hạn 1
1 ) 1 2 ( lim 1 2 lim ) ( lim 2 2 2 = + + + = − + = +∞ → +∞ → +∞ → x x x x x x f x x x 1
1 ) 1 2 ( lim 1 2 lim ) ( lim 2 2 2 = − + + + = − + = −∞ → −∞ → −∞ → x x x x x x f x x x • Bảng biến thiên: Vậy ñể phương trình có 3 nghiệm phân biệt: − 2 <m< 2 Loại 2: Bài toán tìm m ñối với bất phương trình Bài 1: Tìm m ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x a) x2 − 6x+ 5 + 2mx> 1 b)m 9x − 3x + 1 ≥ 0 c)m.x4 − 4x+m≥ 0 Bài làm : a) Xét hàm số : y= f(x) = x2− 6x+ 5 + 2mx
< < − + + − = ≥ ∨ ≤ + − + = = ) 5 1 ( 5 ) 3 ( 2 ) ( ) 5 1 ( 5 ) 3 ( 2 ) ( ) ( 2 2 2 1 x x m x x f x x x m x x f x f
ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x
{ ( 1 ), ( 5 ), ( 3 )} 1 min 1 ) ( min > ⇔ 1 1 1 − > ⇔ f x f f f m 1 5 0 5 6 10 1 2 1 1 ) 3 ( 1 ) 5 ( 1 ) 1 ( 2 1 1 1 < < ⇔ < + − > > ⇔ > − > > ⇔ m m m m m m f f f Vậy với 1< m< 5 bất phương trình có nghiệm ñúng với mọi x x − ∞ − 2 2 + ∞
' y — 0 + 0 —
y −1 2
− 2 1
Trang 11b) ðặt t= 3x (t> 0 )
2 2
2
t f m g t
t m t
mt t
t
Xét hàm số ( ) 21
t
t t
=
• Miền xác ñịnh D= ,(0 +∞)
2
2 ) ( '
t
t t t
=
=
⇔
=
−
⇔
=
2
0 0
2 0 ) (
t
t t
t t
f
• Giới hạn : lim ( ) lim 2 4 0
2
=
−
=
+∞
→ +∞
t t t
f
x x
• Bảng biến thiên:
ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x ⇔g(m) ≥ max f(t)
4
1
≥
⇔ m
c) Biến ñổi bất phương trình có dạng : m(x4 + 1 ) ≥ 4x
( ) ( )
1
4
x
x
+
≥
⇔
Xét hàm số
1
4 ) (
4 +
=
x
x x
f
• Miền xác ñịnh D = R
• ðạo hàm ( 4 )2
4
1
12 4 ) ( '
+
−
=
x
x x
f
4 3
1 0
) ( ' x = ⇔x= ±
f
• Giới hạn : lim ( ) = 0
±∞
x
• Bảng biến thiên:
x 0 2 + ∞
'
y + 0 —
y
4
1
∞
− 0
Trang 12Vậy ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x
4 27 )
( max )
Bài 2: Tìm m ñể bất phương trình có nghiệm
a)mx− x− 3 ≤m+ 1
2
sin
3 3
c) x2 − 4x+ 3 + 2mx− 6 > 0
Bài làm :
a) mx− x− 3 ≤m+ 1
ðiều kiện : x≥ 3
ðặt t= x− 3 (t≥ 0 )
Lúc ñó : m(t2 + 3 ) −t≤m+ 1
2
1 1
) 2
+
+
≤
⇔ +
≤ +
⇔
t
t m t
t m
⇔ g(m) ≤ f(t) Xét hàm số:
2
1 )
(
2 +
+
=
t
t t f
• Miền xác ñịnh D= ,[0 +∞)
• ðạo hàm (2 )2
2
1
2 2 )
( '
+
+
−
−
=
t
t t t f
3 1 0
) ( ' t = ⇔ x= − ±
f
2
1 lim ) (
+
+
=
+∞
→ +∞
t t
f
t t
• Bảng biến thiên :
ðể bất phương trình có nghiệm:
4
1 3 )
( max )
m t f m
g
y 0 4 27
− 4 27 0
x 0 − 1 + 3 + ∞
'
y + 0 —
y
4
1
3 +
2
1
0
x − ∞
4 3
1
−
4 3
1 + ∞ '
y — 0 + 0 —
Trang 13b) 2 sin x + 3 cos x ≥m 3 sin x (*)
Chia 2 vế của (*) cho sin2x
3 ta có:
) 1 ( 9
1 3 3
2 3
3 3
2
2 2
2
2 2
sin sin
sin
sin 1 sin
m m
x x
x
x x
≥
+
⇔
≥ +
Xét hàm số
x x
y
2 2
sin sin
9
1 3 3
2
+
Lúc ñó :
0 0
sin sin
1 1
2
9
1 3 3
2 9
1 3 3
2 9
1 3 3
2 1 sin 0
2 2
+
≤
+
≤
+
⇔
≤
≤
x x
x
⇔ 1 ≤ y≤ 4
ðể (1) có nghiệm maxy≥m⇔m≤ 4
c) x2 − 4x+ 3 + 2mx− 6 > 0 (*)
Xét hàm số f(x) = x2 − 4x+ 3 + 2mx− 6
≤
≤
− + +
−
=
≥
∪
≤ +
− +
=
=
⇔
) 3 1
( 9 ) 2 ( 2 )
(
) 3 1
( 5 ) 3 ( 2 )
( ) (
2 2
2 1
x x
m x
x f
x x
x m x
x f x f
Vậy (*) có nghiệm ⇔ max f(x) > 0 ⇔ max{f2( 1 );f2( 3 ); f2(m+ 2 )}> 0
<
<
⇔
>
+
−
>
+
>
−
⇔
>
+
>
>
0 5 6
0 5 6
0 6 2
0 ) 2 (
0 ) 3 (
0 ) 1 (
2 2
2
2
m m
m m m
m f f f
Bài 3: Tìm tất cả m ñể bất phương trình 3 13
2 3
x mx
Bài làm:
Biến ñổi bất phương trình về dạng: 3 13
2 3
x x
3
3
x
x x
≤
3 6
1 2 )
(
x
x x x
• Miền xác ñịnh : D= ,[1 +∞)
x
x x x
x x x
f' ( ) = 2 −2 +4 = 2 ( −1)+4 > 0 ∀ ∈
5
3 3 5
3 6
+∞
→ +∞
3 6
4 2 2 lim ) ( lim
x
x x x
f
x x
• Bảng biến thiên :
Trang 14ðể bất phương trình nghiệm ñúng với x≥ 1
) ( ) ( min f x ≥ g m
⇔
3
2 2
Bài 4: Tìm tất cả m ñể bất phương trình m
x
x
≥
−1 log
log
2 2
2
2 nghiệm ñúng với mọi x> 0
Bài làm:
ðặt t= log22 x
Tìm ñiều kiện cho t : Vì x> 0 ⇔t > 1 Lúc ñó : ( ) ( ) 1 m f t g m t t ≥ ⇔ ≥ − Xét hàm số 1 ) ( − = t t t f • Miền xác ñịnh D= ,(1 +∞) • ðạo hàm : ( ) 3 12 2 2 ) ( ' − − = t t t f 2 0 ) ( ' t = ⇔t = f • Giới hạn : ( − ) = − = +∞ → +∞ → 3 12 2 2 lim ) ( lim t t t f t t + ∞ ( − ) =+∞ − = + + → → 1 1 3 2 1 2 2 lim ) ( lim t t t f t t • Bảng biến thiên : ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x> 0 ⇔ f(t) ≥ g(m) ∀t > 0 ⇔ min f(t) ≥ g(m) ⇔ 1 ≥m Bài 5: Tìm m ñể bất phương trình m x x < log4(− 2−2 +3 ) 4 3 nghiệm ñúng với mọi (− 2 , 0) ∈ x y + ∞
2
x 1 2 + ∞
' y — 0 +
y + ∞ + ∞
1 x 1 + ∞
'
Trang 15Bài làm:
ðiều kiện : −x2 − 2x+ 3 > 0 ⇔ − 3 <x< 1 Nhận xét : ñề bài yêu cầu thoả mãn x∈(− 2 , 0)
Do ñó ta xét giao của hai tập hợp trên : x∈(− 2 , 0)
Xét hàm số : ( ) log ( 2 2 3 )
x f
• Miền xác ñịnh D=(− 2 , 0)
• ðạo hàm
) 3 2 (
2 ln 2
2 2 4
ln
) 3 2 ln(
) (
' 2
+
−
−
−
−
=
=
x x
x x
x x
f
1 0
) ( ' x = ⇔x= −
f
• Bảng biến thiên:
Vậy ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi
) 0 , 2 (−
∈
⇔
<
⇔
3 log4
4
3 )
( max
Loại 3: Bài toán tìm m ñối với hệ phương trình
Bài 1: Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm:
= +
= +
−
) 2 ( 2
) 1 ( 0
xy y
m y
x
Bài làm:
Từ (2) suy ra:
+
−
=
≥
−
y
y y x
y
4 4
0 2
2
2
y f m g y
y m m
y y
y y
=
⇔
−
=
⇔
= +
− +
−
Xét hàm số
y
y y
f( )= 4 −4
• Miền xác ñịnh D=(− ∞ , 2]\{ }0
• ðạo hàm ' ( ) 4 0
2 >
=
y y
f Hàm số ñồng biến trên D
• Giới hạn
x − 2 − 1 0 )
(
' x
f + 0 — )
(x
f 1
3 log4 log43
Trang 16=
−∞
=
=
− +
→
→
−∞
→
) ( lim
) ( lim
4 ) ( lim
0
0
y f
y f
y f
y y y
• Bảng biến thiên :
Vậy ñể hệ có nghiệm : m∈ ( −∞ , 2 ] ∪ ( 4 , +∞ ) Bài 2: Xác ñịnh m ñể hệ phương trình có hai cặp nghiệm phân biệt
=
− +
−
>
−
− +
+
log )
5 2 (
log
) 1 ( 4 log ) 1 ( log ) 1 ( log
5 2
2 2
3 3
3
2 x x
m x
x
x x
Bài làm :
ðiều kiện x> 1
1
1 4
log 1
1 log 3 3 > ⇔ < <
−
+
⇔
>
−
+
x x
x x
x
ðặt t= log2(x2 − 2x+ 5 ) Tìm ñiều kiện của t:
• Xét hàm số ( ) log ( 2 2 5 ) ( 1 , 3 )
x f
) 3 , 1 ( )
5 2 (
2 ln
2 2 )
( '
+
−
−
x x
x x
f
Hàm số ñồng biến nên ta có f( 1 ) < f(x) < f( 3 ) ⇔ 2 <t< 3 Nhận xét số nghiệm của x thông qua t
• Ta có 2 − 2 + 5 = 2t ⇔ ( − 1 )2 = 2t − 4
x x
x
Suy ra ứng với mỗi giá trị t∈ ( 2 , 3 ) thì ta luôn có một giá trị x∈ ( 1 , 3 )
t
m
t− = 5 ⇔ 2 − 5 = Xét hàm số f(t) =t2 − 5t ∀t∈ ( 2 , 3 )
• ðạo hàm :
2
5 0
5 2 ) ( ' t = t− = ⇔t=
f
• Bảng biến thiên :
x − ∞ 0 2 '
y + +
y + ∞ 2
4 − ∞