Chương 2. GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

Lời giải Không the viet lim →.

Trang 1

Chương 2 GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

1.1 Giới hạn của hàm số

1.1.1 Mở đầu

Định nghĩa 1 Ta gọi lân cận của điem a là bat cứ khoảng mở nào chứa điem a, ký hiệu U(a) Định nghĩa 2 Ta gọi δ-lân cận của điem a, ký hiệu Uδ(a), là khoảng (a – δ, a + δ)

Định nghĩa 3 Giả sử ( ) xác định trong một lân cận nào đó của điem a (có the không xác định tại a) Ta viet lim → ( ) = , và nói ( ) dần đến L khi x dần đến a, neu

có

the làm cho giá trị ( ) ga n L tùy ý bang cách chọn x ≠ a đủ ga n a (cả hai phı́a)

Ta cũng có the viet ( ) → khi →

Trong hı̀nh trên, cả ba trường hợp ta đe u có lim → ( ) = , mặc dù trong trường hợp (b) thı̀ f(a) ≠ L, còn trường hợp (c) thı̀ hàm không xác định tại a

Theo bảng bên, ta nhận thay khi x → 1 (theo cả hai phı́a) thı̀ ( ) → 0.5 Đie u đó cũng phù hợp với đo thị của ( ) được vẽ ở bên dưới

Bây giờ ta thay đoi chút ı́t, bang cách xét hàm sau, còn được gọi là da n xuat của ( )

( ) =

− 1

Tat nhiên, hàm mới này cũng có cùng giới hạn là 0.5 khi x→1 như hàm ( )

0.9 0.526316 1.1 0.476190

0.99 0.502513 1.01 0.497512

0.999 0.500250 1.001 0.499750

0.9999 0.500025 1.0001 0.499975

0.99999 0.500003 1.00001 0.499998

Trang 2

Đie u đó cũng nói lên rang, khi x → a, giới hạn của một hàm ( ) (neu to n tại) không phụ thuộc việc có hay không giá trị của ( ) tại a, tức là ( )

Ta cũng tı́nh các giá trị của ( ) với các giá trị x ga n 0 Căn cứ vào bảng bên trái, ta ket luận rang lim → √ = Nhưng với bảng bên phải, khi x đủ nhỏ thı̀ ta thay các giá trị

của ( ) lại bang 0 Có van đe gı̀ ở đây?

Thực ra, ( ) → khi x → 0 Nhưng khi x đủ nhỏ thı̀ √ + 9 rat ga n 3, và với máy tı́nh các giá trị đó là bang 3, vı̀ the tử so bang 0 trong khi ma u so va n khác 0 Vı̀ vậy phép chia cho ket quả bang 0

Sử dụng máy tı́nh đe vẽ đo thị của hàm này trên 4 mie n ga n điem 0, ta được ket quả sau:

Lời giải Ta tı́nh một so giá trị của ( ) = sin trong lân cận của điem 0

Tương tự, f(0.1) = f(0.01) = f(0.001) = f(0.0001) = … = f(0.0000001) = 0

Vậy ta phỏng đoán lim → sin = 0?

Trang 3

Nhưng nhı̀n vào đo thị của sin , ta thay to n tại vô hạn giá trị của x ga n điem 0 mà giá trị của ( ) lại bang 1 Và thực te là, hàm sin không có giới hạn khi x → 0

Các vı́ dụ trên nói lên rang, đe tı̀m giới hạn của hàm so, không the dựa vào dãy các giá trị tı́nh toán bang máy tı́nh đe phỏng đoán, mà phải bang giải tı́ch

Ví dụ 4 Hàm Heaviside được định nghı̃a như sau

Hàm này được đặt theo tên của kỹ sư điện Oliver

Heaviside (1850 – 1925) và được dùng đe mô tả dòng

điện được bật lên tại thời điem t = 0 Đo thị như hı̀nh bên

Khi t → 0 từ bên trái thı̀ H(t) → 0, khi t → 0 từ bên phải thı̀ H(t) → 1 Chứng tỏ ra ng điem giới hạn là không duy nhat, vậy không to n tại lim → ( )

1.1.2 Giới hạn một phía

Trong Vı́ dụ 4, chúng ta đã xem xét riêng việc t → 0 từ bên trái và t → 0 từ bên phải Đe bieu thị đie u đó, chúng ta có the sử dụng các ký hiệu

lim

Ký hiệu " → 0 " bieu thị rang chúng ta chı̉ xét giá trị t < 0 trong quá trı̀nh t da n ve 0 Tương tự, ký hiệu " → 0 " bieu thị rang chúng ta chı̉ xét giá trị t > 0

Định nghĩa 4 Chúng ta viet lim → ( ) = , và nói giới hạn trái của ( ) khi x da n đen a [hay

nói giới hạn của ( ) khi x da n đen a từ bên trái] bang L neu ta có the làm cho giá trị của ( ) ga n giá trị L tùy ý bang cách chọn các giá trị của x đủ ga n a

Tương tự, chúng ta có giới hạn phải của ( ) khi x da n ve a, lim → ( ), neu to n tại Định lý 1 Khi x da n ve a, giới hạn của ( ) to n tại khi và chı̉ khi giới hạn trái và giới hạn

Định lý 1 có the viet như sau:

Ví dụ 5 Dựa vào đo thị hàm so ( ) như hı̀nh dưới đây, hãy kha ng định (neu to n tại)

Trang 4

(d) lim → ( ) (e) lim → ( ) (f) lim → ( )

1.1.3 Giới hạn vô cùng

Xét quá trı̀nh x → 0 của hàm ( ) = Khi x đủ ga n

0 thı̀ x2 rat bé, và do đó 1/x2 rat lớn Nhı̀n vào đo thị, ta

thay ( ) không the da n đen một giá trị nào, và vı̀ vậy ta nói rang không to n tại lim → Đe bieu thị đie u đó, ta the sử dụng ký hiệu lim → = ∞

có

Định nghĩa 5 Giả sử ( ) xác định trong lân cận nào đó của điem a, có the loại trừ tại điem

a

Khi đó lim → ( ) = ∞ có nghı̃a là có the làm cho giá trị của ( ) lớn tùy ý bang

cách cho x đủ ga n a, nhưng khác a [Ta cũng có the viet ( ) → ∞ khi → ]

Viet như the nhưng không được hieu là giới hạn này

to n tại, cũng như không the xem ∞ là một con so Đó thua n túy chı̉ là một ký hiệu Tuy nhiên theo thói quen, ta va n có the nói " ( ) da n đen vô cùng khi x da n đen a", hoặc "giới hạn của ( ) khi x da n tới a bang vô cùng", hoặc "( ) không bị chặn trên khi x da n đen a"

Định nghĩa 6 Giả sử ( ) xác định trong lân cận nào đó của điem a, có the loại trừ tại điem

a

Khi đó lim → ( ) = −∞ có nghı̃a là có the làm cho giá trị của − ( ) lớn tùy ý

bang cách cho x đủ ga n a, x ≠ a [Ta cũng có the viet ( ) → −∞ khi → ]

Ta va n có the nói "( ) da n đen âm vô cùng khi x da n đen a", hoặc "giới hạn của ( ) khi x da n tới a bang âm vô cùng", hoặc " ( ) không bị chặn dưới khi x da n đen a"

Tương tự, chúng ta có the đưa ra các khái niệm giới hạn vô cùng một phı́a bởi các ký hiệu

lim

Các dạng đo thị tương ứng là

Trang 5

Định nghĩa 7 Đường tha ng x = a được gọi là tiệm cận đứng của hàm ( ) neu xảy ra ı́t nhat

−∞

Lời giải Khi x da n đen 3 nhưng nhỏ hơn 3 thı̀ x – 3 luôn âm và da n ve 0, trong khi đó

tử so da n ve 6, vı̀ vậy phân thức da n ve âm vô cùng, tức là

Tương tự, khi x da n ve 3 nhưng lớn hơn 3 thı̀ x – 3 luôn dương và da n ve 0, trong khi đó tử so da n ve 6, vı̀ vậy phân thức da n

ve dương vô cùng, tức là lim → = ∞

Nhı̀n vào đo thị ta thay hàm = có tiệm cận đứng là = 3

Ví dụ 7 Tı̀m các tiệm cận đứng của = tan

Lời giải Bởi vı̀ tan = có the có tiệm cận khi cos = 0

Cụ the, khi → ( /2) thı̀ cos → 0 , và sin → 1, vı̀ vậy lim

→( / ) tan = ∞ Khi → ( /2) thı̀ cos → 0 , và sin → 1, vı̀

vậy lim

→( / ) tan = −∞

Do tan là hàm tua n hoàn chu kỳ π nên đo thị của = tan có

các đường tiệm cận đứng là = + với n là so nguyên

1.2 Quy tắc tìm giới hạn của các hàm số

Định lý 1 Giả sử c là hang so và các giới hạn lim

→ ( ) và lim

→ ( ) cùng to n tại Khi đó

1 lim

→ ( )

2 lim

→ ( )

3 lim

→ [ ( )] = lim

→ ( )

4 lim

→ [ ( ) ( )] = lim

→ ( )

5 lim

→

( ) ( )= → ( )

→ ( ) nếu lim

De thay, lim

Trang 6

→ ( ) (n nguyên dương, và f(x) > 0 khi n cha n)

Năm quy ta c đó có the phát bieu bang lời như sau:

1 Quy ta c cộng: Giới hạn của tong bang tong các giới hạn

2 Quy ta c trừ: Giới hạn của hiệu bang hiệu các giới hạn

3 Quy ta c thừa hang so: Thừa hang so có the đưa ra ngoài phép lay giới hạn

4 Quy ta c tı́ch: Giới hạn của tı́ch bang tı́ch các giới hạn

5 Quy ta c thương: Giới hạn của thương bang thương các giới hạn (khi giới hạn của ma u khác 0)

Lời giải Đặt ( ) = 4 + 2 − 1 và ( ) = 5 − 3 Ta có

→ 1

= 4(−2) + 2(−2) − 1 = −32 + 8 − 1 = −25 lim

Vậy lim

Tong quát: Neu a thuộc mie n xác định của phân thức hữu tỷ ( ) = ( )

( ) thı̀

lim

( )

Lời giải Chúng ta không the thay trực tiep x = 1 vào bieu thức bởi phân thức không xác định tại x = 1 Cũng không the sử dụng quy ta c thương bởi giới hạn của ma u so bang 0 Vı̀ vậy chúng ta ca n bien đoi đại so

Vı̀ x → 1 nên x ≠ 1, khi đó lim

→

( )( )

= lim

→ ( + 1) = 2

→ ( ) = lim

→ ( ) (neu to n tại)

→

√

→ | |

− < 0 , vı̀ vậy lim

lim

→ | | = 0

Trang 7

Ví dụ 5 Tı̀m lim

→

| |

→

| |

= lim

lim

→

| |

= lim

→ (1) = 1

→

| |

≠ lim

→

| |

, nên không to n tại lim

→

| |

8 − 2 < 4 Xét sự to n tại của lim→ ( )

Lời giải Ta có lim

→ (8 − 2 ) = 0

Mặt khác, lim

Do đó lim

Định lý 3 Neu trong lân cận nào đó của a (loại trừ tại a) mà ( ) ≤ ( ), đo ng thời

Định lý 4 Neu trong lân cận nào đó của a (loại trừ tại a)

mà

lim

→ ℎ( ) = thì lim

→ sin Lời giải Không the viet lim

→ lim

→ sin vı̀ lim

→ sin không to n tại Thay vào đó, ta sử dụng các bat đa ng thức −1 ≤ sin ≤ 1, do đó − ≤ sin ≤

Khi x → 0 thı̀ x2 → 0 và –x2 → 0 nên theo Định lý 4,

Ta cũng có the áp dụng tı́nh chat sau

lim

→ ( ) = 0 ⇔ lim

→ | ( )| = 0

Khi đó,

Chứng tỏ 0 ≤ lim

→ | | = 0, vậy lim

1.3 Định nghĩa chính xác về giới hạn của hàm số

Đe đi đen định nghı̃a chı́nh xác của giới hạn, chúng ta xét hàm

De thay, khi x đủ ga n 3 và x ≠ 3 thı̀ ( ) ga n bang 5, vı̀ vậy lim

Đe xem xét việc f(x) da n đen 5 như the nào khi x da n ve 3, ta đi tı̀m sự trả lời cho câu hỏi

Trang 8

Giá trị x phải gần 3 như thế nào để độ sai khác của f(x) với 5 nhỏ hơn ε = 0.1?

Khoảng cách từ x tới 3 là | − 3|, và khoảng cách từ ( ) tới 5 là | ( ) − 5| Vı̀ vậy, chúng ta đi tı̀m so δ > 0 sao cho | ( ) − 5| < 0.1 khi | − 3| < và x ≠ 3

Neu x ≠ 3 thı̀ 0 < | − 3|, vı̀ vậy mệnh đe trên tương đương với

| ( ) − 5| < 0.1 ℎ 0 < | − 3| <

Ta có | ( ) − 5| = |2 − 1 − 5| = 2| − 3|

Đe | ( ) − 5| < 0.1 thı̀ 0 < | − 3| < 0.05

Vậy f(x) sai khác 5 một lượng ε = 0.1 khi x sai khác 3 một lượng nhỏ hơn δ = 0.05 Tương tự, neu ta thay ε = 0.01, ta sẽ tı̀m được δ = 0.005 đe cho neu x sai khác với 3 một lượng nhỏ hơn δ thı̀ f(x) sai khác 5 một lượng nhỏ hơn ε

| ( ) − 5| < nếu 0 < | − 3| <

Tong quát, ta thay rang, so δ có the lay là ε/2, tức là δ phụ thuộc ε

| ( ) − 5| < nếu 0 < | − 3| < = ε/2 Định nghĩa 1 Giả sử ( ) xác định trong một lân cận nào đó của a, có the loại trừ tại a Ta nói

( ) có giới hạn là L khi x da n tới a, và viet lim

→ ( ) = , neu

∀ > 0, ∃ > 0 | 0 < | − | < ⇒ | ( ) − | <

Người ta còn gọi đây là định nghı̃a giới hạn theo "ngôn ngữ − "

Các bước tìm giới hạn của f(x) khi x → a

(a) Dự đoán giới hạn của f(x) khi x → a là L (b) Với ε > 0, xuat phát từ bat đa ng thức | ( ) − | < , bien đoi tương đương hoặc tı̀m đie u kiện đủ, da n tới bat đa ng thức 0 < | − | < (ε), trong đó B(ε) là một bieu thức da n ve 0 khi ε → 0 Chọn δ ≤ B(ε)

(c) Chı̉ ra rang, với ε và δ vừa chọn thı̀ mệnh đe sau là đúng

∀ > 0, ∃ > 0 | 0 < | − | < ⇒ | ( ) − | <

Ví dụ 1 Tı̀m giới hạn của ( ) = − 2 + 1 khi x → 2

Lời giải (a) Dự đoán giới hạn là L = 1

(b) | ( ) − 1| < ⇔ | − 2 | < ⇔ | || − 2| <

Vı̀ x → 2 nên khi 1 < x < 3 thı̀

| || − 2| < ⇐ 0 < 3| − 2| < ⇔ 0 < | − 2| < /3

(c) Như vậy ta đã chứng minh được rang

∀ > 0, ∃ = /3 > 0 | 0 < | − 2| < ⇒ | ( ) − 1| <

Theo định nghı̃a, ( ) = − 2 + 1 → 1 khi x → 2

Tương tự, ta có định nghı̃a chı́nh xác ve giới hạn một phı́a và giới hạn vô cùng

Định nghĩa 2

Trang 9

Định nghĩa 3 Giả sử f(x) xác định trong một lân cận của a, có the loại trừ tại a Ta nói f(x)

da n

tới dương vô cùng khi x da n tới a, và ta viet lim → ( ) = ∞, neu với mọi so dương

M,

luôn tı̀m được so δ > 0 sao cho neu 0 < | − | < thı̀ ( ) >

Định nghĩa 4 Giả sử f(x) xác định trong một lân cận của a, có the loại trừ tại a Ta nói f(x)

da n

tới âm vô cùng khi x da n tới a, và ta viet lim → ( ) = −∞, neu với mọi so dương M, luôn tı̀m được so δ > 0 sao cho neu 0 < | − | < thı̀ ( ) < −

1.4 Sự liên tục của hàm số

Định nghĩa 1 Hàm ( ) được gọi là liên tục tại a neu lim → ( ) = ( )

Như vậy, đe f(x) liên tục tại a thı̀ ba đie u kiện sau phải la n

lượt thỏa mãn:

1 Hàm f(x) xác định trong một lân cận của a, ke cả tại a

2 To n tại giới hạn của f(x) khi x → a, lim → ( )

Ta nói hàm f(x) gián đoạn tại a [hay a là điem gián đoạn

của hàm f(x)] neu f(x) không liên tục tại a

Định nghĩa 2 Giả sử a là điem gián đoạn của f(x) Khi đó ta nói a là điem gián đoạn

(a) loại khử được neu lim → ( ) = lim → ( ) (b) loại 1 neu lim → ( ) ≠ lim → ( ) (cùng to n tại nhưng khác nhau) (c) loại 2 trong các trường hợp còn lại

Định nghĩa 3 Hàm f(x) được gọi là

(a) liên tục trái tại a neu lim → ( ) = ( )

(b) liên tục phải tại a neu lim → ( ) = ( )

Như vậy, hàm f(x) liên tục tại a ⇔ liên tục trái và liên tục phải tại a

Định nghĩa 4 Hàm f(x) được gọi là

(a) liên tục trên khoảng mở (a, b) neu nó liên tục tại mọi x0 ∈ (a, b)

(b) liên tục trên khoảng đóng [a, b] neu nó liên tục trên khoảng mở (a, b), đo ng thời liên tục phải tại a và liên tục trái tại b

Định lý 1 Neu các hàm f(x) và g(x) cùng liên tục tại a thı̀ các hàm sau cũng liên tục tại a:

Định lý 2 Các hàm sau đây đe u liên tục trên mie n xác định của nó:

Đa thức Phân thức hữu tỷ Căn thức

Trang 10

Các hàm lượng giác và các hàm ngược của chúng Các hàm mũ Các hàm logarithm

Định lý 3 Neu hàm liên tục tại b và lim → ( ) = thı̀ lim → ( ) = ( )

→ arcsin √ Lời giải Khi x → 1 thı̀ x ≠ 1 nên √

√ √ =

√ →

lim

Định lý 4 Neu liên tục tại a và liên tục tại ( ) thı̀ hàm hợp ∘ liên tục tại a Định lý 5 Neu liên tục trên [a, b] và N là giá trị nam trong khoảng giữa f(a) và f(b) thı̀

Hệ quả Neu liên tục trên [a, b] và ( ) ( ) < 0 thı̀ to n tại c ∈ (a, b) đe ( ) = 0 Tức là phương trı̀nh ( ) = 0 có nghiệm trong khoảng (a, b)

Ví dụ 2 Tı̀m nghiệm ga n đúng của phương trı̀nh 4 − 6 + 3 − 2 = 0 trên [1, 2] Lời giải Ta thay rang (1) = −1 và (2) = 12 nên phương trı̀nh có nghiệm trên [1, 2]

Ta tı́nh giá trị f(c) với c là trung điem của [a, b] Neu f(c) < 0, tức trùng dau với f(a) thı̀

ta đặt a = c, trái lại đặt b = c, tức là thu hẹp đoạn chứa nghiệm lại Lặp lại quá trı̀nh trên cho tới khi hiệu b – a đủ nhỏ

Quá trı̀nh tı́nh được the hiện trong bảng dưới đây

Sau 11 bước lặp nhận được a = b = 1.221 (làm tròn 3 chữ so), vậy nghiệm xap xı̉ là 1.221

1.50

1.25

3

1.12

10 1.221 1.222 1.221 0.000

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	616,43 KB