Chương 2: GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ pot

Từ hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn vừa nêu ở trên, ngời tachứng minh đợc hai giới hạn sau đây tồn tại và đợc gọi là hai giới hạn cơ 2.7.. Định nghĩa sự liên tục của hàm số..  Hàm fx khô

ơng 2 Giới hạn và sự liên tục của hàm số

2.1 Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x tiến dần tới a (a hữu hạn).

2.1.1 Định nghĩa 2.1 Hằng số b (hữu hạn) đợc gọi là giới hạn của hàm f(x) khi x tiến dần tới a (x  a) nếu: Với mỗi  > 0, tồn tại một số  > 0 ( phụ thuộc a, b, f(x) và ) sao cho với mọi x mà: 0 <xa< ) thìf(x) b< .

  ( V(b)), ( V(a) x  V(a) \a)  f(x)  V(b).

(vẽ hình Viết( > 0), ( > 0 ) cho gọn, nhng không đợc hiểu tồn tại  > 0 chung cho mọi  > 0 mà phải hiểu là  phụ thuộc ).

Với mỗi  > 0 cho trớc, đặt  =  >0 Khi đó, ta có:

( > 0), ( =  > 0 x: 0 <x a< ) sin x  sin a< .(đpcm)

Chú ý 2.1 Trong chơng trình phổ thông, ngời ta định nghĩa  

2.1.2 Định lý về sự tồn tại duy nhất của giới hạn.

Định lý 2.1: Nếu hàm f(x) có giới hạn hữu hạn khi x  a (a hữu hạn) thì giới hạn đó là duy nhất.

Nhận xét 2.1. Từ chú ý 2.1 và định lý 2.1 ta có kết luận sau: Nếu tồn tại hai dãy xk  a (khi k  ), yk  a (khi k  ) mà f(xk)  b (khi k  ),

f(yk)  b1 (khi k  ) và b  b1 Thì không tồn tại  

Định lý 2.2 (Định lý về điều kiện cần và đủ để tồn tại giới hạn).

Điều kiện cần và đủ để tồn tại  

2.2 Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x   ( , )

Định nghĩa 2.3 Hằng số b (hữu hạn) đợc gọi là giới hạn của hàm f(x) khi x  nếu: Với mỗi  > 0, đều tồn tại một số  > 0 ( phụ thuộc b, f(x) và  )

sao cho với mọi x >  thì f(x)  b<  Ký hiệu là:  

(ii) Chứng minh rằng:

x

x lim

nào đó) đợc gọi là một quá trình

(ii) Đại lợng u(x) là đại lợng không bị chặn khi x a

nếu với mọi số M > 0, mọi V( a) đều tồn tại x0  V( a)\ a sao cho  u(x0) > M

Ví dụ 2.10  u(x) = cosx, v(x) = sinx là các ĐLBC trong bất kỳ quá trình

Định nghĩa 2.5 Đại lợng (x) đợc gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x  a

 (x) = 0 (x) là VCB trong mọi quá trình

 (x) = b  0 (x) không phải là VCB trong bất kỳ quá trình nào

Nhận xét 2.4

(i) Qua ví dụ 2.11 ta thấy một đại lợng có thể là VCB trong quá trìnhnày mà không phải là VCB trong quá trình khác Vì vậy, khi nói đến mộtVCB phải nói rõ trong quá trình nào

(ii) Một VCB trong một quá trình cũng là ĐLBC trong quá trình đó

2,

Điều này chứng tỏ (x) (x) cũng là VCB khi x  a.(đpcm)

Hệ quả 2.1.1 Tổng của hữu hạn các VCB trong cùng một quá trình cũng là một VCB trong quá trình đó.

Tính chất 2.2 Nếu (x) là VCB khi x  a, u(x) là ĐLBC khi x  a  thì

Điều kiện cần và đủ để hàm f(x) có giới hạn hữu hạn bằng b khi x 

a  là f(x) đợc viết dới dạng f(x) = b (x), trong đó (x) là VCB khi x  a

  

 

x a

x lim

Vậy (x) = x2  2x, (x) = x là các VCB cùng cấp khi x  0

(ii) (x) = 3x sin x, (x) = x đều là các VCB x  0 Có:

Vậy (x) = 3xsin x là VCB bậc cao hơn (x) = x khi x  0

(iii) (x) = 2x2  x, (x) = x đều là các VCB khi x  0 Có:

 0

1 nªn kh«ng tån t¹i

x

lim x

 0

1

VÝ dô 2.16 NÕu f(x) cã giíi h¹n v« h¹n khi xa Th× f(x) lµ VCL khi x a

  



4

x lim

x

  1 4 1

Vậy (x) = x  4 là VCL tơng đơng với (x) = x khi x  .

(iii) (x) = 2x2  x, (x) = x đều là các VCL khi x   Có:

 

 

x

x lim

tính chất của hàm số có giới hạn

2.6.1 Các phép tính về giới hạn.(chỉ nêu phép tính không chứng minh)

Định lý 2.3 Nếu tồn tại các giới hạn    

Định lý vẫn đúng khi có ít nhất một trong các số b và k là số vô hạn.

Chứng minh (Ta chứng minh cho trờng hợp thứ nhất, các trờng hợp còn lạichứng minh tơng tự)

Định lý vẫn đúng khi có ít nhất một trong các số b và k là số vô hạn.

Nhận xét 2.5 Nếu (x), (x), u(x), v(x) đều là các VCB hoặc đều là các VCLkhi x  a; (x)  (x) khi x  a; u(x)  v(x) khi x  a và tồn tại:

v x







Nghĩa là khi tính các giới hạn có dạng 0

0(hoặc 

) ta có thể thay thếmột VCB bằng một VCB khác tơng đơng với nó (hoặc một VCL bằng mộtVCL khác tơng đơng với nó)

Ví dụ 2.18 Cho Pn(x) = a0 xn  a1 xn 1  a2 xn 2   an1 x , trong đó a0,

a1 , , an1 là các hằng số với a0, an1 0 Chứng minh rằng:

 Một đa thức theo x tơng đơng với số hạng có bậc thấp nhất khi x0 Vì vậy, ta có:

Ví dụ 2.19 (i) f(x) =

x2

1 > 0 (x  V4()) Nhng

x lim x

Tính chất 2.9 Nếu hàm số f(x) có giới hạn hữu hạn khi x  a* thì f(x) là

đại lợng bị chặn khi x  a* Điều ngợc lại không đúng

2.6.3 Hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn (phát biểu, không chứng minh).

Tiêu chuẩn 1 Nếu tồn tại các hàm f1(x), f2(x) và tồn tại lân cận V  a

(ii) Nếu f(x) đơn điệu giảm và bị chặn dới bởi m khi x  a(hoặc  ) thì tồn tại giới hạn của f(x) khi x  a (hoặc  ) đồng thời giới hạn đó  m.

(iii) Nếu f(x) đơn điệu tăng và bị chặn dới bởi m khi x a (hoặc  ) thì tồn tại giới hạn của f(x) khi x  a (hoặc  ) đồng thời giới hạn đó  m.

(iiii) Nếu f(x) đơn điệu giảm và bị chặn trên bởi M khi xa(hoặc  ) thì tồn tại giới hạn của f(x) khi x a(hoặc ) đồng thời giới hạn đó  M.

Nhận xét 2.7. Từ hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn vừa nêu ở trên, ngời tachứng minh đợc hai giới hạn sau đây tồn tại và đợc gọi là hai giới hạn cơ

2.7 Sự liên tục của hàm số

2.7.1 Định nghĩa sự liên tục của hàm số.

Định nghĩa 2.10 Hàm f(x) đợc gọi là liên tục tại x0 nếu    

x lim f x x f x

0

0 .

Định lý 2.5 Điều kiện cần và đủ để hàm f(x) liên tục tại x 0 là tại điểm x 0

f(x) thoả mãn các điều kiện sau:

Định lý 2.6 Điều kiện cần và đủ để hàm f(x) liên tục tại x 0 là f(x) vừa liên tục bên trái tại x 0 vừa liên tục bên phải tại x 0

Định nghĩa 2.13

 Hàm f(x) không liên tục tại x0 thì đợc gọi là gián đoạn tại x0 và

điểm x0 đợc gọi là điểm gián đoạn của hàm số

 Nếu x0 là điểm gián đoạn của hàm f(x) Đồng thời các giới hạn

 Hàm số liên tục tại x = 1

(ii) Với giá trị nào của f(2) thì hàm f(x) = x

2 liên tục tại x = 2?

Để hàm số liên tục tại x = 2 thì:

f(2) =lim f xx   limx x lim xx  x 

Với giá trị nào của a thì hàm f(x) liên tục tại x = 3?

 Để hàm số liên tục tại x = 3 thì 3a  1 = 7  a = 2

(iiii) Xét sự liên tục của hàm f(x) = x

 f(x) gián đoạn loại 1 tại x = 0.

Nhận xét 2.8 Trong ví dụ 2.21 (iii) đợc thay bởi:

2 3 Xét sự liên tục của hàm f(x) tại x = 3

Thì làm nh ví dụ 2.21 (iii) ta đợc: Với a = 2 hàm số liên tục tại x = 3,

với a  2 thì hàm số gián đoạn loại 1 tại x = 3

2.7.2 Các phép tính về hàm liên tục (chỉ nêu, không chứng minh)

Định lý 2.7 Nếu f(x), g(x) là những hàm liên tục tại x0 thì các hàm: f(x)g(x), f(x) g(x), f(x) g(x) cũng liên tục tại x0 (trong phép chia thì g(x0) 0).

Định lý 2.8 Nếu f(x) liên tục tại x0 , g(y) liên tục tại f(x0) thì g[f(x)] liên tục

tại x0

Định lý 2.9 Nếu hàm y = f(x) xác định, tăng hoặc giảm và liên tục trên miền X; có miền giá trị Y Thì tồn tại duy nhất hàm ngợc x = g(y) xác định, tăng hoặc giảm và liên tục trên miền Y; có miền giá trị X.

2.7.3 Tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn.

Định lý 2.10 (Bolzano-Cauchy) Nếu y = f(x) liên tục trên[a; b] (a, b hữu hạn) và  là một giá trị trung gian của hàm số trên [a; b] Thì tồn tại c

[a; b] sao cho: f(c) = 

nghĩa của định lý Nếu hàm y = f(x) liên tục trên [a; b] (a, b hữu hạn) và

  f(x) : x [a; b] (tập giá trị của hàm số trên [a; b]) Thì đờng thẳng y =

 cắt đồ thị hàm y = f(x) tại ít nhất một điểm Hay nếu hàm y = f(x) liên tục trên [a; b] (a, b hữu hạn) thì đồ thị hàm y = f(x) trên [a; b] là một đờng liền

m = f(x1 )  f(x)  f(x2) = M (x [a; b]).

2.7.4 Sự liên tục của hàm số sơ cấp cơ bản và hàm số sơ cấp. (chỉ nêu,không chứng minh)

Nhận xét 2.9  Việc xét sự liên tục của hàm số tại một điểm chính là tính

giới hạn của hàm số khi x tiến dần đến số đó; theo các định lý 2.7, 2.8 và 2.9 thì các phép tính về hàm số bảo toàn tính liên tục của hàm số.

 Các hàm số sơ cấp cơ bản liên tục trên miền xác định của nó Vì vậy, một

hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó.

Ví dụ 2.22 Xét sự liên tục của hàm:

(i) Nếu a 2 = b 1  a = b  1 Thì hàm f(x) liên tục trên ()

(ii) Nếu a 2  b 1  a  b  1 Thì hàm f(x) liên tục tại mọi x  1, liên tục bên trái tại x = 1 và gián đoạn loại 1 tại x = 1.

2.7.5 Các công thức tơng đơng

Nhận xét 2.10 Từ giới hạn cơ bản thứ nhất

x

sin x lim

(ii)

x

cos x lim

x





2 0

1

=

x

x sin lim

x



2 0

2

2 =

x

x lim x

122

Ví dụ 2.23. Tính (i)

x

tgx lim x

 0

, (ii)

x

x lim x

Nghĩa là nếu các f(x) và h(y) hàm liên tục thì có thể chuyển việc tính

giới hạn ở ngoài hàm h(.) vào trong hàm h(.)

Vì hàm logarit là hàm số sơ cấp cơ bản nên nó liên tục tại mọi điểm

thuộc miền xác định của nó Do đó, theo nhận xét 2.12 ta có: a 

Nhận xét 2.13. Vì loga(1 x) và x đều là các vô cùng bé khi x  0 nên giới

hạn trong ví dụ 2.24 có dạng 0 Từ kết quả của ví dụ 2.24 và định nghĩa so

loga(1 x)  x

ln a

1 khi x  0; ln(1 x)  x khi x  0

Do đó:

x

x

a lim

ax 1  x lna khi x  0, ex 1  x khi x  0

(ii) Từ các nhận xét 2.12, 2.13 và phần (i) của nhận xét này ta có:

Gi¶i (i) V× 52x 1 vµ x lµ c¸c v« cïng bÐ khi x  0 vµ 52x 1  2x ln5 khi x

Nhận xét 2.15. Vì (1 x) 1 và x đều là các vô cùng bé khi x  0 nên giới

Nhận xét 2.16 Các công thức tơng đơng đã trình bầy trong chơng này chỉ

đúng khi x  0 Vậy khi tính  

Giải (i)

x

x lim

0

2233

giới hạn của tích hoặc thơng của các VCB (hoặc VCL) thì áp dụng đợc nhận xét 2.5.

Tuy nhiên, đối với phép cộng (hoặc trừ) việc thay thế đó cần phải thận trọng Chẳng hạn, nếu a(x) = b(x) mà ta thay  (x)  (x) bởi a(x)  b(x) = 0 khi x  a thì không đợc vì nh vậy ta đã thay thế VCB  (x)  (x) bởi số 0

khi x  a (mặc dù số 0 cũng là VCB khi x  a nhng không tơng đơng với

 (x)  (x) khi x  a) Thậm chí, ngay cả trong trờng hợp a (x)  b(x) có

khi cũng không áp dụng đợc nhận xét 2.5 Các ví dụ sau đây khẳng định

Lêi gi¶i sau ®©y lµ lêi gi¶i sai:

Do tg x  x khi x  0, sin x  x khi x  0 nªn

NhËn xÐt 2.18. Víi bµi to¸n trong vÝ dô 2.32, ta thêng gÆp c¸ch gi¶i sau:

NÕu a = b th× giíi h¹n kh«ng tån t¹i

Nếu a  b Vì eax 1  ax, ebx 1  bx, sinax  ax, sinbx  bx khi x 

đề cập đến trong một dịp khácchuoi lam ~~).

Bài tập Tính các giới hạn sau: a)

3 0

x



2 0