CHƯƠNG 2 GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ potx

HÀM SỐ LIÊN TỤC Mở đầu.. HÀM SỐ LIÊN TỤC Định nghĩa.. Ta có đặc trưng cho tính liên tục bằng giới hạn tại các điểm tụ như sau: Mệnh đề 2.2.1.. Mệnh đề trên được suy trực tiếp từ định ng

GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

§2.2 HÀM SỐ LIÊN TỤC Mở đầu Khi x x thì * 3x có tiến về 3x* hay không? Nếu có thì tại sao? Vấn đề này mở đầu cho khái niệm hàm số liên tục

1 HÀM SỐ LIÊN TỤC

Định nghĩa Xét hàm số :f D với D là một tập con không rỗng của Hàm số f được gọi là liên tục tại x thuộc D có nghĩa là

0, 0, t D, nếu t x thì ( )f t f x( ) (1)

Trường hợp f liên tục tại mọi x thuộc D thì ta nói f liên tục trên D, hoặc nói vắn tắt là f liên tục

Hàm số f được gọi là liên tục đều trên D có nghĩa là

0, 0, ,t x D, nếu t x thì ( )f t f x( ) (2)

Ta cần phân biệt rõ là trong định nghĩa (1),  tồn tại trên cơ

sở x và  được cho trước; còn trong định nghĩa (2),  chỉ phụ thuộc vào

mỗi , lúc đó x, t tự do

Ta có đặc trưng cho tính liên tục bằng giới hạn tại các điểm tụ như sau:

Mệnh đề 2.2.1 Cho : f D và x là điểm tụ của D, đồng thời x thuộc D Khi đó, f liên tục tại x nếu và chỉ nếu lim ( ) ( )

Mệnh đề trên được suy trực tiếp từ định nghĩa của tính liên

tục và của giới hạn hàm số Ngoài ra, khi x thuộc D nhưng x không là điểm tụ của D thì mặc nhiên f sẽ liên tục tại x (sinh viên tự kiểm

chứng điều này)

Ngoài ra, ta cũng có đặc trưng tính liên tục của hàm số thông qua dãy hội tụ như sau

Mệnh đề 2.2.2 Hàm số : f D liên tục tại x thuộc D nếu và chỉ nếu ứng với mọi dãy ( )x n D hội tụ về x, ta có dãy f x( )n hội tụ về f(x)

2

Chứng minh Nếu f liên tục tại x, nghĩa là ta có (1), thì với dãy bất

kỳ ( )x n D hội tụ về x, tồn tại số p sao cho n p x, n x

Do đó n p f x, ( )n f x( ) nghĩa là f x( )n f x( )

Ngược lại, nếu f không liên tục tại x, nghĩa là không có (1),

thì ta chứng minh có một dãy ( )x n D hội tụ về x, nhưng f x( )n lại

không tiến về f(x) khi n Thật vậy, phủ định (1) là

0, 0, x D x, x và ( )f x f x( ) Suy ra, với mỗi n *, xét 1 / n thì

1

n

Vậy ta có dãy ( )x n D hội tụ về x, nhưng f x( )n lại không tiến về

f(x) khi n Kết thúc chứng minh ■

Nhận xét Theo mệnh đề 2.2.2 ở trên, khi chứng minh f không liên

tục tại điểm x* thuộc miền xác định, ta chỉ cần chỉ ra một dãy (x n)

chứa trong miền xác định hội tụ về x*, nhưng dãy (f(xn)) không hội tụ

về f(x*)

Với các tính chất của dãy hội tụ kết hợp với mệnh đề 2.2.2, ta có tính liên tục của các hàm tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp như sau:

Mệnh đề 2.2.3 Xét các hàm số , : f g D Nếu f và g liên tục tại

x D (hoặc liên tục trên D) thì các hàm f g f g cũng liên tục tại ,

x (hoặc liên tục trên D) Ngoài ra, khi ( ) g x 0 thì hàm f/g cũng liên tục tại x, suy ra hàm số f/g liên tục trên tập hợp { x D g x/ ( ) 0}

Mệnh đề 2.2.4 Xét các hàm số D1 f D2 g Nếu f liên tục tại x D1 và g liên tục tại y f x( ) D2 thì hàm hợp

( )

g f g f liên tục tại x Suy ra nếu f liên tục trên D 1 và g liên tục trên f D( )1 D2 liên tục trên D1

3

2 TÍNH CHẤT HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN

Định lý 2.2.5 [Định lý Weierstrass về hàm số liên tục] Giả sử f là

hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a, b], với , a b Khi đó, (i) f là hàm số bị chặn trên đoạn [a, b], nghĩa là, tập hợp f([a, b]) là một tập con bị chặn của

(ii) f đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên [a, b], nghĩa là, tồn tại

*

*, [ , ]

x x a b sao cho

*

* [ , ], ( ) ( ) ( )

x a b f x f x f x

( ) min ( ) và ( ) max ( )

Chứng minh (i) Giả sử phản chứng tập hợp f([a, b]) không bị chặn,

nghĩa là,

0, M [ , ], ( M)

Khi đó, với mỗi n *, xét M = n ở trên, ta nhận được một dãy

( ) [ , ]x n a b thỏa tính chất n *, ( )f x n n Từ định lý

Bolzano-Weierstrass, (x n) có dãy con [ , ]

k

n

x x a b khi k Mặt khác f liên tục tại x nên ( ) ( )

k

n

f x f x khi k , suy ra

k

n

f x f x khi k Điều này mâu thuẫn với sự kiện

, ( )

k

k f x n k

(ii) Do tính bị chặn của f, ta đặt sup ( )

a x b

M f x Từ đặc trưng của sup,

ta có điều sau đây

n

Nghĩa là ta có dãy ( ) [ , ]x n a b thỏa f x( )n Mkhi n Mặt

khác, cũng từ định lý Bolzano-Weierstrass, (x n) có dãy con

* [ , ]

k

n

x x a b khi k Do f liên tục nên ta suy ra

4

*

k

n

f x f x , nghĩa là f x( )* M

Chứng minh tương tự, f cũng đạt giá trị nhỏ nhất trên [a, b] ■

Định lý 2.2.6 [Định lý giá trị trung gian của hàm số liên tục]

(i) Nếu f liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại c ( , )a b sao cho f(c) = 0

(ii) Nếu f liên tục trên [a, b] thì ([ , ]) f a b [ , ]m M với m và M giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f trên [a, b]

Chứng minh (i) Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử

f a f b (trường hợp ngược lại thì thay f bởi f ) Xét hai dãy (a n ) và (b n ) chứa trong [a, b] được định nghĩa bằng quy nạp như sau:

1 ; 1 ,

1

2

n n

a

f

và

1

2

n n

b

f Khi đó (a n ) là dãy tăng, (b n) là dãy giảm và ta có

1

2

b a

Suy ra, hai dãy (a n ) và (b n) có cùng giới hạn c [ , ]a b và từ tính liên tục của f, ta suy ra

lim ( )n ( ) 0 và lim ( )n ( ) 0,

do đó ( )f c 0, và dĩ nhiên c a b ,

(ii) Theo định lý 2.2.5, f đạt giá trị nhỏ nhất m và lớn nhất M, với

f x m f x M x x a b Hiển nhiên ([ , ]) [ , ].f a b m M

5

Tiếp theo, ứng với y bất kỳ thuộc (m, M), hàm số F định bởi

[ , ], ( ) ( )

x a b F x f x y sẽ thỏa *

* ( ) ( ) 0

F x F x Theo chứng minh

(i) thì tồn tại giá trị c nằm giữa *

* và

x x thỏa ( ) F c 0, hay là ( )

f c y Vậy y f a b Do y là bất kỳ thuộc (m, M) nên ([ , ])

( , )m M f a b Vậy ([ , ])([ , ]) f a b [ , ].m M ■

Định lý 2.2.7 Cho : [ , ] f a b là hàm số liên tục Khi đó f liên tục đều trên [a, b]

Chứng minh Giả sử phản chứng là f liên tục nhưng không liên tục

đều trên [a, b], lúc đó

0, 0, x x, [ , ],a b x x và ( )f x f x( ) Vậy với mỗi n *, xét 1 / n như trên thì ta có hai dãy

( ) và ( )x n x n chứa trong [a, b] thỏa n n 1

n

x x và f x( )n f x( )n

với mọi n * Theo định lý Bolzano-Weierstrass, ( ) và ( )x n x n lần lượt có các dãy con [ , ]

k

n

k

n

x x a b Từ bất đẳng

k

n dùng định lý kẹp, ta suy ra

x x và do tính liên tục của f, ( ) ( )

k

n

f x f x và

k

n

Bài tập

1 Chứng minh lim3 3

t x t x, nói cách khác ánh xạ x 3x liên tục trên

2 Chứng minh limsin sin ,

t x t x nói cách khác hàm sin liên tục trên

3 Chứng minh lim cos cos

t x t x Suy ra các hàm số tan, cot liên tục trên miền xác định của nó

4 Hãy khảo sát tính liên tục của các hàm sau tại x*:

a) Hàm số :f định bởi

6

x

b) Hàm số :f định bởi

x

c) Hàm số :f định bởi

x

x

d) Hàm số f định bởi f x( ) x , trong đó [x] là phần nguyên của số thực x, với x* 2

e) Hàm số :f định bởi ( ) 1 nếu

0 nếu

x

f x

x , với x

* tùy ý

5 Chứng minh hàm số f định bởi f x( ) x2 liên tục, nghĩa là

t x x t nhưng f không liên tục đều trên Suy ra tích của

hai hàm số liên tục đều trên D không hẳn là liên tục đều

6 Chứng minh hàm số f định bởi f x( ) 1

x liên tục, nhưng f không

liên tục đều trên (0, )

7 Chứng minh hàm số f định bởi f x( ) 1

x liên tục đều trên

[1, )

8 Cho :f D D, với D , là hàm số tăng, nghĩa là

, , nếu thì ( ) ( )

x y D x y f x f y Cho u1 D và đặt

1 ( )

u f u Chứng minh dãy số (u n) đơn điệu Nếu thêm giả

thiết D = [a, b] và f liên tục thì chứng minh dãy (u n ) hội tụ về L thỏa L = f(L)