Hinh thanh ky nang giai toan dao ham cho hoc sinh THPT

1.2 Chương trình Toán trường trung học phổ thông chỉ rõ “Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của toán học cần

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

1.1 Điều 24 Luật Giáo dục quy định “Phương pháp giáo dục phổ thông

phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động…, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

1.2 Chương trình Toán trường trung học phổ thông chỉ rõ “Môn Toán

phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống…, rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn giảncuar thực tiễn, phát triển khả năng suy luận có lý, hợp logic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp cận và biểu đạt các vấn đề một cách chính xác…”

1.3 Đối với HS trung học phổ thông, kĩ năng giải Toán thường thể hiện

ở khả năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán Việc lựa chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựa vào việc nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều khá quan trọng là hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn toán học khác nhau trong chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phương pháp giải tốt nhất cho bài toán đặt ra

1.4 Dạy Toán ở trường phổ thông không chỉ là dạy kiến thức, mà còn

dạy cả kĩ năng, tư duy và tính cách Trong các nhiệm vụ đó, việc hình thành

và phát triển cho HS các kỹ năng toán học là rất quan trọng, bởi vì không có

kĩ năng thì không phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng được yêu

cầu giải quyết vấn đề Tác giả Trần Khánh Hưng cho rằng: “Kĩ năng là một trong những yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ giữa học và hành Dạy học sẽ không có kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc các định nghĩa, định

lí mà không biết vận dụng giải toán”

1.5 Chủ đề “Đạo hàm và ứng dụng đạo hàm” là một trong những chủ

đề rất quan trọng của chương trình Toán bậc trung học phổ thông, nó chiếm một lượng kiến thức cũng như thời gian với tỷ lệ khá lớn so với chương trình môn Giải tích, đồng thời đây là chủ đề được ứng dụng rộng rãi trong toàn bộ chương trình Đại dố và Giải tích, trong nhiều dạng toán, trong khảo sát kết quả năng lực và kiến thức phổ thông, thông qua các kì thi tốt nghiệp THPT cũng như kì thi vào Đại học, cao đẳng

1.6 Khảo sát thực tiễn dạy học Toán ở nhà trường phổ thông cho thấy,

việc rèn luyện kỹ năng giải Toán cho HS tuy cũng đã được chú ý, nhưng tính

hệ thống và đầy đủ trong việc rèn luyện kĩ năng là chưa cao Giáo viên cho

HS giải nhiều bài toán, nhưng việc phân loại các kĩ năng mang tính đặc thù, cần thiết và tương ứng với các dạng bài toán cụ thể là chưa được thực hiện một cách hợp lí

- Học sinh còn gặp những khó khăn và sai lầm khi giải quyết các bài

toán thuộc chủ đề Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong môn Giải tích vì

thiếu những kĩ năng cần thiết

- Tuy đã có những đề tài nghiên cứu về kĩ năng, nhưng chưa có đề tài

nào nghiên cứu về kĩ năng giải toán Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong

chương trình Toán bậc THPT

Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:

“Hình thành kĩ năng giải toán chủ đề: Đạo hàm và ứng dụng đạo hàm cho học sinh các lớp cuối cấp Trung học phổ thông”.

2 Mục đích nghiên cứu:

Mục đích của luận văn là nghiên cứu những vấn đề liên quan tới kĩ năng

giải các bài toán thuộc chủ đề “Đạo hàm và ứng dụng đạo hàm” trong phân

môn Giải tích của HS các lớp cuối cấp THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Hệ thống hoá các cơ sở lý luận về kỹ năng; cơ chế hình thành kỹ năng và vai trò quan trọng của kỹ năng

- Đề xuất các căn cứ để xác định hệ thống những kỹ năng cơ bản và kĩ

năng đặc thù vận dụng trong quá trình giải toán chủ đề Đạo hàm và ứng dụng đạo hàm

- Làm sáng tỏ các kỹ năng cơ bản và kĩ năng đặc thù khi giải các bài toán

trong chủ đề Đạo hàm và ứng dụng đạo hàm

- Đề xuất các tư tưởng chủ đạo nhằm hình thành và phát triển kĩ năng

giải toán chủ đề Đạo hàm và ứng dụng đạo hàm cho HS các lớp cuối cấp THPT

- Làm sáng tỏ những khó khăn, sai lầm của HS cuối cấp THPT khi giải

Toán Đạo hàm và ứng dụng đạo hàm

- Thực nghiệm sư phạm

4 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu lý luận

- Điều tra, quan sát

- Thực nghiệm sư phạm

5 Đóng góp của luận văn:

Làm sáng tỏ các kỹ năng cơ bản và kĩ năng đặc thù, mang tính đầy đủ

và hệ thống trong quá trình giải các bài toán về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm; đề xuất các tư tưởng chủ đạo nhằm hình thành và rèn luyện cho HS cuối

cấp THPT các kĩ năng này

6 Giả thuyết khoa học:

Cần thiết làm sáng tỏ hệ thống các kỹ năng cơ bản, kĩ năng đặc thù vận dụng trong quá trình giải toán chủ đề Đạo hàm và ứng dụng đạo hàm Trên cơ

sở đó, có thể đề xuất các tư tưởng chủ đạo để hình thành và phát triển các kỹ

năng này, nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán ở trường THPT

CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN:

Chương I: Một số vấn đề cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1 Những vấn đề chung về phương pháp dạy học môn Toán và đổi mới phương pháp dạy học

1.1.1 Phương pháp dạy học môn Toán

1.1.2 Đổi mới phương pháp dạy học.

1.2 Kỹ năng Cơ chế hình thành kỹ năng Vai trò của kỹ năng.

1.2.1 Khái niệm kĩ năng.

1.2.2 Sự hình thành kĩ năng.

1.2.3 Vai trò của kĩ năng.

1.3 Chương trình môn Toán và chủ đề “Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm” trong phân môn Giải tích ở bậc Trung học phổ thông.

1.3.1 Chương trình môn Toán

1.3.2 Các nội dung rèn luyện kĩ năng giải toán chủ đề: “Đạo hàm và ứng dụng đạo hàm

1.4 Một số nét thực trạng trong việc hình thành cho học sinh kỹ năng

giải toán chủ đề “Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm”

1.5 Một số khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải toán chủ đề “Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm”

1.6 Kết luận Chương 1.

Chương II: Hình thành kỹ năng giải toán chủ đề “Đạo hàm và ứng dụng đạo hàm” cho học sinh các lớp cuối cấp Trung học phổ thông 2.1 Những căn cứ để xác định hệ thống các kỹ năng.

2.2 Hệ thống các kỹ năng

2.2.1 Kỹ năng 1: Tính toán đạo hàm và nắm vững bản chất của đạo

hàm

2.2.2 Kỹ năng 2: Vẽ và đọc đồ thị.

2.2.3 Kỹ năng 3: Nhận dạng, thể hiện và vận dụng các tri thức phương

pháp phù hợp để giải quyết vấn đề

2.2.5 Kỹ năng 4: Kỹ năng phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng

các sự tương ứng trong khi giải toán

2.2.6 Kỹ năng 5: Kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu lại bài

3.2 Tæ chøc vµ néi dung thùc nghiÖm

3.3 §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm

CHƯƠNG I MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ VÀ THỰC TIỄN 1.1 Những vấn đề chung về phương pháp dạy học môn Toán và đổi mới phương pháp dạy học.

1.1.1 Phương pháp dạy học môn Toán.

Môn Toán trong nhà trường phổ thông giữ một vị trí hết sức quan trọng

vị nó là môn học công cụ có tính trừu tượng và tính thực tiễn phổ dụng Những tri thức và kĩ năng toán học trở thành công cụ để học tập các môn học khác, đồng thời nó cũng là công cụ để nghiên cứu nhiều nghành khoa học khác, là công cụ để tiến hành các hoạt động trong cuộc sống Cùng với tri thức môn toán cung cấp cho học sinh những kĩ năng như vẽ hình, kĩ năng tính toán, kĩ năng đọc và vẽ biểu đồ, kĩ năng đo đạc ước lượng kĩ năng sử dụng các công cụ toán học và máy tính điện tử

Môn Toán còn hình thành cho sự phát triển những phương pháp , phương thức tư duy hoạt động như toán học hóa tình huống thực tế, thực hiện

và xây dựng thuật toán phát triển, phát hiện và giải quyết vấn đề

Ngoài việc cung cấp cho học sinh những kiến thức và kĩ năng toán học cần thiết, môn toán còn góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa Rèn luyện những đức tính phẩm chất người lao động mới đó là tính cẩn thận, tính chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo Bồi dưỡng óc thẩm mỹ…

Từ những đặc điểm và vị trí của môn Toán, trong quá trình dạy học, người thầy cần xác định rõ nhiệm vụ của việc dạy học toán đó là:

Truyền thụ khiến thức, kĩ năng vận dung toán học vào thực tiễn cụ thể

là cung cấp cho học sinh một hệ thống vững chắc những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thong, cơ bản và hiện đại sát với thực tiễn Theo tinh thần giáo dụ tổng hợp, đồng thời trau dồi cho học sinh khả năng vận dụng những hiểu biết toán học vào việc học tập các môn học khác, vận dụng vào đời sống lao động sản xuất, chiến đấu tạo tiềm lực tiếp thu khóa học kỉ thuật

- Phát triển năng lực trí tuệ chung

- Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và tính thẩm mỹ

- Bảo đảm chất lượng phổ thông, đồng thời chủ trọng phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu toán cho học sinh

- Để hoàn thành nhiệm vụ dạy học môn Toán người thầy cần chú trọng phối hợp nhiều phương pháp dạy học, nhiều hình thức truyền thụ kiến thức để đạt được những mục đích đề ra

1.1.2 Đổi mới phương pháp dạy học.

Đất nước ta nay giai đoạn công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước với mục tiêu đến năm 2010 Việt Nam sẽ từ một nước nông nghiệp về cơ bản trở thành một nước công nghiệp, hội nhập với cộng đồng quốc tế

Nhân tố quyết định thắng lợi công cuộc hiện đại hoá, công nghiệp hoá

và hội nhập quốc tế là con người là nguồn lực người Việt Nam Được phát triển về số lượng và chất lượng trên cơ sở mặt bằng dân trí được nâng cao Để đạt được điều đó thì phải bắt đầu từ giáo dục phổ thông, mà trước hết bắt đầu

từ việc xác định những yêu cầu đạt được

Hiện nay do sự phát triển nhanh, mạnh với tốc độ mạnh tính bùng nổ của khoa học công nghệ thể hiện sự ra đời nhiều lý thuyết, thành tựu mới cũng như khả năng ứng dụng thực tiễn cao, rộng và nhanh Học vấn mà nhà trường phổ thông trang bị là hết sức quan trọng Muốn vậy phải coi trọng việc dạy phương pháp, dạy cách đi tới kiến thức của bài mới Trên cơ sở đó tiếp tục học tập suốt đời

Nghị quyết số 40/TW/QH10 ngày 9/12/2008 Quốc hội khoá X về đổi mới chương trình giáo dục phổ thông đã khẳng định mục tiêu của đổi mới

chương trình giáo dục phổ thông: “Xây dựng nội dung, chương trình phổ thông giáo dục nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện thế hệ trẻ đáp ứng yêu cầu phát triển nguồn nhân lực phục vụ CNH – HĐH đất nước, phù hợp với thực tiễn và truyền thống Việt Nam, tiếp cận trình độ giáo dục phổ thông ở các nước phát triển trong khu vực và trên thế giới”.

Để đáp ứng được điều kiện trên thì việc dạy và học cần chủ trọng nhiều đến đổi mới phương dạy và phương pháp học, cũng như đổi mới chương trình sao cho phù hợp cho giai đoạn hiện nay

Đối với chương trình cần chủ trọng và quan tâm đến đối tượng giáo dục, tức là phù hợp với trình độ, tâm sinh lý, từng giai đoạn thay đổi của xã hội, từng vùng, miền…

Trong giai đoạn hiện nay, xã hội đòi hỏi con người có học vấn không chỉ có khả năng lấy từ trí nhớ các tri thức dưới dạng có sẵn đã lĩnh hội được ở trường phổ thông mà còn phải có năng lực chiếm lĩnh, sử dụng các tri thức mới một cách độc lập, khả năng đánh giá các sự kiện, các tư tưởng, các hiện tượng một cách thông minh sáng suốt khi gặp trong cuốc sống, trong lao động, quan hệ mọi người Nội dung học vấn trong nhà trường góp phần quan trọng để phát triển hứng thú và năng lực nhận thức của học sinh, cung cấp cho học sinh những kỉ năng cần thiết trong việc tự học sau này

Khi nghiên cứu về tâm sinh lý của học sinh Việt Nam hiện nay cho thấy có nhiều sự thay đổi, lí do là các em tiếp nhận nhiều nguồn thông tin đa dạng, phong phú về nhiều mặt của cuộc sống Các em hiểu biết nhiều hơn, linh hoạt và thực tế hơn so với thế hệ cùng lứa tuổi trước đây Đặc biệt đối với lứa tuổi học sinh THPT

Trong hướng dẫn thực hiện chương trình SGK lớp 12 môn Toán ghi rõ:

“Cách dạy truyền thống, thầy giảng dạy trò nghe, tiếp thu thụ động đã hạn chế hiệu quả của quá trình dạy và học Nếu tự tìm hiểu và phát hiện ra những

đặc trương,các quy luật thì kiến thức thu được sâu sắc và ứng dụng hiệu quả hơn nhiều cho việc học tập tiếp theo và cho việc ứng dụng thực tiễn Tìm kiếm các phương pháp học tập chủ động sáng tạo từ lâu đã là mong muốn của các nhà giáo dục trên thế giới…”

Tóm lại việc đổi mới phương pháp dạy học là hết sức cần thiết và cần phải quan tâm, nhất là đối với những người làm giáo dục Đổi mới thực hiện theo các xu thế sau:

- Đáp ứng được nhu cầu của sự phát triển kinh tế xã hội và cạnh tranh quốc tế trong tương lai

- Quan tâm nhiều hơn nữa trong việc rèn luyện sự phát triển tri thức cơ bản, hình thành và phát triển tri thức phê phán và tri thức phương pháp Rèn luyện các kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề Trong đó kĩ năng cơ bản, thói quen và năng lực tự học năng lực vân dung kiến thức vào cuộc sống được đặt lên hàng đầu Quá trình thực hiện đổi mới phương pháp dạy học nói chung và phương pháp dạy học toán nói riêng việc rèn luyện kĩ năng là hết sức quan trọng Bởi vì trong cuộc sống hàng ngày, trong từng vần đề cụ thể đòi hỏi con người phải có những kĩ năng làm việc, kĩ năng giải quyết các vấn

đề đặt ra

1.2 Kĩ năng.

1.2.1 Khái niệm kĩ năng.

Khi nghiên cứu khái niệm này ta có thể nhìn nó ở nhiều góc độ, nhiều lĩnh vực

Từ điển tiếng Việt cho rằng “ Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”.

Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kĩ năng là năng lực sử dụng các dự liệu, các tri thức hay khái niệm đã có Năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm

vụ lý luận hay thực hành”.

Dù phát biểu ở góc độ nào đi chăng nữa thì ta vẫn phải hiểu rằng kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức đã có (Khái niệm, cách thức, phương pháp) vào việc giải quyết nhiệm vụ được giao.

Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ta thấy việc vận dụng kiến thức đã học vào vào nhiệm vụ cụ thể học sinh thường gặp nhiều khó khăn bởi vì các

em không phát hiện được mối liên hệ giữa cái bản chất tri thức và đối tượng

Đối với HS trung học phổ thông, kĩ năng giải Toán thường thể hiện ở

khả năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán Việc lựa chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựa vào việc nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều khá quan trọng là hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các chương, các phân môn của toán học, các môn học khác trong chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phương pháp giải tốt nhất cho bài toán đặt ra

Ví dụ 1.1: Cho hàm số: y = 4x3 − 6x2 + 1

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến này

đi qua điểm M(-1; - 9)

Nhiều học sinh nhận xét: Vì điểm M thuộc đồ thị hàm số nên đã vận dụng phương pháp viết phương trình tiếp tuyến bởi công thức: y - y0 = y’(x0) (x - x0) Với x0 = -1 và y0 = -9, y’(-1) = 24 Phương trình tiếp tuyến tìm được là

y = 24x +15

Như vậy các đã hiểu sai bản chất của bài toán, mặc dù điểm M nằm trên đồ thị hàm số nhưng yếu cầu bài toán là viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị hàm số đi qua điểm M chứ không phải là tiếp tuyến tại điểm M

Để giải quyết bài toán này yêu cầu các em phải có kĩ năng phân tích Muốn tìm phương trình tiếp tuyến

rõ ràng là phải tìm tiếp điểm? Ở đây

điểm M thuộc đồ thị chỉ gợi cho ta

một tiếp điểm, liệu còn tiếp điểm

nào nữa không?

y

x0

Như vậy thầy giáo có thể mô tả cho HS qua đồ thị hàm bậc 3 Lúc này chúng ta lại phải yêu cầu các em có kĩ năng đọc đồ thị, kĩ năng phân tích suy luận …

1.2.2 Sự hình thành kỹ năng.

Sự hình thành các kỹ năng đó là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp các thao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp thu được từ đối tượng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hành động

Sự hình thành các kỹ năng xuất hiện trước hết như là những sản phẩm của những tri thức ngày càng được đào sâu Các kỹ năng được hình thành trên cơ sở lĩnh hội các khái niệm về các mặt và các thuộc tính khác nhau của đối tượng đang được nghiên cứu Con đường chính của sự hình thành các kỹ năng đó là dạy học sinh nhìn thấy những mặt khác nhau trong đối tượng, vận dụng vào đối tượng những khái niệm muôn hình, muôn vẻ diễn đạt các quan

hệ đa dạng của đối tượng này trong khái niệm

Trong dạy học hiện nay có thể dạy các kỹ năng cho học sinh bằng nhiều con đường khác nhau Chẳng hạn: Con đường dạy học nêu vấn đề, con đường dạy học Algôrit hoá hay dạy học trên cơ sở định hướng đầy đủ, dạy học sinh chính là hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc vận dụng tri thức Thông qua giải bài tập, thông qua nhiều hoạt động giáo dục khác…

1.2.2.1 Phân loại kỹ năng trong môn toán.

Có nhiều cách phân loại kỹ năng

Theo tâm lý giáo dục, người ta thường chia kỹ năng học tập cơ bản thành 4 nhóm:

a) Kỹ năng nhận thức

Kỹ năng nhận thức trong môn toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: kỹ năng nắm một khái niệm, định lý; kỹ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc, trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc,…

Hình1

Ví dụ 1.2: Khi học khái niệm đạo hàm GV cần hiểu đây là khái niệm

có tính chất kiến thiết vì vậy khái niệm này được thiết lập bởi các bài toán thực tế thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như cơ học (tính vận tốc tức thời), điện (tính cường độ dòng điện tức thời)… Các bài toán có bản chất khác nhau

đó cùng dẫn đến một bài toán học như nhau là tìm giới hạn dạng:

0

0 0

Ví dụ 1.3: Khi có định nghĩa đạo hàm thì học sinh sẽ rút ra được các

bước tính đạo hàm từ đó xây dựng quy tắc tính, qua quy tắc tính rút ra được công thức đạo hàm các hàm số cơ bản hoặc từ những công thức đã có

Từ (sinx)’= cosx, (f(u))’= f’u.u’x ta có thể tính đạo hàm của tất cả các hàm số mà biến đổi về dạng sinu Tính đạo hàm hàm số y = cosx (Khi chưa học đạo hàm hàm y= cosx) bằng cách biến đổi cosx = sin( -x)

c) Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức.

Chẳng hạn khi biết đồ thị hàm số bậc ba có tâm đối xứng hay đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương có trục đối xứng thì khi vẽ các đồ thị này nếu không có tính chất trên thì khẳng định ngay là chắc chắn đã tính sai và phải kiểm tra lại khâu tính toán

Từ bài toán có thể ban đầu chưa liên quan đến kiến thức về đạo hàm, nhưng khi giải quyết bài toán thì phải vận dụng kiến thức này

Gặp bài toán này các em cần phải huy động mọi kiến thức về giải hệ phương trình mà các em đã có rồi phân tích, nhận dạng, dự đoán và tiến hành tìm phương pháp giải thích hợp.

4

2 5 2

5 4 2

x

x y

mà biểu thức trong căn là số chính phương, hy vọng rằng HS tìm được x=

Khi đoán được nghiệm rồi có em dừng lại coi như bài toán đã giải xong, bởi vì các em thấy PT (*) phức tạp quá

Câu hỏi đặt ra là có cách nào chứng minh PT trên không còn nghiệm nào nữa không ?

Trả lời đó là phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Xét hàm số 4 2 25

Khi khảo sát hàm số điều quan trọng đầu tiên là gì? Miền xác định hàm số đó

2 ⇒ y = 2

⇒ Hệ có nghiệm duy nhất x = 1

2 và y = 2

d Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá.

Các tác giả: Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy lại xem xét kỹ năng học toán trên 3 bình diện: Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kỹ năng vận dụng toán học vào đời sống

Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá là bước cuối cùng của nhận thức, của kết quả của một quá trình học tập một vấn đề nào đó

1.2.2.2 Mối quan hệ giữa tư duy và kỹ năng.

Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành tư duy sự vật thì chủ thể thường biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra những khía cạnh, những thuộc tính mới Tất cả những điều này được ghi lại trong tri thức của chủ thể tư duy và được biểu hiện bằng các từ Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một mặt nào đó của đối tượng có ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán

đã cho ở đây mỗi bước, nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối tượng, thúc đẩy tư duy tiến lên, đồng thời quyết định bước tiếp theo sau của

tư duy Vì các khía cạnh mới của đối tượng được phản ánh trong các khái

niệm mới, tư duy diễn ra như là một sự diễn đạt lại bài toán nhiều lần

Có kĩ năng giải các bài toán là một trong những cơ hội tốt nhất để rèn luyện các thao tác tư duy như: Phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa và phát triển các phẩm chất tư duy như: Tính linh hoạt, tính độc lập, tính

sáng tạo, tính phê phán Ngoài các chức năng nêu trên, việc giải các bài toán còn là cơ hội hình thành ở HS thế giới quan duy vật biện chứng, các phẩm chất đạo đức, thẩm mĩ Nó cũng là công cụ cho phép kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh.

Mỗi bài toán cụ thể được đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học nói chung, trong một bài học nào đó nói riêng đều chứa đựng một cách tường minh hay ngầm ẩn những chức năng khác nhau Các chức năng này không bộc lộ một cách riêng lẻ, tách rời nhau mà trong mối quan hệ mật thiết với nhau Khi nhấn mạnh một chức năng cụ thể nào đó, ta muốn nói rằng, ở thời điểm đang xét chức năng này có vị trí trung tâm hơn so với các chức năng khác

Kỹ năng và tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhau: Kỹ năng là cơ sở

để tiến hành các thao tác tư duy và kỹ năng chỉ được hình hành thông qua quá trình tư duy để giải quyết nhiệm vụ đặt ra

Tính chất của các thao tác và của các quá trình tư duy giải các bài toán phụ thuộc vào mục đích mà các thao tác nói trên hướng tới và vào nội dung của bài toán Bản thân hoạt động tư duy khi giải bất kỳ bài toán nào thể hiện trong những biến đổi đối tượng của tư duy, tách ra trong đối tượng những khía cạnh và những thuộc tính ngày càng mới được ghi lại trong các khái niệm và được biểu thị bằng các từ

Tuy nhiên, chủ thể phải nhận thấy cách diễn đạt nào phù hợp với đối tượng để tiến hành giải bài toán Ở mỗi cách diễn đạt mới là kết quả phân tích

và tổng hợp những dữ kiện của giai đoạn trước và được thể hiện trong các khái niệm Nhưng các khái niệm là sản phẩm của kinh nghiệm xã hội Khi nghiên cứu đối tượng thì trong tri thức của chủ thể, tư duy sẽ ghi lại những thuộc tính bản chất của đối tượng Chính từ các cách diễn đạt mới khai thác được những tri thức về đối tượng đồng thời thúc đẩy tư duy tiến lên L.Rubinstein đã chứng minh: Trong quá trình tư duy nhờ phân tích, tổng hợp, đối tượng tham gia vào những mỗi liên hệ ngày càng mới và do đó thể hiện

qua các phẩm chất ngày càng mới, những phẩm chất này được ghi lại trong khái niệm mới Như vậy, từ đối tượng dường như có thể khai thác được nội dung ngày càng mới, nó dường như mỗi lần quay lại một mặt khác và trong

nó lại xuất hiện những thuộc tính mới

1.2.2.3 Rèn luyện kỹ năng liên quan đến năng lực của học sinh.

- X.Roegiers: “Năng lực là sự thích hợp các kỹ năng tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong loại tình huống cho trước để giải quyết những vấn đề do tình huống đặt ra” [27].

- Phạm Minh Hạc cho rằng: “Năng lực là một tổ hợp đặc điểm tâm lý của một người, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy” [6]

Năng lực của con người thường được phân ra thành các năng lực chung như hoạt động tổ chức - quản lý, hoạt động khoa học - công nghệ, hoạt động giáo dục dạy học, hoạt động kinh doanh…và năng lực chuyên biệt như ca hát, thể thao, hội họa Năng lực biểu lộ ở tính nhanh, tính dễ dàng, chất lượng tiếp nhận và thực hiện hoạt động, ở bề rộng của sự di chuyển, tính mới mẻ, tính độc đáo của hoạt động giải quyết những vấn đề mới

Từ sự nghiên cứu của các tác giả ở trên chúng ta có thể nhận thấy rằng: Năng lực là tổ hợp các thuộc tính tâm lý (hoặc kỹ năng) của con người để thực hiện thành công một hoạt động nào đó Năng lực gắn với khả năng hoàn thành một hoạt động cụ thể, chỉ nảy sinh và quan sát được trong giải quyết những yêu cầu mới mẻ và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo tuy khác nhau về mức

độ Năng lực có thể rèn luyện để phát triển được, với các cá nhân khác nhau thì năng lực cũng khác nhau

a) Rèn luyện kĩ năng nhằm phát triển năng lực phát hiện phương pháp giải Toán của HS THPT.

- Năng lực phát hiện phương pháp giải Toán: Là năng lực năng lực hoạt

động trí tuệ của HS khi đứng trước những bài toán cụ thể, có mục tiêu và tính

hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo, nhằm tìm ra lời giải của bài toán sau một số bước thực hiện.

Mối quan hệ biện chứng xét từ góc độ năng lực giữa phát hiện phương pháp giải Toán - giải quyết bài toán được cấu thành một cách hữu cơ, hài hoà với nhau Một tiến trình giải Toán được gọi là có kết quả tối ưu khi hình thành, phát triển được năng lực phát hiện phương pháp giải Toán trên cơ sở sáng tạo Trong phương pháp luận duy vật biện chứng với việc dạy học, nghiên cứu Toán học nói chung - giải Toán nói riêng, GS Nguyễn Cảnh Toàn

nói: "Người có óc sáng tạo là người có kinh nghiệm về phát hiện và giải quyết vấn đề đã đặt ra".[31] Năng lực phát hiện phương pháp giải Toán đòi

hỏi tư duy sáng tạo ở những mức độ khác nhau Tư duy sáng tạo sẽ nảy sinh

và trở thành thành tố của năng lực phát hiện phương pháp giải Toán khi HS đứng trước một bài Toán hàm chứa trong nội dung một tình huống có vấn đề

và tìm phương thức giải quyết Trong quá trình phát triển năng lực phát hiện phương pháp giải Toán cần chú ý khai thác tiềm năng sáng tạo và rèn luyện khả năng đó qua việc tìm kiếm các hướng giải khác nhau của cùng một bài Toán nhất định

Ta thấy rằng: Khi giải Toán được xem như một quá trình thì chiến lược, các phương pháp, quy trình thủ thuật mà HS sử dụng để giải Toán sẽ là những điều quan trọng Chúng là những bộ phận cơ bản của quá trình giải Toán, được đặc biệt chú ý trong chương trình môn Toán

Khi giải Toán được xem như một kĩ năng cơ bản thì khả năng lựa chọn các phương pháp giải và các kỹ thuật giải là những vấn đề then chốt mà HS phải học khi giải quyết vấn đề

xO

x0 x2

x0O

y

xhoặc

Thật vậy phương trình đã cho ⇔ 2009x + 2010x - 4017x- 2 = 0.Đặt f(x) = 2009x + 2010x - 4017 x - 2

f’(x) = 2009x ln2009 + 2010x ln2010 - 4017

g(x) = 2009x ln2009 + 2010x ln2010 - 4017 là một hàm số đồng biến trên R (vì hàm số y = 2009x đồng biến, y = 2010x đồng biến)

⇒ Phương trình g(x) = 0 chỉ có một nghiệm duy nhất

Hay f’(x) = 0 chỉ có một nghiệm duy nhất

⇒ Hàm số f(x) = 0 chỉ có một cực trị x0.

Nếu phác họa đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số y = f(x) chỉ cắt Ox nhiều nhất

là 2 điểm có hoành độ x1, x2

Theo trên, phương trình có 2 nghiệm các nghiệm của phương trình đã cho

⇒ Phương trình đã cho có nghiêm x1, x2

Từ góc độ tâm lý học, có thể hiểu năng lực phát hiện phương pháp giải Toán của HS là những đặc điểm tâm lý cá nhân, đáp ứng cao yêu cầu lĩnh hội tri thức, có khả năng huy động các kiến thức, các kĩ năng khoa học, các thủ pháp nhận thức, các cách thức giải quyết vấn đề trong hoạt động giải Toán, hướng đến việc góp phần hình thành các phẩm chất tư duy có tính mới mẻ (Hình thành nhân cách lao động) với bản thân HS Năng lực sáng tạo của HS trong việc phát hiện phương pháp giải Toán được bộc lộ rõ trong hoạt động giải Toán, khi giải quyết các khâu trong tiến trình giải Toán Bàn về quá trình sáng tạo khoa học, có thể xem xét sự sáng tạo dưới dạng chu trình mở, trong đó

nhấn mạnh: "Kiến thức sáng tạo khoa học được xây dựng khi có động cơ giải quyết một vấn đề, tìm lời giải đáp cho một câu hỏi, một bài tập mà việc tìm tòi lời giải chính là phải tìm tòi một cái mới chứ không thể chỉ đơn thuần là sự lặp lại các kiến thức và cách thức hoạt động đã quen thuộc đã biết” [20].

Rèn luyện kĩ năng phát huy năng lực phát hiện vấn đề thực chất là xác định cho người học tìm ra mối liên hệ giữa thành phần chính trong bài toán, xử

lí sự liên kết, phối hợp các tình huống vấn đề bằng cách thức gắn bó các vấn đề cần giải quyết Nhằm mục đích phát huy cho người học có được các yếu tố bản chất, thành phần của năng lực này

lực khái quát hóa phát hiện vấn đề liên quan, tìm được nhiều mối liên hệ từ đó tìm ra phương pháp giải

Dưới đây là quá trình giải bài toán và mở rộng bài toán của HS có sự định hướng, gợi mở hợp lí của GV (Đã được tĩnh lược)

Trước khi HS giải bài tập này thì các em đã biết về một tính chất của hai hàm số y a= x (0 < ≠a 1) đồng biến khi a> 1, nghịch biến khi 0 < <a 1 và

( 0)

y ax b a= + ≠ đồng biến khi a> 0, nghịch biến khi a< 0.

Trước hết ta nhận thấy rằng, hai vế của phương trình (1) có bản chất khác nhau, vế phải chứa hàm số siêu việt còn vế trái chỉ là hàm đa thức Vì vậy, nếu chỉ bằng những phép biến đổi thông thường thì e rằng khó tìm ra được hướng giải Đầu tiên, hãy nhận xét, so sánh mối liên hệ giữa các biểu thức (đa thức) x2 −x x, − 1 và ( )2

Hai vế của phương trình (3) thực chất là giá trị của hàm số f t( ) = + 2t t

tại hai thời điểm t u= và t v=

Hàm số f t( ) = + 2t t là tổng của hai hàm đồng biến nên là một hàm đồng

y ax b a= + > là các hàm đồng biến, tổng của hai hàm đồng biến là các hàm

đồng biến Khi phát hiện ra được bản chất của bài toán thì việc mở rộng bài toán bằng con đường trừu tượng hóa không mấy khó khăn.

Như vậy qua việc rèn luyện HS kĩ năng phát hiện phương pháp giải toán đã giúp HS có được những năng lực sau:

- Năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán, tri giác hệ thống hóa kiến thức về giải Toán, năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn có thiên hướng về thao tác với các số liệu về giải Toán: ký hiệu, dấu, số, dữ liệu, điều kiện, giả thiết, kết luận Biểu lộ sự phát triển mạnh, linh hoạt của tư duy lôgic,

tư duy sáng tạo Có tốc độ tư duy nhanh biểu hiện rõ nét của tư duy độc lập, mềm dẻo trong giải Toán

- Năng lực hình thành và diễn đạt nội dung các bài toán theo các hướng khác nhau, thông qua hoạt động sử dụng ngôn ngữ kí hiệu và các qui tắc toán học, đặc biệt là biết cách hướng tới cách diễn đạt có lợi cho bài toán đang cần giải quyết, hoặc cách diễn đạt mà nhờ đó sẽ cho phép nhận thức bài toán một cách chính xác hơn, nhằm tránh những sai lầm, thiếu sót trong suy luận và tính toán

- Năng lực nắm bắt, đưa ra những qui tắc thuật giải, tựa thuật giải từ những tiền đề cho trước

Ví dụ 1.7: Từ định lí về dấu đồng biến, nghịch biến của hàm số

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu f x'( ) > 0 với mọi x I∈ thì hàm số f đồng biến trên I.

b) Nếu f x'( ) < 0 với mọi x I∈ thì hàm số f nghịch biến trên I.

c) Nếu f x'( ) = 0 với mọi x I∈ thì hàm số f không đổi trên I.

Học sinh có thể phát hiện ra được quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f x( ) trên đoạn [ ]a b, như sau:

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [ ]a b, và có đạo hàm trên khoảng ( )a b, , có thể trừ một số hữu hạn điểm Nếu f x'( ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn

điểm thuộc ( )a b, thì ta thực hiện các bước:

1 Tìm các điểm x x1 , 2 , , x m thuộc ( )a b, tại đó f có đạo hàm bằng 0

hoặc không có đạo hàm

2 Tính f x( ) ( )1 , f x2 , , f x( ) ( ) ( )m , f a , f b .

3 So sánh các giá trị tìm được Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn [ ]a b, , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn [ ]a b, "

Rèn luyện kĩ năng cho HS, giáo viên cần chú ý các đối tượng học sinh, bởi vì việc nhận thức của mỗi một con người khác nhau Đối với đối tượng

HS yếu cần chú rèn luyện kĩ năng vận dụng, tiến tới nhận biến quy trình thực hiện các bước giải (Tựa thuật toán) Đối với HS khá thì cần chú ý bồi dưỡng

kĩ năng suy luận, kĩ năng biến đổi, huy động kiến thức …

1.2.2.4 Những sai lầm trong giải toán của HS là căn cứ để rèn luyện kĩ năng

Đã có nhiều quan điểm hoặc ý kiến được nêu ra xoay quanh vấn đề sai lầm trong cuộc sống cũng như trong nghiên cứu khoa học Khổng Tử đã nói:

“Sai lầm chân thật duy nhất là không sửa chữa sai lầm trước đó của mình” Albert Einstein nói về sai lầm trong nghiên cứu khoa học: “Nếu tôi mắc sai lầm thì chỉ một lần cũng là đủ rồi” Nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai

trò của việc sửa chữa sai lầm của học sinh trong quá trình giảng dạy Toán,

chẳng hạn, G Polia đã phát biểu: “Con người phải biết học ở những sai lầm

và những thiếu sót của mình” [20, tr 204], còn A A Stôliar thì nhấn mạnh

rằng: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của

học sinh” Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv viết: “Năng lực bình thường của học sinh trung học đủ để các em nắm được Toán học trong nhà trường phổ thông

nếu có sự hướng dẫn tốt của thầy giáo” Như vậy có thể khẳng định rằng, các

sai lầm của học sinh trong giải Toán là cần và có thể khắc phục được.

Thực tiễn trong dạy học cho thấy học sinh còn mắc rất nhiều kiểu sai lầm Từ những sai lầm về tính toán đến những sai lầm về suy luận, sai lầm ngôn ngữ, và thậm chí là những kiểu sai lầm rất ngớ ngẩn đến sai lầm tinh vi Một nguyên nhân không nhỏ là giáo viên chưa chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các

giờ học Toán Vì điều này nên ở học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm.

Như vậy từ những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải Toán người thầy có thể căn cứ vào đó để sửa chữa và rèn luyện cho các em kĩ năng giải toán

Như sai lầm do thói quen trong ngôn ngữ như trong tiếng Việt “đại” là to hơn “tiểu”, học sinh ấn tượng với điều này, nên nghĩ rằng hàm số

+ có cực đại lớn hơn cực tiểu Nhưng thực ra, nếu hàm số có

cực trị thì giá trị cực tiểu lại lớn hơn giá trị cực đại

Sai lầm do hiểu sai khi vận dung định lý:

Thực ra, ta có định lý: Nếu f (t) 0, > ∀ ∈t ( )a; b thì f(t) đồng biến trên (a; b) Nói cách khác ta có định lí nêu lên mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và sự đơn điệu của hàm số trên một khoảng (a; b) Không có định lí đề cập đến vấn

đề đó trên một tập D bất kì, nói riêng khi D là hợp của hai khoảng rời nhau Hơn nữa, trong Sách giáo khoa hiện hành cũng không có khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên một tập bất kỳ, mà chỉ có trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng thôi!

Ta dễ thấy rằng f(t) xác định trên (−∞; 0) (∪ 0;+ ∞) rõ ràng f(t) đồng

biến (−∞; 0 và f(t) đồng biến ) (0;+ ∞) , thế nhưng nếu f(x) = f(y) ta không

kết luận được x = y Ta chỉ kết luận được như vậy khi x và y cùng dấu Ta

cũng có thể thấy ngay rằng, khi x, y trái dấu, chẳng hạn y 1

1.3.1 Chương trình môn Toán trong trường phổ thông

Chương trình giáo dục phổ thông Toán học giữ vai trò hết sức quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông bởi vì môn toán góp phần phát triển nhân cách Nó góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa,… Rèn luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động như tính cẩn thận chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ

Chương trình môn Toán đảm bảo được toàn bộ những tư tưởng cơ bản như:

- Đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm hàm số

-Tăng cường một số yếu tố của giải tích toán học và hình học giải tích

-Tăng cường làm rõ mạch toán học ứng dụng và ứng dụng toán học.

-Sử dụng hợp lí ngôn ngữ toán học và logic toán

1.3.2 Nội dung rèn luyện kĩ năng giải toán chủ đề: “Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm”

- Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa

- Tìm điều kiện của tham số để hàm số có đạo hàm tại một điểm

- Qui tắc tính đạo hàm (Đạo hàm hàm số sơ cấp, các hàm số siêu việt)

- Đạo hàm cấp cao (Tính toán, chứng minh)

- Tìm đạo hàm cấp n của một hàm số

- Tính giới hạn hàm số

- Xét tính đơn điệu của hàm số (Tìm khoảng đơn điệu, tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên khoảng)

- Cực trị hàm số (Tìm điểm cực trị, giá trị cực trị Điều kiên của tham

số để hàm số có cực tri, cực đại, cực tiểu Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa mãn một số tính chất nào đó

Trong khi giảng dạy chương trình giải tích chủ đề đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm người thầy cần phải làm nổi bật các tư tưởng cơ bản chung của môn toán, mối liên hệ giữa các đối tượng Theo chúng tôi chủ đề đạo hàm và

ứng dụng đạo hàm, chiếm một vị trí rất quan trọng trong việc học tập và làm việc của của học sinh sau khi hoàn thành chương trình phổ thông.

1.4 Một số nét thực trạng trong việc hình thành cho học sinh kỹ năng giải toán chủ đề “Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm”

“ Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm” là phần kiến thức rất cơ bản của

bộ môn Giải tích, nó đã được đưa vào chương trình từ lâu Nhưng việc nghiên cứu các ứng dụng của nó ở chương trình phổ thông chủ yếu là giới thiệu, và tập trung vào phần khảo sát hàm số, còn các định lý, khái niệm mang tính trực quan công nhận chứ chưa đi sâu vào việc nghiên cứu chúng

Do đó, việc tiếp thu đối với học sinh nhiều lúc, nhiều nơi còn hời hợt, thiếu khắc sâu kiến thức

Đối với giáo viên: Do sự hạn chế về trình độ; sự hạn chế về thời gian kể

cả sự yếu kém, lười biếng của HS nên việc rèn luyện kĩ năng còn chưa có hệ thống, việc sửa chữa sai lầm còn hạn chế Còn mang tính nhồi nhét, chủ yếu là giải bài tập giúp HS

Đối với học sinh: Thiếu định hướng, thiếu phương pháp học tập

“Quá trình giải một bài toán là đi tìm kiếm một lối thoát ra khỏi khó khăn hoặc một con đường vượt qua trở ngại; đó chính là quá trình đạt tới một mục đích mà thoạt nhìn thì dường như không thể đạt được ngay Giải toán là khả năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ có ở con người; vì vậy giải toán có thể xem như một trong những biểu hiện đặc trưng nhất trong hoạt động con người” [20, tr5].

Để giải quyết một bài toán cần thực hiện hai bước chủ yếu, đó là tìm ra phương pháp giải và thực hiện lời giải Hai bước này có khi tiến hành đồng thời nhưng cũng có khi tách thành hai quá trình riêng biệt Nếu chúng ta đưa một sự

so sánh bước nào quan trọng hơn bước nào thì cũng chỉ đúng trong một chừng mực nào đó mà thôi

Trước hết, nếu ta đứng trước một bài toán đã có phương pháp giải thì việc giải bài toán một cách hoàn chỉnh không phải hoàn toàn đơn giản mà là

cả một quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: nắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung lí thuyết lẫn phương pháp thực hành, luyện tập thành thạo các quy trình và thao tác có tính chất kĩ thuật Những điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, tính kiên nhẫn và một phương pháp làm việc khoa học của người giải Toán

Ví dụ 1.9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

4 6 − −x x2 − 3x m= ( x+ + 2 2 3 −x). (1) Giả sử HS đã biết hướng giải của bài toán này là đưa phương trình ban đầu về dạng m= f x( ). Sau đó tìm miền giá trị của f x( ) (thường bằng cách sử dụng công cụ đạo hàm) Khi đó, phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ

khi m thuộc miền giá trị của f x( ).

HS không quá khó khăn để phát hiện phương pháp giải nói trên Trong thực tế giảng dạy, chúng tôi thấy hầu như chỉ có những em có học lực khá trở lên mới tìm ra được kết quả cuối cùng Đa số các em thường gặp phải một trong các trở ngại sau:

Sau khi biến đổi (1) về dạng: ( ) 4 6 2 3

2 2

Các em sẽ phạm sai lầm nếu kết luận rằng, phương trình (1) có nghiệm

khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số: g t( ) t2 14

t

−

= mà quên tìm điều

kiện của biến t Tuy nhiên, việc tìm miền giá trị của t phải sử dụng công cụ

đạo hàm (hoặc sử dụng bất đẳng thức), khảo sát hàm số

( ) 2 2 3 , [ 2;3]

t x = x+ + −x x∈ −

tìm được miền giá trị của t là  5;5 

Cuối cùng, một lần nữa sử dụng công cụ đạo hàm (hoặc bất đẳng thức),

m∈ − 

  Thỏa mãn bài toán.

Bên cạnh đó, có những bài toán mà việc tìm ra phương pháp giải không khó, đôi khi đã khá rõ ràng, thế nhưng cái khó chủ yếu lại thuộc về kỹ thuật giải Điều này đòi hỏi người làm toán không những sáng tạo trong quá trình tìm phương pháp giải mà còn phải sáng tạo trong quá trình thực hiện lời giải bài toán

Ví dụ1.10: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

1

Dựa vào đồ thị ta dễ dàng suy ra kết luận:

 ⇔ >m 1, Phương trình vô nghiệm.

Phương pháp sử dụng đồ thị hàm số đặc biệt phát huy tác dụng khi biện luận về số nghiệm của phương trình Mặc dù phương pháp này không chỉ ra được chính xác nghiệm của phương trình nhưng số nghiệm của phương trình được nhận ra khá dễ dàng và trực quan

Khi vận dụng định lý vào bài tập, nhiều học sinh sai lầm do thiếu kỹ năng phân tích bài toán Ở định lý này, khi vận dụng nó có thể áp dụng cho nhiều dạng toán như tìm cực trị của hàm số thì ở dạng này hầu như đã có thuật toán giải theo trình tự các bước nên sai lầm ít gặp Nhưng khi vận dụng vào dạng toán tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn tính chất T nào đó liên quan đến cực trị thì dễ gặp sai lầm

Thực trạng cho thấy ở các trường phổ thông hiện nay học sinh “có vẻ” hiểu biết nhiều Trong qua các kỳ thi, khi được hỏi về độ khó dễ của đề bài thì nhiều em đã trả lời đề không khó, nhưng kết quả điểm không cao Ở đây do

kỹ năng làm bài của các em còn yếu, đó là kĩ năng về sự gắn kết giữa các giả thiết và kết luận, đồng thởi thiếu kỹ năng về logic trình bày, nên dễ bị mất điểm

−

= + +

=

−

) 4

; 0 ( ,

8 1 2 2

6 1 3 8 3

sin sin

2 2

π

y x

y y

y x

phương trình (1) Ta có: (1) x y

e

y e

x sin sin =

4

; 0 ( , 0

) 4 cos(

2 sin

cos ) sin (cos 2

t e

t t e

t t e

t t

;

0 π Khi ta có (1’) ⇒ x= y

Thay vào (2) ta được:

− +

− +

−

− +

⇔

+ +

−

= + +

0 3 4 8 8

3 8

0 1 8

0 ) 3 4 8 8

3 8

)(

1 8

(

) 4 8 8

3 8

)(

1 8 ( ) 1 8 ( 3

1 8 ) 4 8 8

3 8

( 3

8 1 2 2

6 1 3 8

3

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

XÐt ph¬ng tr×nh (*) ta cã:

(*)

2 2

8x + + 3 8x − 8x+ − = 4 3

0 3 2 3 3 2 ) 1 2 ( 2 3

y x

Tóm lại, việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải toán nói chung và kỹ năng giải toán đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm nói riêng là một phần không thể thiếu trong chương trình phổ thông Qua đó học sinh rèn luyện được các kỹ năng khác mà ở vai trò vị trí của việc học môn toán đã nói

1.5 Kết luận chương 1

Trong chương này, luận văn đã trình bày các quan điểm của một số tác giả về khái niệm kỹ năng và vai trò của kỹ năng trong dạy học toán Đồng thời cũng đề cập đến tầm quan trọng về vấn đề đổi mới phương pháp dạy học, phương pháp dạy học môn toán Tác giả nghiên cứu mối liên hệ mật thiết giữa rèn luyện kĩ năng tư duy, mối liên hệ giữa kĩ năng với năng lực và những khó khăn sai lầm của HS trong giải toán nói chung, giải toán đạo hàm, ứng dụng đạo hàm nói riêng Từ đó làm cơ sở cho việc đề xuất các kĩ năng ở chương 2

CHƯƠNG II HÌNH THÀNH KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHO HỌC SINH LỚP CUỐI CẤP THPT 2.1 Những căn cứ.

2.1.1 Căn cứ vào những khó khăn sai lầm phổ biến của học sinh khi giải toán đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm

2.1.2 Căn cứ vào kiến thức cơ bản và kiến thức đặc thù của việc giải toán đạo hàm và ứng dụng đạo hàm

2.1.3 Căn cứ vào thực tiễn giảng dạy học phần chủ đề “Đạo hàm và ứng dụng đạo hàm của giáo viên và học sinh ở trường THPT hiện nay

2.2 Rèn luyện kĩ năng giải toán đạo hàm và ứng dụng đạo hàm.

Đứng trước yêu cầu đổi mới của phương pháp dạy học, chương trình Toán học THPT đã có những giảm tải đáng kể về kiến thức Chương trình đã

có những quy định về chuẩn kiến thức của từng bộ môn, vậy phải dạy như thế nào để học sinh đạt được chuẩn kiến thức đó

Theo lý thuyết của việc hình thành kỹ năng: Nhiều lần lặp lại học sinh mới hình thành cho mình một kỹ năng giải toán Do đó nếu sắp đặt hệ thống các bài toán cùng một kiểu phát triển tương tự (Chứ không phải lặp lại khuôn mẫu) thì việc dạy hệ thống các bài toán này sẽ giúp cho học sinh hình thành được kỹ năng, nhanh nhạy trong việc áp dụng bài toán cơ bản Trong chương trình giải tích phần “Đạo hàm và ứng dụng đạo hàm”, chúng tôi xin được đưa

ra một số kỹ năng cần được rèn luyện cho học sinh như sau:

2.2.1 Kỹ năng tính đạo hàm và nắm vững bản chất của đạo hàm.

Trước hết cần phải nói rằng toán học gắn liền với việc tính toán Tính chính xác nhanh và ngắn gọn là những yêu cầu rất cơ bản và là yêu cầu đầu tiên để học tốt môn toán

Kỹ năng tính toán nó có ý nghĩa quan trọng trong thực tế và đời sống, trong sản xuất kinh doanh và trong kĩ thuật Tuy vậy không phải việc tính toán lúc nào cũng dễ dàng mà cần phải nắm được bản chất của từng đối tượng cần tính; như tính biểu thức; giải phương trình; chứng minh; tính đạo hàm; giới hạn… mỗi loại đều có tính đặc thù riêng

Trong việc rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm đòi hỏi học sinh cần có kĩ năng tính, tìm giới hạn và nắm được bản chất của khái niệm bản chất của từng loại hàm số

2.2.1.1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa.

Định nghĩa đạo hàm được hình thành từ nhiều bài toán thực tế như bài toán về tìm vận tốc tức thời một chất điểm chuyển động tại một thời điểm t0, tìm cường độ dòng điện tức thười trong vật lí, tìm tốc độ phản ứng tức thời trong hóa học, bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Những bài toán này đều quy về bài toán tìm:

0

0) 0

( ) ( lim

Tính đạo hàm bằng định nghĩa đã được SGK trình bày một cách khá rõ, bởi vì nó được coi như là thuật toán, thực hiện ba bước Tuy vậy trong chương trình nêu ra đạo hàm một bên đòi hỏi HS biết liên hệ giữa các bài toán

từ đó có kĩ năng giải toàn theo chủ đề này

Ví dụ 2.1: Tính đạo hàm của hàm số y= x

Đây là ví dụ rất cơ bản cho dạy toán tính đạo hàm của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối nó không những giúp ta lưu ý trong phương pháp tính đạo hàm bởi dạng hàm số cho bởi nhiều công thức mà còn cho ta thấy được mối liên hệ giữa tính đạo hàm và tính liên tục

Câu hỏi đặt ra là các em tính như thế nào? HS sẽ trả lời là theo qui tắc

để tính Điều này không sai, nhưng ở bước thứ hai các em có y y

Ta có y= f(x) = −x Khi x Khi x0≤<0x y’=f’(x) =

Ta đã biết rằng tính đạo hàm các hàm số sơ cấp thường vận dụng công thức tính thì không có gì khó Nhưng tính đạo hàm tại một điểm thì phải vận dụng định nghĩa đạo hàm Qua ví dụ trên cần nêu ra cá câu hỏi: Khi nào thì sử dụng công thức để tính, khi nào thì phải dùng định nghĩa.nếu học sinh nào

nắm chắc được vấn đề thì có thể các em giải quyết được các lớp bài toán dạng

có dấu giá trị tuyệt đối

hệ với ví dụ trên là giải quyết được ngay

Đạo hàm tại x ≠-3,x∈ D được tình theo công thức đạo hàm của thương, còn tại x=-3 thì phải dùng định nghĩa và kết quả là tại x=-3 hàm số không có đạo hàm

Trong việc dạy học ta thấy học sinh sẽ vấp những phải những khó khăn trong phương phương pháp học, học máy móc, rập khuôn thiếu nhìn nhận sự vật, hiện tượng một cách thấu đáo, nhìn nhận được sự khác nhau và giống nhau ở các bài toán sau khi đã thay đổi giả thiết, kết luận hoặc biến đổi ở dạng khác Vì vậy khi ra giảng dạy giáo viên thường cố ý thay đổi hình thức bài toán để sửa chữa những sai lầm cho học sinh từ đó rèn luyện kĩ năng tính toán và các kĩ năng tư duy khác cho các em

Tác giả Nguyễn Thái Hòe [10, tr15] đã viết: “Phải phân tích cho được

nguồn gốc hình thành các giả thiết, điều kiện đã cho trong bài toán và có khi

cả kết quả bài toán Phải phát hiện có tính chất tất yếu giả thiết kết luận, giữa những điều kiện đã cho”

Tính đạo hàm của hàm số đó tại x0=0

Thường nhiều học sinh nghĩ một cách đơn giản f(0)=0 ⇒f’(0)=0

Với lý do học sinh sai lầm là do các em chưa nắm chắc được và bản chất của đạo hàm là giới hạn Trong quy tắc 3 bước tính đạo hàm tại một điểm ta

δ →

∆

∆ .

Có những học sinh biết hiểu được quy tắc tính đạo hàm nhưng khi gặp

bài toán tìm giới hạn:

0

1lim sin

  thì không còn là vấn đề đơn giản bởi vì ở

đây bài toán này tìm

0

1lim sin

Bài toán được giải quyết xong

Trong giảng dạy về tính đạo hàm bằng định nghĩa có nhiều vấn đề liên quan đến tìm giới hạn cho nên việc rèn luyện cho học sinh khả năng tính giới hạn hàm số là hết sức cần thiết, người thầy cần chú ý các phương pháp tìm giới hạn hàm số ngoài ra cần nhắc lại định nghĩa và bản chất của giới hạn hàm

-Thực ra ta chứng minh được rằng giới hạn (*) không tồn tại Vậy làm sao để chứng minh không tồn tại giới hạn? Các em hãy nhớ lại nghĩa giớ hạn hàm số!

-Theo định nghĩa giới hạn hàm số ta có điều phải chứng minh

Bên cạnh việc rèn luyện bản chất đạo hàm thầy giáo cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng vận dụng các công thức (được xác định từ định nghĩa)

x

−

=

+Mặc dù SGK đã hệ thống các công thức tính đạo hàm nhưng HS cần có

kĩ năng nhìn nhận một cách linh hoạt và biến đổi thì khi đó bài toán giaỉ quyết một cách nhanh chóng:

Có nhiều HS gặp bài toán cho là đơn giản quá và bắt tay làm ngay để không mất thời gian ! Như vậy cũng tốt, nhưng có cách giải nào ngắn gọn hơn không? Nếu các em chịu suy nghĩ một chút và trục căn thức thì kết quả cho ta ngay! Các thử tính xem?

Ví dụ 2.7: Tính đạo hàm của hàm số y =log2x(3x+1)

Công thức tính đạo hàm hàm số này có không ? Làm thế nào để tính ?

Em hãy biến đổi để đưa về bài toán mà có thể áp dung công thức ! Dùng công thức đổi cơ số, đưa về cơ số e

Nhận xét gì khi tìm đạo hàm của hàm số lny ( (lny)’= => y’=y.(lny)’

Để vận dụng được công thức trên ta logarit hoá hai vế theo cơ số e ta

có: lny =cos lnx ( x2 +1) và đạo hàm hai vế ta được

được gọi là đồ thị của hàm số f Nói cách khác M(x0 , y0)∈ (C) ⇔ x0∈ D và y0

= f(x0)

Qua đồ thị của một hàm số, ta có thể nhận biết được nhiều tính chất của hàm số đó như: Tính đơn điệu của hàm số ( đồng biến, nghịch biến), tính chẵn ,lẻ của hàm số (Đồ thị có trục tung là trục đối xứng thì hàm số đó là hàm số chẵn Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng thì hàm số đó là hàm số lẻ) Ngoài ra ta còn biết được giá trị của hàm số tại một điểm, các giá trị đặc biệt như giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Dấu của f(x) trên một khoảng.( Sách giáo khoa đại số lớp 10) Cũng qua đồ thị chúng ta giải quyết nhiều bài toán về phương trình, hệ phương trình

Có rất nhiều tác giả nhấn mạnh tầm quan trọng của việc rèn luyện kỹ năng đọc vẽ đồ thị Chẳng hạn như các tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng cho rằng: Kỹ năng đọc và và vẽ

đồ thị hàm số là một yêu cầu quan trọng trong dạy học toán mà chúng ta cần

phải chú ý rèn luyện Tác giả Nguyễn Gia Cốc nhấn mạnh “Để trau dồi cho học sinh phương pháp cụ thể hoá, trừu tượng hoá, khái quát hoá cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc và vẽ đồ thị, minh hoạ các mô hình …“

Nhóm các tác giả nghiên cứu các phương pháp dạy học toán cũng cho rằng:

“ Việc rèn luyện kỹ năng đọc và vẽ đồ thị có ý nghĩa trong giáo dục trong thực tiễn, tư duy trực quan, là cơ sở ban đầu hình thành bài giải…”

Cần rèn luyện cho học sinh thành thạo kỹ năng này trong quá trình học tập Đặc trưng của phần ‘Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm” đòi hỏi học sinh phải biết vẽ đồ thị vì vậy kỹ năng vẽ đồ thị trong bài toán khảo sát hàm số là bắt buộc, yêu cầu học sinh vẽ chính xác, đẹp không mâu thuẫn với các tính chất trong toán học và trong thực tiễn Vì vậy việc rèn luyên kĩ năng này càng phái chú trọng và yêu cầu HS phái thực hiện tốt

Rất đơn giản chúng ta thường bắt gặp những học sinh vẽ đồ thị khi thiếu gốc toạ độ hay trục tọa độ không có chiều Điều này rõ ràng mâu thuẫn với

Hình 5

định nghĩa gốc toạ độ Khi vẽ đồ thị ta lại bắt gặp các em vẽ trục lại thấp hơn giá trị của hàm số, điều đó sai Tất cả là do khi học kiến thức cơ bản các em học hời hợt hoặc đôi khi GV cho là các em đã biết, dẫn đến nhứng sai lầm tai hại như thế

Ví dụ 2.9: Các đồ thị của hàm số parabol được phác họa như hình dưới

đều đều sai

-Bậc 4 trùng phương y= ax 4 +bx2 +c a;( ≠ 0)

, ,

ax+b ,( 0) a

f(x+a)+b

-f(-x)

Đx qua goc o TT theo (a,b)

TTtheo ox, a đơn vị