- Lập bảng biến thiên - Từ bàng biến thiên duy ra các điểm cực trị... b Hàm số có hai cực trị cùng dấu... b Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị.. Tìm m để hàm số: a Có
Trang 1§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
CÁC DẠNG BÀI TẬP:
DẠNG 1: Tìm cực trị của hàm số.
DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực trị (hoặc cĩ cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước)
Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Quy tắc 1:
- Tìm TXĐ của hàm số
- Tính f x'( ) Tìm các điểm tại đĩ f x'( )bằng 0 hoặc f x'( ) khơng xác định.
- Lập bảng biến thiên
- Từ bàng biến thiên duy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
- Tìm TXĐ của hàm số
- Tính f x'( ) Giải phương trình f x'( ) 0 = và ký hiệu x i (i= 1, 2,3, )là các nghiệm của
nĩ.
- Tính f ′′( )x và f′′( )x i
- Dựa vào đấu của f′′( )x i suy ra tính chất cực trị của điểm xi
LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) y= 3x2− 2x3
b) 2 3 6
2
x x y
x
− + +
=
+
e) y= x2 − 2x+ 5
c) 4 2 3
x
y= − +x +
d) y x x= 2 − 4
f) y x= + 2x x− 2
Bài 2: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) f x( ) = x x( +2)
c) f x ( ) = − x sin 2 x + 2
b) f x ( ) = 2sin 2 x − 3
d) f x ( ) = − 3 2cos x − cos 2 x
Trang 2
GIẢI
a) TXĐ: D=R
( ) ( ( ) )
.
x x voi x
f x
x x voi x
= − + <
• Với x> 0: f x′( ) =2x+ >2 0 (vì x> 0)
• Với x< 0: f x′( ) = − −2x 2, f x′( ) = ⇔ = −0 x 1
Bảng biến thiên: x> 0, f x′( ) > 0
x −∞ -1 0 +∞
y ′ + 0 - +
y 1 0
Kết luận:
o Hàm số đạt cực đại tại x= − 1, f CD = f ( )− = 1 1
o Hàm số đạt cực tiểu tại x= 0, f CT = f ( )0 = 0
b) TXĐ: D=R
( ) 4cos 2
f x′ = ⇔ x= ⇔ x= +π kπ ⇔ = +x π k π , k ∈ ¢
f′′ x = − x
8sin
voi k n
voi k n
Kết luận:
• HS đạt cực đại tại
4
x= +π nπ
4
CD
f = f π +nπ= −
• HS đạt cực tiểu tại (2 1)
x= +π n+ π
2
CD
f = π + nπ− = − − = −
c) TXĐ: D = R
( ) 1 2cos 2
, k∈ ¢
f′′π +kπ= π +k π= >
f′′ − + π kπ= − +π k π= − <
Kết luận:
Trang 3
+ Hàm số đạt cực đại tại
6
2
CD
f = f − +π kπ= − +π kπ + +
+ Hàm số đạt cực tiểu tại
6
2
CT
f = f π +kπ= +π kπ − +
d) TXĐ: D=R
( ) 2sin 2sin 2 2sin 4sin cos 2sin 1 2cos( )
x
f x
=
( ) 2cos 4cos 2
f′′ x = x+ x
Xét:
+ f k′′( ) π = 2coskπ +4cos 2k π =2coskπ + >4 0
⇒ HS đat cực tiểu tại các điểm x k= π ,
CT
+ 2 2 2 cos2 4 cos4 2 1 4 1 3 0
f′′ ± π +k π÷= π + π = − ÷+ − ÷= − <
⇒ HS đat cực đại tại các điểm 2 2
3
x= ± π +k π
CD
f = f ± π +k π= − π − π =
Trang 4
Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Lưu ý:
1) Để tính giá trị cực trị của hàm bậc 3: f x( )=ax3 +bx2 + +cx d ta làm như sau:
( )
Ax B
α +β
= + +
′ ′ ⇒ f x( ) (= Ax B f x+ ) ( )′ +αx+β (*)
Gọi xi là nghiệm của pt f x′( ) = 0 (xi là các điểm cực trị)
0
f x Ax B f x αx β
=
′
12 3
f x αx β
Trong đó xα +β là phần dư của phép chia ( )
( )
f x
f x′
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y =αx+β
( Vì toạ độ của điểm cực trị M x y( ; )thoả pt f x′( ) = 0, nên từ (*) ta suy ra
y =αx+β )
2) Tính giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số:
( ) ( )
ax bx c
y
a x b v x
+ +
′ + ′ ,
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2
u x v x u x v x y
v x
′ =
( ) ( ) ( ) ( )
y′= ⇔u x v x′ −u x v x′ = (1)
Gọi xi là các nghiệm của (1), từ (1) ta suy ra:
( ) ( ) ( ) ( )i i i i 0
u x v x′ −u x v x′ = ( )
( )i i ( ) ( )i i
u x u x
v x v x
′
′
Các giá trị cực trị là:
( ) ( ) ( )i ( ) ( )i 2 i
i
y x
Do đó pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: 2ax b
y
a
+
=
′
Trang 5
Bài 1: Cho hàm số: y=(m−2)x3−mx−2
Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu
GIẢI
TXĐ: D =¡
Đạo hàm: y′ =3(m−2) x2 −m
Để hàm số không có cực trị thì phương trình y′ =0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
⇔ ∆ ≤0 ⇔ 0 4.3+ m m( − ≤2) 0 ⇔ 0≤ ≤m 2
Bài 2: Cho hàm số: 1 3 2 ( 2 )
3
y= x −mx + m − +m x+
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=1
GIẢI
TXĐ: D =¡
Đạo hàm: y′ = −x2 2mx m+ 2− +m 1
y′′ =2x−2m
Hàm số đạt cực tiểu tại x =1 ( )
( )
y y
′
⇔ ′′
>
m
− >
⇔ <m m= ∨ =11 m 2
Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x =1
Bài 3: Cho hàm số y x= −3 3x2 − +3x 2
a) Tìm cực trị của hàm số
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị
GIẢI a) TXĐ: D =¡
Đạo hàm: y′ = − −x2 6x 3
x
x
= −
= +
Chia f x( ) cho f x′( ) , ta được:
( ) ( 2 ) 1 1
f x = x − x− x− − x+
Giá trị cực trị là: f x( )0 = −4x0 +1
f
f
− = − +
⇒
+ = − −
Trang 6
Lập bảng biến thiên ⇒ CĐ, CT.
b) Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: y= − + 4x 1
Bài 4: Cho hàm số y x= −3 6x2+3(m+2) x m− −6
Xác định m sao cho:
a) Hàm số có cực trị
b) Hàm số có hai cực trị cùng dấu
GIẢI a) TXĐ: D =¡
Đạo hàm: y′ =3x2−12x+3(m+2)
Cho y′ = ⇔ 0 x2 − 4x m+ + = 2 0 (*)
′
Để hàm số có 2 cực trị thì: ∆ > ⇔ − > ⇔ <′ 0 2 m 0 m 2
b) Chia f x( ) cho f x′( ) , ta được:
f x = x − x+ m+ x− − x+ mx m+ −
⇒ giá trị cực trị là:
f x = − x + mx + − =m x m− + − =m m− x +
Gọi x1, x2là 2 điểm cực trị
Hàm số có 2 cực trị cùng dấu ⇔ f x( ) ( )1 f x2 >0
(m 2 2) ( x1 1) (m 2 2) ( x2 1) 0
1 2 1 2
1 2 1 2
Mặt khác: 1 2 12
4 3
x + =x = , x x1 2 = +m 2
Do đó (1) ( ) (2 )
( ) (2 )
17 4 2
m m
> −
⇔
≠
Kết hợp với điều kiện có cực trị m < 2, ta được: 17
2
− < <
Bài 5: Cho hàm số: 1 3 ( ) 2 ( ) 1
Trang 7
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thoả x1+2x2 =1
GIẢI
TXĐ: D =¡
Đạo hàm: y′ =mx2 −2(m−1) x+3(m−2)
Hàm số có 2 cực trị
0
m
≠
⇔ ′
2
0
m
≠
0
m
m
≠
⇔
− < < +
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình y′ =0 thì:
( )
2
m
m m
x x
m
+ =
=
Từ (1) và (2) x1 3 4
m
m
= − +
−
2
3m 5m 4 0
3
3
Bài 6: Cho hàm số: 3 2
y= + +mx (ĐH Y - Dược) Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn hơn m
GIẢI
TXĐ: D =¡
Đạo hàm: y′ = + +x2 x m
Hàm số đạt cực trị tại những điểm có hoành độ x m >
0
y ′
⇔ = có 2 nghiệm x1, x2 thỏa m x< <1 x2
( )
0 0 2
y m
s
m
∆ >
′
>
2
1 2
m
m
− >
− >
1 4
1 2
m
m
<
⇔ < − ∨ >
< −
⇔ < − m 2
Vậy ⇔ < −m 2
Trang 8
Bài 7: Cho hàm số: y= f x( ) =2x3+3(m−1)x2+6(m−2) x−1 (1)
Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y = − + 3 x 4
GIẢI
TXĐ: D =¡
Đạo hàm: y′ =6x2+6(m−1) x+6(m−2)
Cho y ′ = ⇔ 0 x2 +(m−1) (x+ m− =2) 0
Hàm số (1) có cực trị ( )2 ( )
Lấy (1) chia cho 16 f x′( ) ta được:
1
6
y= x m+ − f x′ − m− x m− + m−
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:
y= − m− x m− + m− (d)
Để (d) song song với đường thẳng y = − + 3 x 4 thì:
m
Bài 8: Cho hàm số:
2
y
x
=
a) Tìm cực trị của hàm số
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị
GIẢI a) TXĐ: D= ¡ \{ }− 2
Đạo hàm:
( )
2
2
2
y
x
′ =
x
x
= − −
= − +
Giá trị cực trị là:
( ) ( ) ( )0 0
0
1
o
u x x
y x
v x
′
( 2 3) 1 2 3
Lập bảng biến thiên ⇒ CĐ, CT
b) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y = 2 x + 3
Bài 9: Cho hàm số:
2
x mx m y
x m
− +
=
− (m≠ 0) Tìm m để hàm số:
a) Có cực đại và cực tiểu
b) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu
Trang 9
GIẢI a) TXĐ: D= ¡ \{ }m
Đạo hàm:
( )
2
2
y
x m
′ =
y′ = ⇔ −x mx m+ − =m (1) Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt
2 2
′
b) Hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu khi và chỉ khi:
y′ =0 có 2 nghiệm phân biệt
Đồ thị không cắt trục ox ( Pt y =0 vô nghiệm)
y y
m m
′
′
∆ >
∆ < − < < <
Bài 10: Cho hàm số: 2 2 1
1
mx mx m y
x
=
Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số cùng dấu
GIẢI
TXĐ: D= ¡ \ 1{ }
Đạo hàm:
( )
2
2
1
y
x
′ =
2
y′ = ⇔ mx − mx− m− =
Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu khi và chỉ khi
y′ =0 có 2 nghiệm phân biệt
y =0 có 2 nghiệm phân biệt (đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt)
2
y y
m
′
′
∆ >
∆ > − >
4 0
m m
< − ∨ >
<
Vậy 1
4
m< −
