SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC VIÊN GIỎI LỚP 12 BỔ TÚC THPT
NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN TOÁN
Đáp án chấm gồm 04 câu, 02 trang
1
(5 điểm)
a) 3 điểm
*) Sự biến thiên
- Đạo hàm, xét dấu đạo hàm, khoảng đơn điệu 0,75
*) Đồ thị
- Vẽ đồ thị (vẽ đúng dạng và đi qua các điểm đặc biệt) 0,5
b) 2 điểm
2
2
y ' y '(0) 2
(x 1)
+
1
2
(5 điểm)
a) 2 điểm
sin 2x+4(cos x- sinx)= (1)4 Đặt t=sinx−cosx 2sin(x )
4
p
= - ; điều kiện − 2≤t≤ 2
t = -1 2sin x cos x= -1 sin 2xÞ sin 2x= -1 t
(2) ⇔t2 +4t+3=0 ⇔t t==−−31 (t=-3 loại)
x k2 1
2
é = p ê
p
ê
0,5 0,25 0,75 0,5
b) 3 điểm
Giải hệ phương trình
2 2
x 3y x (1)
y 3x y (2)
= +
= +
Trừ (1) cho (2) ta có phương trình:
−
−
=
=
⇔
= + +
−
2 0
) 2 )(
(
x y
y x y
x y x
- Với x = y thay vào (1) được:
=
=
⇔
=
−
⇔ +
=
4
0 0
4
2
x
x x
x x x x
⇒(x;y)={(0;0);(4;4)}
- Với y = -x - 2 thay vào (1) được:x2−2x 6 0+ = (phương trình vô nghiệm)
Vậy nghiệm của phương trình: (x; y) (0;0),(4; 4)=
1
1
0,5 0,5 1
Trang 2(5 điểm)
a) 3 điểm
1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
+
≤
= +
2
4
1 ( ) 3
1 ( ) 16 36 ( ) 4
1 ( 4 ) 3
1 ( 6 ) 2
4
25 5 2 4
15 4
5 2 4
5 16
25 ) 2 (− + 2 ≤ ⇔− ≤ − ≤ ⇔ ≤ − + ≤
2 x
y 2x 5
9 4
y 20
=
= −
2 x
y 2x 5
9 4
y 20
= −
=
1 1
0,5
0,5
b) 2 điểm
Khoảng cách từ A(4;3) đến đường thẳng x – 3y – 5 = 0 là:
10 3
1
5 3 3 4
2
+
−
−
=
d
Gọi (C) là đường tròn thỏa mãn đề bài
Vì đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng x - 3y – 5 = 0 nên (C) có bán kính là R = 10
Phương trình đường tròn (C) là : (x- 4)2 + (y – 3)2 = 10
⇔ x2 + y2 – 8x - 6y + 15 = 0
1
0,5 0,5
4
(5 điểm)
a) 2 điểm
1
V SA.S
3
1 a 3 a 3 a
=
1 1
b) 3 điểm
Gọi E là trung điểm của BC thì H∈AE,I∈SE.
Ta có:
BC AE
BC SA
⊥
⊥ ⇒ BC ⊥ (SAE )
IH
⇒
Tương tự: BH ⊥ ( SAC ) ⇒ BH ⊥ SC
Mà SC ⊥ BI nên SC ⊥ ( BIH ) ⇒ SC ⊥ IH
Vậy IH ⊥ (SBC )
1 0,5 1 0,5 2
B
S
E H
I