HDC TOAN THPT v2;10 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NINH BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

Năm học: 2009 – 2010 MÔN TOÁN (VÒNG II)

(Hướng dẫn chấm gồm 04 câu, 04 trang)

1

(7 điểm)

a) 2,5 điểm

2x x 2 x 2x 3

TXĐ : D R

3 3 x 3x 2 0 (1)

3 2x x 2 3 x 2x (2)



Xét f (x) 3 x x, ta có f '(x) 3 ln 3 1 0 x R x    

f (x)

 đồng biến trên R

3

(2) f (2x x 2) f (x 2x) 2x x 2 x 2x

x 1

x 3x 2 0





     

 Kết luận: Phương trình (1) có hai nghiệm x = - 2; x = 1

1

0,5 0,5

0,5

b) 2,5 điểm

1

2010

1









,

Mà

1

suy ra trong ba số , ,

2010 2010 2010

có đúng một số bằng 1 và các số còn lại bằng 0

1

0,5

0,5

Nếu 1 2010, 0

x

Kết luận hệ có 3 nghiệm: (2010; 0; 0), (0; 2010; 0), (0; 0; 2010) 0,5

c) 2 điểm

Không mất tính tổng quát giả sử a b c   83  a b 2 c 43

Đặt ta b2  43 t 1;c 4 2t 

Đặt f (a; b;c) a 2b2c22abc, ta chứng minh f (a; b;c) f (t; t;c)

f (a; b;c) f (t; t;c) a  b  2t 2abc 2t c

       (vì c > 1)đpcm

f (t; t;c) 2t c 2t c 2t (4 2t) 2t (4 2t) 4t 14t 16t 16

Đặt

t 1 g(t) 4t 14t 16t 16 g '(t) 12t 28t 16;g '(t) 0 4

t 3







 



x 1 4

3

g'(x) + g(x)

272 27

10

272 g(a; b;c)

27

  , đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 43

0,25

0,25 0,5

0,25

0,5

0,25

2

(6 điểm)

a) 3điểm

P(x + y) = P(x) + P(y) – xy – 1 (1) Đạo hàm hai vế của (1) ta được: P'(x+y)=P'(x)-y, x, y R 

Đổi vai trò x, y ta được: P'(x+y)=P'(y)-x, x, y R 

P '(x) y P '(y) x x, y R

P '(x) x P '(y) y x, y R P '(x) x a x R

2

x P(x) ax b x R

2

      , với a, b là hằng số

0,5 0,25 0,25 0,5

0,5

B C

D

N

M

P

2

x

2

Thay x = y = 0 vào (1) ta được f(0) = 2f(0) - 1  P(0) = 1  b = 1

Suy ra

2

x

2

Thử lại dễ thấy đa thức

2

x

2

   thỏa mãn đề bài

0,5

0,25 0,25

b) 3 điểm

Xét dãy số (un) xác định bởi hệ thức: 0 1

u 1, u 1

u  7u  u n N







 Ta chứng minh un+1 > un, unN* n N* Thật vậy: ta có u2  6 u1 1 0

Mà un 2 7un 1  un  un 2  un 1 (un 1  u ) 5un  n 1 , bằng quy nạp suy ra đfcm



*

n 2 n 1 n

*

n 2 n n n 1 n 1 n 1

n 2 n n 1 n 1 n 1 n

n 2 n n 1 n 1 n 1 n 2 0 1

2

n 2 n n 1

u u u u u u = =u u u =5 n N

Chọn





Suy ra điều phải chứng minh

0,5 0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

3

(4 điểm)

Tứ giác DMEP là tứ giác điều hòa EMPE DMPD

Tứ giác DMFN là tứ giác điều hòa MFFN MDDN

1 0,5

EM FN DN DM DN  EM FN DP 

Áp dụng định lí Sin ta có













PE sinENP MF sinFPM ND sinDMN

EM sinENM FN sinFPN DP sinDMP













sinENP sinFPM sinDMN

sinENM sinFPN sinDMP   MD, NE, PF đồng quy tại một điểm

(Định lí Ceva-sin)

0,5

1

1

4

(3 điểm)

n m 1

i 1

C C C C C C C C C

C C C C C

 



         

      

n m 1

m 1

n i m

i 1 n

iC C C (C C ) C

C C C C C

(n 1)! n 1 n! n 1

(m 1)!(n m) m 1 m!(n m)! m 1

1 n 1

iC







 







     

    







1

1

1