+ Một đường thẳng cắt các trục toạ độ tại hai điểm mà khoảng cách từ các điểm đó đến gốc toạ độ bằng nhau thì đường thẳng đó có phương trình là y = ± x + b + Giả sử là góc tạo bởi ti
Trang 1LÝ THUYẾT TOÁN 10 – 11 - 12 THI THPT QUỐC GIA 2018
A Hình học:
I Chương trình lớp 10:
1 Các kiến thức liên quan đến vectơ:
+ Tích vô hướng của hai vectơ: ab abcos( b a; )
+ Cho a (a1;a2) Khi đó 2
2 2
1 a a
+ Cho A(x A ; y A ); B(x B ; y B ) Khi đó:
)
; (
A B A
B
A B A B
y y x
x AB
y y x x AB
+ Cho a (a1;a2);b (b1;b2) Khi đó:
2 2 1
1b a b a
b
0
2 2 1
b a b a b
a
Ta thường dùng tính chất này để kiểm tra hai vectơ (hai đường thẳng) vuông góc
2 2 2 1 2 2 2 1
2 2 1 1
)
; cos(
b b a a
b a b a b
a
Với( b a; )
là góc giữa hai vectơ a
và b
2 2
1 1
b a
b a b
a
+ Cho A(x A ; y A ); B(x B ; y B ) Gọi I(x I ; y I ) là trung điểm của AB Khi đó ta có:
2
2
B A I
B A I
y y y
x x x
2 Hệ thức lượng trong tam giác: Cho tam giác ABC có độ dài các là a, b, c; bán kính đường tròn
ngoại tiếp là R; bán kính đường tròn nội tiếp là r; đường cao, trung tuyến xuất phát từ A lần lượt là
hA; mA; nữa chu vi là p; S là diện tích tam giác ABC Khi đó ta có:
+ Định lý cosin: a2 = b2 + c2 - 2bc cosA (tương tự ta có các hệ thức còn lại)
C
c B
b A
a
2 sin sin
+ Công thức trung tuyến:
4 2
2 2 2
m a (tương tự ta có các hệ thức còn lại) Công thức tính diện tích:
R
abc pr
A bc B ac C
ab
ch bh
4
sin 2
1 sin 2
1 sin 2
1
2
1 2
1 2
1
S
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 2) )(
)(
(p a p b p c
p
3 Phương trình đường thẳng:
+ Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua M(x o ; y o ) và có vectơ pháp tuyến n( b a; )là:
a(x - x o ) + b(x - x o ) = 0
+ Phương trình tham số của đường thẳng đi qua M(x o ; y o ) và có vectơ chỉ phương n( b a; )là:
bt y
y
at x
x
o
o
(tR) +Khoảng cách từ điểm M(x o ; y o ) đến đường thẳng có phương trình tổng quát ax + by + c =
0 là:
2 2
)
;
(
b a
c by ax M
+ Cho đường thẳng và ' có các vectơ chỉ phương (vectơ pháp tuyến) lần lượt là
)
;
( 1 2
1 a a
n và n2 (b1;b2) Gọi góc giữa hai đường thẳng Khi đó ta có:
2 2 2 1 2 2 2 1
2 2 1 1
cos
b b a a
b a b a
4 Phương trình đường tròn:
+ Phương trình đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R là:
(x- a) 2 + (y-b) 2 = R 2
+ Phương trình x 2
+ y 2 + 2ax + 2by + c = 0 là phương trình đường tròn khi và chỉ khi
c
b
a2 2 >0 Khi đó nó có tâm là I(- a; - b) và bán kínhR a2 b2 c
5 Một vài chú ý:
+ Hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến
+ Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ
pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại
+ Ta viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước
+ Một đường thẳng cắt các trục toạ độ tại hai điểm mà khoảng cách từ các điểm đó đến gốc
toạ độ bằng nhau thì đường thẳng đó có phương trình là y = ± x + b
+ Giả sử là góc tạo bởi tia Ox và tia nằm trên đường thẳng y = ax + b có tung độ không âm Khi đó tan = a
+ Khi giải các bài toán về toạ đô cần chú ý đến tính đối xứng tâm; đối xứng trục của hình
bình hành, hình chữ nhật và hình vuông, các tính chất của đường tròn; vận dụng tích vô
hướng vào giả thiết vuông góc
II Hình học 11:
1 Quan hệ song song:
- Chứng minh hai đường thẳng song song:
c
b
c
a
//
//
//
(với a, b phân biệt)
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 3+
c b
c a
b
a
c b a
//
//
//
) ( )
(
) ( )
(
) ( )
(
(với a, b, c là ba đường thẳng phân biệt)
b
) ( )
(
) ( )
(
) //(
)
(
) //
( //
) ( )
(
//
) (
) (
c b
c a c
b
a
b
a
b a
a
//
) ( ) (
) (
) //(
b a b a
a
//
) ( )
(
)
//(
)
//(
a b
b a b
a
//
) (
) (
- Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:
) //(
)
(
)
(
//
a
d
a
d
//( )
) (
) //(
) (
a
- Chứng minh hai mặt phẳng song song (với ( ); ( )là hai mặt phẳng phân biệt) :
) //(
) (
) //(
) //(
) ( ,
b a
b a
b a
) //(
) ( ) //(
) (
) //(
) (
( ) //( )
) (
) (
d d
2 Quan hệ vuông góc:
- Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
+ Sử dụng định lý Pitago
a d a
d
) (
) (
a
d
) //(
) (
- Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
) (
) ( ,
d b
a
b
a
b
d
a
d
) //(
) (
) (
d
d
) ( )
(
) ( )
(
) ( )
(
d d
) ( //
) (
b b
a a
- Hai mặt phẳng vuông góc:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 4( ) ( )
) (
) (
a
a
) ( )
(
) ( ) (
) ( ) (
a b
a a
b
3, Khoảng cách:
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Để xác định khoảng cách từ điểm M đến
mặt phẳng () ta làm như sau:
+ Xác định mặt phẳng () qua M và vuông góc với ()
+ Xác định giao tuyến d của () và ()
+ Trong mặt phẳng (), dựng hình chiếu H của M lên d Khi đó MH chính là khoảng
cách từ M đến ()
- Khảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d':
Khi xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d' cần chú ý đến các tính
chất sau:
+ Khoảng cách giữa d và d' bằng khoảng cách giữa đường thẳng d' và mặt phẳng chứa
d và song song với d'
+ Khoảng cách giữa d và d' bằng khoảng cách giữa mặt phẳng song song nhau và lần
lượt chứa d và d'
+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách giữa một điểm bất kỳ trên đường thẳng đến mặt phẳng Do đó khi xác định khoảng cách ta nên chọn
những điểm trên mặt phẳng mà thuận tiện cho việc xác định và tính toán
Tóm lại, để xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có sơ đồ sau:
4, Xác định góc trong không gian:
-Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau d và () (với d () = O)
+ Trên d lấy điểm M khác O
+ Xác định hình chiếu H của M lên () Khi đó góc MOH chính là góc cần xác định
- Xác định góc giữa mặt phẳng () và () Với () () = d:
+ Tìm mặt phẳng () vuông góc với d
+ Xác định các giao tuyến a và b của () và (), của () và () Khi đó góc giữa a và b là góc cần xác định
(Chú ý ab và nếu việc chỉ ra đường thẳng a và b dễ dàng thì có thể bỏ qua bước 1)
Một số chú ý liên quan đến quan hệ vuông góc và xác định khoảng cách, xác định góc trong
không gian:
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 5+ Khi giải quyết các bài toán liên quan đến quan hệ vuông góc cần chú ý đến các đường
thẳng "tựa" (đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nào đó) BỔ SUNG HÌNH
+ Trục của đa giác là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác Ta có các tính chất liên quan:
Nếu một điểm cách đều các đỉnh của đa giác đáy hình chóp thì điểm đó nằm trên trục
của đa giác đáy
Hai điểm S và S' đều cách đều các đỉnh đa giác đáy của một hình chóp thì SS' vuông
góc với mặt phẳng đáy đó
5 Một số kiến thức khác:
- Định lý diện tích hình chiếu: Cho hình H có diện tích S Giả sử H' là hình chiếu vuông góc của H
lên () và H' có diện tích S' Gọi là góc giữa mặt phẳng chứa H và () Khi đó ta có:
S' = Scos
- Cách chứng minh ba điếm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy:
+ Để chứng mình ba điểm thẳng hàng hoặc ba đường thẳng đồng quy trong không gian ta
thường sử dụng định lý sau:
Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo giao tuyến phân biệt a, b, c Khi đó a, b, c hoặc
là đồng quy hoặc là song song
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là
trung điểm của MN, A' là giao điểm của AG và mặt phẳng (BCD) Qua M, kẻ đường thẳng Mx
song song với AA' và Mx cắt (BCD) tại M' Chứng minh B, M', A' thẳng hàng
+ Ngoài ra để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta cũng có thể sử dụng tính chất sau: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi ABk AC
- Cách chứng minh bốn điểm đồng phẳng và các bài toán liên quan đến vectơ trong không gian:
+ Để chứng minh bốn điểm đồng phẳng ta thường sử dụng định lý sau: bốn điểm phân biệt
M, N, P, Q đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số p, q sao cho MN p MPq MQ
Ta thấy để giải các bài toán trên ta cần phải biểu diễn một vectơ theo các vectơ còn lại Để
thực hiện bước này ta làm như sau:
+ Trước hết ta chú ý đến tính chất sau: Cho ba điểm A, B, C Khi đó ta có AC ABBC
+ Đối với hình học phẳng (trong bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng) thì ta chọn hai
vectơ không cùng phương sao cho việc biểu diễn các vectơ cần hiển thị theo hai vectơ này dễ dàng Tương tự trong hình học không gian thì ta chọn ba vectơ không đồng phẳng sau đó hiển thị các
vectơ liên quan theo ba vectơ này
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 6III Hình học 12:
1 Các khối, mặt và thể tích, diện tích của chúng:
a Thể tích, diện tích:
+ Thể tích khối chóp: V=
3
1
S đáy h (h: Chiều cao) + Thể tích khối lăng trụ: V = S đáy h (h: Chiều cao)
+ Mặt cầu: Diện tích hình cầu: S = 4R 2
Thể tích khối cầu: V =
3
4 R 3 + Hình trụ, khối trụ: Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq = 2Rl
Thể tích khối trụ: V = R 2 l
(R: bán kính đáy, l chiều cao) + Hình nón, khối nón: Diện tích xung quanh hình nón: S xq = Rl
Thể tích khối nón: V=
3
1R 2 h (R: bán kính đường tròn đáy, l: độ dài đường sinh, h: chiều cao) Một số chú ý khi tính thể tích:
+ Nắm được cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
+ Các hệ thức lượng trong tam giác, tam giác đồng dạng, có thể sứ dụng công thức diện tích hình chiếu (S'=Scos)
+ Ngoài ra ta có thể sử dụng tính chất sau khi tính thể tích: Cho tứ diện SABC Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P Khi đó ta có:
SC
SP SB
SN
SA
SM
V
V
SABC
SMNP
+ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Khi đó: V S.ABD = V S.BCD =
2
1
V S.ABCD
b Xác định tâm các mặt cầu:
- Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: Để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta làm
như sau:
+ Xác định trục của đa giác đáy
+ Tìm đường trung trực của một cạnh bên mà đường này cắt trục của đa giác đáy Khi
đó tâm của mặt cầu chính là giao điểm của đường trung trực với trục của đa giác đáy
Chú ý: * Thông thường, để giảm bớt độ phức tạp, người ta thường cho bài toán mà trục của đa giác đáy và cạnh bên của hình chóp đồng phẳng Khi đó, tâm của hình chóp chính
giao điểm của đường trung trực của cạnh bên (trung trực nằm trong mặt phẳng chứa cạnh
bên và trục đa giác đáy) và trục của đa giác đáy
* Khi vẽ tâm cần chú ý tâm nằm bên trong hay bên ngoài khối chóp
- Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón: Chính là giao điểm của đường thẳng đi qua đỉnh của hình nón
và tâm của đường tròn đáy (trục của đường tròn đáy) và đường trung trực của một đường sinh bất
kỳ (đường trung trực này nằm trong mặt phẳng chứa đường sinh và trục của đường tròn đáy)
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 7- Tâm mặt cầu nội tiếp hình nón là giao điểm của trục hình tròn đáy và đường phân giác của góc
tạo bởi một đường sinh và đường kính hình của đường tròn cắt đường sinh đó hvẽ
2 Phương pháp toạ độ trong không gian:
- Cho A(x A ; y A ; z A ); B(x B ; y B ; z B ) Khi đó:
) (
)
;
; (
A B A
B A
B
A B A B A B
z z y
y x
x AB
z z y y x x AB
- Cho a (x1;y1;z1);b (x2;y2;z2) Khi đó: ab b 0 x1x2y1y2z1z2 0
- Tích có hướng của hai vectơ: a (x1;y1;z1);b (x2;y2;z2)
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1
y x y x x z x z z y z y y
x
y x x z
x z z y
z y b
+ Tính chất:
Vectơ a b
, vuông góc với cả hai vectơ a
và b
Tức là: a b
, .a
= a b , .b
=0
a,b ab sin(a,b )
Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi a b
, = 0
Ba vectơa b c
, , đồng phẳng khi và chỉ khi a ,b c 0
- Phương trình mặt cầu:
+ Phương trình mặt cầu tâm I(a, b, c) và bán kính R là:
(x-a) 2 + (y-b) 2 + (z - c) 2 = R 2 + Phương trình x 2
+ y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi a2b2c2d 0 Khi đó đường tròn có tâm là I(-a, -b, -c), bán kính
d c b
a
R 2 2 2
- Phương trình mặt phẳng:
+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x o ; y o ; z o ) và có vectơ pháp tuyến
)
;
;
(A B C
n là:
A(x - x o ) + B(y - y o ) + C(z - z o ) = 0
+ Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm
M(a; 0; 0); N(0; b; 0); P(0; 0; c) (với abc 0) là:
1
c
z b
y a x
- Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 và A'x + B'y + C'z + D' = 0 Khi đó có thể xả ra một trong ba trường hợp sau:
+ Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi:
' ' '
D C
C B
B A
A
+ Hai mặt phẳng song song nhau khi và chỉ khi:
' ' '
D C
C B
B A
A
+ Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi: A:B:C A':B':C'
- Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(x o ; y o ; z o ) và có vectơ chỉ phương n (a;b;c):
+ Phương trình chính tắc (nếu abc 0):
c
z z b
y y a
x
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 8+ Phương trình tham số:
ct z z
bt y y
at x x
o o
o
(tR)
- Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Trong không gian cho đường thẳng d có vectơ chỉ
phương là u
và đi qua M; đường thẳng d' có vectơ chỉ phương là u' và đi qua M' Khi đó:
+ d và d' trùng nhau ,' , ' 0
u MM u
+ d // d'
'
0 ' ' ,
u k u
MM u u
+ d và d' cắt nhau
) (
'
0 ' ' ,
R k u k u
MM u u
+ d và d' chéo nhau u ,u 'MM' 0
Chú ý để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ta có thể xét hệ phương trình
- Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
u
và đi qua M; và mặt phẳng () có vectơ pháp tuyến n (A;B;C) Khi đó:
+ d ()
) (
0
M
n
+ d // ()
) (
0
M
n
+ d cắt () n 0
Chú ý để xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng ta có thể xét hệ phương
trình
- Góc trong không gian:
+ Cho đường thẳng d và đường thẳng d' lần lượt có vectơ chỉ phương là u
= (a 1 ; a 2 ; a 3 )
và u
' = (b 1 ; b 2 ; b 3 ) Gọi là góc giữa d và d' Khi đó ta có:
Cos =
2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1
3 3 2 2 1 1
b b b a a a
b a b a b a
+ Tương tự đối với góc giữa hai mặt phẳng
+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u
= (a 1 ; a 2 ; a 3 ) và mặt phẳng () có vectơ pháp tuyến n (A;B;C) Gọi là góc giữa d và () Khi
đó ta có:
2 2 2 2 3 2 2 2 1
3 2 1
sin
C B A a a a
C a B a A a
- Khoảng cách trong không gian:
+ Khoảng cách từ điểm M(x o ; y o ; z o ) đến mặt phẳng () có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 là:
2 2 2
)) (
; (
C B A
D Cz By Ax M
+ Khoảng cách từ điểm M o đến đường thẳng có vectơ chỉ phương là u
và đi qua M:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 9
u
u M M M
, )
; (
+ Cho đường thẳng có vectơ chỉ phương là u
và đi qua M; đường thẳng ' có vectơ chỉ phương là u' và đi qua M' (với d và d' chéo nhau) Khi đo khoảng cách giữa và ' là:
, '
' , ) '
; (
u u
M M u u
- Một số công thức tính thể tích, diện tích:
+ Diện tích ABC là S AB,AC
+ Thể tích của hình hộp ABCD.A'B'C'D' là: V AB,AC.AD'
AB AC
AD AC AB S
V h
' ,
+ Thể tích tứ diện ABCD là: , '
6
1
AD AC AB
V
AB AC
AD AC AB S
V h ABC 6 ,
,
- Một số bài toán liên quan:
+ Đưa phương trình đường thẳng từ dạng tham số sang dạng chính tắc và ngược lại
+ Để chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
Kiểm tra AB,AC.AD 0
Viết phương trình mặt phẳng (ABC) sau đó thế toạ độ điểm D vào phương trình mặt phẳng
+ Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
+ Giải bài toán hình học không gian (lớp 11) bằng cách đưa hệ trục toạ độ vào
- Một vài chú ý về phương pháp toạ độ trong không gian:
+ Chú ý tính chất: d a
a
d
) (
) (
(với mọi đường thẳng a) + Cho mặt phẳng () có phương là a
và b
Khi đó vectơ pháp tuyến của () là a, b
B Đại số và giải tích:
I Đại số 10: Chương trình đại số 10 cần nắm các kiến thức sau:
- Cách lấy phần giao, hợp trong việc giải các hệ bất phương trình một ẩn
- Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai Sử dụng hai định lý này để xét biểu thức (biểu thức ở dạng tích hoặc thương), giải bất phương trình bậc hai (Chú ý: Khi 0 thì tam thức bậc hai luôn luôn không âm hoặc luôn luôn không dương, còn > 0 thì nó vừa nhận giá trị âm, vừa
có thể nhận giá trị âm)
II Đại số - giải tích 11:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 101 Công thức lượng giác:
tg
cos 3/
cos cot g
sin
1 tg
2
2
1
1 cot g
sin 6/ tg cot g 1
b Công thức cộng - trừ:
1/ sin a b sin a.cos b sin b.cos a 2/ sin a b sin a.cos b sin b.cos a
3/ cos a b cos a.cos b sin a.sin b 4/ cos a b cos a.cos b sin a.sin b
tg a b
tga tgb
tg a b
1 tga.tgb
c Công thức góc nhân đôi:
1/ sin2a = 2sina.cosa 2/ cos 2a cos a2 sin a2 2 cos a 12 1 2 sin a2
tg2a
1 tg a 4/
2 cot g a 1 cot g2a
2 cot ga
d Công thức hạ bậc hai:
1/
2
2 cos 1 sin2a a
2/
2
2 cos 1 cos2a a
e Công thức biểu diễn sin x, cos x, tgx qua tgx
t
2 :
sin x
2
2
1 t cos x
1 t
tgx
1 t
2
1 t cot gx
2t
f Công thức biến đổi tích thành tổng:
2
1 cos cosa b ab ab 2/ [cos( ) cos( )]
2
1 sin sina b ab ab
2
1 cos sina b ab ab
g Công thức biến đổi tổng thành tích:
cos a cos b 2 cos cos
cos a cos b 2 sin sin
sin a sin b 2 sin cos
sin a sin b 2 cos sin
2 Phương trình lượng giác:
a Phương trình lượng giác cơ bản:
a 1 Phương trình sin:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01