Kẻ đường thẳng qua A và song song với IM cắt d tại K, suy ra IK = ID.
Trang 1SỞ GD&ĐT TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT (Lần 1)
Năm học: 2011 – 2012 Môn: Toán - Ngày thi thứ hai
Đáp án gồm 04 câu, trong 02 trang
1
5
điểm
3
ab bc cd da ac bd abc bcd cda dab
ab bc cd da ac bd abc bcd cda dab
abc bcd cda dab ab(c d) cd(a b) (ab) (c d) (cd) (a b)
ab(a b) (c d) cd(c d) (a b) (ab cd)(a b) (c d)
1 2(ab cd) 2(a b)(c d) ab bc cd da ac bd
1
2 1 1
2
5
điểm
TH1 : a, b, c lẻ ⇒ak+bk + ≡ck 1(mod2) k N∀ ∈ ⇒ đfcm
TH2 : Trong hai số có hai số chẵn một số lẻ ⇒ak +bk+ ≡ck 1(mod2) k N∀ ∈ ⇒
đfcm
TH3: Trong hai số có một số chẵn hai số lẻ, giả sử a chẵn, b và c lẻ
*) Nếu k chẵn thì k k k
a +b + ≡c 2(mod4)
*) Nếu k lẻ thì ta có:
v (b +c ) v ((b c)(b= + − −b c c )) v (b c), v (a ) k− + + − = + ≥
Với k > v (b c) k2 + = 0 ta có k k k
v (a +b +c ) v (b c)= +
2
v (a +b +c )≤
k k k
Max{v (a b c), v (a+ + + +b c ), , v (a +b +c ), v (b c)} k N+ ∀ ∈
Do đó các số nguyên n thỏa mãn:
k k k
2 2 2
n Max{1;v (a b c), v (a> + + + +b c ), , v (a +b +c ), v (b c)}+ thỏa mãn
đề bài
0,5 0,5
0,5 1 1 1
0,5 3
5
điểm
Giả sử
P(x) a x ,Q(x) b x , a 0, b 0, a b i=0;m
*) Nếu bi < ∀b i=0;nthì ta có:
i 0 j 0 i 1 j 1
P(b) Q(b) a b b b a b b b b a b a b a b
i 1 i 1
i 2 j 2
a b− b b− b a b a b a b
= =
…
i i
m n
P(x) Q(x)
a b i=1;m
=
*) Giả sử i là số nhỏ nhất thỏa mãn bi ≥ b, bi =p b r , 0 ri + i ≤ <i b, pi ≥1.
1
Trang 2Xét
Q (x) − b x +r x +(p +b )x + b x
=∑ ∑ ⇒Q (b) Q(b) P(b)i = = ,
Q (a) − b a +r a +(p +b )a + b a = b a p (b a)a Q(a) P(a)
Làm tương tự sau một số hữu hạn lần ta được Q (b) Q(b)k = = P(b),
k
Q (a) Q(a) P(a)< = và các hệ số của Qk(x) đều nhỏ hơn b
Vì Q (b) P(b)k = và các hệ số của Qk(x) đều nhỏ hơn b
P(x) Q (x) P(a) Q (a)
⇒ ≡ ⇒ ≡ ⇒ Mâu thuẫn.
1,5
1 0,5
1 1
4
5
điểm
Gọi E, F thứ tự là giao điểm của các đường thẳng AB, AC và d
Kẻ đường thẳng qua A và song song với IM cắt d tại K, suy ra IK = ID
2
OM ON= ⇔[KDEF]=-1⇔ID =IE.IF⇔IB.IC=IE.IF⇔B,C,E,F đồng viên
Mà (BA,BC)=(DA,DC)=(DA,DF)+(DF,CF)+(CF,DC)=(DF,CF) (modπ)
Hay (BE,BC)=(FE,FC)⇒B,C,E,F đồng viên ⇒ ĐFCM
0,5 2,5 1 1
2
N A
C
B
F D
E I
K