Luận văn một số vấn đề về tích hai hàm suy rộng

Lý thuyết của L.Schwartz cũng làm sáng tỏ các vấn đề trong vật lý mà trước đó toán học chưa thể lý giải một cách hoàn hảo được.. Điều này dẫn đến việc tiếp tục nghiên cứu để tìm cách xác

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ ÀO TẠO

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 08 năm 2015

H oàng T h ị D u yên

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

2.1 Không gian hàm suy rộng T>'{ũ) 92.1.1 Định n g h ĩ a 92.1.2 Đạo hàm suy r ộ n g 112.1.3 Sự hội tụ trong không gian hàm suy rộng T>'{íĩ) 132.2 Vấn đề về tích hai hàm suy rộng S c h w a rtz 142.2.1 Tích chập của hai hàm suy r ộ n g 142.2.2 Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng 152.2.3 Tích hai hàm suy rộng bất kỳ 162.2.4 Sự không tồn tại tích các hàm suy rộng tổng quát 20

3.1 Định nghĩa hàm suy rộng Colombeau 22

3.1.1 Hàm suy rộng Colombeau ( Q- suy rộng) trên Rn 22

3.1.2 Hàm suy rộng Colombeau trên tập mở rỉ c 253.2 Các tính chất về vi phân trong đại số C/(Mn) 26

1

3.4 Giá trị tại điểm của hàm Q- suy rộng 33

3.5 Tích phân của hàm Q— suy r ộ n g 35

3.6 Khái niệm bằng nhau trong Ợ(Rn) 38

3.7 Hàm Q— suy rộng tăng c h ậ m 43

3.7.1 Định n g h ĩ a 43

3.7.2 Tích phân của hàm suy rộng tăng c h ậ m 45

3.7.3 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm 48

3.8 Một số ví dụ cụ t h ể 48

M Ở Đ Ầ U

1 Lý do chọn đề tài

Có thể nói rằng lý thuyết hàm suy rộng phát triển bởi L Schwartz đã

mở cửa cho sự phát triển trong một số những lĩnh vực của toán học hiện đại, chẳng hạn như trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng Lý thuyết của L.Schwartz cũng làm sáng tỏ các vấn đề trong vật lý mà trước đó toán học chưa thể lý giải một cách hoàn hảo được

Sau khi hoàn thành việc xây dựng lý thuyết hàm suy rộng thì L.Schwartz

đã công bố một công trình cho thấy rằng không thể lấy tích số của hai hàm suy rộng tùy ý Điều này dẫn đến việc tiếp tục nghiên cứu để tìm cách xác định tích hai hàm suy rộng trong một số trường hợp cụ thể mà thực tiễn đặt ra Nhiều nhà toán học khác nhau đã tham gia vào quá trình này để giải quyết vấn đề tích của hai hàm suy rộng Một số trong đó đã thành công trong việc xác định tích của hai hàm suy rộng trong một số trường hợp, như cách của Mikusinski hay cách xác định dựa vào biến đổi Fourier Trong trường hợp tổng quát, để định nghĩa một cách tổng quát

rõ ràng không thể dừng lại trong lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz, phải có một đại số nào đấy mà trong đó các hàm suy rộng L.Schwartz là một tập con ( theo một nghĩa nào đó) và từ đó mới có thể lấy được tích một cách tùy ý

Cuối cùng vào những năm 80 của thế kỷ 20, một lý thuyết mới về hàm suy rộng đã được nhà toán học người Pháp là J F Colombeau giới thiệu

ở hai chuyên khảo liên tiếp [9] và [10] ông đã trình bày cách xây dựng đại số của hàm suy rộng mới, hàm suy rộng Colombeau Trong đại số này, như mong muốn các hàm suy rộng của L Schwartz được nhúng vào như một tập con, và từ đó về mặt lý thuyết ta có thể xác định được tích hai hàm suy rộng đó.

Đại số các hàm suy rộng của J.F.Colombeau sau khi ra đời đã giúp một

số nhà toán học ứng dụng và đưa ra những kết quả nghiên cứu trong việc giải các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Hiện nay, các nhóm nghiên cứu này (chẳng hạn ở Đại học Bách khoa Viên- Áo) vẫn hoạt động và thường xuyên đưa ra các kết quả mới

Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại, được sự định hướng và hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí, tôi đã lựa chọn

đề tài "M ột số vấn đề về tích hai hàm suy rộng" cho luận văn tốt

nghiệp khóa học thạc sỹ của mình Trong luận văn này, tôi sẽ nghiên cứu các kết quả cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng của L Schwartz và kết quả tại sao không thể thể lấy được tích của hai hàm suy rộng một cách tổng quát Tiếp theo tôi sẽ đi tìm hiểu một số cách xác định tích của hai hàm suy rộng để có thể giải quyết được một số ví dụ cụ thể về tích hai hàm suy rộng Phần cuối luận văn sẽ trình bày những vấn đề cơ bản nhất trong đại số hàm suy rộng của J.F.Colombeau và tìm hiểu một số ví dụ cụ thể

về tích của hai hàm suy rộng Colombeau được công bố gần đây

3 N hiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên , nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:

- Trình bày các định nghĩa, các ví dụ cụ thể về hàm suy rộng

- Một số vấn đề của thực tiễn dẫn đến việc phải nghiên cứu tích hai hàm suy rộng

- Một số giải pháp tìm cách xác định tích của hai hàm suy rộng và những vấn đề liên quan

4 Đ ối tượng và phạm vi nghiền cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Hàm suy rộng L Schwartz, một số phương pháp tìm cách xác định tích của hai hàm suy rộng; đại số hàm suy rộng Colombeau và một số vấn đề liên quan

- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước liên quan đến tích hai hàm suy rộng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các kiến thức, phương pháp và công cụ của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề

- Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo mới về vấn đề tích hai hàm suy rộng

6 Đ óng góp mới

-Đây là một tài liệu giúp cho người quan tâm tìm hiểu được các vấn đề liên quan đến sự phát triển của bài toán tích các hàm suy rộng

Chương 1

K iến th ứ c chuẩn bị

Chương này hệ thống lại một số thuật ngữ, khái niệm và kết quả về

những không gian để làm cơ sở cho việc tiếp cận các kiến thức ở chương

tiếp theo Các kiến thức ở đây được tham khảo trong các tài liệu [3], [4]

và [14]

Ta gọi mỗi phần tử a = (qíi,q;2) ■■■ĩ&n) € Nn là một n- chỉ số (hay đa

f :g e C k(Q) thì đạo hàm của một tích theo công thức Leibniz

( 1.1)

(1.2)trong đó a! = o;n!

Vì vậy, kể từ đây, trong luận văn này ta ký hiệu K là một tập compact

của íỉ và K j là một trong các tập compact trong họ K j nói trong bổ đề trên

B ổ đ ề 1.2 c°° (íỉ) là một không gian Frechet và T>K là không gian con

đóng của C 00 (íỉ) với mọi K c Í2

Chọn các tập compact K j, j = 1,2, , sao cho K j nằm trong phần

Như vậy, với mọi tập compact к с fỉ thì T>K {Ũ) là một không gian

Fréchet Hợp tấ t cả các không gian đó lại ta có không gian các hàm thử

Đ ịn h n g h ĩa 1.1 Ta ký hiệu D (íỉ) là tập hợp

T>(Q) = {Ф G С00(ri) : supp</> là tập compact trong Q }

Khi đó ta gọi D (íỉ) là không gian các hàm thử (test function).

Ta thấy T>(Ç}) = и т>к (Q) ) nên T>(Ç}) là không gian vectơ, đó còn là

không gian vectơ lồi địa phương Điều này được thể hiện qua định lý sau

Đ ịn h lý 1.1 Không gian các hàm thử là một không gian vectơ tôpô lồi địa phương.

Chứng minh Theo nhận xét trên ta có XV (ÍỈ) là không gian Fréchet Ta

ký hiệu T k là tôpô trên không gian , ß là họ tấ t cả các hợp w tập cân, lồi của T>{fỉ) sao cho T>K r \ W E Tjỉ với mọi tập compact к с

Gọi r là họ tấ t cả các tập hợp có dạng Ф + w với Ф ẽ v{ũ) và w € ß .

а) Ta chứng minh T là một tôpô trên và ß là một cơ sở lân cận của

r

T hật vậy, với Vi, v 2 E T và Ф G Vi П V2 ta chỉ cần chứng minh tồn tại

w ẽ ß sao cho Ф + w ẽ Vị П V 2 Ta có, do Ф ẽ Vị, (i = 1,2) nên tồn tại

ội G D (fỉ) và Wị G ß sao cho

Ф ẽ 4>i + Wị, ỉ = 1,2 Chọn tập compact к с Í2 sao cho 0, ậi € T>K , ỉ = 1 , 2 Do т>к П Wị mở trong T>K nên tồn tại ỏi > о, г = 1, 2 sao cho

Ф - ệi G (1 - ỗị)Wi

Do Wị là tập lồi nên

Ộ - Ộ Ì + SiWi с (1 - Si)Wi + SiWi = Wi.

Suy ra

Ф + ổịWi С фг + Wj, ỉ — 1,2.

Từ đó ta chọn w — ( ố i ) П (^2^ 2) thì Ф + w G Vị П v 2 Vậy T là một tôpô trong T>(íì) Hiển nhiên ß là một cơ sở của r Giả sử 0 1, 02 là hai

phần tử tùy ý của T>(íì) Với mỗi Ф £ ta đặt

M o = SUP l^(^)l

æeiîvà

w = {0 e ®(fi) : M 0 < 110! - « „ }

thì w € ß và Ф 1 <Ị_ Ф 2 + w Suy ra mọi tập một điểm là đóng trong x>(fỉ)

theo tôpô T

b) Bây giờ ta chứng minh các phép toán trên T>(íì) liên tục với tôpô

r Với mọi 0 1 ,0 2 £ T)(Çl) và 01 + 02 + w E t với w £ ß Khi đó,

do w là tập lồi và cân nên ta có аф — a ữộ ữ E w với mọi \a — Qíol < í và

Ф ẽ Фо + c W Vậy phép nhân với phần tử vô hướng là liên tục trong T>(íì) theo tôpô T Điều này chứng tỏ không gian các hàm thử T)(íì) là không

gian vectơ tôpô và hơn nữa còn là không gian lồi địa phương □Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giải tích hiện đại Nó là công cụ để xây dựng các khái niệm mới, cũng như mở rộng

các tài liệu tham khảo của [14]).

Đ ịn h lý 1.2 Cho không gian T>(Q) với tôpô T Ta có

ỉ Dãy các hàm thử { ậ i } ^ hội tụ theo tôpô T tới 00 trong T>(íì) khi và chỉ khi tồn tại j G N* sao cho suppội с K j với mọi ỉ ç N* và ội —> фо

trong T>K (^)> nghĩa là

sup Id aội{x) — д афъ{х) \ —> 0 khi ỉ —> oo (1.3)

x£Kj với mọi đa chỉ số a.

2 Tập E С ì?(íỉ) khi và chỉ khi tồn tại j e N* sao cho E là tập con bị

tồn tại j e N* sao cho ội hội tụ trong T>K {Œ) và do đó hội tụ trong D (íỉ).

3 Một phiếm hàm tuyến tính Л : T>(n) —> с liên tục khi và chỉ khi với mọi j G N tồn tại Nj e N và hằng số Cj > 0 sao cho

sup |A(0)| < Cj sup {\даф(х)\ : |a | < N j } (1.4)

Đ ịn h lý 1.3 Trong không gian các hàm thử

1 Phép lấy vi phân да : ф I—»• д аф là tuyến tính và liên tục trên T>{yt) với mọi đa chỉ số a.

2 Với mọi f E c ° ° ( fĩ) thì ánh xạ M f : ф I—^ f ậ cũng là tuyến tính liên tục trên T>(íì).

C hương 2

K h ô n g gian hàm su y rộng Schwartz

Trong chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết hàm suy rộng Schwartz và vấn đề về tích hai hàm suy rộng Schwartz Các kiến thức này được tham khảo trong các tài liệu [4] và [14]

2.1 1 Đ ịn h n g h ĩã

Đ ịn h n g h ĩa 2.1 Mỗi phiếm hàm u : ĩ?(íĩ) —> c tuyến tính liên tục với

tôpô trên x>(fỉ) được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộng Schwartz

Không gian các hàm suy rộng trên Q được kí hiệu Với mỗi hàm

suy rộng u ẽ T>'(ri) tác động lên mỗi ộ € v ( ũ ) được viết là (u,ộ) Hai

Tương tự, mọi hàm / G -Lp(fỉ) cũng là một hàm suy rộng.

V í d ụ 2.2 (Hàm Dirac) Hàm Dirac ký hiệu là ỏ được xác định như sau

<5 : V ( R n) -> c vầ( ỏ, ậ) = 0(0)

là một hàm suy rộng T hật vậy, ta có 0 G I)(IRn) nên ậ là hàm khả vi liên

tục mọi cấp và

{{ổ, ộ)} = 10(0)1 < l s u p | 0 ( z ) | , vự> e V ( R n).

Mà supp</> c K — compact c Mn Do đó ổ là một hàm suy rộng (gọi là

hàm suy rộng Dirac hay hàm Delta Dirac)

Trong không gian T>'{íĩ) ta có:

B ổ đ ề 2.1 Cho и G Т)!(rĩ) là một hàm suy rộng Khi đó, với mỗi đa chỉ

số ữ € N" toán tử tuyến tính được ký hiệu d au xác định bởi

lim (u, ộj) = 0,

(д“и,ф) = ( - 1) H ( и , д “ф ) , ф € ĩ>(ữ) (2.2)

là một hàm suy rộng

Chứng minh Vì u € T>'(fỉ) nên \(u, ộ)\ < c II011 ,\/ộ £ Do đó

\(dau, ộ) \ < c\\daộ\\N < c\\ộ\\N+ịaị.

Đ ịn h nghĩa 2.3 Cho u € 'D'{SÍ) Hàm suy rộng xác định bởi (2.2) được

gọi là đạo hàm cấp OLcủa hàm suy rộng u

V í d ụ 2.5 Hàm Heaviside xác định bởi

nếu X > 0 nếu X < 0

Nếu hàm suy rộng u có đạo hàm suy rộng d u = 0 thì

(U, <fi) = (U, i>) + ( / : {ư,p)

= <ỠC/, a-) + ( / (U,p)

= ụ +° ° v { t ) d t ) {u , p )

Do đó nếu hàm suy rộng u có đạo hàm suy rộng du = 0 thì u tương

ứng với hàm hằng u = (U: p) trong lớp hàm khả tích địa phương

Khi đó, với mỗi hàm suy rộng u ẽ luôn có một họ các nguyên hàmsuy rộng mà hai nguyên hàm trong họ sai khác nhau một hàm suy rộng

2.2 Vấn đề về tích hai hàm suy rộng Schwartz

2 2 1 T ích chập củ a h ai h à m su y rộn g

Đ ịn h n gh ĩa 2.5 Cho и, V £ Т)'(шп), tích chập của hai hàm suy rộng u, v

là m ột phiếm hàm tu yến tín h , ký hiệu и * V, xác định bởi:

(ô * и, ф) = (ô(y), (u(x), ф(х + у))) = (u ( x ), ф(х)) = (и, ф).

Vậy nên u * ỗ = ô * u = u với mọi и G Ĩ ^ R 71).

(ii) Định nghĩa tích chập ở trên cũng hợp lệ với f , g £ Lị(M.n) T hật vậy, với Ф G т*(шп) tùy ý đặt:

thì ta có h £ Lị(M.n), hơn nữa ta có

Với у £ R n thì

(f {y), (д{х),ф{х + y))) = ( f ( y ) , h ( y ) ) = Ị f ( y ) h ( y ) d y

Tích của một hàm trơn với một hàm suy rộng cũng thỏa mãn công thức Leibniz về lấy đạo hàm.

Đ ịn h lý 2.2 Cho / G ơ °°(fỉ), u G 'D/(íì) và a là một đa chỉ số tùy ý

ở phần trên, chúng ta đã định nghĩa tích của một hàm trơn / G C°°(Í2)

và một hàm suy rộng u e T>'(íì) Bây giờ chúng ta muốn định nghĩa tích

của hai hàm suy rộng tùy ý, nói riêng trên ]Rm, rõ ràng không thể dùng định nghĩa 2.6 cho 2 hàm suy rộng vì f ậ có thể không là hàm thử nếu / G T>'{\Rm); ậ G 2}(]Rm) Sau đây chúng ta sẽ xét một số cách định nghĩa

tích hai hàm suy rộng Trước tiên là định nghĩa tích hai hàm suy rộng của Mikusinski

Đ ịn h nghĩa 2.7 Một dãy (<5n), n = 1,2, các phần tử của đượcgọi là một dãy Delta nếu thỏa mãn:

a) su p p jn c { x £ Mm : |x| < £n} với lim £n = 0,

(2.5)

b) / Rm ôn(x)dx = 1

Đ ịn h n gh ĩa 2.8 (Mikusinski) Ta nói rằng s và T có thể lấy tích S T nếu với mọi dãy Delta (ổn), n = 1,2, thì giới hạn lim (s * ỗn) ( T * ỏn) tồn

n —>oo

tại trong và giới hạn đó không phụ thuộc vào việc chọn dãy Delta

Cơ sở của định nghĩa 2.8 là do lim ỏn = ỏ trong do đó lim (s *

Số hạng đầu tiên dần tới 0 khi n —> oo vì ỗ~ * ỗn là hàm chẵn Ta sẽ đi

chứng minh số hạng thứ hai ở vế phải hội tụ tới T hật vậy, ta có:

Ộ'(Q) ( ~ , ỏ ~ * {xôn) \ = Ị - a n(x)dx,

\ X / J - Q Q X

trong đó a n = <J” *(a;ổn), nên a~ = ốn* [(-z)ố ~ ] = +

vì rõ ràng nếu Ipi,tp2 £ Li(K) thì x(ĩpi * Ĩp 2 ) = (2^ 1) * 'ệĩ + 'ội * (2^ 2)■

M ệnh đề 2.2 Trong X^R) ta không thể lấy tích ỗ.ỗ theo định nghĩa 2.8.

Chứng minh Giả sử rằng tồn tại ổ2 £ V ^ R ) Lấy dãy Delta tùy ý (ổn), n =

1, 2, ta có giới hạn lim (ỏ2, ậ) luôn tồn tại \/ậ G P(M) Chọn ộ G D(R)

Do sự tồn tại của giới hạn lim (ỏ2, ộ) nên ta có dãy (<5n), n — 1,2, .

bị chặn trong L2(M) Mà trong L2(M) thì hình cầu đơn vị là compact yếu

nên tồn tại dãy con (ổnjt), k = 1,2, của dãy (ổn), n — 1,2, hội tụ

yếu tới g ẽ L 2(M.) Bởi vậy V</> ẽ L 2(M.) thì (g , ộ ) = lim (ỗnk,ộ), nhưng

do ộ £ D(M) nên ta lại có lim (ỏnk, ộ) = ((7,0) Điều đó chứng tỏ rằng

X

1

sao cho ộ = 1 trong lân cận của 0 Khi đó ta có

Với u G có giá compact, ta đặt:

Gọi M(Mm) bao gồm tấ t cả các cặp (u, v) G D /(Mm) X D'(Mm) sao cho

Vz G Km tồn tại một lân cận í ì x của X sao cho

1 [ujù)h {'ệvỴ khả tích trên R m với mọi 0 J,ìp G T>(íìx),

2 / Rm ( uj u ) a ( t p v ) y d x = JRm (ĩ ft u)A( cơv) v d x với m ọi uj , i p e T > ( ũ x ),

3 f Rm \(oju )a (ĩpvY \ dx phụ thuộc liên tục vào Cú G 'D(ỹlx),'iĩp €E 2?(Í2X).

Đ ịn h nghĩa 2.9 (Dựa trên biến đổi Fourier) Nếu u , v G tích của

u và V trong 'DI{Q,X) ký hiệu u v xác định trên Q x như sau:

với mọi Lú € 'D{yix),ĩỊ) € 'D{yix) được chọn sao cho Ip(x) = 1 trên suppo;.

Ta có thể kiểm tra định nghĩa trên hoàn toàn xác định và không phụ

thuộc vào việc lựa chọn ĩỊj.

Tuy nhiên, định nghĩa này có hạn chế đó là ta không thể lấy tích chẳng

hạn là ỗ2 hay -ổ J V.

T hật vậy nếu tồn tại ỏ2, ta lấy X = 0 và uj^ip e D(fỉo) sao cho tư(o) =

V’(o) = 1 và 'ệ = 1 trên suppcư, ở đây íỉo là một lân cận của điểm 0 Giả

sử rằng ỗ G M(M) thì (u:S)A(ipSỴ khả tích trên № Mặt khác ta lại có

WA( 0 = { u ( x ) , e i xt ) , u y (x) = w (u( Z),ei('x)

(cưổ)A = 1 và (ìpỏy = —— khả tích trên M, điều này là vô lý Vậy chứng

tỏ ố2 ị M (1R)

Ta cũng có thể chứng minh không tồn tại —8 theo cách định nghĩa ở trên.

X

2 2 4 S ự k h ô n g tồ n tạ i tíc h các h àm su y rộ n g tổ n g q u át

Trong lý thuyết của mình, Schwartz đã đưa ra một khẳng định là không

hy vọng xây dựng một tích của các hàm suy rộng một cách đầy đủ Khẳng định ấy được thể hiện trong nội dung định lý sau:

Đ ịn h lý 2.3 Nếu có A là một đại số chứa đại số Ơ°(M) của tất cả các hàm liên tục trên M như là một đại số con với hàm 1 ẽ C°(M) là phần tử đơn vị của A Giả sử có ánh xạ tuyến tính d : A —> Ả là toán tử vi phân liên tục và thỏa mẫn công thức Leibniz d(ab) = d(a).b + a.db thế thì ta có ỗ2 (|s |) = 0

A “Nếu x a = 0 th ì a = 0 ” bởi vậy từ х д 2 (|x|) = 0 ta có ô2 (|ж|) = 0

Mặt khác ta đã biết d 2 (|x|) = 2Ỏ nên từ đây suy ra ố = 0 Mâu thuẫn này

chứng tỏ không thể xây dựng một đại số chứa ì?'(M) mà trong đó công

H àm su y rộng C olom b eau

Trong chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản trong việc xây dựng đại số các hàm suy rộng Colombeau và các ví dụ về tích hai hàm suy rộng Colombeau Các kiến thức này được tham khảo trong các tài liệu [9], [10], [11], [12], [13], [14]

là hàm giải tích trên c n Từ đó suy ra 0(0) = 1 và d a 0(0) = 0, |a | >

Л

1, Væ € Kn, nên ộ{t) = 1, Ví ẽ Kn Mặt khác, do Ф € Aq, q = 1,2, , nên

Ф G Z>(Mn) và với mỗi m — 1 , 2 , 3cm > 0 sao cho

lý Hahn-Banach về thác triển liên tục, ta có thể thác triển liên tục các

toán tử tuyến tính liên tục Lj, 0 < j < q thành các toán tử tuyến tính

liên tục trên Mặt khác ta lại có = V ( R ) do đó tồn tại ĩpk € T>(R), к = 1,2, q sao cho Lj(ĩpk) = CTjfc; j, к = 1,2, .q Đặt Ф = tpQ,

ta có Lj ( ậ) = Ơ j 0 hay / R„ ậ ( x ) dx = 1 và / R„ x ^ậ( x) dx = о, 1 < j < q Điều đó chứng tỏ ф e Ả g với mỗi q = 1,2, Vậy mệnh đề được chứng

ộe x{t) — iTxộe) {t) Ta cũng đặt £(K n) là tập hợp các hàm có dạng

: A l X r ^ c

(0, x) I-» R (ậ , X).

Trong đó R ( ộ , x ) là hàm khả vi vô hạn theo X với mỗi ộ cố định Ta

có thể chứng minh được rằng £(Mn) là một đại số với các phép toán theo điểm

Đ ịn h n g h ĩa 3.1 Ta nói phần tử R ẽ £(]Rn) là một phần tử “ôn hòa” ( moderate) nếu với mỗi tập compact K c 1 " và mọi phép lấy vi phân d a

tồn tại JV g N * sao cho y ộ G Ajv chúng ta có

khi £ —¥ 0 đều trên K , trong đó (3.2) nghĩa là sup \ (daR) (ộ£,x)\ < ce~N

x e K

với c > 0 và với m ọi £ đủ nhỏ.

Ta ký hiệu £ ^ ( ^ " 0 là tập tấ t cả các phần tử ôn hòa của £ ( R n).

N h ậ n x é t 3.1 Ta thấy rằng N nói chung phụ thuộc vào a và K Nếu ta

có N = N ( a , K ) thì (3.2) vẫn còn đúng khi ta thay N bởi N ' > N Ngoài

ra, nếu Ri , i?2 € ^(IR71) thì ta có đồng thời d aiR i d a2R 2 (ộe: x) = o (s~Nl)

và ỡa2i?2Ỡa ii?i(0e, x) = Ö (e ~Nl) với Nị nào đó Do đó, theo công thức Leibniz chúng ta có £ j là đại số con của £(Mn)

Đặt r = ị ß : N —> M+ sao cho nếu q < r thì ß(q) < ß(r) và lim ß(q) = oo

ta có

Đ ịn h n g h ĩa 3.2 Ta gọi phần tử R G £(Mn) là null nếu mọi tập compact

K c Kn và mọi toán tử vi phân d a có một số N £ N* và ß £ r sao cho

Vg > N , \ / ệ £ Rq ta có

khi £ 0 đều trên K Ta ký hiệu tập các phần tử null của £ (R n) là X.