Luận văn một số vấn đề về tính không lặp trong tổ hợp trền từ

Trần Vĩnh Đức, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài " Một số vấn đề về tính không lặp trong tổ hợp trên từ " được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

cô giáo khoa Toán cũng như các thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K20 chuyênngành Toán Ứng dụng trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã đem hết tâm huyết và

sự nhiệt tình để giảng dạy, trang bị cho tác giả nhiều kiến thức cơ sở và giúp đỡ tácgiả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp

đã luôn quan tâm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quátrình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, ngày 25 tháng 10 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Huệ

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Vĩnh Đức, luận văn thạc sĩ

chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài " Một số vấn đề về tính không lặp trong

tổ hợp trên từ " được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả.

Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 25 tháng 10 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Huệ

Mục lục

Chương 1 Từ và ngôn ngữ 6

1.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản 6

1.2 Các tính chất cơ bản của từ 9

Chương 2 Phương trình từ 16 2.1 Định nghĩa phương trình từ 16

2.2 Tính chất cơ bản của phương trình từ 17

2.3 Một số phương pháp giải phương trình từ 17

Chương 3 Từ không lặp 26 3.1 Định nghĩa từ lặp, từ không lặp 26

3.2 Từ vô hạn 2+-free trên một bảng chữ cái gồm hai chữ cái 27

3.3 Từ vô hạn 2-free trên bảng chữ cái gồm ba chữ cái 30

3.4 Một vài kết quả của từ không lặp bình phương 40

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tổ hợp trên các từ có liên hệ với nhiều lĩnh vực của toán học hiện đại cũng nhưvới khoa học máy tính Các kết quả của tổ hợp trên từ có nhiều ứng dụng trongnhiều lĩnh vực khác nhau như: Lôgic, Số học, Nửa nhóm, Otomat, Một trongnhững nghiên cứu quan trọng của tổ hợp trên từ là tính lặp của từ

Bài báo quan trọng đầu tiên về tổ hợp trên các từ là bài báo của A.Thue vàođầu thế kỉ 20 Năm 1906, A.Thue đã giới thiệu bài báo cáo về các từ không lặpbình phương Trong suốt 70 năm sau đó, ngày càng có nhiều người quan tâm đến

từ không lặp bình phương và những từ không lặp nói chung Một số ví dụ về ứngdụng của tính lặp trên từ được chỉ ra dưới đây Đầu tiên, người ta quan sát thấyrằng từ vô hạn square-free, overlap-free, cube-free thực sự như những ví dụ điểnhình hoặc phản ví dụ cho một số trường hợp và trong nhiều lĩnh vực khác nhau.Trong động lực học chúng được Morse giới thiệu vào năm 1921 Sau đó, một sốngười khác sử dụng cho lý thuyết nhóm Người ta cũng đề cập đến ứng dụng chongôn ngữ hình thức: Đó là Brzozowski và Gabrillian sử dụng từ không lặp cho ngônngữ hình thức J.Goldstine cũng sử dụng dãy từ Morse để chỉ ra tính chất bao hàmcủa một số ngôn ngữ

Trong luận văn này, với tên gọi: Một số vấn đề về tính không lặp trong tổ hợp

trên từ, luận văn sẽ làm chi tiết hơn cho người đọc hai kết quả quan trọng của

Thue, đó là:

1 Tồn tại từ (dài) vô hạn 2+- free trên một bảng chữ cái gồm hai chữ cái, và

2 Tồn tại từ (dài) vô hạn 2 - free trên một bảng chữ cái gồm ba chữ cái

Và sau đó, luận văn cũng sẽ đưa ra một vài kết quả thú vị gần đây liên quan đến

từ không lặp bình phương

2 Mục đích nghiên cứu

• Tìm hiểu các kết quả quan trọng của tổ hợp trên từ

• Đưa ra một số ứng dụng của từ không lặp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu khái niệm, tính chất của từ, đưa ra một số phương pháp để giải phươngtrình từ, làm rõ cho người đọc hai kết quả quan trọng trên từ của Thue về từ không

lặp và đưa ra một số kết quả thú vị gần đây liên quan đến tính chất lặp của từ.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Từ không lặp trong tổ hợp trên từ

• Phạm vi nghiên cứu:

- Nghiên cứu về từ và những tính chất cơ bản của từ

- Nghiên cứu những tính chất cơ bản của phương trình từ

- Nghiên cứu về từ không lặp của Thue

- Nghiên cứu những kết quả gần đây của các từ không lặp bình phương

5 Phương pháp nghiên cứu

• Đọc và tổng hợp tài liệu về tổ hợp trên từ

• Những kết quả đưa ra gần đây của tổ hợp trên từ

6 Những đóng góp của luận văn

Hệ thống hóa và chi tiết hơn các khái niệm, tính chất của từ Luận văn sẽ làm rõhơn hai kết quả quan trọng của A.Thue về từ không lặp Và đưa ra một số kết quảthú vị gần đây liên quan đến tính chất lặp của từ

Bảng chữ cái A là một tập hữu hạn khác rỗng, các phần tử của bảng chữ được

gọi là ký tự hoặc chữ cái Ví dụ bảng chữ cái A = {a, b}.

Một từ trên bảng chữ cái A là một dãy ký tự lấy từ A Ví dụ dãy w = (a, b, a, a, b)

là một từ trên bảng chữ A = {a, b} Thông thường ta bỏ qua dấu ngoặc và các dấu phảy cho gọn Ví dụ, từ w = (a, b, a, a, b) được viết là w = abaab Từ có thể hữu hạn hoặc vô hạn (sang bên phải) Từ có độ dài vô hạn được gọi là ω-từ Số chữ cái trong

từ w được gọi là độ dài của w và viết là |w| Số chữ a trong từ w được ký hiệu là

|w| a Dễ thấy |w| =P

a∈A |w| a

Từ có độ dài 0 được gọi là từ rỗng và ký hiệu là 1

Ta ký hiệu A∗, A+ và A ω tương ứng là tập mọi từ hữu hạn, tập mọi từ hữu hạn

khác rỗng, tập mọi từ vô hạn trên bảng chữ A.

Ví dụ, với A = {a, b}, ta có

A∗ = {1, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab, }

Xét hai từ u và v trên bảng chữ A, ta định nghĩa phép ghép hay tích của u và v

là từ w thu được bằng cách viết liên tiếp dãy u trước, sau đó đến dãy v Cụ thể, với

u = a1a2 a n và v = b1b2 b m từ w là

w = a1 a n b1 b m

Rõ ràng, phép toán ghép · này có tính kết hợp và từ rỗng là đơn vị của phép

toán này Do đó, (A∗, ·) và (A+, ·) tương ứng có cấu trúc vị nhóm và cấu trúc nửanhóm Hơn nữa, hai cấu trúc này là tự do theo nghĩa sau đây

Một nửa nhóm (hoặc vị nhóm) S được gọi là tự do nếu nó có một tập hợp con

B sao cho mỗi phần của S có thể được biểu diễn duy nhất như là tích của các phần

tử trong B Tập B này được gọi là tập sinh tự do của S, hoặc một cơ sở của S.

Cho w, u ∈ A∗, a ∈ A và L, K ⊂ A∗ Một từ u là một thừa số của w (tương

ứng thừa số trái/tiền tố, thừa số phải/hậu tố) nếu tồn tại các từ x và y thỏa mãn

w = xuy (tương ứng w = uy, w = xu) Chúng được gọi là thừa số thực sự nếu chúng khác w Ta viết u ≤ w (u < w) biểu thị rằng u là một tiền tố (tiền tố thực sự) của w Tập tất cả các tiền tố của w được ký hiệu là pref(w), pref k (w)là tập tiền tố

của w có độ dài k Tương tự, ta có ký hiệu tương ứng cho tập hậu tố là suf(w) và

sufk (w).

Nếu u ≤ w tồn tại duy nhất một y sao cho w = uy Ở đây y được gọi là thương trái của w bởi u và nó được ký hiệu là u−1w Trong trường hợp này u không phải là tiền tố của w, u−1wlà không xác định, vì vậy hàm số

(u, w) 7→ u−1w

trở thành xác định một phần Tương tự ta có định nghĩa cho thương phải của wu−1

Nếu w = a1 a n trong đó a i ∈ A thì phép lấy ngược của w được viết là:

Tập L∗ và L+ tướng ứng là các vị nhóm con và nửa nhóm con của A∗, chúng còn

được gọi là vị nhóm con và nửa nhóm con sinh ra bởi L Chú ý rằng với mỗi w trong

L∗ có ít nhất một L-phân tích, và nếu phân tích đó là duy nhất thì L∗ được gọi là

tập tự do và L là cơ sở Ở đây L được gọi là một code.

Phân tích được mô tả bởi hình sau đây:

hoặc

Hình sau nghĩa là w = xz = zy = ztz.

Hai từ x và y là hai từ liên hợp nếu tồn tại các từ u và v thỏa mãn

x = uv và y = vu, hoặc tương tự, chúng có quan hệ với nhau qua một phép hoán vị vòng c : A∗ → A∗

được định nghĩa như sau:







c(1) = 1 c(w) =pref−11 (w)wpref1(w) với w ∈ A+,

tức là x = c k (y) với một giá trị k nào đó Chú ý rằng ở hình thứ 2 trang 2 x và y

là hai từ liên hợp Ta ký hiệu quan hệ của phép liên hợp bởi ∼; đây rõ ràng là mộtquan hệ tương đương

Đặt w = a1 a n với a i ∈ A Số p là một chu kỳ của w nếu

a i = a i+p , i = 1, , n − p.

Để minh họa cho chu kì ta có hình vẽ sau đây:

trong đó u = pref p (w).

Chu kỳ nhỏ nhất được ký hiệu bởi p(x) Các phần tử trong lớp liên hợp của

prefp(w) (w) được gọi là nghiệm vòng của w.

Ví dụ 1: Một từ có thể có nhiều chu kỳ Ví dụ như từ abababa và aabaabbaabaa

có các chu kỳ tương ứng là 2, 4, 6 và 7, 10, 11 Hơn nữa, bất kỳ một số lớn hơn

hoặc bằng độ dài của w cũng luôn là một chu kỳ của w.

Một từ w 6= 1 được gọi là từ nguyên thủy nếu nó không phải là lũy thừa với số

mũ nguyên thực sự (khác 1) của bất kỳ nghiệm vòng nào của w.

Sau đây, ta sẽ đi trình bày một số tính chất cơ bản của từ

Một đồng cấu h : A∗ → B∗(hoặc A+ → B+)là ánh xạ h : A∗ → B∗(hoặc A+→ B+)thỏa mãn:

h(ww0) = h(w)h(w0), ∀w, w0 ∈ A∗.

Từ định nghĩa, ta có:

• h(1) = 1 và

• h là hoàn toàn xác định bởi các từ h(a), a ∈ A.

Đồng cấu h được gọi là:

• 1-free nếu h(a) 6= 1 với mọi a ∈ A,

• Tuần hoàn nếu ∃z thỏa mãn h(a) ∈ z∗ với mọi a ∈ A,

• Đẳng cấu nếu |h(a)| = |h(b)| với mọi a, b ∈ A,

• Tiền tố ( hoặc hậu tố) nếu không một từ nào trong h(A) là một tiền tố ( hoặc

hậu tố) của một từ khác,

• Mã nếu h là đơn ánh.

1.2 Các tính chất cơ bản của từ

Đầu tiên, ta sẽ nêu ra tính chất của từ nguyên thủy

Định lý 1.1 Một từ w ∈ A+ là từ nguyên thủy khi và chỉ khi nó thỏa mãn

∀z ∈ A∗ : [w = z n ⇒ n = 1 và do đó w = z]. (1.2)

Chứng minh Rõ ràng, từ (1.2) ta suy ra w là từ nguyên thủy Ta cần phải chứng

minh chiều ngược lại Gọi w là từ nguyên thủy và w = z n với n ≥ 2 Đặt r =

prefp(w) (w) Trường hợp này có thể được minh họa như sau:

Vì |r| là chu kỳ của w, |z| ≥ |r| Hơn nữa, do w là từ nguyên thủy nên ta có

z / ∈ r∗ Do vậy, so sánh tiền tố có độ dài là |r| của hai lần xuất hiện đầu tiên của z

ta có thể viết

r = ps = sp với p, s 6= 1.

Từ Định lý 3 (ta sẽ đưa ra sau) ta có p và s là các lũy thừa của một từ khác rỗng, điều này mâu thuẫn với |r| là chu kỳ nhỏ nhất của w.

Chú ý: Ta thường dùng điều kiện (1.2) để định nghĩa một từ nguyên thủy.

Tồn tại hai lớp quan trọng các từ nguyên thủy, đó là từ unbordered và Lyndon

Một từ được gọi là từ unbordered nếu chu kỳ nhỏ nhất của nó bằng độ dài của

từ đó Nói một cách khác, w không có bất kỳ một từ khác rỗng nào vừa là tiền tố

và hậu tố Một từ được gọi là từ bordered nếu nó không phải là từ unbordered.

Lưu ý rằng, một từ bordered có thể trùng với thừa số của một từ khác Điều nàykhông thể xảy ra với từ unbordered

Ví dụ 2: Ta đưa ra một xây dựng đơn giản về cách một từ bất kỳ được tạo bởi ít

nhất hai chữ cái có thể được mở rộng thành một từ unbordered Xét một từ w, ta

đặt

u = wab |w| , trong đó a = pref1(w) và b 6= a.

Ta có minh họa như sau:

Định lý 1.2 Nếu các từ u, w, x và y trong A thỏa mãn uw = xy, thì tồn tại duy nhất

một từ t thỏa mãn một trong các điều kiện sau

i u = xt và y = tw, hoặc

ii x = ut và w = ty.

Chứng minh Do tính đối xứng, ta có thể giả sử |u| ≥ |x| Khi đó vì uw và xy là cùng

một từ trong A, x là một tiền tố của u, tức là tồn tại t thỏa mãn u = xt Hơn nữa, t

là duy nhất nên ta có

xy = uw = xtw.

Mặt khác, đây là đơn vị của từ, vì vậy y = tw Do vậy (i) đúng.

Kết quả tiếp theo ta sẽ phân loại khi nào hai từ là giao hoán với nhau

Định lý 1.3 Cho u, v ∈ A∗ Các điều kiện sau đây là tương đương:

i u và v là hai từ giao hoán, tức là uv = vu,

ii u và v thỏa mãn một quan hệ không tầm thường,

iii Tồn tại một từ t thỏa mãn u, v ∈ t∗.

Chứng minh Định lý là hiển nhiên nếu u hoặc v là rỗng Vì vậy, ta giả sử u và v

khác rỗng

(i) ⇒ (ii) Hiển nhiên, vì uv = vu là một quan hệ không tầm thường của u và v (ii) ⇒ (iii) Áp dụng quy nạp theo |u| + |v| Ta giả sử |u| ≥ |v|; trường hợp khác

được chứng minh tương tự

Nếu |u| = |v| = 1, ra dễ dàng suy ra điều phải chứng minh.

Bây giờ ta chọn α = β là một quan hệ không tầm thường của u và v, tức là

α, β ∈ {u, v}+và chúng là hai từ khác nhau trên {u, v}, nhưng

α = β trong A∗. (1.3)

Vì α và β là hai từ khác nhau trên {u, v} nên ta có thể giả sử rằng α = uα1 và

β = vβ1 với α1, β1 ∈ {u, v}∗(có thể ta phải xóa bỏ những tiền tố giống nhau của α

và β (trong {u, v}∗)) Từ (1.3) và Định lý 1.2, tồn tại một từ w sao cho

Nếu w = 1 ta có điều phải chứng minh Vì vậy, ta giả sử w 6= 1 Gọi α2 và β2 là

những từ trên {v, w} thu được từ α và β bằng cách thay thế mỗi lần xuất hiện của

u bởi vw Khi đó, α2 và β2 là hai từ khác nhau trên {v, w} vì α2 bắt đầu bằng vw và

β2 bắt đầu bằng vv Mặt khác, rõ ràng là α2 = β2 trong A∗, và vì |v| + |w| < |u| + |v| nên ta áp dụng giả thiết quy nạp và có được: tồn tại một từ t thỏa mãn v, w ∈ t∗

Nhưng từ (1.4), điều tương tự cũng đúng cho u và v Từ đó ta suy ra (iii) đúng.

(iii) ⇒ (i) là điều hiển nhiên

Định lý 1.3 dẫn đến hai hệ quả thú vị sau Hệ quả đầu tiên là một trường hợpcủa Định lý 1.3

Hệ quả 1.2.1 u, w ∈ A∗ là hai từ giao hoán khi và chỉ khi chúng là lũy thừa của cùng một từ.

Hệ quả tiếp theo cho ta biểu diễn của từ

Hệ quả 1.2.2 Với mỗi w ∈ A+tồn tại duy nhất một từ nguyên thủy ρ(w) thỏa mãn

w = ρ(w) n với giá trị n ≥ 1 nào đó.

Chứng minh Từ Định lý 1.1 ta có tồn tại ít nhất một số n thỏa mãn w = ρ(w) n Nếu

w không phải là từ nguyên thủy ta viết w = z n với n ≥ 2 Nếu z không phải là từ nguyên thủy, ta lặp lại quá trình này đến khi tìm được ρ(w) thỏa mãn.

Để chứng minh tính duy nhất ta giả sử ρ1 và ρ2 là hai từ nguyên thủy và w =

ρ n1 = ρ m2 với n, m ≥ 1 Khi đó, ρ1 và ρ2 thỏa mãn một biểu thức không tầm thường,

và vì vậy áp dụng Định lý 1.3 ta có ρ1 và ρ2 là các lũy thừa của cùng một từ Nhưng

từ Định lý 1.1, một từ nguyên thủy là lũy thừa của một từ chỉ khi m = n = 1 Do

đó, ρ1 = ρ2 và ta có Hệ quả 2

Từ ρ(w) trong Hệ quả 2 được gọi là căn nguyên thủy của w, và n là số mũ của

w

Ví dụ 3: Một từ nguyên thủy ρ không thể là một thừa số của ρ2 theo một cách

không tầm thường, tức là, nếu ρ2 = uρv thì ta cần u = 1 hoặc v = 1 Ta giả sử ngược lại: ρ2 = uρv với u, v 6= 1 Gọi p và s là những từ thỏa mãn us = ρ = pv Điều

này được minh họa bằng hình sau đây:

Ta có

uρv = ρρ = uspv, hoặc tương đương ρ = sp.

Mặt khác, ρ có một tiền tố p và một hậu tố s, vì vậy ta có ρ = ps Do đó ps = ρ = sp

và từ Định lý 1.3 p và s là lũy thừa của cùng một từ, từ đó ρ = z n , với n ≥ 2; điều này là vô lý vì ρ là từ nguyên thủy.

Trong Định lý 1.3 chúng ta đã phân loại từ hoán vị Tiếp theo, ta phân loại khinào hai từ là liên hợp với nhau

Định lý 1.4 Gọi u, v ∈ A+ Khi đó các điều kiện sau là tương đương

i u và v là hai từ liên hợp,

ii Tồn tại một từ z thỏa mãn uz = zv,

iii Tồn tại các từ z, p và q thỏa mãn

u = pq, v = qp, và z ∈ p(qp)∗.

Chứng minh Hiển nhiên điều kiện (i) và (iii) tương đương Vì vậy, ta chỉ cần chứng

minh (ii) và (iii) tương đương

(iii) ⇒ (ii) Nếu u = pq, v = qp và y = p(qp) n với n ≥ 0 thì

• Các phương trình trong (ii), và

• Nghiệm của một phương trình trong (iii)

Tiếp theo, ta chứng minh kết quả tuần hoàn cơ bản của từ và nó còn được gọi là Bổ

đề tuần hoàn của Fine và Wilf (Periodicity Lemma of Fine and Wilf)

Định lý 1.5 (Fine và Wilf, 1956) Cho u, v ∈ A+ Khi đó các từ u và v là các lũy thừa của cùng một từ khi và chỉ khi u ω và v ω có chung một tiền tố với độ dài

|u| + |v| − gcd(|u|, |v|).

Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh cho trường hợp gcd(|u|, |v|) = 1.

Nếu gcd(|u|, |v|) 6= 1, |u| = dp và |v| = dq với gcd(p, q) = 1, coi u và v như là các phần tử của (A d)+, tức là trên bảng chữ cái A d, trong đó các chữ cái là từ với độ

dài d trong bảng chữ cái ban đầu Trong bảng chữ cái rộng hơn, gcd(|u|, |v|) = 1,

và nếu ta có thể chứng minh định lý trong trường hợp này thì ta có thể suy ra trongtrường hợp tổng quát

Vì vậy, ta giả sử rằng |u| = p và |v| = q với gcd(p, q) = 1 Một chiều là hiển nhiên Để chứng minh chiều ngược lại ta giả sử u ω và v ω có một tiền tố chung với

độ dài p + q − 1 Do tính đối xứng, ta cũng có thể giả sử p > q, ta có minh họa cho

chứng minh bằng hình vẽ sau đây

Ở đây, p và q ký hiệu cho độ dài của các từ u và v, vị trí của các từ u ω và v ω được

đánh số từ 1, , p + q − 1 Đường nét đứt cho ta vị trí có thể được so sánh được của các từ u ω và v ω Cuối cùng, mũi tên miêu quá quá trình được định nghĩa như sauMục đích của quá trình này là cố định các giá trị của vị trí mới sao cho nó giống

như là giá trị đã cho của vị trí ban đầu i0 ∈ [1, , q − 1] Từ giả thiết ta có giá trị

của vị trí được tính như sau:

i0 7→ i0+ p 7→ i1 ≡ i0+ p (mod q), (1.6)

trong đó i1 được giảm đến khoảng [1, , q], và có cùng giá trị với i0 Vì vậy, ta có

quá trình tính i1 từ i0 Vì gcd(p, q) = 1 nên i1 6= i0 Nếu nó cũng khác với q thì ta sẽ

lặp lại quá trình này và vị trí mới thu được là khác với vị trí trước đó Thật vậy, nếu

i0+ np ≡ i0+ mp(mod q), n, m ∈ [0, q − 1], thì ta cần n = m, vì gcd(p, q) = 1.

Nếu quá trình này có thể được lặp lại q − 1 lần thì tất các cả vị trí trong miền màu xám sẽ được phủ và vì vậy có cùng giá trị với giá trị ban đầu trên i0 Nhưng

điều đó có nghĩa là v thuộc bảng chữ cái đơn phân, vì vậy u cũng như vậy và ta sẽ

có điều phải chứng minh

Nhưng quá trình có thể được lặp lại q − 1 lần nếu ta chọn i0 thỏa mãn

Trong trường hợp này tất cả các giá trị i0+ jp (mod q) với j = 0, , q − 2 là khác

q , và đây là điều kiện để ta có thể áp dụng quá trình Rõ ràng giá trị i0 thỏa mãnphương trình (1.7) tồn tại

Hệ quả 1.2.3 Nếu một từ có hai chu kỳ p và q và nếu nó có độ dài ít nhất p + q−

Hệ quả 1.2.4 Với bất kỳ hai từ u, v ∈ A+ ta có

l(u ω , v ω ) ≥ |u| + |v| − gcd(|u|, |v|) ⇒ ρ(u) ∼ ρ(v).

Chứng minh Giả thiết được minh họa như sau

trong đó |z| ≥ |u| + |v| − gcd(|u|, |v|) Rõ ràng, tồn tại liên hợp tương ứng u1 và v1của u và v thỏa mãn z ≤ u ω

1, v1ω Vì vậy, từ Định lý 1.5, u1 và v1 là các lũy thừa của

cùng một từ, gọi là t, vì vậy chúng cũng là các lũy thừa của từ nguyên thủy ρ(t) = ρ.

Vì vậy, từ Hệ quả 2, ρ(u1) = ρ(v1) = ρ.

Để chứng minh hệ quả trên ta cần mệnh đề sau đây:

Mệnh đề: Nếu x là một từ nguyên thủy và x0 ∼ x, thì x0 cũng là một từ nguyên

thủy Ta có chứng minh của mệnh đề như sau Nếu x0 = s n thì c(x0) = (c(s)) n, trong

đó c là hoán vị vòng trong trang 4, vì vậy, c(x0)cũng là một lũy thừa bậc n Vì vậy

Chương 2

Phương trình từ

2.1 Định nghĩa phương trình từ

Trong chương này ta xét các khái niệm và những tính chất cơ bản của phương trình

từ, trên cơ sở đó sẽ đưa ra một số phương pháp giải phương trình từ

Ta có một số thuật ngữ sau Gọi A là một bảng chữ cái hữu hạn và X là một tập các biến (ẩn) với A ∩ X = ∅ Một phương trình (với X là tập các biến trên A) là

thiết phải hữu hạn) đến hệ phương trình

Ở trên ta cho phép phương trình bao gồm các hằng số Một phương trình u = v

là hằng số tự do nếu u, v ∈ X∗ Gọi E và E0 là hai hệ phương trình (có cùng

tập hữu hạn các ẩn) Ta nói E và E0 là tương đương nếu Sol(E) = Sol(E0) Hơn

nữa, ta nói E là độc lập nếu với mỗi u = v ∈ E tồn tại môt nghiệm h thuộc Sol(u = v)\Sol(E\{u = v}) Cuối cùng, ta nói phương trình u = v là rút gọn nếu

pref1(u) 6=pref1(v)và last1(u) 6=last1(v).

Chú ý rằng nghiệm của phương trình là một |X|-véctơ trên A Do vậy ta đang giải các phương trình trên vị nhóm tự do A∗ Tuy nhiên đôi khi ta cũng quan tâm

đến giải các phương trình này trên một nửa nhóm tự do A+, tức là, ta cần h là một

1-free

Ví dụ 1 Xét phương trình

e1 : xy = yx và e2 : xxyyxx = yyxyxyy.

Từ Định lý 1.3, cả hai phương trình chỉ có duy nhất nghiệm tuần hoàn, tức là

x, y ∈ t∗ với một t nào đó Tuy nhiên chúng không tương đương vì

Sol(e1) = {(t n , t m )|t ∈ A∗; n, m ≥ 0}, Sol(e2) = {(t 3n , t 2n )|t ∈ A∗; n ≥ 0}.

Ví dụ 2 Các phương trình xz = zy và xz2 = z2x là tương đương Điều này đượcsuy ra từ chứng minh của Định lý 1.4

2.2 Tính chất cơ bản của phương trình từ

Ta biết rằng phương trình có thể được sử dụng để phân loại các tính chất của từ:

x ∈ (ab)∗ ⇔ xab = abx

2.3 Một số phương pháp giải phương trình từ

I Phương pháp độ dài So sánh độ dài của các vế của một phương trình (hoặc

của một hệ phương trình) ta có một phương trình tuyến tính (hoặc một hệ phương

trình tuyến tính), điều này cho ta các nghiệm potential Nghiệm của e2 trong Ví dụ

1 là một minh họa cho phương pháp này Đôi khi phương pháp độ dài được sử dụngtrong tiền tố hoặc hậu tố của phương trình:

Thật vậy, ở đây vị trí giữa của hai vế có thể được tìm ra bằng phương pháp độ dài

và nửa đầu tiên của phương trình phải trùng nhau

II Tách phương trình Đôi khi phương trình có thể được tách ra thành nhiều

phương trình Tiêu chuẩn để tách thường dựa trên phương pháp độ dài, nhưng đôikhi cũng là match những từ đã biết Ví dụ, nếu ta biết rằng

• x là từ unbordered, và

• uxv = yxz với |u|, |v|, |y|, |z| ≤ |x|,

Ở đây ta hy vọng phương trình mới sẽ đơn giản hơn, và từ đó tìm ra nghiệm Tuy

nhiên điều này không phải lúc nào cũng đúng vì khi ta thay x vào tất cả các vị trí trong α và β thì tổng độ dài của phương trình có thể tăng lên Phương pháp này cũng là phương pháp đổi biến X:

X 7→ X ∪ {t}\{x}.

IV Sử dụng phương trình đã biết Phương pháp II và III dẫn đến một phương

trình mới, ở đó nghiệm có thể đã biết Những phương trình cơ bản này là giao hoán

xy = yx , hoặc liên hợp xz = zy, hoặc sử dụng Định lý Fine và Wilf để đưa ra kết

Ví dụ 4 Ta chỉ ra rằng phương trình

x2y2 = z2

có duy nhất nghiệm tuần hoàn, tức là, ρ(x) = ρ(y) = ρ(z) (nếu x, y, z 6= 1) Giả sử (x, y, z) là một nghiệm Lấy một liên hợp phù hợp trong (1) ta có: tồn tại z0 thỏamãn

z0 ∼ z và z02= xy2x.

Áp dụng phương pháp độ dài xy = z0 = yx sao cho x và y là lũy thừa của một từ.

Do đó, áp dụng Định lý Fine và Wilf cho (1) ta có điều phải chứng minh

Phát biểu có thể được mở rộng như sau:

x n y m = z k trong đó n, m, k ≥ 2 ⇒ ∃t : x, y, z ∈ t∗.

Trong Ví dụ 3 nghiệm tổng quát của phương trình xyyx = uvvu có thể biểu diễn

như những từ tham số, tức là, biểu thức chứa các tham số:

• Từ tham số α và β, và

• Tham số nguyên i, j và k.

Ở đây, trong trường hợp tổng quát trong phương trình có hằng số tự do, từ tham số

có thể được cố định đến bất kỳ một từ trên A Trong trường hợp phương trình với

hằng số, giá trị của ẩn số của nghiệm có thể là một từ cố định (như trong Ví dụ 1),hoặc chúng bắt đầu với một ký tự nhất định

Một điều không may mắn là nghiệm tổng quát của một phương trình có hằng số

tự do, không cần biểu thức hữu hạn sử dụng từ tham số Thậm chí ngay cả phương

trình xyz = ztx cũng thuộc loại này.

Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng bất kỳ một tổ hợp Boolean của các phương trình

có thể được đưa về một phương trình duy nhất, thường có nhiều ẩn, sao cho tập

nghiệm của chúng là như nhau Vì vậy, phương trình u = v và u0 = v0 ta phải xétnghiệm của các phép toán:

Phép hội: u = v và u0 = v0,

Phép tuyển: u = v hoặc u0 = v0, và

Bất phương trình: u 6= v.

Những nghiệm này có thể định nghĩa như sau:

• Sol(u = v ∧ u0 = v0) = Sol(u = v) ∩ Sol(u0 = v0)

• Sol(u = v ∨ u0 = v0) = Sol(u = v) ∪ Sol(u0 = v0)

• Sol(u 6= v) = A∗× A∗\Sol(u = v).

Ở đây, ta giả sử |A| ≥ 2 Ta có kết quả sau đây.

Định lý 2.1 Mỗi cặp phương trình tương đương với một phương trình duy nhất.

Chứng minh Xét phương trình u = v và u0 = v0 Ta phát biểu rằng:







u = v

u0 = v0 ⇔ uau0ubu0 = vav0vbv0,

trong đó a và b là hai hằng số của A Hiển nhiên, vế trái đúng sẽ dẫn đến vế phải.

Ta giả sử phản chứng rằng:

uau0ubu0 = vav0vbv0.

Xét độ dài cả hai vế của phương trình ta có để xác định vị trí giữa và tách phươngtrình thành cặp

Điều này là vô lý Do đó, u = v và u0 = v0

Lưu ý là ở đây ta chưa cần thêm ẩn số mới Vì vậy, ta có hệ quả sau đây

Hệ quả 2.3.1 Hệ hữu hạn các phương trình tương đương với một phương trình duy

Định lý 2.2 Với mỗi bất phương trình u 6= v với tập ẩn X, tồn tại hữu hạn các

phương trình u i = v i , trong đó i = 1, , N , với ẩn X ∪ {z, z0, z”} thoả mãn s là một nghiệm của u 6= v khi và chỉ khi ∃z, z0, z” ∈ A∗sao cho (s, z, z0, z”) là một nghiệm của

u i = v i với i = 1, , N

Cuối cùng, ta có thể đưa hội của hai phương trình về một phương trình

Định lý 2.3 Với bất kỳ một cặp u = v và u0 = v0 với ẩn X tồn tại một phương trình

x = y trên tập ẩn X ∪ {z, z0} sao cho s là một nghiệm của u = v hoặc u0 = v0 khi và chỉ khi ∃z, z0 ∈ A∗ sao cho (s, z, z0)là một nghiệm của x = y.

Chứng minh Ta bắt đầu với hai bước quy nạp Rõ ràng,

⇐ Trước tiên vì < uu0 > là từ nguyên thủy, nó xuất hiện ở trong từ < uu0 >2tại

đúng hai vị trí: ở tiền tố và hậu tố Hơn nữa, từ < uu0 >2 không thể xuất hiện trong

< uu0 > u < uu0 > hoặc < uu0 > u0 < uu0 > vì < uu0 > dài hơn cả u và u0, và chu kỳ

của < uu0 >là lớn hơn một nửa độ dài của nó Kết hợp hai dữ kiện này ta có hoặc

z = 1 hoặc z0 = 1 và do đó u = v hoặc u0 = v.

Ta tóm tắt hai kết quả của định lí 2.1 và 2.3 như sau

Định lý 2.4 Với mỗi tổ hợp Boolean B của các phương trình với ẩn X, ta có thể xây

dựng một phương trình duy nhất E với ẩn X ∪ X0 thỏa mãn

Ví dụ 5 Những tính chất sau đây có thể biểu diễn như sau:

"y là một tiền tố của x": x = yz

"y là một tiền tố thực sự của x": x = yz và z 6= 1, hoặc x = yz và W

a∈A z = at.

"x có một bình phương thừa số": x = yz2w

"x là không phải là từ nguyên thủy": xy = yx và x < y, tức là, xy = yx và x = yz và

z 6= 1

Ta cũng có thể ép hai biến x và y bằng cách thêm các biểu thức sau đây

"là lũy thừa của một từ": xy = yx

"là hai biến khác nhau": x 6= y

Mặt khác, rất khó để biết khi nào "x là từ nguyên thủy" hoặc "x ∈ {a, b}∗,

{a, b} ⊂ A, là có thể biểu diễn được.

Ta kết thúc chương này với bài toán thuật toán xác định khi nào một phươngtrình có nghiệm Như đã biết bài toán này là quyết định được, chứng minh bởiMakanin năm 1976 Tuy nhiên, thuật toán rất phức tạp Lưu ý cho phương trìnhvới hằng số tự do, bài toán là hiển nhiên vì phương trình loại này luôn có nghiệmvới tất cả các ẩn đều bằng 1 Cũng lưu ý rằng, một phương trình không nhất thiết

tồn tại nghiệm, như là ta đã chỉ ra nếu mã hóa tính chất "x bắt đầu bằng a" và "x bắt đầu bằng b" vào một phương trình:

Ta sẽ giải phương trình bằng cách áp dụng Bổ đề Levi Tức là, phương pháp III Ta

có ba khả năng và chúng được minh họa như sau: