Luận văn sư phạm Một số kết quả về tích hai hàm suy rộng theo nghĩa Mikusinski

Khâa luªn tèt nghi»p Chuy¶n ng nh gi£i t½chKHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HOC... Khâa luªn tèt nghi»p Chuy¶n ng nh gi£i t½chLÍI CAM OAN D÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS... Tø â h¼nh th nh t÷ duy logic

Khâa luªn tèt nghi»p Chuy¶n ng nh gi£i t½ch

KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HOC

Em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi T.S T„ NGÅC TR, ng÷íi ¢ tªn t¼nh ch¿b£o, gióp ï º em ho n th nh khâa luªn cõa m¼nh.

Ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi ¢ luæn ð b¶n, õng hë, ëngvi¶n tæi trong suèt thíi gian håc tªp!

H  nëi, th¡ng 05 n«m 2013

Sinh vi¶n

Phòng Thà Thu

Khâa luªn tèt nghi»p Chuy¶n ng nh gi£i t½ch

LÍI CAM OAN

D÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS T„ NGÅC TR, còng vîi sü cè g­ng né lüc cõa b£nth¥n, tæi ¢ ho n th nh b i Khâa luªn cõa m¼nh Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu, tæi câthu thªp v  tham kh£o mët sè t i li»u ¢ n¶u trong möc t i li»u tham kh£o

Tæi xin cam oan nhúng k¸t qu£ trong Khâa luªn l  k¸t qu£ nghi¶n cùu cõa tæi,khæng tròng vîi k¸t qu£ cõa t¡c gi£ kh¡c N¸u sai, tæi xin chàu ho n to n tr¡ch nhi»m

H  Nëi, th¡ng 05 n«m 2013

Sinh vi¶n

Phòng Thà Thu

Möc löc

1.1 Mët v i k½ hi»u v  kh¡i ni»m 7

1.1.1 Mët v i k½ hi»u 7

1.1.2 Mët v i kh¡i ni»m 8

1.2 Khæng gian c¡c h m thû 9

2 KHÆNG GIAN H€M SUY RËNG 13 2.1 Khæng gian c¡c h m suy rëng 13

2.2 ¤o h m cõa h m suy rëng 16

2.3 Khæng gian c¡c h m gi£m nhanh v  khæng gian c¡c h m suy rëng t«ng chªm 19

3 TCH CHŠP CÕA HAI H€M SUY RËNG THEO NGHžA MIKUSIN-SKI 21 3.1 T½ch chªp 21

3.2 T½ch chªp Mikusinski 24

Khâa luªn tèt nghi»p Chuy¶n ng nh gi£i t½ch

LÍI NÂI †U

1 Lþ do chån · t i

Kº tø khi ra íi v o th¸ k¿ XX, h m suy rëng ¢ gâp ph¦n quan trång trong vi»cnghi¶n cùu v· c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh Do nghi»m cõa ph÷ìngtr¼nh ¤o h m ri¶ng nâi chung, v  cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh nâiri¶ng, th÷íng khæng tçn t¤i to n cöc, n¶n nhu c¦u mð rëng kh¡i ni»m nghi»m choph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ng y c ng trð n¶n c§p thi¸t

Vîi nhúng nghi¶n cùu v  âng gâp cõa J.Mikusinski v· c¡ch t½nh t½ch cõa hai h msuy rëng, ¢ gi£i quy¸t ÷ñc ph¦n n o nhúng v§n · cõa lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh ¤o

h m ri¶ng tuy¸n t½nh Tæi mong muèn ÷ñc t¼m hiºu v· k¸t qu£ m  J.Mikusinski ¢

¤t ÷ñc v· t½ch cõa hai h m suy rëng V¼ vªy tæi ¢ chån · t i:

"MËT K˜T QUƒ V— TCH CÕA HAI H€M SUY RËNG

THEO NGHžA MIKUSINSKI"

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

B÷îc ¦u l m quen vîi vi»c nghi¶n cùu khoa håc Tø â h¼nh th nh t÷ duy logic °cthò cõa bë mæn v  t¼m hiºu v· t½ch hai h m suy rëng theo quan iºm cõa J.Mikusinski

3 Nhi»m vö nghi¶n cùu

- Nghi¶n cùu v· khæng gian c¡c h m suy rëng

- Nghi¶n cùu v· t½ch chªp v  t½ch chªp cõa hai h m suy rëng theo ngh¾a Mikusinski

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

- Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch, têng hñp

- åc v  tra cùu t i li»u

5 C§u tróc khâa luªn.

Nëi dung cõa khâa luªn gçm 3 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1: Khæng gian h m thû

- Ch÷ìng n y giîi thi»u mët sè k½ hi»u v  kh¡i ni»m câ trong nëi dung khâa luªn

- N¶u ành ngh¾a v  c¡c t½nh ch§t cõa khæng gian h m thû D (Ω)

Ch÷ìng 2: Khæng gian h m suy rëng

- N¶u ành ngh¾a, t½nh ch§t cõa khæng gian h m suy rëng

- N¶u ành ngh¾a v· ¤o h m cõa h m suy rëng

- N¶u ành ngh¾a v  t½nh ch§t cõa khæng gian c¡c h m gi£m nhanh v  c¡c h m t«ngchªm

Ch÷ìng 3: T½ch chªp cõa hai h m suy rëng theo ngh¾a Mikusinski

- N¶u ành ngh¾a v  t½nh ch§t cõa ph²p to¡n t½ch chªp giúa c¡c h m cì b£n vîi

h m suy rëng v  giúa c¡c h m suy rëng

- N¶u ành ngh¾a v· t½ch hai h m suy rëng cõa J.Mikusinski

|f(x)|p

p1

< ∞

Lploc(Ω): tªp hñp c¡c h m kh£ t½ch àa ph÷ìng bªc p, 1 ≤ p ≤ ∞ tr¶n Ω (hay tªp c¡c

h m f x¡c ành tr¶n Ω sao cho vîi måi tªp V compact trong Ω th¼ f kh£ t½ch trong V).Mët vectì câ d¤ng α = (α1, α2, , αn) : αj ∈ Z+, j = 1, 2, n ÷ñc gåi l  mët ach¿ sè (hay n- a ch¿ sè) vîi ë d i (hay c§p cõa α) l 

|α| = α1+ α2 + + αn

7

To¡n tû vi ph¥n li¶n k¸t vîi a ch¿ sè α l  ∂α = ∂α1

1 ∂α2

2 ∂α n

n , trong â ∂j = ∂

∂xj,ho°c Dα= Dα1

i·u n y câ ngh¾a l  f ∈ C∞(Ω) n¸u f l  h m kh£ vi li¶n töc måi c§p

Gi¡ cõa mët h m li¶n töc f : Ω → C l  bao âng trong Ω cõa tªp hñp {x ∈ Ω : f(x) 6= 0}

÷ñc k½ hi»u l  suppf Hay suppf= cl{x ∈ Ω : f(x) 6= 0} ⊂ Ω

1.1.2 Mët v i kh¡i ni»m.

Mët khæng gian vectì tæpæ X tr¶n tr÷íng P (vîi P = C ho°c P = R) l  mët khænggian vectì tr¶n tr÷íng P ÷ñc trang bà mët tæpæ th½ch hñp sao cho ¡nh x¤ (x, y) 7→ x+y

v  (λ, y) 7→ λy l  li¶n töc

Trong khæng gian vectì tæpæ X, mët tªp hñp E ⊂ X gåi l  tªp bà ch°n n¸u vîi måil¥n cªn V cõa gèc θ, câ mët sè s>0 sao cho ∀t > s th¼ E ⊂ tV N¸u gèc θ cè mët l¥ncªn bà ch°n th¼ khæng gian X ÷ñc gåi l  bà ch°n àa ph÷ìng

Mët tªp hñp E ⊂ X cõa khæng gian vectì tæpæ X ÷ñc gåi l  tªp hót n¸u ∀x ∈

X, ∃t = t(x) 6= 0 sao cho x ∈ tE N¸u ∀α ∈ C m  |α| < 1, ta câ αE ⊂ E th¼ E ÷ñcgåi l  tªp con c¥n èi cõa X

Mët khæng gian vectì tæpæ X gåi l  khæng gian lçi àa ph÷ìng n¸u câ mët cì sðl¥n cªn cõa gèc θ gçm to n bë nhúng tªp lçi

Mët khæng gian lçi àa ph÷ìng ÷ñc gåi l  khæng gian F rechet n¸u nâ l  khænggian metric õ vîi metric c£m sinh d thäa m¢n d(x + z, y + z) = d(x, y)(d b§t bi¸n vîiph²p tành ti¸n)

Mët khæng gian vectì tæpæ X gåi l  câ t½nh ch§t Heine − borel, n¸u måi tªp con

âng v  bà ch°n cõa X ·u l  tªp compact

Khâa luªn tèt nghi»p Chuy¶n ng nh gi£i t½ch

1.2 Khæng gian c¡c h m thû.

Cho K l  tªp compact trong R, DK k½ hi»u l  khæng gian cõa t§t c£ c¡c h m

f ∈ C∞(Rn)sao cho suppf ⊆ K N¸u K ⊂ Ω th¼

DK = {f ∈ C∞(Ω) : suppf ⊆ K}

º x¥y düng tæpæ τ tr¶n C∞(Ω)sao cho C∞(Ω)trð th nh mët khæng gian F rechet

câ t½nh ch§t Heine − borel, v  DK l  mët tªp con âng cõa C∞(Ω) méi khi K ⊂ Ω.Chóng ta chån c¡c tªp compact Kj(j = 1, 2, ) sao cho Kj ⊂ intKj+1 v  Ω = ∪jKj v 

ành ngh¾a mët hå nûa chu©n pN tr¶n C∞(Ω), N = 1, 2, nh÷ sau:

pN = max {|Dα

f (x)| : x ∈ KN, |α| ≤ N}

Khi â, pN x¡c ành mët tæpæ lçi àa ph÷ìng, kh£ m¶tric tr¶n C∞(Ω) Vîi méi

x ∈ Ω, h m sè x 7→ f(x) l  li¶n töc theo tæpæ n y V¼ DK l  giao cõa khæng gian c¡c

h m kh¡c 0 t¤i x n¶n DK l  âng trong C∞(Ω)

Mët cì sð àa ph÷ìng cõa khæng gian n y ÷ñc cho bði c¡c tªp hñp:

N¸u {fi} l  d¢y Cauchy tr¶n C∞(Ω), N cè ành th¼ fi− fj ∈ VN vîi i, j õ lîn

Do â, |Dαfi− Dαfj| < N1 tr¶n KN n¸u |α| ≤ N i·u n y chùng tä Dαfi hëi tö tr¶nc¡c tªp compact cõa Ω tîi gα, °c bi»t fi(x) → g0(x) Hiºn nhi¶n g0 ∈ C∞(Ω) sao cho

gα = Dαg0 v  fi → g0 theo tæpæ cõa C∞(Ω) Do â, C∞(Ω) l  khæng gian F rechet

i·u n y công óng vîi méi khæng gian con âng DK

Gi£ sû E ∈ C∞(Ω) l  tªp âng v  bà ch°n V¼ E bà ch°n n¶n tçn t¤i MN < ∞ saocho pN(f ) < MN, N = 1, 2, vîi måi f ∈ E B§t ¯ng thùc |Dα

f | ≤ MN óng tr¶n

KN khi |α| ≤ N, l  li¶n töc çng bªc cõa Dβf : f ∈ E

tr¶n KN−1 n¸u |β| ≤ N − 1

Theo ành lþ ascoli v  nguy¶n lþ cantor th¼ måi d¢y trong E ·u chùa mët d¢y con{fi} sao cho Dβfi

hëi tö tr¶n c¡c tªp compact cõa Ω vîi méi a ch¿ sè β Do â,{fi} hëi tö theo tæpæ cõa C∞(Ω), chùng tä E l  tªp compact

Vªy C∞(Ω) câ t½nh ch§t Heine − borel

ành ngh¾a 1.1: Hñp cõa t§t c£ c¡c khæng gian DK khi K ch¤y tr¶n tªp t§t c£ c¡ctªp compact cõa Ω, gåi l  khæng gian c¡c h m thû (hay khæng gian c¡c h m cì b£n)tr¶n Ω, k½ hi»u l  D(Ω)

Hiºn nhi¶n, D(Ω) l  mët khæng gian vectì vîi ph²p cëng v  ph²p nh¥n vîi væ h÷îngthæng th÷íng cõa c¡c h m nhªn gi¡ trà phùc

Vîi méi φ ∈D(Ω) th¼

kφkN = max {|Dαφ(x)| : x ∈ Ω, |α| ≤ N} , N = 1, 2,

gåi l  chu©n cõa h m φ

ành ngh¾a 1.2: Cho Ω l  mët tªp khæng réng v  mð trong Rn

a) Vîi måi tªp compact K ⊂ Ω, kþ hi»u τK l  tæpæ cõa khæng gian F rechet DK.b) β l  tªp t§t c£ c¡c tªp lçi c¥n èi W ∈ D(Ω) sao cho DK∩ W ∈ τK vîi måi tªpcompact K ⊂ Ω

c) τ l  hå cõa t§t c£ c¡c hñp cõa c¡c tªp hñp câ d¤ng φ + W , vîi φ ∈D(Ω) v 

W ∈ β

ành lþ 1.1:

a) τ l  mët tæpæ cõa khæng gian D(Ω) v  β l  mët cì sð àa ph÷ìng cõa τ

b) D(Ω) v  τ còng l  mët khæng gian vectì lçi àa ph÷ìng

Chùng minh:

a) Gi£ sû V1 ∈ τ, V2 ∈ τ, φ ∈ V1∩ V2

º chùng minh (a) ta c¦n chùng minh: φ + W ⊂ V1∩ V2, ∀W ∈ β (*)

Theo ành ngh¾a cõa τ th¼ tçn t¤i φi ∈ D(Ω) v  W ∈ β sao cho:

φ = φi + Wi ⊂ Vi, (i = 1, 2)

Khâa luªn tèt nghi»p Chuy¶n ng nh gi£i t½chChån K sao cho DK chùa φ1, φ2, φ V¼ DK∩ Wi l  mð trong DK n¶n

khæng n¬m trong φ2+ W Do â, φ1 l  tªp âng t÷ìng èi trong τ

Ta i chùng minh c¡c ph²p to¡n ¤i sè tr¶n D(Ω) t÷ìng th½ch vîi tæpæ τ

Ph²p cëng l  τ−li¶n töc, v¼ vîi måi φ1, φ2 ∈ D(Ω) v  φ1+ φ2+ W ∈ τ vîi W ∈ β

2W Chån c>0 sao cho 2c(|α0| + δ) = 1 th¼

do W l  tªp lçi v  c¥n n¶n ta câ (α − α0)φ0 ∈ W, vîi måi |α − α0| < δ v  φ ∈ φ0+ cW

Do vªy, ph²p nh¥n vîi ph¦n tû væ h÷îng l  li¶n töc trong D(Ω) theo tæpæ τ

i·u n y chùng tä, khæng gian c¡c h m thû D(Ω) l  khæng gian vectì tæpæ v  hìnnúa cán gåi l  khæng gian lçi àa ph÷ìng.

Trong suèt ch÷ìng n y, ta luæn gi£ sû K l  mët tªp mð khæng réng cõa

Ω Ta thøa nhªn mët sè k¸t qu£ sau:

ành lþ 1.2:

a) Mët tªp con lçi, c¥n èi V cõa D(Ω) l  mð n¸u v  ch¿ n¸u V ∈ β

b) C¡c tæpæ τK cõa DK tròng vîi tæpæ cõa khæng gian con DK c£m sinh tø D(Ω).c) N¸u E l  mët tªp con bà ch°n cõa D(Ω), th¼ E ⊂ D(Ω), ∀K ⊂ Ω v  câ c¡c sè

MN < ∞ sao cho ∀φ ∈ E thäa m¢n b§t ¯ng thùc:

f) Trong D(Ω), måi d¢y Cauchy ·u hëi tö

ành lþ 1.3: Gi£ sû u l  ¡nh x¤ tuy¸n t½nh tø D(Ω) v o mët khæng gian lçi àa ph÷ìng

Y Khi â, c¡c i·u sau ¥y l  t÷ìng ÷ìng:

a) u l  li¶n töc

b) u bà ch°n

c) N¸u (φj) → 0 trong D(Ω), th¼ uφj → 0 trong Y

d) Khi thu hµp u tr¶n b§t k¼ DK ⊂ D (Ω) th nh uK th¼ uK luæn li¶n töc

H» qu£ 1.2.1: Måi to¡n tû vi ph¥n Dα l  mët ¡nh xa li¶n töc tø D(Ω) v o ch½nh nâ

Thªt vªy, gi£ sû f l  mët h m li¶n töc tr¶n Ω Khi â, f l  mët h m kh£ t½ch tr¶n

Ω Hìn núa,

|hf, φi| =

Z

Ω

f (x)φ (x) dx

≤Z

Ω |φ (x)| , ∀φ ∈ D (Ω)

°t c = RΩ|f (x)| dx ≥ 0, khi â: |hf, φi| ≤ c sup

Ω |φ (x)| , ∀φ ∈ D (Ω)Vªy f l  h m suy rëng (theo ngh¾a Schwartz)

V½ dö 2.2: C¡c h m f trong khæng gian Lp(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞ công l  c¡c h m suy rëng,vîi

hf, φi =

Z

Ωf (x) φ (x) dx, ∀φ ∈ D (Ω) V½ dö 2.3: H m δ- Dirac

δ : D(Rn

) → C, φ 7→ hδ, φi = φ (0)

Ð ¥y, φ ∈ D (Rn)n¶n φ l  h m kh£ vi li¶n töc måi c§p

V¼ |hδ, φi| = |φ (0)| ≤ 1 sup |φ (x)| , ∀φ ∈ D (Rn) m  suppφ ⊂ K − compact ⊂ Rn V¼vªy, δ l  mët h m suy rëng (gåi l  h m suy rëng Dirac hay h m Delta Dirac)

R|x|φ (x) dx

x

Ta chó þ r¬ng, cho S, T ∈ D′(Rm)l  hai h m suy rëng cho tr÷îc Tø lþ thuy¸t cõa

h m suy rëng, t½ch chªp S ∗ δn v  T ∗ δn ·u thuëc C∞(Rm) Hìn núa, lim

n→∞δn = δtrong D′(Rm) n¶n lim

n→∞T ∗ δn= T v  lim

n→∞S ∗ δn= S trong D′(Rm)

ành ngh¾a 3.5 (Mikusinski) Ta nâi r¬ng S v  T l  nh¥n ÷ñc vîi nhau vîi t½chS.T ∈ D′(Rm), n¸u vîi måi d¢y δ- d¢y δn th¼ (S ∗ δn) (T ∗ δn)hëi tö trong D′(Rm)khi

n → ∞ tîi mët giîi h¤n ëc lªp vîi δn

= 1

x ∗ δn

.δn, φ

= 1

x ∗ δn

, δn.φ

Ta khai triºn φ = φ (0) + xφ′(0) + x2ψ (x), th¼

 1

x∗ δn

 (δ ∗ δn) , φ

x, δ

−

n ∗ (xδn)

+

V¼ δ−

n ∗ δn l  mët h m ch®n n¶n h¤ng tû ¦u ti¶n cõa biºu thùc tr¶n b¬ng 0 H¤ng tûcuèi còng công ti¸n tîi 0 khi n → ∞ èi vîi h¤ng tû thù hai, ta °t αn= δ−

n ∗ (xδn).Khi â

x (ψ1∗ ψ2) = (xψ1) ∗ ψ2 + ψ1∗ (xψ2) , αn− α−n = x δn∗ δn−

3.2 Tẵch chêp Mikusinski< /h3>

Trữợc tẳm hiu và t½ch hai h m suy rëng theo quan iºm cõa Minkusinski, chúng

ta s tẳm hiu và tẵch cừa mởt hm trìn v  mët h m suy rëng:

ành... nhƠn mởt số vợi mởt hm suy rởng:

Cho f ∈ D′(Ω) v  λ ∈ R th¼ λf ∈ D′(Ω) ÷đc x¡c ành theo quy t­c:

hλf, ϕi = λ hf, ϕi , ∀ϕ ∈ D (Ω)

Vỵi hai php... tẵnh chĐt bờ sung ( theo Mikusinski) l :

sup

x∈R,n∈N

x

Ta chó þ r¬ng, cho S, T ∈ D′(Rm)l  hai h m suy rởng cho trữợc Tứ