Khóa luận tốt nghiệp toán học: Một số vấn đề về dãy nửa khớp và đồng điều

khóa luận tốt nghiệp,bài toán nhận dạng tam giác,khóa luận tốt nghiệp toán học,tốt nghiệp toán học,khóa luận toán học,

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này, em đã nhận được sự hướngdẫn chỉ bảo tận tình của giảng viên - Thạc sĩ Nguyễn Đình Yên, sự giúp

đỡ, tạo điều kiện của các giảng viên trong khoa Toán - Lí - Tin và sự ủng

hộ, động viên, giúp đỡ của các bạn sinh viên K50 - Đại học sư phạm Toán.Đồng thời việc hoàn thành khóa luận này em cũng đã nhận được sự giúp đỡ,tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, thời gian và các tài liệu tham khảocủa Phòng đào tạo, phòng QLKH và QHQT, ban chủ nhiệm khoa Toán - Lí

- Tin, Thư viện và một số phòng, ban trực thuộc trường Đại học Tây Bắc.Nhân dịp này cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cácthầy cô, các bạn sinh viên và các đơn vị nói trên đã ủng hộ và giúp đỡ emhoàn thành khóa luận trong thời gian qua

Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2013Người thực hiệnPhạm Thị Hải Yến

Mục lục

1.1 Module 6

1.1.1 Module 6

1.1.2 Module con 7

1.1.3 Module thương 9

1.2 Đồng cấu module 9

1.3 Phạm trù module 12

1.4 Tổng trực tiếp -Tích trực tiếp 13

1.5 Dãy khớp 16

1.5.1 Định nghĩa dãy khớp 16

1.5.2 Dãy khớp ngắn chẻ ra 17

1.5.3 Một số bổ đề về dãy khớp 19

1.6 Module tự do 22

1.7 Hàm tử Hom 24

1.7.1 Cấu trúc nhóm trên Hom(X, Y ) 24

1.7.2 Khái niệm về hàm tử 25

1.7.3 Các hàm tử Hom 26

2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DÃY NỬA KHỚP VÀ ĐỒNG ĐIỀU 28 2.1 Phức và đồng điều 28

2.1.1 Dãy nửa khớp 28

2.1.2 Phạm trù các phức 28

2.1.3 Đồng luân dây chuyền 29

2.1.4 Các hàm tử đồng điều 31

2.2 Dãy đồng điều khớp 34

2.2.1 Dãy khớp các phức 34

2.2.2 Dãy đồng điều khớp 35

2.2.3 Các ví dụ về dãy đồng điều khớp 39

2.3 Phép giải 40

2.3.1 Phép giải tự do 40

2.3.2 Phép giải xạ ảnh 41

LỜI MỞ ĐẦU1.Lí do chọn đề tài

Đại số đồng điều ngày nay đang tràn ngập toàn bộ toán học, nó có vị tríđặc biệt quan trọng trong đại số hiện đại Đồng điều là công cụ dùng để đomức độ mà một dãy nửa khớp đi chệch so với một dãy khớp Các hàm tửHom và Tenxơ là các hàm tử nửa khớp Để đo mức độ mà các hàm tử này

đi chệch so với một hàm tử khớp người ta xây dựng hàm tử dẫn xuất tươngứng Ext và Tor Các hàm tử ngày nay đã trở thành những công cụ trụ cộtcủa nhiều lĩnh vực nghiên cứu trong hình học, tôpô, đại số, lý thuyết số

Để học tốt những mảng kiến thức này, mỗi sinh viên phải tự trang bị chomình các kiến thức liên quan và phương pháp chủ yếu là tìm đọc các tài liệu,

tự nghiên cứu các nội dung liên quan

Là một sinh viên ngành toán muốn trau dồi kiến thức em đã tìm đọc thêmcác tài liệu: Giáo trình "Nhập môn đại số đồng điều" - sách dịch và "Đại sốđồng điều" của Nguyễn Viết Đông - Trần Huyên Nhưng các vấn đề về dãynửa khớp và đồng điều còn trình bày hết sức đơn giản và tóm tắt gây khókhăn cho các bạn muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về nó

Xuất phát từ những lí do trên em đã chọn và nghiên cứu đề tài "Một sốvấn đề về dãy nửa khớp và đồng điều" Nhằm mục đích có điều kiện tìm hiểusâu hơn và trang bị thêm kiến thức mà trong quá trình học chưa có điều kiện

để nghiên cứu

2 Đối tượng, mục đích, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu

2.1 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của khóa luận là một số vấn đề về dãy nửa khớp vàđồng điều

2.2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu và trình bày một cách có hệ thống và chi tiết một số vấn đề vềdãy nửa khớp và đồng điều

2.3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích như trên, em đã đặt nhiệm vụ tìm hiểu và trình bày mộtcách có hệ thống và logic, chứng minh lại một cách đầy đủ và chặt chẽ cácmệnh đề, định lý liên quan đến một số vấn đề về dãy nửa khớp và đồng điều.2.4 Phương pháp nghiên cứu

Do đăt ra nhiệm vụ như trên và do đặc thù của môn Toán, em chọn chomình phương pháp nghiên cứu lí thuyết, sưu tầm, đọc các tài liệu liên quan,

ghi chép, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, tổ bộ môn, và các bạnsinh viên về các vấn đề liên quan tới dãy nửa khớp và đồng điều Từ đó tổnghợp kiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua đó thực hiện kếhoạch hoàn thành khóa luận.

3 Bố cục của đề tài

Bố cục của đề tài được sắp xếp như sau: ngoài phần mở đầu, kết luận, mụclục, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung của đề tài gồm hai chương:Chương I: Một số kiến thức cơ sở

Chương này trình bày hệ thống lại một số kiến thức, khái niệm cơ bản như:Module, module con, module thương, đồng cấu module, hàm tử Hom, dãykhớp Trong chương này cũng đã trình bày các phép chứng minh một sốđịnh lý, tính chất quan trọng cần thiết cho chương sau

Chương II: Một số vấn đề về dãy nửa khớp và đồng điều

Đây là chương chính, chứa đựng hầu hết các kết quả quan trọng của đề tài.Toàn bộ chương đã đưa ra một loạt các khái niệm, định lý, mệnh đề của một

số vấn đề về dãy nửa khớp và đồng điều

4 Đóng góp

Khóa luận đã trình bày đầy đủ, có hệ thống kèm theo chứng minh chi tiếtcác định lý và các kết quả liên quan Qua đó phần nào giúp ích được các bạnsinh viên trong việc học tập và nghiên cứu lý thuyết đại số

µ : R × X −→ X(r, x) 7−→ rx

Ngoài ra cần thỏa mãn các tiên đề sau: :

(rr0)x = r(r0x)r(x + x0) = rx + rx0(r + r0)x = rx + r0x

1x = x

với ∀x, x0 ∈ X và r, r0 ∈ R

Tác động trái từ R vào X cũng còn được gọi là phép nhân ngoài từ R vào

X Vành R cũng được gọi là vành hệ tử hay vành các vô hướng Các moduletrái trên R cũng được gọi là các R-module trái Hơn nữa khi vành hệ tử đãxác định, để đơn giản, ta sẽ gọi các R-module trái là các module

Ví dụ 1.1 (1) Giả sử R = K là trường Mỗi không gian vectơ trên K là mộtK-module

(2) Mỗi nhóm cộng giao hoán (A, +) luôn luôn có thể xem là module trênvành các số nguyên Z, trong đó tích của hệ tử n ∈ Z với phần tử a ∈ A là

bội nguyên n của a.

(3) Nhóm chỉ duy nhất phần tử 0 luôn luôn có thể xem là module trên bất kìvành R nào Ta gọi đó là module "không" và kí hiệu nó là 0

1.1.2 Module con

Định nghĩa 1.2 Giả sử X là một R-module Tập con A khác rỗng của Xđược gọi là module con của X nếu A là module trên R với phép cộng và phépnhân vô hướng của X hạn chế trên A

Ví dụ 1.2 (1) Mọi nhóm con A của một nhóm Aben cộng X đều là mộtmodule con của X xem như một module trên vành Z tất cả các số nguyên.(2) X là một R-module Khi đó X và {0} là hai module con của X và gọi

là các module con tầm thường

Mệnh đề 1.1 Giả sử X là R-module; A ⊂ X, A 6= ∅ Khi đó A là module

con của X khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) A là nhóm con của nhóm cộng X

là phép nhân với vô hướng của X thu hẹp vào A; bốn điều kiện trong địnhnghĩa module đúng với tất cả các phần tử của X do đó cũng đúng với cácphần tử của A

Vậy A là R-module do đó là module con của X

Mệnh đề 1.2 Nếu A là một module con của một module X trên R thì vớimọi phần tử α ∈ R và u ∈ X, ta có:

{α(u + a)|a ∈ A} ⊂ αu + A

Chứng minh Vì A là một module con của X, nên ta có αa ∈ A, ∀a ∈ A Dođó

α(u + a) = αu + αa ∈ αu + A, ∀a ∈ A

Mệnh đề 1.3 Giao của họ khác rỗng các module con của module X lại làmodule của X

Chứng minh Cho {Aα}α∈I là họ không rỗng các module con của X

Khi đó: ∀x, y ∈ ∩Aα thì x, y ∈ Aα, ∀α ∈ I nên x + y ∈ Aα, ∀α ∈ I, tức

x + y ∈ ∩Aα và ∀r ∈ R, ∀x ∈ ∩Aα tức x ∈ Aα, ∀α nên rx ∈ Aα, ∀α, tức

rx ∈ ∩Aα

Vậy ∩Aα là module con của X

Cho X là module và tập S ⊂ X Xét họ τ tất cả các module con của

X chứa S Hiển nhiên họ τ khác rỗng bởi X ∈ τ Giao của họ τ là mộtmodule con của X, và chứa S Ta kí hiệu module con đó là < S >, và gọi nó

là module con sinh bởi tập S Ta cũng nói S là tập sinh (hay hệ sinh) củamodule < S >

Một tổ hợp tuyến tính của S là một tổng hữu hạn dạng

Vậy, tập A tất cả các tổ hợp tuyến tính của S là một bộ phận ổn địnhcủa X tức A là module con của X

Hiển nhiên rằng S ⊂ A vì mỗi phần tử x ∈ S có thể xem là một tổ hợptuyến tính của S Hơn nữa nếu B là module con của X chứa S thì mọi tổ hợptuyến tính của S

r1x1 + r2x2 + · · · + rnxn ∈ B,

nhờ tính ổn định của B Do đó A ⊂ B, tức A là module con nhỏ nhất chứa

S, hay A =< S >

Bổ đề Zorn Cho A là tập sắp thứ tự Nếu mỗi tập con sắp thứ tự hoàntoàn trong A có cận trên trong A thì A có phần tử tối đại.

1.1.3 Module thương

Giả sử A là một module con của R-module X Khi đó A là nhóm concủa nhóm cộng Aben X Do đó nhóm thương X/A là một nhóm cộng Aben,các phần tử của nó là các lớp ghép x + A của A trong X và phép cộng xácđịnh bởi

Định nghĩa 1.3 Giả sử X, Y là các R-module Khi đó ánh xạ f : X −→ Y

được gọi là ánh xạ tuyến tính hay đồng cấu R-module nếu f thỏa mãn haiđiều kiện sau:

Đồng cấu f gọi là đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơnánh (tương ứng toàn ánh, song ánh) Khi f là đẳng cấu thì ta nói X đẳng cấuvới Y và kí hiêụ X ∼= Y.

Đối với đồng cấu f : X −→ Y ta kí hiệu:

Imf = f (X)Kerf = {x ∈ X | f (x) = 0} = f−1(0)

và gọi Imf là ảnh của f còn Kerf là hạt nhân của f

Ví dụ 1.3 (1) Ánh xạ đồng nhất

idX : X −→ X

x 7−→ x

là một tự đồng cấu Ngoài ra nó còn là một đẳng cấu

(2) Giả sử N là module con của R-module M Khi đó ánh xạ :

hiển nhiên là đồng cấu Ta gọi nó là đồng cấu tầm thường

Định lý 1.2 Tích của hai đồng cấu là một đồng cấu Hơn nữa, tích của haiđơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) là một đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu)

Chứng minh Cho f : X −→ Y và g : Y −→ Z là các đồng cấu Khi đó

∀x1, x2 ∈ X và ∀r1, r2 ∈ R ta có

gf (r1x1 + r2x2) = g[r1f (x1) + r2f (x2)]

= r1gf (x1) + r2gf (x2)

Vậy gf là đồng cấu

Theo lý thuyết tập hợp: tích của hai ánh xạ đơn ánh (toàn ánh, song ánh)

là một đơn ánh (toàn ánh, song ánh)

Kết hợp với chứng minh trên ta có: tích của hai đơn cấu (toàn cấu, đẳngcấu) là một đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu)

Định lý 1.3 Đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = 0

Chứng minh Nếu f là đơn cấu thì Kerf = f−1(0) có không quá một phần

tử và do tính chất bảo toàn 0 của f, tức f (0) = 0, ta suy ra Kerf = 0

Nếu Kerf = 0 và f (x1) = f (x2) thì

f (x1 − x2) = f (x1) − f (x2) = 0

nên x1 − x2 ∈ Kerf Do đó x1 − x2 = 0, suy ra x1 = x2

Vậy f đơn cấu

Định lý 1.4 Nếu đồng cấu f : X −→ Y là đẳng cấu thì f−1 : Y −→ X

cũng là đẳng cấu

Chứng minh Vì f : X −→ Y là đẳng cấu nên f là song ánh và do vậy tồntại ánh xạ ngược f−1 : Y −→ X với f−1 cũng là song ánh Để chứng minh

f−1 đẳng cấu ta chỉ cần chứng minh f−1 là đồng cấu

Thật vậy, ∀y1, y2 ∈ Y và ∀r1, r2 ∈ R nếu gọi x1 = f−1(y1), x2 = f−2(y2)

Mệnh đề 1.4 Cái hợp thành h = gf của hai đồng cấu f : X −→ Y và

g : Y −→ Z của các module X, Y, Z trên R là đồng cấu tầm thường nếu vàchỉ nếu

Imf ⊂ Kerg

Chứng minh [=⇒] Giả sử h = 0, y ∈ Imf Theo định nghĩa ∃x ∈ X với

f (x) = y Khi đó ta có

g(y) = g(f (x)) = h(x) = 0

Do đó y ∈ g−1(0) = Kerg Điều này chứng minh bao hàm thức

Định nghĩa 1.4 Một phạm trù P bao gồm một lớp nào đó các vật A, B,

C, X, Y sao cho với bất kỳ cặp vật có thứ tự (A, B) xác định được tập

M or(A, B) các cấu xạ có nguồn là A và đích là B, mà nếu (A, B) 6= (X, Y )

thì M or(A, B) ∩ M or(X, Y ) = φ Hơn nữa, với bất kỳ bộ ba có thứ tự cácvật (A, B, C) một luật lấy tích cấu xạ được xác định trên M or(A, B) ×

M or(B, C) lấy giá trị trong M or(A, C); cụ thể là ∀(α, β) ∈ M or(A, B) ×

M or(B, C) xác định được tích βα ∈ M or(A, C) Ngoài ra các tiên đề sauđược thỏa:

• PT1: Với mỗi vật A ∈ P, tồn tại cấu xạ đồng nhất 1A ∈ M or(A, A),

mà 1A.α = α và β.1A = β, nếu các tích 1A.α, β.1A là xác định

• PT2: Luật lấy tích các cấu xạ có tính chất kết hợp, tức là nếu có tích

α(βγ) thì cũng có (αβ)γ và α(βγ) = (αβ)γ

Ví dụ 1.4 (1) Phạm trù St các tập hợp và các ánh xạ, với các vật là cáctập hợp và các cấu xạ là các ánh xạ Luật lấy tích các cấu xạ chính là lấy tíchcác ánh xạ.Ta thấy St thỏa mãn tất cả các điều kiện còn lại của định nghĩaphạm trù

(2) Phạm trù Ab các nhóm Aben với các vật là các nhóm Aben và các cấu

xạ là các đồng cấu nhóm Tích hai cấu xạ là tích hai đồng cấu nhóm

(3) Phạm trù Gr các nhóm và các đồng cấu nhóm, với các vật là các nhóm

và các cấu xạ là các đồng cấu nhóm Luật lấy tích các cấu xạ là lấy tích cácđồng cấu

(4) Lớp các R-module trái, kí hiệu là RM od (hay đơn giản là M od) cũnglập thành một phạm trù với các vật là các module và các cấu xạ là các đồngcấu module Ta gọi nó là phạm trù các R-module trái, hay đơn giản hơn làphạm trù các module VớiZ là vành các số nguyên thì phạm trù ZM od chính

là một R-module gọi là tích trực tiếp của họ (Xi/i ∈ I)

Định lý 1.5 (Tính chất phổ dụng)

Giả sử X là R-module,(Xi)i∈I là họ các R-module họ các đồng cấu

ϕj : X −→ Xj Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu f : X −→ Q

f (ax + by) = (fi(ax + by))i∈I = (afi(x) + bfi(y))i∈I

= a(fi(x))i∈I + b(fi(y))i∈I = af (x) + bf (y)

Định nghĩa 1.6 Giả sử (Xi)i∈I và (Yi)i∈I là các họ R-module và họ

(fi : Xi −→ Yi)i∈I các đồng cấu module Khi đó tương ứng

là một đồng cấu module, được kí hiệu là Q

I

fi(xi)

gµj(xj) =P

I

fj(xj) = f (x) ⇒ g = f.Định nghĩa 1.8 (Hạng tử trực tiếp)

Module con A của module X được gọi là hạng tử trực tiếp của X nếu tồntại module con P của X sao cho X = A ⊕ P Khi đó ta gọi P module conphụ của A trong X

Module X 6= 0 được gọi là module không phân tích được, hay còn gọi làmodule đơn nếu và chỉ nếu X chỉ có hai module con là 0 và X

Định lý 1.7 Giả sử X là R-module, A là module con của X Khi đó cácđiều kiện sau là tương đương :

(i) A là hạng tử trực tiếp của X

(ii) Tồn tại đồng cấu ϕ : X −→ X sao cho







ϕ2 = ϕImϕ = A

(iii) Tồn tại đồng cấu ψ : X −→ A sao cho ψ(x) = x, ∀x ∈ A

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử X = A ⊕ P Khi đó ∀x ∈ X đều viết đượcduy nhất dưới dạng x = a + p với a ∈ A, p ∈ P Ta đặt:

ϕ : X −→ X(a + p) 7−→ a

Rõ ràng ϕ là đồng cấu thỏa mãn các điều kiện đã cho

(ii) ⇒ (iii) Vì Imϕ = A nên ta có thể định nghĩa đồng cấu

ψ : X −→ A

x 7−→ ψ(x) = ϕ(x)

Ta có: ∀x ∈ A ⇒ y ∈ X : ϕ(y) = x ⇒ ψ(x) = ϕ(x) = ϕ(ϕ(y)) = ϕ(y) = x.(iii) ⇒ (i) Đặt P = Kerψ Khi đó A ∩ P = 0.Thật vậy:

Mặt khác ∃x ∈ X ta có:

ψ(x) ∈ A ⇒ ψ(ψ(x)) = ψ(x) ⇒ ψ(x − ψ(x)) = 0

⇒ x − ψ(x) ∈ P ⇒ x = ψ(x) + (x − ψ(x)) ∈ A + P

Vậy A là hạng tử trực tiếp của X

Hệ quả 1.1 Giả sử A là tổng của những module con Ai, A = P

được gọi là khớp tại module B nếu Imf = Kerg

Vậy dãy là khớp tại module1 B nếu ảnh của đồng cấu vào tại đó bằng hạtnhân của đồng cấu ra

Dãy các đồng cấu trên được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mọi modulekhác với hai đầu (nếu có) của dãy

Định nghĩa 1.10 Dãy khớp dạng

0 //A f //B g //C //0

được gọi là dãy khớp ngắn

Ví dụ 1.5 a) Cho h : X −→ Y là đơn cấu mà không là đẳng cấu Khi đó

Kerh = 0 và do vậy có dãy khớp ngắn:

0 //X h //Y p //Y /Imh //0

b) Cho module X và A là module con của X Khi đó dãy gồm các đồng cấunhúng i : A −→ X và đồng cấu chiếu p : X −→ X/A tạo thành dãy khớpngắn:

ii) Đồng cấu χ có nghịch đảo trái

iii) Đồng cấu σ có nghịch đảo phải

Chứng minh Nếu đồng cấu χ có nghịch đảo trái, tức là tồn tại đồng cấu

p : B −→ A sao cho pχ = 1A, thì tích hai đồng cấu:

A χ //B p //A

là đẳng cấu Vậy B = Imf ⊕ Kerp, do đó dãy chẻ ra

Nếu dãy chẻ ra, tức B = Imf ⊕ B1 thì tồn tại phép chiếu

p1 : B = Imχ ⊕ B1 −→ Imχ

Bởi χ là đơn cấu nên χ thực hiện đẳng cấu: A ∼= Imχ và do đó đồng cấu χ1

(mà χ1(a) = χ(a), ∀a ∈ A) có đồng cấu ngược χ−11 : Imχ −→ A

Chọn p = χ−11 p1 thì pχ = 1A, tức χ có nghịch đảo trái

Vậy i) tương đương với ii)

Một cách tương tự, nếu σ có nghịch đảo phải tức tồn tại đồng cấu q mà

σq = 1C thì tích của hai đồng cấu

C q //B σ //C

σ1 cũng là toàn cấu vì: ∀c ∈ C, do σ là toàn cấu nên tồn tại b ∈ B mà

σ(b) = c Vì B = Imχ ⊕ B1 nên ∃a ∈ A, b1 ∈ B1 mà b = χ(a) + b1 Hiểnnhiên σ1(b1) = c

Vậy σ1 : B1 −→ C là đẳng cấu, do đó tồn tại đẳng cấu ngượcσ1−1 : C −→

B1

Chọn q = j2σ−11 với j2 : B1 −→ Imχ ⊕ B1 là phép nhúng thành phần B1

vào tổng trực tiếp, ta có: σq = 1C, tức σ có nghịch đảo phải

Vậy i) tương đương với iii)

Hệ quả 1.2 Nếu dãy khớp

Bởi i đơn cấu, g1 toàn cấu, và đồng thời

Kerg1 = Kerg = Imf = Imi

nên là dãy khớp Và hiển nhiên Imf là hạng tử trực tiếp của B nên dãy làchẻ ra Theo phép chứng minh 00iii) ⇒ i)00 của định lý 1.8 ta có:

B = Imf ⊕ B1 trong đó B1 ∼= Img.

Vậy B ∼= Imf ⊕ Img

g //Cγ

h //Dδ

Đảo lại, giả sử b0 ∈ g0−1(Imγ) Thế thì phần tử c0 = g0(b0) nằm trong Imγ

Do đó ∃c ∈ C với γ(c) = c0 Vì dòng dưới là khớp, nên ta có h0(c0) = 0 Dotính giao hoán của hình vuông phải, ta có

Bây giờ ta hãy xét phần tử f (a) + b của module B Do tính giao hoán củahình vuông trái, ta có

β(f (a) − b) = β(f (a)) + β(b) = f0(α(a)) + β(b)

= f0(a0) + β(b) = b0 − β(b) + β(b) = b0

Điều này kéo theo b0 ∈ Imβ Vì b0 ∈ g0−1(Imγ), nên ta được

g0−1(Imγ) ⊂ Imβ

Điều này hoàn thành phép chứng minh của (a)

Để chứng minh (b), giả sử c ∈ Kerγ Thế thì ta có γ(c) = 0 Do tínhgiao hoán của hình vuông phải, ta có

δ(h(c)) = h0(γ(c)) = h0(0) = 0

Vì δ là một đơn cấu, suy ra h(c) = 0 Do đó ta được

c ∈ Kerh = Img

Vì dòng trên là khớp Theo định nghĩa của Img, ∃b ∈ B với g(b) = c

Xét phần tử b0 = β(b) ∈ B0 Do tính giao hoán của hình vuông giữa, tađược

g0(b0) = g0(β(b)) = γ(g(b)) = γ(c) = 0

Điều này kéo theo

b0 ∈ Kerg0 = Imf0

Vì dòng dưới là khớp Vậy tồn tại một phần tử a0 ∈ A với f (a0) = b0 Vì α

là một toàn cấu, nên ∃a ∈ A với α(a) = a0

Bây giờ ta hãy xét phần tử b − f (a) ∈ B Do tính giao hoán của hìnhvuông trái ta có

β(b − f (a)) = β(b) − β(f (a)) = β(b) − f0(α(a))

Đảo lại, giả sử c ∈ g(Kerβ)) Thế thì ∃b ∈ Kerβ với g(b) = c Do tínhgiao hoán của hình vuông giữa, ta có

γ(c) = γ(g(b)) = g0(β(b)) = g0(0) = 0

Suy ra c ∈ Kerγ Vì c ∈ g(Kerβ), nên ta được

g(Kerβ) ⊂ Kerγ

Điều này hoàn thành phép chứng minh của (b)

Hệ quả 1.3 (Bổ đề năm đồng cấu)

Cho biểu đồ giao hoán các đồng cấu sau:

trong đó: các dòng là khớp, α1 toàn cấu, α5 đơn cấu Khi đó nếu α2 và α4

đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) thì α3 cũng là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu).Chứng minh Thật vậy, nếu α4 đơn cấu, thì nhờ α1 toàn cấu mà ta có thể

áp dụng bổ đề bốn đồng cấu cho α1, α2, α3, α4 để có:

Kerα3 = f2(Kerα2) = f2(0) = 0

do Kerα2 = 0 bởi α2 đơn cấu

Vậy nếu α2, α4 đơn cấu thì α3 đơn cấu

Nếu α2 toàn cấu thì vì α5 đơn cấu nên ta áp dụng bổ đề bốn đồng cấucho α2, α3, α4, α5 ta được:

Imα3 = f30−1(Imα4) = f30−1(D0) = C0

do Imα4 = D0 bởi α4 toàn cấu

Vậy nếu α2, α4 toàn cấu thì α3 toàn cấu

Hiển nhiên, từ các kết quả trên thì từ α2, α4 đẳng cấu suy ra α3 cũngđẳng cấu

//Cγ

Một hệ sinh S của module X đồng thời là hệ độc lập tuyến tính được gọi

là cơ sở của module X

Module X có cơ sở được gọi là module tự do

Định lý 1.10 Tập S = {xα}α∈I các phần tử của module X là cơ sở của Xkhi và chỉ khi mỗi phần tử x ∈ X chỉ có một cách biểu thị tuyến tính qua S.Chứng minh Nếu S là cơ sở của X thì mỗi phần tửx ∈ X đều biểu thị tuyếntính được qua S : x = P

α∈I

rαxα (trong đó hầu hết các rα = 0, trừ một sốhữu hạn)

Nếu x còn có cách biểu thị tuyến tính khác qua S : x = P

α∈I

r0αxα thìX

Bởi S độc lập tuyến tính nên đẳng thức cuối cùng xảy ra khi và chỉ khi

rα− rα0 = 0, ∀α, tức là hai cách biểu thị tuyến tính của x qua S là như nhau.Nếu S ⊂ X mà mỗi x ∈ X có một cách biểu thị tuyến tính qua S thì hiểnnhiên S là hệ sinh Vì cách biểu thị tuyến tính của mỗi x ∈ X qua S là duynhất, thì nói riêng phần tử 0 cũng chỉ có một cách biểu thị tuyến tính qua

S, nên S là độc lập tuyến tính Do vậy S là cơ sở