Một số vấn đề về tích hai hàm suy rộng

Điều này dẫn đến việc tiếp tục nghiên cứu để tìmcách xác định tích hai hàm suy rộng trong một số trường hợp cụ thể màthực tiễn đặt ra.. Một số trong đó đãthành công trong việc xác định t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Tạ Ngọc Trí

HÀ NỘI, 2015

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giảng dạy chuyên ngànhToán giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạođiều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thànhluận văn này

Hà Nội, tháng 08 năm 2015

Hoàng Thị Duyên

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

Mở đầu 1

1.1 Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản 41.2 Không gian các hàm thử 5

2.1 Không gian hàm suy rộng D0(Ω) 92.1.1 Định nghĩa 92.1.2 Đạo hàm suy rộng 112.1.3 Sự hội tụ trong không gian hàm suy rộng D0(Ω) 132.2 Vấn đề về tích hai hàm suy rộng Schwartz 142.2.1 Tích chập của hai hàm suy rộng 142.2.2 Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng 152.2.3 Tích hai hàm suy rộng bất kỳ 162.2.4 Sự không tồn tại tích các hàm suy rộng tổng quát 20

3.1 Định nghĩa hàm suy rộng Colombeau 223.1.1 Hàm suy rộng Colombeau ( G- suy rộng) trên Rn 223.1.2 Hàm suy rộng Colombeau trên tập mở Ω ⊂ Rn 253.2 Các tính chất về vi phân trong đại số G(Rn) 26

1

3.5 Tích phân của hàm G− suy rộng 35

3.6 Khái niệm bằng nhau trong G(Rn) 38

3.7 Hàm G− suy rộng tăng chậm 43

3.7.1 Định nghĩa 43

3.7.2 Tích phân của hàm suy rộng tăng chậm 45

3.7.3 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm 48

3.8 Một số ví dụ cụ thể 48

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Có thể nói rằng lý thuyết hàm suy rộng phát triển bởi L Schwartz đã

mở cửa cho sự phát triển trong một số những lĩnh vực của toán học hiệnđại, chẳng hạn như trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng Lý thuyếtcủa L.Schwartz cũng làm sáng tỏ các vấn đề trong vật lý mà trước đó toánhọc chưa thể lý giải một cách hoàn hảo được

Sau khi hoàn thành việc xây dựng lý thuyết hàm suy rộng thì L.Schwartz

đã công bố một công trình cho thấy rằng không thể lấy tích số của haihàm suy rộng tùy ý Điều này dẫn đến việc tiếp tục nghiên cứu để tìmcách xác định tích hai hàm suy rộng trong một số trường hợp cụ thể màthực tiễn đặt ra Nhiều nhà toán học khác nhau đã tham gia vào quá trìnhnày để giải quyết vấn đề tích của hai hàm suy rộng Một số trong đó đãthành công trong việc xác định tích của hai hàm suy rộng trong một sốtrường hợp, như cách của Mikusinski hay cách xác định dựa vào biến đổiFourier Trong trường hợp tổng quát, để định nghĩa một cách tổng quát

rõ ràng không thể dừng lại trong lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz,phải có một đại số nào đấy mà trong đó các hàm suy rộng L.Schwartz làmột tập con ( theo một nghĩa nào đó) và từ đó mới có thể lấy được tíchmột cách tùy ý

Cuối cùng vào những năm 80 của thế kỷ 20, một lý thuyết mới về hàmsuy rộng đã được nhà toán học người Pháp là J F Colombeau giới thiệu

Ở hai chuyên khảo liên tiếp [9] và [10] ông đã trình bày cách xây dựngđại số của hàm suy rộng mới, hàm suy rộng Colombeau Trong đại số này,như mong muốn các hàm suy rộng của L Schwartz được nhúng vào nhưmột tập con, và từ đó về mặt lý thuyết ta có thể xác định được tích haihàm suy rộng đó.

Đại số các hàm suy rộng của J.F.Colombeau sau khi ra đời đã giúp một

số nhà toán học ứng dụng và đưa ra những kết quả nghiên cứu trong việcgiải các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Hiện nay, các nhóm nghiêncứu này (chẳng hạn ở Đại học Bách khoa Viên- Áo) vẫn hoạt động vàthường xuyên đưa ra các kết quả mới

Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại,được sự định hướng và hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí, tôi đã lựa chọn

đề tài "Một số vấn đề về tích hai hàm suy rộng" cho luận văn tốtnghiệp khóa học thạc sỹ của mình Trong luận văn này, tôi sẽ nghiên cứucác kết quả cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng của L Schwartz và kết quảtại sao không thể thể lấy được tích của hai hàm suy rộng một cách tổngquát Tiếp theo tôi sẽ đi tìm hiểu một số cách xác định tích của hai hàmsuy rộng để có thể giải quyết được một số ví dụ cụ thể về tích hai hàmsuy rộng Phần cuối luận văn sẽ trình bày những vấn đề cơ bản nhất trongđại số hàm suy rộng của J.F.Colombeau và tìm hiểu một số ví dụ cụ thể

về tích của hai hàm suy rộng Colombeau được công bố gần đây

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên , nhiệm vụ nghiên cứu của luậnvăn là:

- Trình bày các định nghĩa, các ví dụ cụ thể về hàm suy rộng

- Một số vấn đề của thực tiễn dẫn đến việc phải nghiên cứu tích hai hàmsuy rộng

- Một số giải pháp tìm cách xác định tích của hai hàm suy rộng và nhữngvấn đề liên quan

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Hàm suy rộng L Schwartz, một số phươngpháp tìm cách xác định tích của hai hàm suy rộng; đại số hàm suy rộngColombeau và một số vấn đề liên quan

- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước liênquan đến tích hai hàm suy rộng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các kiến thức, phương pháp và công cụ của giải tích hàm đểtiếp cận vấn đề

- Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báomới về vấn đề tích hai hàm suy rộng

6 Đóng góp mới

-Đây là một tài liệu giúp cho người quan tâm tìm hiểu được các vấn đềliên quan đến sự phát triển của bài toán tích các hàm suy rộng

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này hệ thống lại một số thuật ngữ, khái niệm và kết quả vềnhững không gian để làm cơ sở cho việc tiếp cận các kiến thức ở chươngtiếp theo Các kiến thức ở đây được tham khảo trong các tài liệu [3], [4]

và [14]

1.1 Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản

Ta gọi mỗi phần tử α = (α1, α2, , αn) ∈ Nn là một n- chỉ số (hay đachỉ số) với bậc |α| = α1 + α2 + + αn

Với mỗi đa chỉ số α , toán tử vi phân ký hiệu ∂α = ∂α1∂α2 ∂αn , ở đây

f, g ∈ Ck(Ω) thì đạo hàm của một tích theo công thức Leibniz

Bổ đề 1.1 Cho Ω ⊂ Rn, Ω 6= ∅ Khi đó tồn tại các tập compact

{Kj} , j = 1, 2, 3, thỏa mãn Kj ⊂ intKj+1, ∞∪

j=1Kj = Ω

Vì vậy, kể từ đây, trong luận văn này ta ký hiệu K là một tập compactcủa Ω và Kj là một trong các tập compact trong họ Kj nói trong bổ đềtrên

Bổ đề 1.2 C∞(Ω) là một không gian Fréchet và DK là không gian conđóng của C∞(Ω) với mọi K ⊂ Ω

Chọn các tập compact Kj, j = 1, 2, , sao cho Kj nằm trong phầntrong của Kj+1 (ký hiệu intKj+1) và Ω = ∞∪

j=1Kj Họ các nửa chuẩn pN

với N = 1, 2, , xác định bởi pN(f ) = max {|∂αf (x)| : x ∈ KN, |α| ≤ N }

có tính chất: các điểm tách thuộc C∞(Ω) và tạo một tôpô với một cơ sởđịa phương đếm được Từ đó ta có định nghĩa 1.1 và định lý 1.1

Như vậy, với mọi tập compact K ⊂ Ω thì DK(Ω) là một không gianFréchet Hợp tất cả các không gian đó lại ta có không gian các hàm thử.Định nghĩa 1.1 Ta ký hiệu D(Ω) là tập hợp

D(Ω) = {φ ∈ C∞(Ω) : suppφ là tập compact trong Ω }

Khi đó ta gọi D(Ω) là không gian các hàm thử (test function)

Ta thấy D(Ω) = ∞∪

j=1DKj(Ω) , nên D(Ω) là không gian vectơ, đó còn làkhông gian vectơ lồi địa phương Điều này được thể hiện qua định lý sauĐịnh lý 1.1 Không gian các hàm thử D(Ω) là một không gian vectơ tôpôlồi địa phương

Chứng minh Theo nhận xét trên ta có DK(Ω) là không gian Fréchet Ta

ký hiệu τK là tôpô trên không gianDK(Ω), β là họ tất cả các hợp W tậpcân, lồi của D(Ω) sao cho DK ∩ W ∈ τK với mọi tập compact K ⊂ Ω Gọi τ là họ tất cả các tập hợp có dạng φ + W với φ ∈ D(Ω) và W ∈ β a) Ta chứng minh τ là một tôpô trên D(Ω) và β là một cơ sở lân cận của

τ

Thật vậy, với V1, V2 ∈ τ và φ ∈ V1 ∩ V2 ta chỉ cần chứng minh tồn tại

W ∈ β sao cho φ + W ∈ V1 ∩ V2 Ta có, do φ ∈ Vi, (i = 1, 2) nên tồn tại

Suy ra

φ + δiWi ⊂ φi + Wi, i = 1, 2

Từ đó ta chọn W = (δ1W1) ∩ (δ2W2) thì φ + W ∈ V1∩ V2 Vậy τ là mộttôpô trong D(Ω) Hiển nhiên β là một cơ sở của τ Giả sử φ1, φ2 là haiphần tử tùy ý của D(Ω) Với mỗi φ ∈ D(Ω) ta đặt

b) Bây giờ ta chứng minh các phép toán trên D(Ω) liên tục với tôpô

τ Với mọi φ1, φ2 ∈ D(Ω) và φ1 + φ2 + W ∈ τ với W ∈ β Khi đó,

do W là tập lồi và cân nên ta có αφ − α0φ0 ∈ W với mọi |α − α0| < δ và

φ ∈ φ0+ cW Vậy phép nhân với phần tử vô hướng là liên tục trong D(Ω)

theo tôpô τ Điều này chứng tỏ không gian các hàm thử D(Ω) là khônggian vectơ tôpô và hơn nữa còn là không gian lồi địa phương

Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giải tíchhiện đại Nó là công cụ để xây dựng các khái niệm mới, cũng như mở rộng

các khái niệm đã có Sau đây, ta thừa nhận các tính chất của D(Ω) (xemcác tài liệu tham khảo của [14]).

Định lý 1.2 Cho không gian D(Ω) với tôpô τ Ta có

1 Dãy các hàm thử {φl}∞l=1 hội tụ theo tôpô τ tới φ0 trong D(Ω) khi vàchỉ khi tồn tại j ∈ N∗ sao cho suppφl ⊂ Kj với mọi l ∈ N∗ và φl → φ0

trong DKj(Ω), nghĩa là

sup

x∈Kj

|∂αφl(x) − ∂αφ0(x)| → 0 khi l → ∞ (1.3)

với mọi đa chỉ số α

2 Tập E ⊂ D(Ω) khi và chỉ khi tồn tại j ∈ N∗ sao cho E là tập con bịchặn trong DKj(Ω) Đặc biệt, nếu {φl}∞l=1 là dãy Cauchy trong D(Ω) thìtồn tại j ∈ N∗ sao cho φl hội tụ trong DKj(Ω) và do đó hội tụ trong D(Ω)

3 Một phiếm hàm tuyến tính Λ : D(Ω) → C liên tục khi và chỉ khi với

mọi j ∈ N tồn tại Nj ∈ N và hằng số cj > 0 sao cho

Định lý 1.3 Trong không gian các hàm thử

1 Phép lấy vi phân ∂α : φ 7→ ∂αφ là tuyến tính và liên tục trên D(Ω) vớimọi đa chỉ số α

2 Với mọi f ∈ C∞(Ω) thì ánh xạ Mf : φ 7→ f φ cũng là tuyến tính liêntục trên D(Ω)

Chương 2

Không gian hàm suy rộng Schwartz

Trong chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyếthàm suy rộng Schwartz và vấn đề về tích hai hàm suy rộng Schwartz Cáckiến thức này được tham khảo trong các tài liệu [4] và [14]

2.1 Không gian hàm suy rộng D0(Ω)

2.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.1 Mỗi phiếm hàm u : D(Ω) → C tuyến tính liên tục với

tôpô trên D(Ω)được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộng Schwartz.Không gian các hàm suy rộng trên Ω được kí hiệu D0(Ω) Với mỗi hàmsuy rộng u ∈ D0(Ω) tác động lên mỗi φ ∈ D(Ω) được viết là hu, φi Haihàm suy rộng u, v ∈ D0(Ω) được gọi là bằng nhau nếu

hu, φi = hv, φi , ∀φ ∈ D(Ω)

Chú ý 2.1.1 D0(Ω) là không gian vectơ với các phép toán được xây dựngtrên C như sau:

Phép công: Với mọiu, v ∈ D0(Ω)ta định nghĩau+vnhư sau:hu + v, φi =

hu, φi + hv, φi , ∀φ ∈ D(Ω) Khi đó u + v ∈ D0(Ω)

Phép nhân với phần tử vô hướng: Với mọiu ∈ D0(Ω)và mọi sốλta địnhnghĩa λu như sau: hλu, φi = λ hu, φi , ∀φ ∈ D(Ω) Khi đó λu ∈ D0(Ω)

f (x)φ(x)dx Thật vậy, với mỗi tập compact

K ⊂ Ω và mọi hàm φ ∈ D(Ω) sao cho suppφ ⊂ K ta có

|hf, φi| =

Z

Ω

f (x)φ(x)dx

=