Luận văn thạc sỹ một số vấn đề về bài toán nội suy và ứng dụng

Trong chương trình toán phổ thông, lý thuyết về nội suy chưa được đề cập đầy đủ,nhưng đôi khi ta vẫn bắt gặp những ứng dụng sơ cấp của nó thường ẩn sau các định lý, những bài toán liên h

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn : TS NGUYỄN VĂN VŨ

BÌNH ĐỊNH - 2021

Mục lục

1.1 Phép tính vi phân hàm một biến 3

1.2 Phép tính tích phân hàm một biến 5

1.3 Đa thức và một vài tính chất sơ cấp 6

1.4 Một số lớp đa thức đặc biệt 7

2 Một số bài toán nội suy cổ điển 9 2.1 Khai triển Taylor và một số bài toán nội suy Taylor 9

2.1.1 Bài toán nội suy Taylor 9

2.1.2 Một số minh họa 10

2.2 Khai triển Lagrange và bài toán nội suy Lagrange 11

2.3 Nội suy Newton 14

2.3.1 Một số minh họa 15

2.4 Đa thức nội suy của một hàm và đánh giá sai số 16

3 Nội suy Lidstone 18 3.1 Tổng quan 18

3.2 Đa thức Lidstone 19

3.3 Biểu diễn đa thức nội suy 36

3.4 Biểu diễn sai số 39

3.5 Ước lượng sai số 41

4 Ứng dụng bài toán nội suy trong giải toán THPT 43

Mở đầu

Trong nhiều tình huống nhất định, ta cần phải xác định giá trị (gần đúng) của mộthàm số f (x) tại một họ điểm cho trước, với những điều kiện ban đầu phù hợp (chẳnghạn, biết một số giá trị rời rạc của hàm số và của các đạo hàm của nó đến cấp nào

đó tại một số điểm x1, x2, , xk) Ngay cả khi biểu thức xác định hàm số đã được chotường minh, việc tính toán chính xác giá trị hàm theo công thức đôi khi cũng là mộtcông việc tương đối phức tạp Bởi vậy, việc tìm kiếm những công cụ tính toán xấp xỉ

có hiệu quả là một vấn đề có nhiều ý nghĩa Nghiên cứu những phép xấp xỉ như thế lànội dung của bài toán nội suy, một trường hợp riêng của lý thuyết xấp xỉ trong Giảitích số

Các bài toán nội suy cổ điển ra đời từ rất sớm và đóng vai trò quan trọng trongnhiều lĩnh vực, là một phần quan trọng của đại số và giải tích Toán học Chúng khôngchỉ là đối tượng nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các

mô hình liên tục cũng như các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phươngtrình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn,

Trong chương trình toán phổ thông, lý thuyết về nội suy chưa được đề cập đầy đủ,nhưng đôi khi ta vẫn bắt gặp những ứng dụng sơ cấp của nó (thường ẩn sau các định

lý, những bài toán liên hệ với đa thức) Trong các kì thi chọn học sinh giỏi các cấp, cácbài toán liên quan đến bài toán nội suy hay xuất hiện dưới dạng các bài toán xác định

đa thức; các bài toán về khai triển, đồng nhất thức; ước lượng và tính giá trị của cáctổng, tích; các bài toán xác định giới hạn của một biểu thức cho trước; Đây thường

là các bài toán khó, và nhiều khi đòi hỏi kỹ thuật phức tạp Trong những tình huốngnhư vậy, việc vận dụng lý thuyết về các bài toán nội suy dưới góc độ toán phổ thông

là cần thiết, thậm chí cho ra những lời giải gọn gàng hơn

Luận văn này hướng đến mục tiêu tiếp cận những vấn đề như vậy Mục tiêu chủyếu của đề tài nhằm tiếp cận một số vấn đề liên quan đến bài toán nội suy đa thức vàvận dụng chúng vào một số bài toán có nội dung liên quan ở chương trình bậc trunghọc phổ thông.

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo luận văn gồm có bốn chương.Chương 1: Một số kiến thức cơ sở, trình bày một số kiến thức về phép tính viphân hàm một biến; đa thức và một vài tính chất sơ cấp, các lớp đa thức đa thứcEuler, đa thức Bernoulli

Chương 2: Một số bài toán nội suy cổ điển, khảo sát một số lớp bài toán nội suy

cổ điển như: khai triển Taylor, khai triển Lagrange, nội suy Newton; đồng thời trìnhbày sơ bộ lý thuyết ước lượng sai số trong bài toán nội suy

Chương 3: Nội suy Lidstone, dành cho việc nghiên cứu một số vấn đề về đa thứcLidstone, biểu diễn của đa thức nội suy Lidstone và biểu diễn sai số tương ứng.Chương 4: Ứng dụng, giới thiệu một số bài toán ở bậc trung học phổ thông mà cóthể ứng dụng được đa thức nội suy

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy hướng dẫn Nguyễn Văn

Vũ, Trường Đại học Quy Nhơn Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy vì đãtận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, PhòngĐào tạo Sau Đại học, Khoa Toán và Thống kê cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớpCao học Phương pháp toán sơ cấp Khóa 22 đã dày công giảng dạy trong suốt khóahọc, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài.Cuối cùng, tác giả cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinh thần của gia đình và bạn bè đãluôn tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học và luận văn này.Mặc dù tác giả đã cố gắng nỗ lực hết mình nhưng luận văn không tránh khỏi cóchỗ thiếu sót cũng như hạn chế nhất định Tác giả rất mong nhận được những góp ýcủa quý Thầy Cô cùng bạn bè và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.Tôi xin chân thành cảm ơn

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi hệ thống hóa một số kiến thức chuẩn bị cần thiết vềsau Chúng được tham khảo từ các tài liệu [11], [14], [1], [16] Do điều kiện có hạn, tácgiả sẽ chỉ tập trung đề cập đến những khái niệm quan trọng nhất, phần còn lại đượccoi như là quen thuộc, hoặc có thể tìm thấy từ những tài liệu đã dẫn ra

Trong nhiều nội dung chính về sau luận văn sẽ thường xuyên đề cập đến các công

cụ từ giải tích hàm một biến Mục này sẽ nhắc lại một vài đối tượng thường xuất hiệnnhất trong những lập luận hoặc tính toán Với một dãy số thực (an) cho trước người

ta nói a là giới hạn của dãy (hay dãy (an) hội tụ về a) nếu

∀ϵ > 0, ∃n0 ∈ N sao cho: n ≥ n0 ⇒ an− a < ϵ

Trong trường hợp ngược lại dãy (an) là phân kỳ Về mặt ký hiệu, giống như thông lệ ởcác giáo trình giải tích, chúng tôi viết limn→∞an = a (hay an → a) để chỉ cho sự kiệndãy (an) hội tụ về a

Bây giờ, xét hàm số f : D → R với D là một tập trong R và a là điểm tụ của tập D

Số L sẽ gọi là giới hạn của f khi x dần đến a nếu

∀(xn) ⊂ D, xn̸= a, xn→ a ⇒ f (xn) → L

Người ta định nghĩa hàm f là liên tục tại điểm a trên miền xác định nếu có đẳng thức

là f′(x0) Ta nói f khả vi trên khoảng (a, b) nếu nó khả vi tại mọi điểm trong đó Lúcnày, đạo hàm f′ là một hàm số xác định trên toàn bộ (a, b)

Bằng quy nạp, người ta định nghĩa các đạo hàm cấp cao của f Theo đó, đạo hàm cấp

k của hàm số f tại x, ký hiệu f(k)(x) được xác định như là đạo hàm tại x của hàmđạo hàm cấp (k − 1)

y(k) = (−1)k k!

(x + 3)k+1

Ta cần chứng minh 1.1 đúng với n = k + 1.Thật vậy, theo định nghĩa

y(k+1) =y(k)′

=

(−1)k k!

(x + 3)k+1

′

= (−1)k+1 k!

(x + 3)k+1

2

(x + 3)k+1

′

= (−1)k+1 k!(k + 1)

(x + 3)k+2 = (−1)k+1 (k + 1)!

(x + 3)k+2,tức là (1.1) đúng với n = k + 1

Các định lý giá trị trung bình sau đây sẽ là đối tượng có ích trong một số lập luậnphía sau

Định lý 1.1.2 (Rolle, [14]) Cho f là hàm liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trong(a, b) Nếu f (a) = f (b) thì tồn tại điểm c ∈ (a, b) sao cho f′(c) = 0

Định lý 1.1.3 (Lagrange, [14]) Nếu f là hàm số liên tục trên [a, b] và có đạo hàmtrong (a, b) thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho

Để kết thúc mục này, chúng tôi nhắc lại kết quả sau đây về định lý giá trị trungbình tích phân.

Định lý 1.2.1 Nếu hàm số f khả tích trên đoạn [a, b] và m ≤ f (x) ≤ M, với mọi

x ∈ [a; b] thì tồn tại một số m ≤ µ ≤ M sao cho

Z b a

f (x) dx = µ(b − a)

Luận văn này tập trung vào bài toán tính toán và ước lượng sử dụng đa thức.Như đã đề cập ở [11], dạng chính tắc của một đa thức đại số P (x) bậc n (kí hiệudeg P (x) = n) là

P(k)(0) = k!bk, k = 0, 1, , nvà

Với cách viết 1.3 ta thu được công thức tính hệ số ak (k = 0, 1, 2, , n) của đa thức

P (x), đó chính là giá trị của đạo hàm cấp k của đa thức tại x = 0

ak = P(k)(0) k = 0, 1, 2, , n

Nói cách khác ta có đồng nhất thức

P (x) = P0+P

′(0)1! x +

P(2)(0)2! x

2+ + P

(n)(0)n! x

n (1.4)

1.4 Một số lớp đa thức đặc biệt

Các đa thức có vai trò rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực, nhất là giải tích số

Có rất nhiều lớp các hàm đặc biệt là những đa thức được sử dụng vào nhiều mục đíchkhác nhau (chẳng hạn, xem [16]) Trong khuôn khổ luận văn này chúng tôi sẽ sử dụngnhiều một vài trong số đó

1 Đa thức Chebyshev loại 1: Với mọi n ∈ N, tồn tại duy nhất đa thức Tn(x) thỏamãn :



Bkxm−k,

ở đó mk
là các hệ số nhị thức, và Bk là số Bernoulli thứ k Một vài đa thứcBernoulli đầu tiên được liệt kê dưới đây

z ≤ π2

.Sau đây là biểu thức tường minh một số đa thức Euler đầu tiên

E0(x) = 1, E1(x) = x − 1

2, E2(x) = x(x − 1).

Chương 2

Một số bài toán nội suy cổ điển

Nội dung của chương này tập trung vào bài toán nội suy cổ điển đã được giới thiệuchi tiết trong chuyên khảo [11] Đầu tiên trong Phần 2.1, chúng tôi sơ lược một số vấn

đề liên quan đến bài toán nội suy Taylor cùng với ví dụ minh họa ứng dụng của lớp bàitoán này Tiếp theo, trong Phần 2.2 chúng tôi xem xét bài toán nội suy Lagrange vàmột số vấn đề liên quan Phần 2.3 dành cho khảo sát bài toán nội suy Newton Phầncuối cùng của chương chúng tôi trình bày một số vấn đề về việc đánh giá sai số trongphép nội suy đa thức

Taylor

2.1.1 Bài toán nội suy Taylor

Bài toán nội suy Taylor có thể được phát biểu như sau:

Cho x0, ak ∈ R với k = 0, 1, 2, , N − 1 Hãy xác định hàm số T (x) có bậc khôngquá N − 1 (deg T (x) ≤ N − 1) và thỏa mãn các điều kiện

có bậc deg T (x) ≤ N − 1 Bây giờ ta cần xác định các hệ số αk ∈ R sao cho T (x) thỏađiều kiện

T(k)(x0) = ak, ∀k = 0, 1, 2, , N − 1

Ứng với mỗi k = 0, 1, 2, , N − 1 lấy đạo hàm hai vế (2.1) đến cấp thứ k và sử dụngđẳng thức T(k)(x0) = ak ta suy ra

αk= akk!.Thay giá trị của αk vào biểu thức T (x) ta thu được

Khi các dữ kiện ak trong bài toán nội suy Taylor trùng với đạo hàm cấp k của mộthàm số thì đa thức T (x) còn được gọi là đa thức nội suy Taylor (bậc N − 1) ứng vớihàm số đó.

Ví dụ 2.1.2 ([11]) Xét hàm f (x) = sin(x) có f(n)(x) = sin(x + nπ

2), n = 0, 1, 2, Hãy tìm đa thức nội suy của f (x) bậc 3

Lời giải Theo đề bài ta có

Nhận xét 2.1.3 Trong trường hợp T (x) là đa thức nội suy Taylor bậc n ứng với hàm

f nào đó (chẳng hạn f (x) = sin x ở ví dụ trên) tại một điểm x0 đã cho người ta chứngminh được biểu diễn sau đây

f (x) = T (x) + Rn+1(f ; x),trong đó Rn+1(f ; x) là phần dư của khai triển Taylor Một số dạng công thức tườngminh cho Rn+1(f ; x) đã được trình bày trong [14]

+ T (x2) (x − x1)(x − x3) (x − xm)

(x2− x1)(x2− x3) (x2− xm)+ · · ·

+ T (xm) (x − x2)(x − x3) (x − xm)

(xm− x1)(xm− x2) (xm− xm−1)Chứng minh Tham khảo phép chứng minh đầy đủ trong chuyên khảo [11]

Đồng nhất thức Lagrange cho phép đưa ra lời giải bài toán nội suy Lagrange sauđây: Cho xi, ai ∈ R với xi ̸= xj ∀i ̸= j, (i, j = 1, 2, , N ) Hãy xác định đa thức L(x)

có bậc deg L(x) ≤ N − 1 thỏa mãn các điều kiện

Sau đây chúng ta xem xét một số ví dụ áp dụng

Ví dụ 2.2.2 Cho các đa thức A(x) = x81+ x49+ x25+ x9+ x + 1 và B(x) = x3− x.Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức A(x) cho B(x)

Lời giải Gọi Q(x) và R(x) lần lượt là đa thức thương và đa thức dư của phép chia đathức A(x) cho B(x) Khi đó, ta có deg R < deg B = 3 và

A(x) = B(x).Q(x) + R(x)

Từ đây tính được

R(−1) = A(−1) = 4,R(0) = A(0) = 1,R(1) = A(1) = 6

Sử dụng công thức nội suy Lagrange với các mốc nội suy x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1 tađược

R(x) = R(−1) (x − 0)(x − 1)

(−1 − 0)(−1 − 1) + R(0).

(x + 1)(x − 1)(0 + 1)(0 − 1)+ R(1).(x − 0)(x + 1)

Lời giải Trường hợp k = 0 thì

S0 = 1(a − b)(a − c)+

1(b − a)(b − c)+

1(c − a)(c − b)

= (b − c) − (a − c) + (a − b)(a − b)(a − c)(b − c) = 0.

Trường hợp k = 1 thì

S1 = a(a − b)(a − c)+

b(b − a)(b − c)+

c(c − a)(c − b)

= a(b − c) − b(a − c) + c(a − b)

c2(c − a)(c − b).

Áp dụng đồng nhất thức Lagrange

T (x) = T (x1) (x − x2)(x − x3)

(x1− x2)(x1− x3) + T (x2)

(x − x1)(x − x3)(x2− x1)(x2− x3)+ T (x3) (x − x1)(x − x2)

(x3− x1)(x3− x2)

với T (x) = x2 và x1 = a, x2 = b, x3 = c

x2 = a2(x − b)(x − c)

(a − b)(a − c) + b

2(x − a)(x − c)(b − a)(b − c) + c

2(x − a)(x − b)(c − a)(c − b).Đồng nhất hệ số hai vế ta được S2 = 1

c3(c − a)(c − b).Lúc này, ta áp dụng [11, Định lý 2.5] với m = 3, x1 = a, x2 = b, x3 = c, n = 2 và nhậnđược

S3 = a + b + c

Bài toán nội suy được phát biểu Newton như sau ([11]):

Cho xi, ai ∈ R, với i = 1, 2, , N Hãy xác định đa thức Q(x) có bậc không quá

N − 1 và thỏa mãn các điều kiện

Q(i−1)(xi) = ai, ∀i = 1, 2, , N (2.5)Người ta chứng minh được

1 Nếu N = 1 (ứng với i = 1) thì ta có degN (x) = 0 và N (x1) = a1 và do đó

2.4 Đa thức nội suy của một hàm và đánh giá sai

số

Trong thực tế, nhiều khi ta phải tìm kiếm dạng của một hàm số y = f (x) mà chỉbiết giá trị tại một vài điểm rời rạc xi ∈ [a, b] (i = 0, 1, , n) Cũng có trường hợpbiểu thức giải tích f (x) đã cho nhưng quá cồng kềnh, không thích hợp cho việc tínhtoán tường minh giá trị số Ý tưởng của phép nội suy ở đây là sử dụng đa thức để xấp

xỉ cho hàm số cần tìm Nội dung của mục này được trình bày dựa theo [1]

Trước tiên, chúng tôi phát biểu lại bài toán nội suy:

Cho trước các mốc nội suy

a ≤ x0 < x1 < < xn ≤ b,cùng với các dữ kiện ai = f (xi), hãy tìm đa thức bậc m có dạng Pm(x) = Pm

i=0aixisao cho

Pm(xi) = ai, (i = 0, n)

Đa thức Pm(x) trong bài toán đó còn gọi là đa thức nội suy của hàm f ứng với cácmốc x0, , xn Có thể xây dựng Pm bằng một trong các công thức nội suy ở phầntrước(đa thức Lagrange, đa thức Newton) Kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất của

đa thức nội suy đã được xác lập trong tài liệu [1] Ở đây, chúng ta quan tâm tới bàitoán ước lượng sai số giữa hàm cần xấp xỉ với đa thức nội suy tương ứng

Giả sử P (x) là đa thức nội suy bậc n của hàm f (x), tức là P (xi) = f (xi) (i = 0, n)

Ta cố định giá trị x ∈ [a, b] tùy ý và tìm cách ước lượng sai số R(x) = f (x) − P (x) với

x ̸= xi Ta giả định là hàm cần xấp xỉ f khả vi đến cấp cần thiết

Xét hàm phụ

F (z) := R(z) − kω(z),trong đó ω(z) = Qn

i=0(z − xi) Hằng số k chọn từ điều kiện F (x) = 0, nghĩa là

k = f (x)−P (x)ω(x) Mặc khác F (xi) = 0 (i = 0, n) do đó F (z) có n + 2 nghiệm phân biệt

x, x0, x1, , xn Theo định lý Rolle hàm đạo hàm F′ có (n + 1) nghiệm Lặp lại lậpluận này nhiều lần, hàm F(n+1) có ít nhất một nghiệm ξ ∈ [a, b], nghĩa là

0 = F(n+1)(ξ) = f(n+1)(ξ) − k(n + 1)!

So sánh hai biểu diễn của k ở trên ta có

R(x) = f

(n+1)(ξ)(n + 1)! ω(x). (2.7)Bây giờ nếu đặt M = sup0≤a≤b f(n+1)(x)