khóa luận tốt nghiệp một số vấn đề về vành hoán tử

Math đã có một số nghiên cứu khácông phu về vành hoán tử, trong mối liên hệ với vành ma trận, vành các tự đồng cấucũng như một số liên hệ với Đại số tuyến tính.. Mục đích nghiên cứu Đề t

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Lê Văn An

Hà Tĩnh - 2013

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Sư phạm Toán

Người hướng dẫn khoa học:

TS Lê Văn An

Hà Tĩnh - 2013

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận được hoàn thành tại trường Đại học Hà Tĩnh, dưới sự hướngdẫn tận tình, nghiêm khắc của TS Lê Văn An Nhân dịp này tôi xin bày tỏlòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, người đã định

hướng nghiên cứu và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập,

nghiên cứu

Tôi cũng gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ

Toán đã dạy dỗ, giúp đỡ tôi sớm hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng, song khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót.Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo vàbạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Phương pháp nghiên cứu 1

4 Lịch sử vấn đề 1

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

6 Đóng góp của đề tài 2

7 Bố cục khóa luận 2

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

Chương 2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ VÀNH HOÁN TỬ 10

§ 1 Vành hoán tử 10

§ 2 Tính chất hoán tử của vành ma trận trên trường 19

KẾT LUẬN 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Những kết quả và các

số liệu trong khóa luận chưa được ai công bố dưới bất kì hình thức nào

Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước nhà trường về sự cam đoan này

Hà Tĩnh, ngày 20 tháng 05 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Dung

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Khái niệm hoán tử là một khái niệm quan trọng xuất hiện trong các chuyênngành Lý thuyết nhóm, Lý thuyết vành và trong chuyên ngành Đại số Lie Các kếtquả về vành hoán tử làm sâu sắc hơn các hiểu biết về lý thuyết vành kết hợp và tác

động trực tiếp vào các chuyên ngành như Đại số Lie, C*-Đại số, Tô pô Đại số, Hình

học không giao hoán Trong một số năm gần đây các nhà toán học đang cố gắng tìm

ra mối liên hệ giữa vành hoán tử và vành ma trậ n, vành đa thức Đặc biệt năm 2006trong một bài báo đăng trên tạp chí Bull Australl Math đã có một số nghiên cứu khácông phu về vành hoán tử, trong mối liên hệ với vành ma trận, vành các tự đồng cấucũng như một số liên hệ với Đại số tuyến tính Trong khóa luận của chúng tôi đã cốgắng tìm hiểu một số nội dung liên quan đến bài báo trên của Z Mesyan, trong đóchúng tôi quan tâm nhiều hơn đến mối liên hệ giữa vành hoán tử, vành ma trận vànhững liên quan đến Đại số tuyến tính

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài thực hiện với mục đích tìm hiểu về vành hoán tử , một số tính chất

của nó, mối liên hệ giữa vành hoán tử, vành ma trận và những liên quan đến

Đại số tuyến tính

3 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập các bài báo khoa học, các tài liệu của những tác giả ng hiên cứu liên

thêm bởi Lazenson (xem [6])

Từ đó khái niệm hoán tử và vành hoán tử được nhiều nhà toán học quan tâmnghiên cứu Gần đây các tác giả Myrian Rosset và Shmuel Rosset có rất nhiều

nghiên cứu về vấn đề này Đặc biệt là Myrian Rosset có luận án tiến sĩ về vànhhoán tử (xem [8]).

Năm 2006 Z Mesyan là một nghiên cứu sinh tại đại học California Berkeley

đã có nhiều nghiên cứu và đạt được nhiều kết quả về vành hoán tử Tác giả đã tìm

ra những mối liên hệ sâu sắc giữa vành hoán tử , vành ma trận, đại số Weyl, vànhcác tự đồng cấu và mối liên hệ với Đại số tuyến tính

Hiện nay các nhà toán học tiếp tục quan tâm, nghiên cứu về vành hoán tử và

đạt được nhiều kết quả hấp dẫn (xem [4])

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

(i) Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng chính của đề tài là vành hoán tử

(ii) Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết vành

Cấu trúc của khóa luận được chia làm hai chương:

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản cần t hiết hỗ trợ

cho chương sau

Chương 2 Một số vấn đề về vành hoán tử

Chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề cơ bản ban đầu của vành hoán tử;mối liên hệ giữa vành hoán tử với vành ma trận, vành các tự đồng cấu, nhữngliên hệ với Đại số tuyến tính

Chương 2 được chia làm 2 phần :

§ 1 Vành hoán tử.

§ 2 Tính chất hoán tử của vành ma trận trên trường

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi chỉ trình bày những khái niệm và tính chất

cơ bản nhằm hỗ trợ cho chương sau Các khái niệm, định nghĩa, tính chấtđược chúng tôi trích dẫn trong các tài liệu [1] và [2]

1.1 Định nghĩa Vành Ta gọi là một vành mỗi tập hợp R≠ ∅ cùng vớihai phép toán hai ngôi, gồm phép cộng

thỏa mãn ba điều kiện s au đây:

(R1) R là một nhóm Abel đối với phép cộng

(n>0) với các phần tử trong vành R Cùng với hai phép toán cộng và nhân các

ma trận, M n( )R là một vành Nó có đơn vị nếu R có đơn vị Nhưng M n( )R nóichung không giao hoán nếu n>1, ngay cả khi R giao hoán

1.3 Vành các tự đồng cấu Giả sử A là một nhóm A bel (với các phép

toán theo lối cộng) Gọi End(A) là tập hợp các tự đồng cấu của nhóm A Tậpnày cùng với hai phép toán sau đây

Lập nên một vành, gọi là vành các tự đồng cấu của A

Phần tử 0 của End(A) là đồng cấu không,còn phần tử đơn vị là đồng cấu

định nghĩa hai phép toán cộng và nhân trong A như sau Giả sử

( ) ( )

e e =e e =

1.7 Vết của ma trận vuông

1.7.1 Định nghĩa: Vết (tiếng Anh: Trace) của một ma trận vuông A bậc

từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải) của A

=

=∑

Trong đó i là giá trị riêng của A.

(ii) Tính chất tuyến tính

Cho A, B là các ma trận cùng cấp và c là hằng số, khi đó:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

và mọi phần tử khác 0 trong R đều khả nghịch, nói cách khác, nếu R\ 0{ } làmột nhóm đối với phép nhân

1.8.2 Định nghĩa trường Mỗi thể giao hoán được gọi là một trường.

1.9 Mô đun phải trên vành

Giả sử R là một vành có đơn vị 1 Mô đun phải trên R là một nhóm Abel

M (viết theo lối cộng) cùng với một ánh xạ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1.11 Đại số trên một trường

Một đại số trên trường K là một tập hợp không rỗng A cùng với hai phéptoán và một phép nhân ngoài, gồm:

các phép toán này thỏa mãn những điều kiện sau đây:

(A1) A cùng với hai phép toán cộng và nhân lập thành một vành

(A2) A cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng lập thành một không

gian véctơ trên K

(A3) Hai cấu trúc vành và không gian véctơ ở trên A ràng buộc nh au bởi

điều kiện:

( )xy  =x y( ) ( ) = x y, với mọi ∈K x y A, , ∈ Nói cách khác, A là một đại số trên K nếu nó vừa là một vành vừa là một

không gian véctơ, trong đó phép cộng của vành A trùng với phép cộng trong

không gian véctơ A, còn phép nhân của vành A liên hệ với phép nhân với vôhướng trong không gian véctơ A bởi công thức

( )xy  =x y( ) ( ) = x y,với mọi ∈K x y A, , ∈

1.12 Không gian véctơ.

Tập hợp V ≠ ∅ được gọi là một không gian véctơ trên K nếu nó được

trang bị một phép toán và một phép nhân ngoài, gồm

Với n là một số nguyên dương, ta kí hiệu [ ]R R, n tập hợp các phần tử là

tổng của n hoán tử trong các phần tử của R Quy ước [ ]R R, 0 ={ }0

Với cách đặt như trên ta có định nghĩa về vành hoán tử:

2.1.3 Định nghĩa Một vành R được gọi là vành hoán tử nếu R=[ ]R R,

2.1.4 Định lí Cho vành R là vành hoán tử và S là một vành chứa R sao

m

i i i i i i i i i

a r s

=

tâm của R và m là số nguyên dương Do R là vành hoán tử nên với mỗi r tồn tại i

các phần tử x yij, ij∈Rvà số nguyên dương m sao cho i ij ij

1

,

i

m i j

2.1.6 Định lí Cho R là vành bất kì và số nguyên dương n Nếu các ma

trận vuông cấp n, A B M, ∈ n( )R thì Tr( [ ]A B, )∈[ ]R R, n2 Ngược lại, với r bất

kì, r∈[ ]R R, n2, thì tồn tại các ma trận vuông cấp n, A B M, ∈ n( )R sao cho

Như vậy khi kết hợp từng cặp tương ứng với nhau ta có thể viết lại đẳng

thức trên như sau:

2.1.7 Bổ đề Cho R là vành và phần tử tùy ý r∈R Giả sử e∈R là phần tử lũy đẳng sao cho ere∈[e Re,e Re]m1 và frf ∈[f R , Rf f f]m2với

[e ,xe eye] [+ fzf f f, w ]=exeeye−eyeexe+ fzffwf − fwffzf

exeye eyexe fzffwf fwffzf e e wx f f fzf yee f f xw e e - eyefzf

Hay [e ,xe eye] [+ fzf f f, w ] [= exe+ fzf eye, + f fw ]

=

Bây giờ ta sẽ chứng minh r∈[ ]R R, m+1.

Đặt r=ere+erf + fre+ frf Vì erf = −( erf e) − −e( erf) và

2.1.9 Hệ quả Cho vành R và M =M1⊕M2⊕ ⊕ M n là R_ môđun

phải Nếu mỗi End R( )M i là một vành hoán tử, thì End R( )M cũng là vành hoán tử Ngoài ra, nếu với mỗi i tồn tại số nguyên dương m i sao cho

End M = End M End M  + − , với m=max(m m1, 2, ,m n).

2.1.10 Định lí Cho vành R và số nguyên dương n Khi đó tồn tại các

ma trận X Y, ∈M n( )R sao cho mọi A∈M n( )R có vết bằng 0 thì

( ) ( )

, n , n

A∈X M R   + Y M R  Cụ thể, viết E là các ma trận đơn vị , ta cóijthể chọn

1 , 1

n

i i i i

− +

=

=∑ , và Y =E nn

Chứng minh: Ta kí hiệu A=( )aij , và tập

1 1, 1

n

i i i

− +

=

=∑ ,

1 , 1 1

n

i i i

− +

i l i i

− +

=

1

n l l

i i l i

− +

=

=∑

Khi đó,

2.1.12 Hệ quả Cho Vành R, số nguyên dương n , và ma trận vuông cấp

n, A∈M n( )R Khi đó A∈M n( )R M, n( )R  nếu và chỉ nếu Tr A( )∈[ ]R R, Chứng minh: Từ Định lí 2.1.6 ta có chiều suy ra còn chiều ngược lại

được suy ra từ hệ quả trên

§ 2.Tính chất hoán tử của vành ma trận trên trường.

Giả sử V là một không gian véctơ trên trường K.

Bây giờ ta giả sử f : V →V , là một đồng cấu bất kì không nhất thiếtlũy linh Với mỗi ∈K, ta xét tập

R ∞ Ker f id

=

Vì f giao hoán f −id V , cho nên R là một không gian con ổn định đối

với f Thật vậy, nếu ∈R thì có m>0 sao cho ( f −id V) ( )m  =0

Do đó

(f −id V) ( )m f  = f f( −id V) ( )m  = f ( )0 =0Nhận xét rằng R ≠{ }0 nếu và chỉ nếu  là một giá trị riêng của f

Thật vậy, nếu  là một giá trị riêng của f , thì không gian con riêng

(f −id V) ( )m  =0 Khi đó ( ) ( )1

0

m V

f id

= − ≠ là một véctơ riêng của

f ứng với giá trị riêng , bởi vì ( f −id V)( ) =0

2.2.1 Định nghĩa Giả sử  là một giá trị riêng của f

(a) R được gọi là không gian con riêng suy rộn g ứng với các giá trị

riêng 

(b) dim P( ) và dim R( ) được gọi tương ứng là số chiều hình học và số

chiều đại số và số chiều đại số của giá trị riêng 

Mệnh đề sau đây giải thích một phần ý nghĩa của những thuật ngữ này

2.2.2 Mệnh đề Nếu  là một giá trị riêng của tự đồng cấu f : V →V thì dim R bằng bội của  xem như nghiệm của đa thức đặc trưng của f

Chứng minh Theo định nghĩa của không gian con riêng suy rộng đồng

cấu ( f −id V)|R là lũy linh Do đó, áp dụng Định lí 4.2 [2;181] cho( f −id V)|R Ta có thể chọn một cơ sở của R sao cho trong cơ sở đó ma

trận của f |R có dạng chéo khối, với các khối trên đường chéo có dạng

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

nếu gọi s là bội của  xem như nghiệm của đa thức đặc trưng của f , thì

2.2.3 Định lí Giả sử tự đồng cấu f của K- không gian n chiều V có đa

thức đặc trưng P X f ( ) phân tích được thành các phần tử tuyến tính trong

Trong đó  1 m là những vô hướng đôi một khác nhau trong K Khi đó,

V phân tích được thành tổng trực tiếp các không gian con riêng suy rộng ứng

với nững giá trị riêng  1 m :

R =s Hơn nữa V có một cơ sở sao cho ma trận của f tron

cơ sở đó là tổng trực tiếp của các khối Jordan cấp s có dạng

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

k

k k k s

k k

2.2.4 Định nghĩa Ma trận được nói trong định lí trên được gọi là ma

trận dạng chuẩn Jordan của tự đồng cấu f

Chứng minh định lí Ta sẽ chứng minh định lí theo 5 bước.

Bước 1: Giả sử  ≠ là các giá trị riêng của f Vì các đồng cấu

( f −id V) và ( f −id V) giao hoán với nhau, nên ta có đồng cấu

( f −id V)| :R R →R

Ta sẽ chứng minh rằng đó là một đẳng cấu Vì R hữu hạn chiều, chonên chỉ cần chứng minh đồng cấu trên là một đơn cấu Giả sử phản chứng tồntại véctơ∈R \ 0{ } sao cho ( f −id V)( ) =0 Theo định nghĩa của không

gian con riêng suy rộng, có số nguyên dương m sao cho

( ) ( )1

0

m V

Kết hợp hai đẳng thức trên ta có f ( ) = = Vì  ≠ , nên đẳng

thức trên dẫn tới  =0 Mâu thuẫn này bác bỏ giả thiết phản chứng

Khẳng định đó hiển nhiên đúng với m = 1 Giả sử quy nạp điều đó đúng

với m-1 Xét một ràng buộc tuyến tính bất kì

1

0

m

i i i

a

= =

∑ với các hệ số a i∈K Chọn số nguyên dương k sao cho ( f −m id V) ( )k m =0 Tác động

Thay các giá trị này vào ràng buộc tuy ến tính ban đầu, ta có a mm =0

Từ đó, vì m ≠0, nên a m =0 Vậy hệ véctơ (1, ,m) độc lập tuyến tính

được suy ra từ đẳng thức sau

=

Bước 4: Vì (f −k id V) lũy linh trên

Vì số này như nhau đối với mọi ma trận dạng chuẩn Jordan của f , cho

nên hai ma trận như vậy chỉ khác nhau thứ tự của các khối Jordan t rên

đường chéo

Một trường hợp riêng quan trọng của định lí trên là hệ quả sau đây

2.2.5 Hệ quả Nếu K là một trường đóng đại số (chẳng hạn K = ), thì mọi tự đồng cấu của một K - không gian véctơ đều có ma trận dạng chuẩn Jordan trong một cơ sở nào đó của không gian

2.2.6 Nhận xét Định lí 2.2.3 có thể phát biểu dưới dạng ma trận như

sau: Nếu ma trận vuông A∈M n n K( × , ) có đủ giá trị riêng kể cả bội trong trường K thì nó đồng dạng trên K với một ma trận dạng chuẩn Jordan, được

gọi là ma trận dạng chuẩn Jordan của ma trận A.

2.2.7 Ví dụ: Tìm dạng chuẩn Jordan trên trường số thực của ma trận sau đây

đồng dạng trên trường số thực với một ma trận Jordan J Các khối Jordan của

ma trận J này có các phần tử trên đường chéo bằng 1 hoặc - 1 Và có cấp tối

( 4)

2 4 0 2

4 6 2 41

bởi vì hai hàng cuối của ma trận bằng 0, và định thức cấp hai ở góc trái

trên khác 0 như thế số khối Jordan cấp 1 của ma trận Jordan J với phần tửtrên đường chéo chính bằng 1 là

( )0 ( )1 ( )2

rank A− E − rank A− E +rank A− E = − + =

Kết hợp với  =1là nghiệm kép của đa thức đặc trưng của A, ta suy ra Jchứa đúng một khối Jordan cấp hai với đúng một phần tử trên đường chéobằng 1 Tương tự, với  3 = = −4 1, ta có

( 4)

4 4 0 2

4 4 2 41

rank A+ E − rank A+ E +rank A+ E = − + =

Từ đó, vì = −1 là nghiệm kép của đa thức đặc trưng của A, ta suy ra Jchứa đúng một khối Jordan cấp hai với đúng một phần tử trên đường chéobằng - 1

Tóm lại, dạng chuẩn Jordan của ma trận A là

Chứng minh: Kết quả là rõ ràng nếu cả A và B đ ều là tâm của M2( )F , ta

giả sử ma trận A không phải là tâm của M2( )F Với mọi C∈M2( )F đặt

( ) [ , ]

của f và g Ta sẽ chứng minh số chiều của S nhiều nhất là 2 chiều.

Với mọi a b c F, , ∈ ta có f (aA+bB+cI)= =0 g(aA+bB+cI), vì

[ ]A B, =0

TH1 Nếu ba ma trận A, B, I độc lập tuyến tính thì dimKer f( )≥3 và( )

dimKer g ≥3 Do đó dim Im( )f ≤1 và dim Im( )g ≤1, suy ra dimS≤2.TH2 Nếu ba ma trận A, B, I phụ thuộc tuyến tính Không mất tính tổng

quát, giả sử B=aA bI+ , với các số thực a, b nào đó Khi đó S =Im( )f Nhận xét rằng I A Ker f, ∈ ( )

+) Nếu I, A độc lập tuyến tính thì dimKer f( )≥2, suy ra dimS≤2

+) Nếu I, A phụ thuộc tuyến tính Khi đó A=I và B=I Do đó

không gian véctơ con của không gian véctơ M n n× và dim C A( )≥n

01

Vì trong B có n biến nên dimC A( )≥n

2.2.10 Định lí Cho S là không gian con của không gian các ma trận

vuông phức cấp n M n n× sinh bởi tập tất cả các ma trận có dạng [ ]A B Khi,

2

dimS ≥ −n 1, mặt khác S≠M n n× nên 2

dim S <n Suy ra 2

dimS = −n 1