Luận văn thạc sĩ toán Một số vấn đề về nội suy vô hạn

Những vấn đề liên quan đến nội suy với một số hữu hạn các điều kiện đãđược nghiên cứu và làm sáng tỏ.. Tuy nhiên, không phải tất cả các bài toán liên quanđến tính vô hạn của điều kiện nộ

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ

NỘI 2

PHAN LẠC DƯƠNG

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã so: 60 46 01 02

Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Khải HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sựhướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Văn Khải Sự giúp đỡ và hướng dẫn tậntình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúptác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm HàNội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường đã giúp đỡ, tạođiều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT Hà Nội, Ban giám hiệu, cácthầy cô giáo, đồng nghiệp trường Trung học phổ thông Ba Vì cùng gia đình,người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giảhoàn thành khóa học Thạc sĩ cũng như hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 08 tháng 11 năm 20lị Tác giả

Phan Lạc Dương

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sựhướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những

thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệpvới sự trân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng cácthông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồngốc

Hà Nội, ngày 08 tháng 11 năm 20lị Tác giả

Phan Lạc Dương

Mục lục

MỘT số KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Không gian Banach và không gian Hilbert

Không gian vectơ

Không gian metric

Không gian định chuẩn và không gian Banach

Không gian Hilbert

5 7

12

1 7

2 2

39424244495858637071

Mở đầu

Cách tiếp cận thứ nhất: Định lí GuichardCách tiếp cận thứ hai: Định lí Polya

MỘT số ỨNG DỤNGứng dụng của Định lí PolyaMột số bài toán khác

Những vấn đề liên quan đến nội suy với một số hữu hạn các điều kiện đãđược nghiên cứu và làm sáng tỏ Trên cơ sở đó, khi tăng số lượng các điều kiệnlên, trong những trường hợp nhất định, ta vẫn giải quyết được bài toán nội suybằng chuỗi vô hạn các đa thức Tuy nhiên, không phải tất cả các bài toán liên quanđến tính vô hạn của điều kiện nội suy đều có thể giải quyết được theo cách này.Hơn nữa trong việc phát triển từ một bài toán với hữu hạn các điều kiện đến bàitoán có vô hạn các điều kiện, ta còn vấp phải khó khăn phát sinh từ những hạn chếcủa Giải tích cũng như Đại số Việc tìm ra các phương cách thay thế cho giải pháptrên được nhiều Nhà toán học nghiên cứu trong những năm gần đây, tuy nhiênchưa có nhiều công trình nghiên cứu đề cập tới vấn đề này.

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bài toán nội suy vô hạn và ứng dụng của

nó, tôi chọn đề tài “Một số vấn đề về Nội suy vô hạn” làm luận văn Thạc sĩ củamình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về Nội suy vô hạn và nêu một số ví dụ ứng dụng của

nó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu các vấn đề liên quan đến lý thuyết Nội suy vô hạn và một số ứng dụng của chúng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các vấn đề liên quan đến vấn đề nội suy hữu hạn và nội suy vô hạn

Phạm vi nghiên cứu: Nội suy vô hạn các điều kiện cụ thể

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc, tìm hiểu tư liệu trong sách, báo, luận văn, luận án

Các phương pháp của Đại số và Giải tích (Lý thuyết chuỗi, Hàm phức, Giải tích hàm)

Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu của đề tài

6 Đóng góp mới của đề tài

Trình bày một cách có hệ thống về Nội suy vô hạn

ứng dụng của Nội suy vô hạn để giải một số các bài toán liên quan

Chương 1 MỘT số KIẾN THỨC CHUẨN

BỊ

Ta kí hiệu c là tập các số phức, M là tập các số thực, Q là tập các số hữu tỷ, z là tậpcác số nguyên và Q là tập các số tự nhiên

Định nghĩa 1.1.1 Tập X cùng với phép cộng (+) và nhân vô hướng (.) được gọi là

một không gian vectơ trên trường số thực R (gọi tắt là không gian vectơ hay còngọi là không gian tuyến tính) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

Với mọi x,y,z € X, với mọi a, ß € M, ta có

1) X + y = y + X]

2) (x+ y) + z = X + (y + z);

3) Tồn tại phần tử trung hòa6 € X sao cho X + 9 = x;

4) Với mỗi X € X, tồn tạiphần tử đối của X là(—x) € X sao cho

tiên đề về không gian vectơ.

Định nghĩa 1.1.2 Cho X là một không gian vectơ Biểu thức dạng

c t ị X ị ~ ị ~ - ị - O i n Xn Ị O L ị G R , X ị £ X

được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ {xi , , x n }.

Định nghĩa 1.1.3 Cho hệ n vectơ {^1, , x n } trong không gian vectơ X Xét đẳng thức vectơ OiiXi + + a n x n = 6 Nếu đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi O i i

Định nghĩa 1.1.4 Hệ vô hạn các phần tử {Xi} i e l thuộc không gian vectơ X được

gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn của nó là độc lập tuyến tính

Định nghĩa 1.1.5 Cho n là một số nguyên dương và X là một không gian vectơ Nếu tồn tại một hệ n vectơ Xí, ,x n G X độc lập tuyến tính và mọi hệ n + 1 vectơ trong X đều phụ thuộc tuyến tính thì ta nói không gian X có số chiều là n và kí hiệu dimX = n Nếu không tồn tại n như vậy ta nói không gian X là vô hạn chiều.

Định nghĩa 1.1.6 Cho X là một không gian vectơ Tập hợp các phần tử Xi, ,x n

G X được gọi là một cơ sở của X nếu với mỗi X & X, X luôn biểu diễn được dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của Xị, ,x n và biểu diễn này là duy nhất

Định lí 1.1.1 Không gian vectơ X có số chiều n khi và chỉ khi cơ sở của

X gồm n phần tử Nếu X có số chiều lầ n thì mọi hệ vectơ độc lập tuyến tính gồm n phần tử đều ỉầ cơ sở của nó.

Ví dụ 1.1.1 (Không gian vectơ Euclide 77,-chiều Kn)

Giả sử K là kí hiệu của trường các số thực hoặc phức Với mỗi số nguyên không

âm n, tập hợp các bộ n số dạng X = (íEi, , x n ) ,Xị € K (i = 0,1, ) tạo thành một

không gian vectơ n chiều trên R, kí hiệu là Kn Các phép toán của không gian vectơ

Kn được định nghĩa bởi:

X + y = (x 1 + y u ., x n + y n );

ax = (ax I , , ax n ).

Ví dụ 1.1.2 (Không gian các hàm khả tích bậc p trên [a;6])

Cho p > 0, tập các hàm fix) đo được sao cho \f(x)\ p khả tích trên [a; 6] tạo thành

một không gian vectơ được kí hiệu là L p [a; b] (Nếu p = 1 thì ta kí hiệu là L[a\

b ]).

Định nghĩa 1.1.7 Cho tập hợp tùy ý X Ỷ 0- Một metric trong X là ánh xạ

Tập hợp X và một metric trong X gọi là một không gian metric, ký hiệu là (X,

d ) số d (X , y ) gọi là khoảng cách giữa các điểm X và y.

Nếu M là một tập con khác rỗng của X thì M cùng với d hạn chế trên M là

Ví dụ 1.1.3 Với hai vectơ bất kỳ X = (xi , , Xỵ), y = (yi , , yk) thuộc không gian

vectơ thực k-chiều (k là số nguyên dương nào đó) ta đặt

(1.1)

i), ii) về metric Để kiểm tra hệ thức (1.1) thỏa mãn tiên đề iii) về metric, trước hết

ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy- Bunhiacopski:

= [d(x,z) + d(z,y)]2

=> d(x,y) < d (x, z) + d (2, y)

Do đó hệ thức (1.1) thỏa mãn tiên đề iii) về metric Vì vậy hệ thức (1.1) xác địnhmột metric trên không gian Mfc

Không gian metric tương ứng vẫn ký hiệu là Mfc và thường được gọi là không gian

Euclide, còn metric (1.1) gọi là metric Euclide

Định nghĩa 1.1.8 Dãy điểm {zn} trong không gian metric (X , d) được

gọi là hội tụ tới điểm X e X nếu lim d (x n, X ) = 0.

Chứng minh Giả sử F là một tập đóng trong không gian metric đầy đủ (X,

d ), {x n } là một dãy cơ bản trong F tức là lim d (x m ,x n ) — 0.

m , n — ¥ 00Suy ra {:rn} là một dãy cơ bản trong X.

Do X là không gian đầy đủ nên dãy {x n } hội tụ, tức là

Định lí 1.1.3 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co)

Mọi ảnh xạ co Ả ấnh xạ không gian metric đầy đủ (X, d) vào chính

nó đều có một điểm bất động duy nhất.

Chứng minh Lấy một điểm bất kỳ x 0 € X và lập dãy x n — A (xn_i),

77, = 1,2, ta được

d (x 2 , Xi) = d (Axi,Ax ữ ) < ad (xi,x 0 ) = ad {Ax ữ ĩ x 0),

d (x 3 , x 2 ) = d (Ax 2 , Axi) < ad (X 2 , Xi ) < a 2 d (Ax 0 , a^o),

d (x n + i,x n ) = d (Ax n , Ax n _i) < ad (x n , x n _i) < a n d {Ax ữ , x 0 ) ,n= 1,2,

<

a <

=► X = y

Vậy X * là điểm bất động duy nhất của

ánh xạ A.

Ví dụ 1.1.4 Không gian vectơ Euclide

thực k— chiều Mfc là một không gian metric đầy đủ với

Ví dụ 1.1.5 ư[a]b] là không gian các hàm khả tích bậc p trên [a; 6]

với metric

b

-y { t ) \ p d t , x { t ) , y { t ) e ư [a,6]

a

Ví dụ 1.1.6 Trong không gian metric

đầy đủ (X, d), hình cầu đóng s (x ũ : r)

= {x G X : d(x : £0) < r} 5r ẽ M+ là không gian metric đầy đủ

không gian Banach

Định nghĩa 1.1.12 Cho X là không gian vectơ trên M Chuẩn trong X, ký hiệu ll-ll, là một ánh xạ từ X vào tập số thực

M thỏa mãn các tiên đề sau

i) (Vx € X) ỊỊz|| > 0, \ \ x \ \ = 0 ^ X = ớ;

ii) (Vx £ X) (Vcc G M) IIQÍÍCII = |a| ||a:||

chuẩn xác định trong không gian đó

được gọi là không gian tuyến tính

Khi đó, d lầ một metric trên X.

Nhận xét 1.1.1 Mọi không gian

tuyến tính định chuẩn đều là

không gian metric với metric

(1.5)

Định nghĩa 1.1.13 Dãy điểm {x n } của

không gian tuyến tính định chuẩn X

được gọi là hội tụ tới điểm X e X nếu

Định nghĩa 1.1.14 Dãy điểm {a;n}

trong không gian tuyến tính định chuẩn

X được gọi là dẫy cơ bản (hay dẫy

Cauchy) nếu lim ||xn — x m \\ =

m , n—»00

0

Định nghĩa 1.1.15 Trong không gian

tuyến tính định chuẩn X, chuỗi

Định nghĩa 1.1.17 Không gian tuyến

tính định chuẩn X được gọi là không

gian Banach nếu mọi dãy cơ bản

trong X đều hội tụ tới một phần tử trong

X.

Ví dụ 1.1.7 Xét không gian vectơ

Euclide thực k- chiều với mỗi

Khi đó là không gian Banach

Thật vậy, dễ dàng kiểm tra được là

không gian định chuẩn Lấy {xn} là dãy

cơ bản trong Mfc Ta có lim \\x n — x m \\

= 0 nghĩa là

m , n

—

>

0 0

(Ve > 0) ( 3 M e N*) (Vm, n > M ) : \ \ x n

-x m \ \ < £

n

<=> ^ ] \ x n , j ~ x m , j \ < £ •

3 = 1

1 3

Suy ra (với mỗi j € N cố định), (Ve >

0) (3Mj £ N*) (Vm, n > Mj ):

x n , j 3 'm , j II < £

Vậy với mỗi j G N cố định thì dãy

{ x n j } là một dãy cơ bản hội tụ

Ký hiệu X j — lim x n j : j — l,k nghĩa là

Vậy {a;n} hội tụ đến X

Ví dụ 1.1.8 Không gian l 2 bao gồm tất

không gian Banach

Thật vậy, lấy (a n) là một dãy

Cauchy trong l 2 Giả sử (an) = (a n

1, a n 2, ) Với £ > 0 tùy ý, tồn tại

một số N ữ thỏa mãn

00

^2 \oi m ,k - <Xn,k\ 2 < £2, Vm,n >

N 0 k=1

Điều này kéo theo rằng với mỗi k £

N cố định và với mỗi £ > 0 tồn tại

một số N ữ thỏa mãn Ia m ỵ — a n fc|

< £,

\/m,n > N Q Nhưng điều này

cũng có nghĩa là, với mỗi k dãy (a n k)

là một dãy Cauchy và vì vậy nó

( 1 6 )

tức là dãy (an) hội tụ tới a trong l 2 .

Định lí 1.1.5 (Tiêu chuẩn Cauchy

về sự hội tụ của chuỗi)

Banach Chuỗi x n hội tụ khi vầ chỉ

Banach khi và chỉ khi mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối trong X đều hội tụ.

Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi

hội tụ trong không gian X.

n = 1

Ngược lại, giả sử trong không gian

tuyến tính định chuẩn X mọi chuỗi

hội tụ tuyệt đối đều hội tụ và (x n) là dãy

Cauchy tùy ý trong X Ta có

Ve > 0, tồn tại n ữ G N* sao cho \/n,m

> n 0 : \\x n — x m \\ < e.

1Nhờ đó, với số e là phần tử của dãy số(—T-) ta tìm đươc số r i ỵ sao cho

< k <E N*) với n k < n k + 1.

Từ đó, suy ra chuỗi ||a;ni II + \\x n 2 - x n i

II + + \\x n i + 1 - x n k \\ + là hội tụ Theo giả thiết, chuỗi x U l + (Xn 2 - x n i ) + + (Xn k + 1 - x Uk) + hội tụ trong

không gian X, kí hiệu tổng của chuỗi này là s Hiển nhiên

(x n k + 1 - x n k )\ = lim x n k + 1

k — > o o

Từ chứng minh trên và từ hệ thứcsuy ra

s = lim x n trong không gian tuyến tính

định chuẩn X Do đó,

n—t 00

X là không gian Banach Định lý được

chứng minh

Định nghĩa 1.1.18 Cho không gian vectơ

X trên R Ánh xạ ip : X X X —> M thỏa mãn các điều kiện sau được gọi là một tích vô hướng trên X:

X

;

i p ( x ,

x )

iv) ip(\x,y) = Xip(x,y) Vx,y Ễ 1,

8)

Khi đó, Vx, y G X ta có bất đẳng thức Schwarz

\(x,y)\

< IMI </|

Định nghĩa 1.1.19 Không gian vectơ X

trên M cùng với một tích vô hướng gọi

là không gian tiền Hilbert.

Nhận xét 1.1.2 Công thức (1.8) xấc định một chuẩn trên không giãn

X Từ đó, mọi không gian tiền Hilbert đều lầ không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.20 Không gian X được

gọi là không gian Hilbert nếu

X là không gian tiền Hilbert và đầy đủ

Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng chính

là chuẩn Euclide

Ví dụ 1.1.10 L 2 [a, b ] là không gian

Hilbert với tích vô hướng

i) Hai phần tử x,y £ X gọi là trực

giao và ký hiệu xl.y nếu (X, y ) =

0

ii) A là tập con khác rỗng của X.

Phần tử X G

X gọi là

trựcgiao với

tập A nếu X-Ly, \/y e A và ký hiệu XẢ.A.

Định lí 1.1.9.Trong không gian

ll^nỊI2 hội tụ.

n = 1

Định nghĩa 1.1.22 Một hệ { e n } >1 cácphần tử của không gian Hilbert X gọi là

hệ trực chuẩn nếu (e*, e j ) = ốjj, trongđó

(i,j

=

1,2 )

Định lí 1.1.10 (Định lí về trực giao hóaHilbert - Schmidt)

Cho {x n } là một hệ vecto độc lập tuyến tính (gồm hữu hạn hay đếm đươc cấc phần tử) của không gian tiền Hilbert X Dẫt: ẽị = 1

6 i ) i= 1

Chứng minh Do giả thiết độc lập

tuyến tính nên các vecto x n đều khác 0

Do đó, các vecto en là xác định

Hơn nữa ta thấy ||en|| = 1 với mọi n nên

ta chỉ cần chứng minh tính trực giao của

=1

Vì (ei,ei) = 1 nên 0 / 2 , ei) = (z2,ei)

-{ x 2 , e l ) (ei,ei) = 0 tức là y 2 - \ ~ e l : do đó

e2-Lei

Giả sử e i , , e n trực giao từng đôimột, ta thấy rằng vì (ej, ej) = 1

nên (y n + i, eì) = (x n + 1 ,eỂ) - (x n + 1 ,eỂ)(e;,e;) = 0, tức là Vn+I-Lei và do đó

en+i_Lej với mọi ỉ = 1, , n.

Vậy {en} là một hệ trực chuẩn Định lýđược chứng minh

Định lí 1.1.11 (Bất đẳng thức Bessel)

Nếu {e n } >1 lầ một hệ trực chuẩn nào đó trong không gian Hilbert

X thì với mọi X e X ta có bất đẳng thức

^2\( x ’ e n)\ 2

< Ikii2

-Tl>l

Định nghĩa 1.1.23 Một hệ trực chuẩn

{e n } > l trong không gian Hilbert X gọi

là cơ sở trực chuẩn của không gian X nếu trong X không tồn tại vectơ khác

không nào trực giao với hệ đó, nghĩa làx_Len(n = 1,2, )

X = 9

Định lí 1.1.12 Cho {e n } n > 1 ỉầ một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert X Các mệnh đề sau là tương đương:

a) {en}n>1 lầ cơ sở trực chuẩn

của không gian X.

71—1

d) ll^ll2 = ^2 \ ( x i e n)\ 2 > e X (phương trình đóng).

n= 1

e) Bao tuyến tính của hệ {en}n>1

trù mật khấp nơi trong không gian X.

Chứng minh, a) => 6): Từ bất đẳngthức Bessel và từ định lý (1.1.9),

Vì vậy, X = (x,e n )e n Từ đó suy ra mỗi

X e X đều có X —

7 1 = 1 к

lim { x i e n) e n , nghĩa là X là giới hạn củadãy các tổ hợp tuyến tính

của của một số hữu hạn bất kì các phần

tử thuộc hệ {en}n>1 Vì vậy, bao tuyếntính của hệ {en}n>1 trù mật trong không

gian X e) =>• a): Giả sử X e X và

x_Len(n = 1 , 2 , ) Khi đó dễ thấy X

trực giao với bao tuyến tính của hệ {en}

>1 Nhưng bao tuyến tính của hệ {e n } > 1 trù mật khắp nơi trong không gian X nên tồn tại dãy phần tử (x n) trong bao

tuyến tính đó hội tụ tới X, do xl.x n (n =

1 , 2 , ) nên x^x suy ra X = 9 Vì vậy,

hệ trực chuẩn {en}n>1 là cơ sở trực chuẩn

của không gian X.

Định lý được chứng minh

Cho s là một tập hợp điểm trên Mn hoặc

trên mặt phẳng phức và p là một điểm trên tập s Dù sau này một số định lý có

ý nghĩa cho các hàm mang giá trị phứccủa một biến thực nhưng chúng ta sẽgiải quyết trong trường hợp tổng quát

với các hàm biến thực với bất cứ tập s

số nào như vậy thì hàm / được gọi làkhông bị chặn trên s

xác định trên tập s được gọi là liên tục

tại một điểm p 0 e s nếu lim f(P n ) = Po)j với mọi dãy

tập s nếu với một số thực dương e > 0

tùy ý, ta có thể tìm được một giá trị J sao cho với mọi X ị , x 2 € [a, b] thỏa II£1

— x 2 \\ < s thì - f(x 2 )\\ < e.

Định lí 1.2.1 Một hầm số nếu liên tục trên một tập compact thì liên tục đều trên tập đó.

Ví dụ 1.2.5 Hàm f(x )

1 + X 2

Định lí 1.2.2 Cho f , g £ C[a\ b] với

g > 0 trên [a; b] Khi đó tồn tại

giấ

Định lý vẫn đúng trong trường

hợp д €E L[a\ b].

Định nghĩa 1.2.5 Cho hàm f(x ) xác

định trên khoảng (đoạn) I Đặt w(ỗ; /)

= w(ổ ) = sup||/(xi) — f(x 2) I I với sup

< w(ỏ 2 );

(c) w(S 1 + ỗ 2 ) < w(ỗ i) + w(ỏ 2 ).

Hơn nữa, w(ô) G ơ[0; b — а].

Định nghĩa 1.2.6 (Hàm thỏa mãn Điều

kiện Lipschitz) Cho hàm

f(x ) xác định trên khoảng (đoạn) I Giả

sử ta tìm được hai hằng số dương M, а

sao cho

\ f { x i ) - f { x 2)I < M.ịxi

- x 2 \ a , {Vx u x 2 e I ).