QUÁ TRÌNH tán xạ SIÊU hạt

MỞ ĐẦUSiêu đối xứng có một tiên đoán rất kịch tính, đó là, mỗi hạt chất và trường đãbiết đều có siêu hạt đồng hành với spin sai khác 1/2 đơn vị [1].. Khi siêu đối xứng là đúng, thay cho

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS PHẠM THÚC TUYỀN

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin gửi lời biết ơn chân thành tới Thầy giáo, TS Phạm ThúcTuyền người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình và giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập vàhoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa học này

Em cũng gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong Khoa vật lý, tới tất cả các Thầy

Cô, Tập thể cán bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết , đã hết lòng dạy dỗ trang bị cho emnhững kiến thức và tạo điều kiện cho em trong quá trình học tập và thời gian hoànthành luận văn

Cuối cùng, em muốn gửi lời cảm ơn tới tất cả người thân, bạn bè Sự quan tâmcủa mọi người đã giúp em có thêm quyết tâm để em hoàn thành luận văn một cách tốtnhất

Hà Nội, 15 tháng 12 năm 2011

Học viên

Nguyễn Thị Yến

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TRƯỜNG SIÊU ĐỐI XỨNG 6

1.1.Siêu đối xứng 6

1.2 Siêu không gian và siêu trường 8

1.2.1.Siêu không gian 8

1.2.2 Siêu trường 9

1.2.3.Siêu trường vô hướng thuận tay (siêu trường chiral) 11

1.2.4 Siêu trường vectơ 15

1.3 Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng 17

1.3.1 Lý thuyết trường chuẩn Abel 17

1.3.2 Lý thuyết trường chuẩn non-Abel 20

1.3.3 Vi phạm siêu đối xứng 22

1.3.4 Trường vật lý của MSSM 24

CHƯƠNG 2: MA TRẬN VÀ TIẾT DIỆN TÁN XẠ 27

2.1 Ma trận tán xạ và tiết diện tán xạ trong cơ học lượng tử 27

2.1.1 Khái niệm ma trận tán xạ S 27

2.1.2 Ý nghĩa vật lí của ma trận tán xạ S 29

2.1 3 Khái niệm tiết diện tán xạ 31

2.1.4.Các biến Mandelstam 31

2.1.5.Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân 34

2.2.Ma trận tán xạ và tiết diện tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử 39

e e       52

2.2.1 S- ma trận và khai triển Dyson 39

2.2.2 Tiết diện tán xạ 48

CHƯƠNG 3: QUÁ TRÌNH TÁN XẠ  3.1 Yếu tố ma trận 52

3.2 Tiết diện tán xạ vi phân 59

KẾT LUẬN 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

MỞ ĐẦUSiêu đối xứng có một tiên đoán rất kịch tính, đó là, mỗi hạt chất và trường đãbiết đều có siêu hạt đồng hành với spin sai khác 1/2 đơn vị [1] Như vậy, mỗi lepton

có siêu đồng hành gọi là slepton, mỗi quark có siêu đồng hành là squark Squark vàslepton là boson vô hướng Mỗi hạt gauge truyền tương tác sẽ có siêu đồng hành làgaugino: photon truyền tương tác điện tử có photino, hạt Yang-Mills truyền tương tácyếu sẽ có Yang-Millsino, hạt gluon truyền tương tác mạnh sẽ có gluino Các gaugino làfermion Majorana

Tiên đoán trên đây được coi là kịch tính vì cho đến nay, sau 40 năm tìm kiếm,chúng ta chưa tìm được bất cứ siêu hạt đồng hành nào Nếu tìm thấy, siêu đối xứng sẽ

là đối xứng thực sự của tự nhiên, nếu không tìm thấy, siêu đối xứng sẽ chỉ là một giảđịnh, chưa có gì đảm bảo là đúng

Khi siêu đối xứng là đúng, thay cho một spinơ diễn tả hạt chất nào đó, ta có một

“siêu đa tuyến”, bao gồm cả trạng thái fermion (spinơ) lẫn trạng thái boson (vô hướng).Thay cho một vectơ diễn tả trường một tương tác nào đó, ta có một “siêu đa tuyến”,bao gồm cả trạng thái boson (vectơ) lẫn trạng thái fermion (spinơ Majorana) [2]-[3].Khi đó, quá trình tán xạ giữa hai hạt trở nên rất phức tạp do sự tham gia của quá nhiềuhạt Chính vì chưa tính được sự đóng góp của tất cả các hạt và hạt đồng hành, cho nên,

ta chưa thể tìm được vùng năng lượng có thể tìm thấy siêu hạt

Nhiệm vụ được đặt ra cho tác giả luận văn thạc sỹ này là nghiên cứu một trong

số những quá trình tán xạ khi tính đến siêu đối xứng Để tính đến sự đóng góp của tất

cả các hạt ta phải dùng đến các phần mềm chuyên dụng như FormCalc, FeynArts.Trong luận văn này do tác giả chỉ tính bằng tay, cho nên cũng chỉ giới hạn ở một quátrình cụ thể

Luận văn được phân chia làm ba chương Chương 1 đề cập đến những kháiniệm cơ bản về siêu đối xứng, viết tắt là SUSY, từ đó suy ra Lagrangian tương tác giữa

tính một quá trình tán xạ phi đàn tính e e  

Việc lựa chọn quá trình tán xạ có sinh ra siêu hạt từ sự hủy cặp e e  là có chủ ý

hạt với hạt, hạt với siêu hạt đồng hành và siêu hạt đồng hành với nhau Chương 2 tómtắt các đặc trưng của bài toán tán xạ, các công thức cần thiết cho tính toán Chương 3 là



Các kết luận được tách riêng thành mục cuối cùng



Hiện nay mặc dù đã có máy va chạm hadron lớn (LHC), nhưng những số liệu thu được

từ các máy gia tốc lepton (LEP) vẫn rất phong phú và có vai trò quan trọng trong việctìm kiếm và kiểm chứng những lết luận của SUSY Thêm nữa, các máy gia tốc cũng

đạt đến thang năng lượng không nhỏ (cỡ 1 TeV ), vì vậy, mọi tính toán lý thuyết đều có

thể kiểm tra được ở các trung tâm này

Siêu đối xứng (SUSY) là đối xứng giữa fermion và boson [1]-[4] Các phép biến

đổi siêu đối xứng được sinh bởi các toán tử spinơ Q, Q , biến trường fermion thành

trường boson và ngược lại

Do trường boson và trường fermion có thứ nguyên khác nhau 1/2, cho nên, thứ nguyên

Q phải bằng 1/2 Toán tử Q, Q được gọi là vi tử sinh lẻ Chúng cùng với vi tử sinh

của nhóm Lorentz, được gọi là vi tử sinh chẵn, lập thành một đại số, trong đó, ngoàiđại số của nhóm Poincaré, ta còn có:

và boson, tức là, cho cả trường chất lẫn trường truyền tương tác.

Điểm nổi bật của siêu đối xứng là kết hợp các boson và fermion vào trong cùngnhững đa tuyến tối giản hữa hạn Siêu đối xứng làm phong phú thêm cho vật lý hạt cơbản; ngay cả một mô hình siêu đối xứng đơn giản nhất cũng có rất nhiều những hệ quả

lý thú, đặc biệt, chúng hạn chế được rất nhiều loại giản đồ phân kỳ trong lý thuyết

nhiễu loạn

Siêu đối xứng là đối xứng duy nhất đã biết có thể liên hệ các hạt có spin khácnhau là boson và fermion, và có ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực phát triển của

vật lý lý thuyết ở giai đoạn hiện nay, chẳng hạn như lý thuyết dây Ngoài ra có nhiềunguyên nhân về mặt hiện tượng luận làm cho SUSY trở nên hấp dẫn Một là, nó hứahẹn giải quyết vấn đề phân bậc tương tác (hierachy) tồn tại trong mô hình tiêu chuẩn.Hai là, trong SUSY hạt Higgs có thể xuất hiện một cách tự nhiên như hạt vô hướng cơbản và nhẹ.

Để diễn đạt SUSY thuận tiện nhất, ta dùng phương tiện là siêu không gian vàsiêu trường

1.2 Siêu không gian và siêu trường

1.2.1.Siêu không gian.

Vi tử sinh spinơ của nhóm siêu đối xứng không thể biểu diễn được chỉ bằngtoán tử vi phân theo tọa độ không thời-gian thông thường Để khắc phục điều này,người ta đã mở rộng không-thời gian bằng cách đưa vào tọa độ spinơ phản giao hoán

 , bên cạnh tọa độ vectơ giao hoán x  [5] Không gian mở rộng được gọi là siêukhông gian, tọa độ phản giao hoán được gọi là tọa độ lẻ, tọa độ giao hoán được gọi làtọa độ chẵn Do tọa độ lẻ chỉ là công cụ, chúng không thể có mặt trong biểu thức cuốicùng của Lagrangian, cho nên, bước tính toán cuối cùng là tích phân theo tất cả tọa độ

lẻ Tích phân theo tọa độ lẻ được tính như đạo hàm theo tọa độ đó

Nếu dùng hình thức luận spinơ bốn thành phần tọa độ lẻ là spinơ Majorana  ,còn nếu dùng hình thức luận spinơ hai thành phần tọa độ lẻ sẽ là cặp hai spinơ Weyl( , ), trong đó,  là spinơ Weyl loại một hay tay chiêu,  là spinơ Weyl loại hai, haytay đăm [6] Chỉ số của  là không có chấm,      , chỉ số của     *  là cóchấm Các ma trận Pauli bốn chiều sẽ có một chỉ số có chấm một chỉ số không cóchấm Tensơ Ricci sẽ có hai chỉ số không chấm hoặc hai chỉ số có chấm Trong luậnvăn này, ta sử dụng hình thức luận spinơ hai thành phần (xem phụ lục A)

 i   

Q     i            i       

    

        

 i    D    i

   x  i     D          i     

Do tính phản giao hoán của tọa độ spinơ:    ,          0 (1.4) Từ đó suy ra, bình phương của các biến tọa độ lẻ bằng không, tức là biến lũy linh Biến lũy linh còn được gọi là biến Grassmann Biến tọa độ lẻ phải có thứ nguyên bằng 1 / 2 Khi đó, vi tử sinh Q, Q của siêu đối xứng sẽ được biểu diễn bằng toán tử vi phân theo các tọa độ như sau: Q           i     

   

   

(1.5) Phép biến đổi siêu đối xứng và đạo hàm không giao hoán nhau, nghĩa là, hàm trường và đạo hàm của nó không biến đổi như nhau Để có được đạo hàm giao hoán với vi tử sinh phản giao hoán, ta đưa vào đạo hàm hiệp biến sau đây:  

 

   

  x 

(1.6)

Đạo hàm hiệp biến có thứ nguyên 1/2

1.2.2 Siêu trường

Siêu trường là một hàm trường trên siêu không gian Chúng có thể là vô hướng, vectơ hay spinơ Do tính lũy linh, khai triển của siêu trường theo lũy thừa của tọa độ lẻ

sẽ hữu hạn Ví dụ, khai triển siêu trường vô hướng ( x, , ) theo lũy thừa của  và

 sẽ có dạng:

- 8 trạng thái boson, diễn tả bằng 4 trường vô hướng phức:

Siêu trường thỏa mãn những tính chất cơ bản sau đây:

- Tổ hợp tuyến tính của các siêu trường cũng là siêu trường

-Tích các siêu trường cũng là siêu trường

Từ quy tắc biến đổi của siêu trường ta suy ra quy tắc biến đổi của trường thànhphần Quy tắc biến đổi cho các siêu trường được định nghĩa:

   ( x , ,  )    A( x )     ( x )      ( x )

m

   

Trong đó,  là tham số biến đổi Tham số biến đổi cũng phải là spinơ và có thứ

nguyên 1 / 2 Bằng cách so sánh lũy thừa theo  ở cả hai vế, và với vi tử sinh đượccho như trong (1.5), ta có thể thu được phép biến đổi cho trường thành phần:

1.2.3.Siêu trường vô hướng thuận tay (siêu trường chiral)

Siêu trường vô hướng thỏa mãn điều kiện [7]:

được gọi là siêu trường thuận tay trái, hay tay chiêu (left-handed superfield) Trong

(1.10), D là toán tử đạo hàm hiệp biến, chứ không phải là đạo hàm thường Nó khôngchứa nội dung động lực học như đạo hàm hiệp biến trong lý thuyết trường chuẩn màchỉ là công cụ toán học để giản lược số trường thành phần trong một siêu đa tuyến Đặt:

Như vậy, một siêu trường vô hướng tay chiêu chỉ chứa ba trường thành phần: một

trường vô hướng A , một trường spinơ  tay chiêu và một trường phụ trợ F Trong đa tuyến của siêu trường vô hướng (1.13), trường vô hướng A , trường spinơ  lẫn đạohàm của chúng đều có mặt, vì vậy, Lagrangian của chúng có thể được tạo nên từ lũythừa của siêu trường tay chiêu Siêu trường tay chiêu có thể coi là dạng siêu đối xứnghóa trường chất cổ điển Trong đa tuyến chất sẽ có trường spinơ tay chiêu  , trường

vô hướng A và trường phụ trợ F Trường vô hướng A xuất hiện trong đa tuyến của

trường chất  , cho nên, nó được gọi là vô hướng siêu đồng hành của 

Tương tự, siêu trường thỏa mãn điều kiện:

trường thuận tay Ví dụ, với hai siêu trường tay chiêu  i ,  j , tích  i j sẽ có khai

Tích của một siêu trường có tính thuận tay khác nhau sẽ không còn là siêu



triển sau đây:

hệ số của  Đó cũng là động năng của trường vô hướng A và trường spinơ 

V (x, , )  C(x)  i(x)  i (x)    M ( x)  iN(x)

   M ( x)  iN ( x)   V (x)  i  (x)  ( x)   2i 

i   2   2D(x)   1  ( x) Số hạng F 2 sẽ bị khử nhờ phương trình chuyển động Số hạng cuối cùng chỉ là đạo hàm toàn phần và do đó nó có thể được bỏ qua 1.2.4 Siêu trường vectơ Siêu trường thỏa mãn điều kiện thực [7]: sẽ có biểu thức khai triển: i   

2  

V ( x, , )  V  ( x, , ) i 2 (1.21) (1.22)  i 1

  2

 

 

Tuy V là vô hướng nhưng do trong khai triển của nó có chứa trường thành phần vectơ

V cho nên nó được gọi là siêu trường vectơ Từ điều kiện thực suy ra:

- Các trường thành phần C, D, M , N và V là thực Đó là 8 thành phần boson của siêu đa tuyến

- Các trường  ,  là hai spinơ tay chiêu Weyl Đó là 8 thành phần fermion của siêu đa tuyến

Nếu có một siêu trường tay chiêu  , tổng     sẽ là một siêu trường vectơ

Khi đó, xét phép biến đổi tác động lên siêu trường V như sau:

trong đó,  là siêu trường tay chiêu Trường thành phần của V sẽ biến đổi theo quy luật:

Như vậy, giống như trường chuẩn cổ điển, thành phần vectơ của siêu trường vectơ

cũng được cộng thêm građiên 2 lẫn phần ảo của A Siêu trường vectơ có thể coi là

dạng siêu đối xứng hóa của trường chuẩn, và do đó nó còn được gọi là siêu trường

chuẩn Nếu chọn thành phần của siêu trường tay chiêu  một cách thích hợp, ta có thể

khử các trường C ,  , M , N và siêu trường chuẩn chỉ còn lại một trường vectơ, một trường vô hướng và một siêu trường spinơ V ,  và D :

 1

V  V     V( x)  i ( x)  i ( x)   D( x)

Siêu trường tay chiêu  thỏa mãn tính chất trên được gọi là chuẩn Wess-Zumino Siêu

trường chuẩn trong chuẩn Wess-Zumino chỉ gồm một trường chuẩn vectơ thực V ,trường spinơ  và trường vô hướng phụ trợ D Trường spinơ  xuất hiện trong đa

tuyến của trường chuẩn V , cho nên, nó là trường siêu đồng hành của V

Khác với siêu trường chất, trong khai triển (1.25) của siêu trường chuẩn, không

có đạo hàm trường chuẩn Mặt khác, để V có thứ nguyên bằng 1, siêu trường V phải

có thứ nguyên bằng 0 Vì vậy, để có cường độ trường chuẩn, ta phải lấy đạo hàm hiệpbiến siêu trường vectơ Xét siêu trường spinơ sau đây:

1 1

W   DDDV , W   DDDV

Siêu trường spinơ W là tay chiêu vì DDDDV chứa tích của ba đạo hàm D cho nên

nó sẽ bằng không Tương tự, W sẽ là siêu trường tay đăm Các siêu trường này có thứ

nguyên 3/2 W W , WW  là tích hai siêu trường thuận tay nên chúng cũng thuận tay.

Với nhóm chuẩn non-Abel, siêu trường vectơ V sẽ không được chọn là siêu trường chuẩn Thay vào đó, ta sẽ chọn là expV Nếu khai triển hàm mũ, ta chỉ có đến

số hạng thứ ba là khác không:

12

1.3 Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng

1.3.1 Lý thuyết trường chuẩn Abel

(1.28)

    e  i,       e i



i  

   DDD V    DDD V  i      

W    

 DDD        W  DDD Giả sử ta có một siêu trường tay chiêu  mô tả chất Xét phép biến đổi chuẩn U 1 tác động lên  :   (1.26a) trong đó  là một siêu trường vô hướng không thứ nguyên Để bảo toàn tính tay chiêu của  , siêu trường  phải thỏa mãn điều kiện: D    D   0 (1.26b) nghĩa là  cũng phải là siêu trường tay chiêu và   phải là một siêu trường tay đăm Tuy nhiên, dạng Kähler lại không bất biến chuẩn:     e   (1.27a) bởi vì  không phải là siêu trường thực (vectơ) Để khôi phục tính bất biến chuẩn cho dạng Kähler, ta đưa vào siêu trường vectơ V , với quy tắc biến đổi (1.23): V  V   V  i       (1.27b) và thay cho dạng Kähler ban đầu ta dùng: K    e V  (1.28) Có thể thấy rằng, dạng Kähler (1.28) là bất biến chuẩn Các siêu trường spinơ W , W  cũng bất biến chuẩn Thực vậy: 1 1

4 4

i i

 W    

4 4 Mặt khác, có thể kiểm tra trực tiếp:

(1.29a)

Với các kết quả trên, ta sẽ chọn Lagrangian cho lý thuyết trường chuẩn U 1

siêu đối xứng như sau:

Trong đó, để siêu thế là bất biến U 1 , ta phải yêu cầu m ik  0 hoặc g ikl  0 bất cứ khi

nào g i  g k hoặc g i  g k  g l khác không Để làm sáng tỏ nội dung hạt của

Lagrangian (1.32), ta có thể khai triển dạng Kähler của (1.28) trong chuẩn

Wess-Zumino:

1  1 2 

2  2 

Số hạng thuộc dòng thứ nhất vế trái là động năng trường chất vô hướng A và trường

spinơ siêu đồng hành  Số hạng thuộc dòng thứ hai là tương tác chuẩn (dòng x thế)của hai trường nói trên Số hạng thuộc dòng thứ ba là Lagrangian tương tác bậc cao

giữa trường chất (kể cả siêu đồng hành) với trường chuẩn vectơ và siêu đồng hành

spinơ của nó

1.3.2 Lý thuyết trường chuẩn non-Abel

Ta có thể tổng quát hóa kết quả trên cho nhóm chuẩn non-Abel Khi đó, trườngchất sẽ biến đổi theo quy luật:

Để Lagrangian (1.30) bất biến dưới phép biến đổi chuẩn non-Abel (1.34), ta sử yêu

cầu siêu trường chuẩn biến đổi theo quy luật:

Khác với trường hợp của nhóm chuẩn Abel, tensơ cường độ không bất biến chuẩn mà

biến đổi theo quy luật:

Tuy nhiên, nếu lấy vết của tích tensơ cường độ trường, ta vẫn được biểu thức bất biến

chuẩn để đóng vai trò Lagrangian của lý thuyết siêu chuẩn đơn giản nhất sẽ là:

Nếu thay V  2 gV , và nếu vẫn dùng chuẩn Wess-Zumino, Lagrangian (1.38) sẽ có

biểu thức khai triển:

Trong đó, các đạo hàm hiệp biến cho từng trường và tensơ cường độ trường sẽ được

định nghĩa như thường lệ:

Để lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng diễn tả thế giới tự nhiên một cách thực

tế, cả đối xứng chuẩn lẫn siêu đối xứng đều phải bị vi phạm Sự vi phạm có thể là tựphát, là vi phạm mềm hoặc cả hai Trong SM, sự vi phạm tự phát được diễn tả thôngqua một lưỡng tuyến trường Higgs Trong MSSM, ta cần phải có hai lưỡng tuyến

trường Higgs Trong tám bậc tự do Higgs, ba đã bị trường chuẩn Yang-Mills “ăn thịt”,năm thành phần còn lại sẽ tạo thành năm hạt Higgs, hai hạt tích điện, một hạt vô hướngthực sự và hai hạt giả vô hướng Sau đó, chúng lại pha trộn với hạt gauge tích điện vàtrung hòa, tạo thành các hạt chargino (tích tử) và neutralino (trung tử)

Sự vi phạm tự phát trong SM khác với trong MSSM [7] Từ hệ thức phản giaohoán của vi tử sinh lẻ (hệ thức thứ 4 của (1.1a) suy ra Hamiltonian:

4Q1Q1  QQ1  Q2Q2  Q2Q2  (1.41)

Ta thấy ngay rằng, Hamiltonian xác định dương, nghĩa là với mọi trạng thái vật lý  ,

ta đều có  H   0 Như vậy, trạng thái cơ bản với năng lượng bằng không sẽ

   , e L  , e R cho lepton và slepton (electron)

không bị vi phạm siêu đối xứng, Q 0  Q 0  0 Để có sự vi phạm tự phát, trạng thái

cơ bản phải có năng lượng khác không

Với nhóm chuẩn G  SU 3  SU  2 U 1 , ta sẽ có các trường nguyên thủy sauđây cho MSSM [8]:

1 Ba siêu đa tuyến trường chuẩn:

W i , Wi , i  1, 2,3 cho tương tác yếu

B , B cho tương tác điện từ

Siêu tích yếu của các trường chất được suy ra từ hệ thức Gell-Mann và Nishijima

3 Trường Higgs sẽ bao gồm hai lưỡng tuyến:

1 2 1

 H 2   H 2   H 2   H 2 

Siêu tích của lưỡng tuyến thứ nhất bằng 1, của lưỡng tuyến thứ hai bằng 1 Như

vậy, H 21 có điện tích 1, H12 có điện tích 1 hai thành phần còn lại trung hòa điện

Tương tự như vậy cho Higgsino

Siêu thế bất biến chuẩn tổng quát nhất giữ nguyên được các kết quả của SM là:

1 IJ I IJ I IJ 2

(1.42)

trong đó, L, Q, U , D được hiểu là lưỡng tuyến lepton, quark va đơn tuyên quark kiểu

up ( u, c, t ) và quark kiểu down ( d , s, b ) và I , J là chỉ só thế hệ Còn một số biểuthức bất biến gauge nhưng vi phạm các định luật bảo toàn số lepton, số baryon cho nênkhông thể chấp nhận được (chúng sẽ bị loại trừ nhở quy tắc bất biến R  chẵn lẻ)

Những số hạng vi phạm mềm được tách thành nhiều loại:

a) Số hạng khối lượng cho trường vô hướng

trong đó, tổng được lấy cho chỉ số thể hệ I , J

b) Số hạng khối lượng của gaugino:

H 1 

2   , H 2 

và chọn chuẩn ’t Hooft-Feynman, ta sẽ thu được các trường vật lý Chúng gồm:

g 2 và điện từ g1 : e  g2 sin   g1 cos

Trường Higgs tích điện: Sẽ có bốn hạt Higgs tích điện tương ứng với bốn bậc

tự do tích điện trong hai đa tuyến Higgs Hai trong số đó có khối lượng

M H   mW  mH1  mH 2  2 h 2 (1.48)

và hai còn lại vẫn không có khối lượng Trong gauge unitary, hai hạt vô hướng khôngkhối lượng (hạt Goldstone) sẽ bị trường Yang - Mills “ăn thịt” và không xuất hiệntrong Lagrangean Trong gauge ’t Hooft-Feynman, Lagrangean vẫn còn chứa trườngGoldstone Các trường nói trên liên quan đến trường Higgs nguyên thủy bằng hệ thức:

Trường tích tử (chargino): Hai spinơ hai thành phần siêu đồng hành củatrường gauge tương tác yếu W1,2 và hai spinơ hai thành phần siêu đồng hành của trường

Trường trung tử (neutralino): Bốn spinơ hai thành phần W 1 2 , , ,B H H  sẽ

Higgs tích điện 2 1,H H sẽ pha trộn để tạo thành hai spinơ Dirac bốn thành phần1 1 2 , 

gọi là hai hạt tích tử, hay chargino

1

pha trộn để tạo nên bốn spinơ Majorana  i0 , i  1, 2,3, 4 gọi là trung tử , hay neutralino

Trong chương 3, ta dùng đến hàm sóng của tích tử và trung tử cho nên ở đó ta sẽtrình bày biểu thức cụ thể của chúng

Các trường vật lý khác, như quark, lepton, trường slepton cũng sẽ được trìnhbày trong chương 3

i  ( t )

Cho (t0 ) là vectơ trạng thái tại thời điểm ban đầu t0 ta cần xác định vectơ trạng thái

(t) tại các thời điểm t  t0 Do phương trình (2.1) là phương trình vi phân tuyến tínhbậc nhất, nên nghiệm của nó có thể viết dưới dạng:

(t)  S (t, t0 )(t0 ) (2.2)trong đó, S (t, t0 ) là toán tử tuyến tính Thay (2.2) vào (2.1), lấy tích phân hai vế tađược:

biểu thức của S (t, t0 ) được viết như sau:

(i)n   

S (, )    dt1   dt n P[H (t1 t2 ) H (t n! n )]

 

hạt không tương tác với nhau) Sau tương tác, các hạt tồn tại ở trạng thái hoàn toàn tự

do, nhưng chuyển động tự do của hạt sau tương tác khác với chuyển động tự do của hạttrước tương tác do có sự va chạm giữa hạt và bia Khi đó, ta coi t0  , t   và

Theo (2.2) ta có  (t)  S (t, t0 )  (t0 ) , nghĩa là vectơ trạng thái của hệ ở thời điểm t là

(t ) có thể thu được nhờ tác dụng của toán tử S(t,t0 ) lên vectơ trạng thái của hệ ở thờiđiểm ban đầu t0 là (t0 ) Ta coi ban đầu hệ ở thời điểm t0   , khi đó các hạt hoàntoàn tự do và vectơ trạng thái của hệ (t0 )  ()  i Sau quá trình tán xạ, tại thờiđiểm cuối t   , hệ ở trạng thái mới (t )  () liên hệ với trạng thái đầu bằng

hệ thức:

C n   n ()   n S  (2.13)

Tại thời điểm t    , xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái  n được tính theo công thức:

(2.14)Nếu tại thời điểm ban đầu hệ ở trạng thái i thì xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái cuối

d  phụ thuộc vào hệ quy

2.1 3 Khái niệm tiết diện tán xạ.

Giả sử có một hạt bia ở trong một miền không gian A và một hạt đạn đi qua

miền không gian này Xác suất tán xạ P được định nghĩa như sau:

Trong đó  là xác suất tìm tán xạ trong một đơn vị thể tích và được gọi là tiết diện tán

xạ toàn phần của quá trình tán xạ Xác suất tán xạ P và miền không gian A đều khôngphụ thuộc vào hệ quy chiếu là khối tâm hay phòng thí nghiệm Do vậy, tiết diện tán xạ

 không phụ thuộc vào hệ quy chiếu ta chọn

Trong nhiều trường hợp, ta chỉ quan tâm tới sự tán xạ trong một góc khối Ta có kháiniệm: Tiết diện tán xạ riêng phần, hay tiết diện tán xạ vi phân d

phụ thuộc vào hệ quy chiếu cho nên tiết diện tán xạ vi phân d

chiếu

2.1.4.Các biến Mandelstam.

Các biến Mandelstam được định nghĩa như sau:

Ở đây p1, p2 là xung lượng 4 chiều của các hạt đi vào và p3 , p4 là xung lượng 4

chiều của các hạt đi ra