TÁN xạ HAI hạt TRONG điện ĐỘNG lực học LƯỢNG tử TRONG gần ĐÚNG một VÒNG

Trong mục $ 2.1, theo quy tắc Feynman cho tương tác điện từ ta viết yếu tố ma trận tương ứng với quá trình tán xạ electron ở bậc thấp nhất gần đúng Born của của lý thuyết nhiễu loạn hiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội – 2014

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS TSKH.

Nguyễn Xuân Hãn, người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em trong

suốt thời gian học tập và hoàn thành bản luận văn thạc sĩ khoa học này

Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới tất cả các Thầy Cô, tập thể cán

bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể người thân, bạn bè đã giúp đỡ, dạy bảo,

động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý báu để em cóthể hoàn thành bản luận văn này

Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy Cô ở khoa vật lý

đã dạy bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập

và hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng năm 2014

Học viên

Đỗ Đức Thành

MỤC LỤC

Mục lục……….………02

Danh mục hình vẽ……… ………… ………03

Mở đầu……… ……….……….……… 04

Chương 1: Tiết diện tán xạ…….…… ……….…07

1.1 Các biến Mandelstam……… ……… ….…… 07

1.2 Tiết diện tán xạ vi phân cho hai hạt…….……… ………10

1.2.1 Tiết diện tán xạ trong hệ khối tâm………… ………15

1.2.2 Tiết diện tán xạ trong hệ phòng thí nghiệm……….16

Chương 2: Tán xạ electron-electron … ……….……… …18

2.1 Tán xạ electron-electron………18

2.1.1 Tiết diện tán xạ trong hệ khối tâm……….……… 22

2.1.2 Tiết diện tán xạ trong hệ phòng thí nghiệm………23

2.2 Tán xạ electron- ositron ……… ……… 25

2.2.1 Tiết diện tán xạ trong hệ khối tâm……….… 28

2.2.2 Tiết diện tán xạ trong hệ phòng thí nghiệm.……… ……30

Chương 3: Bổ chính một vòng cho tán xạ electron-electron ……… 33

3.1 Giản đồ Feynman ……….…… … 32

3.2 Tiết diện tán xạ khi tính đến bổ chính một vòng 3 4 3.3 Thế năng khi tính đến bổ chính một vòng……… …… 37

Kết luận……… ……… 43

Tài liệu tham khảo……….……….……… 45

Phụ lục A Metric giả Euclide……….……… 46

Phụ lục B Các toán tử chiếu ……… ….…… ……… 50

Phụ lục C Tái chuẩn hóa……… ……… …….56

C.2 Năng lượng riêng của photon ……… …….62

DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1 Các biến Mandelstam ………05

Hình 1.2 Tán xạ hai hạt thành hai hạt ……… … ……08

Hình 2.1 Tán xạ electron-electron 16

Hình 2.2 Tán xạ electron-positron 23

Hình 3.1 Giản đồ Feynman 30

Hình 3.2: Bổ chính một vòng trong tán xạ electron-electron……… …31

Hình 3.3 Bổ chính một vòng cho thế năng giữa hai hạt ….……… 39

Hình 3.2 Giản đồ phân cực chân không………53

Hình C.1 Tái chuẩn hóa điện tích electron ……… ……….57

Hình C.2 Giản đồ năng lượng riêng của photon ……….……….58

MỞ ĐẦU

Điện động lực học lượng tử (QED) dựa vào việc tái chuẩn hóa khối lượng và

điện tích hạt là lý thuyết tái chuẩn hóa, đã được chứng minh vào giữa thế kỷ 20 [1], [3], [6], [8], [10], [11], song việc tái chuẩn hóa cho các quá trình vật lý cụ thể vẫn

được nghiên cứu liên tục và phát triển bởi khi chúng ta tính đến cấu trúc bên trongcủa các hạt cơ bản thì ta lại gặp các bài toán tương tự trong tương tác giữa các hạtbên trong đó với nhau Trong tự nhiên tồn tại bốn loại tương tác: tương tác điện từ,tương tác yếu, tương tác mạnh và tương tác hấp dẫn, các công cụ tính toán địnhlượng của tương tác điện từ-QED thường được vận dụng để mô phỏng và xây dựngcông cụ tính toán tương tự cho các dạng tương tác khác, hay tổ hợp giữa các dạngtương tác kể trên dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với việc tái chuẩn hóa cáctham số vật lý tùy từng mô hình Việc nghiên cứu quá trình vật lý cụ thể trong bổ

chính một vòng của QED là cần thiết và quan trọng, [8], [11].

Mục đích của bản luận văn thạc sĩ khoa học vật lý này dành cho việc nghiên cứuquá trình tán xạ hai hạt thành hai hạt ( 2 → 2 ) khi tính đến bổ chính một vòng ởđường trong trong QED

Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, phụ lục và tài liệu thamkhảo

Chương 1: Tiết diện tán xạ hai hạt Trong mục $1.1 giới thiệu vắn tắt các biến

số Mandelstam và công thức cho biên độ tán xạ vi phân qua các biến này Mục $1.2dành cho việc xây dựng công thức tiết diện tán xạ vi phân kể trên ở hệ khối tâm và

hệ phòng thí nghiệm

Chương 2: Tán xạ electron-electron Trong mục $ 2.1, theo quy tắc Feynman

cho tương tác điện từ ta viết yếu tố ma trận tương ứng với quá trình tán xạ electron ở bậc thấp nhất (gần đúng Born) của của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến.Dựa vào yếu tố ma trận, ta tính tiết diện tán xạ vi phân cho quá trình tán xạ

electron-electron-electron trong hệ khối tâm và hệ phòng thí nghiệm Mục $2.2 dành choviệc nghiên cứu quá trình tán xạ electron lên positron Cách tính tương tự như quá

 

( ) ( )

trình tán xạ electron–electron, có thay đổi khi một electron được thay bằng positron.Kết quả ta thu được tiết diện tán xạ vi phân cho quá trình tán xạ electron-positron

So sánh kết quả tiết diện tán xạ vi phân của hai quá trình tán xạ kể trên ta nhận thấy

hai kết quả hầu như giống nhau chỉ khác nhau về dấu, có nghĩa là ta có thể chuyển

từ kết quả này thành kết quả kia bằng cách chuyển đổi dấu của chúng

Chương 3: Bổ chính một vòng cho tán xạ electron-electron.Trong mục $3.1

giới thiệu các giản đồ Feynman cho quá trình tán xạ electron-electron ở gần đúng

bậc 4 theo hằng số tương tác điện từ So với các gản đồ Feynman xét ở chương

trước, số lượng giản đồ tăng lên do việc trao đổi hai photon (giản đồ d) gữa các hạt,

giản đồ phân cực của chân không (chân không vật lý của trường electron-positron)

gắn với photon ảo trao đổi giữa các hạt (giản đồ c), các giản đồ còn lại liên quan

đến tương tác của electron với chân không vật lý của trường điện từ Trong bản luậnvăn này chúng tôi chỉ xét các giản đồ (b) và giản đồ (c) và bỏ các giản đồ Feynman

còn lại Giản đồ (a) không cho đóng góp vào tương tác giữa hai electron, các giản

đồ gắn với các đường electron liên quan đến việc tái chuẩn hóa khối lượng của

electron, chứ không cho đóng góp vào tương tác hai electron Mục $3.2 dành cho

việc tính tiết diện tán xạ electron-electron , kết quả thu được tiết diện tán xạ vi phân

(3.6) Nghiên cứu thế năng tương tác tương ứng giữa hai electron khi tính bổ chính

một vòng được giới thiệu ở mục $3.3

Kết luận dành cho việc liệt kê các kết quả thu được trong luận văn và phương

hướng nghiên cứu tiếp theo

Trong bản luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử = c = 1 và

metric giả Euclide (metric Feynman) tất cả bốn thành phần véctơ 4-chiều ta chọn

ρ

là thực A A0 , A gồm một thành phần thời gian và các thành phần không gian, các

chỉ số µ = (0,1, 2,3) , và theo quy ước ta gọi là các thành phần phản biến của véctơ

4-chiều và ký hiệu các thành phần này với chỉ số trên

 ρ

(0.3)Véctơ năng xung lượng:



(0.4)Tích vô hướng của hai véc tơ được xác định bởi công thức:

ρρ

  0

(0.5)Tensor metric có dạng:

Chú ý, tensor metric là tensor đối xứng g µν = gνµ và gνµ = g µν Thành phần của véc

tơ hiệp biến được xác định bằng công thức sau:

µν

A0 = A0 , Ak = − Ak

(0.7)Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3

Chương này dành cho việc dẫn những công thức cơ bản của tán xạ hai hạt [8].

Biên độ tán xạ, mà tỷ lệ với yếu tố của S-matrận tán xạ, là một đại lượng phức

Trước tiên ta xem xét quá trình p1 + p2 → p3 + p4 , mà ta gọi nó là tán xạ 2 → 2 Tính

toán mang tính bất biến (biểu diễn qua các biến bất biến- u, s, t là các biến số

Mandelstam) của quá trình tán xạ 2 → 2 này sẽ là bài toán động học cơ sở của vật

lý hạt cơ bản Trong chương này ta xem xét các đại lượng bất biến cho quá trình tán

xạ hai hạt vô hướng 2 → 2 , tìm biểu thức giải tích tổng quát cho tiết diện tán xạ vi

phân cho quá trình này qua biên độ tán xạ Viết biểu thức tiết diện tán vi phân này

trong hai hệ phòng thí nghiệm và hệ khối tâm Việc tổng quát hóa cho những quá

trình mà có spin sẽ không là vấn đề khó khăn nào

ở đây p1 và p2 là xung lượng 4 chiều của hạt đi vào và p3 ,p4 là xung lượng 4 chiều

của hạt đi ra Vì vậy, s được hiểu là bình phương của năng khối lượng trung tâm (

bất biến khối lượng ) và t được hiểu là bình phương momen xung lượng chuyển đổi.Trong giản đồ Feynman đối với tán xạ 2 → 2, s, t, u là cũng được sử dụng dưới

dạng kênh s, kênh t và kênh u

lượng)Các kênh này miêu tả giản đồ Feynman khác nhau hoặc quá trình tán xạ khác nhau

ở đây tương tác là sự trao đổi các lượng tử-các hạt giữa chúng, và bình phương các

xung lượng bốn chiều kể trên là biểu thức s, t, u tách ra theo thứ tự định sẵn

Ví dụ: kênh s tương ứng với quá trình hai hạt 1, 2 tương tác kết hợp thành

một hạt truyền tương tác trung gian, cuối cùng sinh ra hai hạt 3 và 4, kênh s là cách

duy nhất có thể chỉ ra sự xuất hiện của cộng hưởng và một hạt mới với điều kiện

thời gian sống ở đây là đủ dài để ta có thể đo được trực tiếp Kênh t trình bày quá

trình trong đó hạt 1 phát ra một hạt tương tác và cuối cùng trở thành hạt 3, trong khi

đó hạt 2 hấp thụ hạt tương tác và trở thành hạt 4 Kênh u là kênh t với việc đổi vị trí

giữa các hạt 3, 4 Các biến Mandelstam lần đầu tiên được đưa vào bởi nhà vật lý

Stanley Mandelstam vào năm 1938 Trong giới hạn năng lượng cao và trong tương

đối tính, khi khối lượng nghỉ có thể bỏ qua , vì vậy ta có:

ở đây mi là khối lưọng hạt thứ i Với quá trình này, người ta cần sử dụng hai điều

kiện: trong gần đúng tương đối tính bình phương xung lượng bốn chiều của một hạt

là khối lượng của nó:

(1.8)(1.9)(1.10)

Kết hợp biểu thức (ii) ta thu được biểu thức về mối quan hệ giữa 3 biến Mandelstam

Trong trường hợp tán xạ hai hạt, A + B → C + D, các biến Mandelstam được đưa

vào có dạng như sau:

2 2 2

1.2 Tiết diện tán xạ vi phân cho hai hạt

Chúng ta xét quá trình tán xạ xạ hai hạt 1 + 2 → 3 + 4 xảy ra do tương tác, yếu tố

ma trận được xác định bởi công thức sau:

Trong đó T là T-tích, Lint (x) là Lagrangian tương tác, việc cụ thể hóa Lagrangiantương tác sẽ được xem xét sau tùy thuộc vào bài toán cụ thể

Như vậy để nghiên cứu bài toán tán xạ phải tính yếu tố ma trận S i→ f = f S i

(S-ma trận) Hằng số tương tác ở đây giả thiết là nhỏ, và việc tính toán quá trình vật

lý này ta tính toán theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến

4

trong đó Pf và Pi là các tổng năng xung lượng của trạng thái cuối và đầu tương

ứng M f i là biên độ tán xạ hai hạt 2 → 2

' '

 

1 lim  ∫ dx0 ∫ d xeiqx 

δ (q) = 4 T /2

V

(1.17)Trong đó: q p f pi Từ đây ta có:

đó có thể xảy ra quá tình tương tác Nhân công thức trên với các yếu tố thể tích

υρ' υρ'

d p a , d p b ta thu được xác suất để các hạt trong chùm hạt tới tương tác với nhau và

sinh ra các hạt a' , b ' với xung lượng nằm trong khoảng

Từ đây suy ra xác suất dời chuyển ở trong một đơn vị thời gian và một đơn vị thể

tích với điều kiện các phép dời chuyển xảy ra trong thể tích khá lớn và thời gian đủ

lâu

2''

dWfi = R fi f i )d p a b

Dễ dàng nhận thấy rằng hai hạt tự do tương tác với nhau thì xác suất sẽ tỷ lệ nghịch

với thể tích chuẩn hóa V mà V có thể chọn tùy ý Do đó để đặc trưng cho quá trình

tán xạ không phụ thuộc vào V ta cần phải chia xác suất tán xạ vi phân dWfi cho mật

độ dòng của các hạt tương tác đầu mà nó tỷ lệ nghịch với thể tích chuẩn hóa V Đại

lượng được xác định như vậy được gọi là tiết diện ngang tán xạ vi phân và được ký

hiệu bằng

d dW fi

J

Trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm thì mật độ dòng J bằng tích mật độ dòng của

các hạt a, b trong một đơn vị thể tích nhân với vận tốc tương đối của hai hạt đó :

l l

(1.22)Trong cơ học tương đối tính, năng xung lượng của hạt được xác định bằng biểu

hóa véc tơ trạng thái để trong một đơn vị thể tích mật độ hạt ρa = ρb

có biểu thức cuối cùng cho tiết diện tán xạ vi phân sau :

Tính toán trong trường hợp tán xạ đàn hồi A + B → A + B trong trường hợp hạt B

đứng yên, khối lượng hạt bia là rất lớn ( m B E A ), sự giật lùi là không đáng kể Sử

dụng vế phải của biểu thức (1.16) để xác định tiết diện vi phân tán xạ d /d

1.2.1 Trong hệ khối tâm

Nếu chúng ta coi hệ hai hạt là một thể thống nhất thì hệ khối tâm là hệ quy chiếu

gắn liền và chuyển động cùng vận tốc với hệ hạt Với định nghĩa trên thì xung

lượng bốn chiều của hạt trong hệ khối tâm được xác định bởi:

Suy ra: dt = 2 | p1 || p' | d(cosθ )

Chúng ta có thể viết vi phân tiết diện tán xạ thông qua các biến Mandelstam s và t

Trong các trường hợp còn lại, giả sử m3 = m1 , m4 = m2 Vẫn trong hệ quy chiếu

phòng thí nghiệm thì (1.41) được rút gọn lại như sau:

E3 (E1 + m2 ) − pp 'cos lab = E1m2 + m1

(1.42)Điều này chỉ ra rằng momen bốn chiều q = p3 − p1 liên quan tới các biến khác theo

biểu thức q2 = ( p3 − p1)2 = 2m2 (E3 − E1) , mối liên hệ giữa chúng là:

E1 + m2 − p ' p E3 cosθlab ≈ m2 + E1(1− cosθlab ) (1.45)

Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân có thể lấy xấp xỉ:

với nhau, sau đó sinh ra hai electron với xung lượng lần lượt là p 1 , p 2 Do hai

CHƯƠNG 2:

TÁN XẠ ELECTRON-ELECTRON

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu quá trình tán xạ electron-electron.Trong mục $ 2.1, theo quy tắc Feynman cho tương tác điện từ ta viết yếu tố ma trậntương ứng với quá trình tán xạ electron-electron ở bậc thấp nhất (gần đúng Born)của của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Dựa vào yếu tố ma trận, ta tính tiết diện tán

xạ vi phân cho quá trình tán xạ electron-electron trong hệ khối tâm và hệ phòng thínghiệm Mục $2.2 dành cho việc nghiên cứu quá trình tán xạ electron lên positron.Cách tính tương tự như quá trình tán xạ electron-electron, có thay đổi khi mộtelectron được thay bằng positron Kết quả ta thu được tiết diện tán xạ vi phân choquá trình tán xạ electron positron So sánh kết quả tiết diện tán xạ vi phân của haiquá trình tán xạ kể trên ta nhận thấy hai kết quả hầu như giống nhau chỉ khác nhau

về dấu, có nghĩa là ta có thể chuyển từ kết quả này thành kết quả kia bằng cách

chuyển đổi dấu của chúng [11].

2.1 Tán xạ electron-electron e− + e− → e− + e−

Trong phần đầu này ta xét quá trình tán xạ giữa electron-electron trong gần

đúng bậc thấp nhất Hai electron với xung lượng lần lượt là p 1 , p 2 đến và tương tác

Aint là yếu tố ma trận của cả hai quá trinh tán xạ ứng với kênh t và kênh u

Các ký hiệu trên đã được sử dụng trong tài liệu [11].

' 1212

' 1

2

(2.13)

2.1.1 Trong hệ khối tâm

Hệ khối tâm là hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc của khối tâm của hệ hạt và

tổng xung lượng trước và sau của hệ đều bằng không Do đo ta có xung lượng của

2 2 θ

2θ2

(2.15)

(2.16)Tiết diện tán xạ được biểu diễn thông qua các biến Mandelstam:

Từ công thức (2.9), (2.14) và (2.17) cuối cùng ta thu được tiết diện tán xạ cho hai

hạt trong hệ khối tâm là:

→



 cm

e04 2

(2.18)

P dir là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t

P ex là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh u

Pint là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với cả hai kênh t và kênhu

Các ký hiệu trên đã được dùng trong tài liệu [11].

Từ công thức (2.9), (2.14) và (2.23) Ta thu được công thức cuối cùng cho tiết diện

tán xạ hai hạt trong hệ phòng thí nghiệm

P dir là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t

P ex là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh u

P int là tiết diện tán xạ của quá trinh tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t và kênh u

Các ký hiệu trên đã được dùng trong tài liệu [11].

Aint là yếu tố ma trận của cả hai quá trinh tán xạ ứng với kênh t và kênh u

Ta thu được biểu thức:

Bởi vậy:

p p

' 12

2.2.1 Trong hệ khối tâm

Hệ khối tâm là hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc của khối tâm của hệ hạt và

tổng xung lượng trước và sau của hệ đều bằng không Do đo ta có xung lượng của

2 2

(2.40)Tiết diện tán xạ được biểu diễn thông qua các biến Mandelstam:

P dir là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t

Pex là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hat ứng với kênh u

Pint là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t và kênh u

( )

   2me e2 ) cos

2 θ1' − 1 

(E 2 − m

( ))(e (m − E)cos) θ + (E + m e  2m e2 − 2m e (E + m e ) 2 + 2m e2 +  + 16me4 cos2 θ1' + (E − m e ) 

(me − E)cos2 θ1' + (E + m e ) (me − E)cos2 θ1' + (E + m e )

− 2me (E + m e ))( )

2 2 '

e 1

P dir là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t

P ex là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hat ứng với kênh u

Pint là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t và kênh u

Các ký hiệu trên đã được dùng trong tài liệu [11].

CHƯƠNG 3:

BỔ CHÍNH MỘT VÒNG CHO TÁN XẠ ELECTRON-ELECTRON

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu các giản đồ Feynman theo lý thuyếtnhiễu loạn hiệp biến bậc 4 – kể thêm các bổ chính bậc cao cho quá trình tán xạelectron-electron

Trong mục $3.1 giới thiệu các giản đồ Feynman cho quá trình tán xạ electron ở gần đúng bậc 4 theo hằng số tương tác điện từ So với các giản đồ

electron-Feynman xét ở chương trước, số lượng giản đồ tăng lên do việc trao đổi hai photon(giản đồ d) gữa các hạt, giản đồ phân cực của chân không (chân không vật lý củatrường electron-positron) gắn với photon ảo trao đổi giữa các hạt (giản đồ c), cácgiản đồ còn lại liên quan đến tương tác của electron với chân không vật lý củatrường điện từ Trong bản luận văn này chúng tôi chỉ xét các giản đồ (b) và giản đồ(c) và bỏ các giản đồ Feynman còn lại Giản đồ (a) không cho đóng góp vào tươngtác giữa hai electron, các giản đồ gắn với các đường electron liên quan đến việc táichuẩn hóa khối lượng của electron, chứ không cho đóng góp vào tương tác haielectron Mục $3.2 dành cho việc tính tiết diện tán xạ electron-electron , kết quả thuđược tiết diện tán xạ vi phân (3.26) Nghiên cứu thế năng tương tác tương ứng giữahai electron khi tính bổ chính một vòng được giới thiệu ở mục $3.3

3.1 Giản đồ Feynman

Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cùng với việc tái chuẩn hóa khối lượng và điệntích cho phép chúng ta tính toán các đại lượng với độ chính xác tùy ý Việc tính đếncác đóng góp của các giản đồ bậc cao cho các quá trình vật lý sẽ cho các lượng bổchính cho các đại lượng quan sát như tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời giansống của hạt cơ bản Các giản đồ Feynman cho tán xạ hai hạt ( 2 → 2) được cho bởitập hợp các giản đồ sau: