ĐỀ tài QUÁ TRÌNH PHÂN rã SIÊU hạt

Trong luận văn này chúng tôi sẽ trình bày tính toán một số quá trình phân rãcủa gluino, siêu hạt đồng hành của gluon, thành quark up và quark top và phản hạtđồng hành của chúng.. Cuối ch

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-Trần Việt Phú

QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ SIÊU HẠT

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số: 60.44.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS PHẠM THÚC TUYỀN

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy Phạm

Thúc Tuyền Cảm ơn thầy đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo em trong suốt quá trìnhhọc tập cũng như trong thời gian thực hiện luận văn này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong tổ Vật lý lý thyết, các thầy

cô trong khoa Vật lý Những người đã hết lòng dạy dỗ và tạo điều kiện cho em

trong lúc em làm luận văn cũng như trong thời gian em học tập tại trường

Cuối cùng, em muốn gửi lời cảm ơn đến những người thân và bạn bè của

mình Sự khuyến khích và giúp đỡ của mọi người đã giúp em có điều kiện và niềmtin để có thể bước đi trên con đường mình đã chọn

Hà Nội, ngày 17 tháng 12 năm 2011

Học viên: Trần Việt Phú

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG 1: Mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu 6

1.1 Các trường trong mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu 6

1.2 Lagrangian trong MSSM 8

1.3 Phổ vật lý của MSSM 11

CHƯƠNG 2: Quá trình phân rã trong lý thuyết trường lượng tử 19

2.1 Biểu diễn tương tác 19

2.2 S ma trận và khai triển Dyson 21

2.3 Áp dụng cho quá trình phân rã C  A  B 24

CHƯƠNG 3: Tốc độ phân rã siêu hạt 29

3.1 Sự phân rã của gluino g  uu L 29

3.2 Sự phân rãg  t t 1 34

KẾT LUẬN 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

PHỤ LỤC 44

A Các quy tắc và kí hiệu của spinor 44

B Các Quy tắc lấy tổng 45

i) Quy tắc lấy tổng theo chỉ số màu……….45ii) Quy tắc lấy tổng theo spin……… 46

cao tại các máy gia tốc LEP, LEP2, trong đó có phản ứng hủy cặp e e sau khi đã

MỞ ĐẦU

Khi thế giới vật chất là siêu đối xứng, ngoài những hạt đã biết sẽ tồn tạinhững hạt đồng hành với chúng có spin sai khác 1/2 đơn vị [14]-[15] Như vậy, nếutrước đây trong một quá trình phân rã ta có một số giản đồ khả dĩ thì giờ đây số giản

đồ sẽ tăng lên gấp đôi Điều này kéo theo, vận tốc phân rã sẽ có những thay đổiđáng kể cả về lượng lẫn về chất Việc cho đến nay chưa tìm ra một hạt siêu đồnghành nào, có thể có nguyên nhân là do chúng ta chưa có đánh giá đúng về khốilượng của chúng và do đó việc tìm kiếm đã không được thực hiện trong vùng nănglượng chính xác

Trong luận văn này chúng tôi sẽ trình bày tính toán một số quá trình phân rãcủa gluino, siêu hạt đồng hành của gluon, thành quark up và quark top và phản hạtđồng hành của chúng Những kết quả tính toán như thế, nều được thực hiện đầy đủ,chúng sẽ góp phần vào việc xác định vùng cần tìm kiếm các siêu hạt đồng hành ởcác máy gia tốc

Luận văn được trình bày trong ba chương và một phần kết luận Chương 1dành để trình bày nội dung chủ yếu của mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu.Phần siêu đối xứng được coi như đã biết [5] Cuối chương một số số hạng của khaitriển Lagrangian tương tác cho những siêu trường cần thiết giúp cho việc thực hiệntính toán trong chương 3 sẽ được viết tường minh [16] Chương 2 dành để tóm lượcnhững tiến trình cần thực hiện để tính tốc độ phân rã Chương 3 được dùng để trìnhbày những tính toán cho tốc độ của quá trình phân rã gluino thành quark u và

squark u và gluino thành quark t và squark t

Những quá trình phân rã trên là sản phẩm của những va chạm năng lượng



được gia tốc tới vận tốc rất lớn

Biện luận về các kết quả thu được sẽ được trình bày trong phần kết luận.Phần phụ lục sẽ trình bày kỹ năng tính toán đối với spinơ hai thành phần, cầnthiết cho việc tính toán thực hiện trong chương 3.

Cuối cùng là sách tham khảo và tài liệu dẫn

CHƯƠNG 1:

MÔ HÌNH TIÊU CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG

TỐI THIỂU

1.1 Các trường trong mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu

Để thu được lý thuyết mở rộng siêu đối xứng tối thiểu cho mô hình tiêuchuẩn (Minimal Supersymmetric Standard Model - MSSM) ta cần mở rộng thànhphần trường của lý thuyết bằng cách thêm vào các siêu đồng hành vô hướng vàfermion thích hợp cho các trường vật chất và trường chuẩn ban đầu Với lepton ta

có các hạt vô hướng siêu đồng hành là slepton, với quark ta có các hạt vô hướngsiêu đồng hành là squark Với các hạt chuẩn (gauge) như W, Z, photon, gluon ta cócác hạt fermion siêu đồng hành được gọi là gaugino Photon có photino, W có wino,

Z có zino, gluon có gluino Hạt Higgs sẽ có hạt fermion siêu đồng hành là higgsino

Nếu dùng ngôn ngữ siêu không gian và siêu trường [17], mỗi thế hệ củaMSSM được mô tả bởi năm siêu trường thuận tay trái, tay chiêu (left-handed), còncác trường chuẩn sẽ được miêu tả bởi các siêu trường vector tương ứng

Về trường Higgs, trong SM ta chỉ cần một lưỡng tuyến Higgs để có thể tínhtoán khối lượng cho fermion thông qua tương tác Yukawa Khi chuyển sang

MSSM, nếu chỉ dùng một lưỡng tuyến Higgs sẽ không đủ để tính khối lượng của tất

cả các quark và các lepton vì các số hạng tương tác Yukawa trong các lý thuyếtchuẩn siêu đối xứng xuất phát từ siêu thế, nên chỉ chứa các siêu trường chiral chứkhông chứa liên hợp hermitic của các siêu trường này Điều này dẫn đến không thểđưa vào các số hạng bất biến U(1)Y mà có thể sinh khối cho cả quark up lẫn quarkdown nếu chỉ dùng một lưỡng tuyến Higgs Vì vậy trong MSSM ta cần ít nhất hailưỡng tuyến Higgs [18]-[19] Các trường thành phần trong MSSM được mô tả trongcác bảng sau:

Spin 1 Spin 1/2 SU 3C  SU  2 L  U 1Y

Hệ số liênkết(coupling)

Việc xây dựng Lagrangian trong MSSM cũng tương tự như trong SM Ta sẽ

chia Lagrangian ra các phần như sau:

l = l kinetic  l interaction  l Yukawa  l (1.1)Trong đó, các thành phần cụ thể như sau:

- Các boson chuẩn:

Trong đó:

μν iμν (1.2)

A μνi =  μ A νi -  ν A μi - gε A μk A νl

- Số hạng tự tương tác của các đa tuyến chuẩn: tương tác đỉnh ba và bốn

của các gauge boson cộng thêm tương tác của các trường gaugino và trường gauge:

a *

Ở đây:

F  W / A

* a

1 2 IJ 1 I J IJ 1 I J IJ 2 (1.11)

phù hợp với các số liệu thực nghiệm là việc các hạt trong cùng một đa tuyến có khốilượng khác nhau, nhưng không làm mất đi tính chất quan trọng của lý thuyết là sự

vắng mặt của các phân kỳ bậc hai Nó có dạng tổng quát:

i a

- Liên kết tam tuyến của các trường vô hướng tương ứng với số hạng

Yukawa trong siêu thế:

1 2 IJ 1 I J IJ 1 I J IJ 2

- Liên kết tam tuyến của các trường vô hướng khác với số hạng Yukawa

trong siêu thế (còn được gọi là “các số hạng không giải tích” vì chúng chứa liên hợpđiện tích của trường Higgs):

'IJ 2* I J 'IJ 2* I J 'IJ 1*

1.3 Phổ vật lý của MSSM

Để thu được phổ vật lý của các hạt trong MSSM ta cần thực hiện quy trình

tiêu chuẩn của việc phá vỡ đối xứng chuẩn thông qua các giá trị trung bình chân

không (vacuum expectation value-VEV) của các trường Higgs trung hòa và tìm các

trạng thái riêng của các ma trận khối lượng cho tất cả các trường VEV của trường

Higgs thỏa mãn phương trình ( θ để chỉ góc Weinberg, s W = sinθ , c W = cosθ ,

Các tham số của phương trình trên bị ràng buộc bởi điều kiện là v1 và v 2

phải dẫn đến các giá trị thích hợp của khối lượng các boson chuẩn

Các trường vật lý của MSSM có thể được xác định như sau:

1 Các boson chuẩn Tám gluon g μa và photon F μ không khối lượng, còn các

boson W μ± và Z μ có khối lượng:

2 Các Higgs vô hướng tích điện Có bốn Higgs vô hướng tích điện tồn tại,

trong đó có hai hạt có khối lượng còn hai hạt không có khối lượng

2

1

Khi có trường chuẩn, các hạt H 2± (  G ± ) bị ăn bởi các W boson và biến mất

khỏi Lagrangian Các trường H 1+ và H 2+ liên hệ với các trường Higgs ban đầu bởi

i) Các hạt vô hướng H i0 với i = 1,2, được định nghĩa:

i ij 0 (không lấy tổng theo i) (1.25)

Goldstone không khối lượng và sẽ biến mất khi dùng chuẩn unitary Ma trận ZH

tương tự trường hợp boson Higgs tích điện

4 Các fermion vật chất (quark và lepton) có khối lượng (chú ý rằng Y l I ,Y dI

được định nghĩa là âm):

hai fermion Dirac bốn thành phần χ 1 , χ 2 tương ứng với hai chargino vật lý Các ma

trận pha trộn chargino Z+ và Z- được định nghĩa bằng điều kiện:

thể lựa chon để M χ i xác định dương và M χ 2 1 χ Các trường i được liên hệ với

 κ 

i i

fermion Mojorana i0 , i = 1,…,4, gọi là neutralino Công thức cho các ma trận pha

trộn và khối lượng được cho:

i i

8 Ba trường phức vô hướng L I1 tạo thành ba sneutrino với khối lượng có

được bằng cách chéo hóa ma trận M ν2 :

ν 2 2

W W

Sneutrino là các vô hướng phức trung hòa

9 Các trường LI2 và RI pha trộn tạo thành sáu slectron tích điện Li, i=1,…,6:

2 U

2 U

a=1…8 (spinor Majorana)

i=1,2 (spinor Dirac)

i=1…4 (spinor Majorana)

I=1…3 (spinor Dirac)Electron eI I=1…3 (spinor Dirac)

Quark uI, dI I=1…3 (spinor Dirac)

vô hướng trung hòa

giả vô hướng trung hòa

tác trong chuẩn ’t Hooft-Feynman Trong chuẩn ’t Hooft-Feynman, trường ma sẽ có

Lagrangian rất đơn giản và dễ sử lý Tuy nhiên, trường không vật lý là trường

Goldstone lại không bị khử hoàn toàn ở cơ chế Higgs như trong chuẩn unitary Do

khi tính bổ chính bậc cao, việc sử lý số hạng liên quan đến trường Goldstone dễ hơn

việc sử lý trường ma cho nên, ta sẽ dùng chuẩn ’t Hooft-Feynman thay cho chuẩn

unitary quen thuộc

Dòng thứ nhất của (1.44) là chuẩn ’t Hooft-Feynman quen thuộc trong SM,

dòng thứ hai sẽ khử những yếu tố ngoài đường chéo của điỉnh tương tác

gauge-Higgs sau khi đã vận hành cơ chế gauge-Higgs, dòng cuối cùng sẽ tạo khối cho hạt

Goldstone

2.1 Biểu diễn tương tác

Khi xây dựng các lý thuyết hiện đại để mô tả bản chất vật lý của các hiện

tượng, ta gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải các phương trình, xử lý toán học

các biểu thức… Để chuyển những khó khăn này sang các mảng khác trong trường

hợp cụ thể, ta dùng các lý thuyết biểu diễn và đỏi hỏi tất cả các lý thuyết biểu diễn

chỉ là phương pháp mà không được phép làm thay đổi một số đại lượng vật lý quan

sát đo đạc được như: trị riêng của toán tử, phần chéo hóa của yếu tố ma trận…

Có ba bức tranh diễn tả cơ học lượng tử nói riêng và lý thuyết lượng tử nói

chung mà ta quen gọi là ba biểu diễn [6]: biểu diễn Schroedinger, biểu diễn

Heisenberg và biểu diễn tương tác Trong lý thuyết trường lượng tử, khi xét hệ gồm

các hạt tương tác thì lựa chọn thuận tiện nhất là sử dụng biểu diễn tương tác Khi đó

ta có thể giảm bớt sự phức tạp của Hamintonian phần tương tác sang cả hàm sóng

và toán tử

Hamintonian trong biểu diễn tương tác được chia làm 2 phần:

H=H0 + H’ (2.1)Trong đó: H0 là phần mô tả các hạt tự do

H’ là phần mô tả tương tác giữa các hạt

Tương ứng với toán tử Aˆ không phụ thuộc thời gian trong biểu diễn

Schroedinger, ta định nghĩa toán tử trong biểu diễn tương tác:

ˆ

(2.2)

ˆ (x) =  (2π) 2ω d k (2.6) a(k)e + aˆˆ † (k)e ikx

π(x) = (2π) 2ω d k (2.7)(-iω)  a(k)e - aˆˆ † (k)e ikx

-ikx

ˆ -

3 3

trường tự do Do đó, biểu thức khai triển (2.6) và giao hoán tử (2.8) cũng có thể

dùng cho các toán tử trong biểu diễn tương tác

Bây giờ ta xem xét véc tơ trạng thái trong biểu diễn tương tác Sử dụng véc

tơ trạng thái trong biểu diễn Schroedinger ψ(t) ta định nghĩa:

Là Hamiltonian tương tác trong biểu diễn tương tác

2.2 S ma trận và khai triển Dyson

Giả sử các trạng thái đầu và trạng thái cuối của hệ tại các thời điểm t  

và t   lần lượt được diễn tả bởi các véc tơ trạng thái () I  i

() I  f Và tại các thời điểm này Hˆ I  0 Khi đó ta định nghĩa toán tử Sˆ :

và

Một phần tử nào đó của ma trận S chính là biên độ xác suất để tìm thấy hạt

với trạng thái cuối là f nào đó trong () I :

Tuy nhiên, trước hết ta lưu ý một tính chất quan trọng của Sˆ Giả sử ()

và i đều được chuẩn hóa, ta có:

Hˆ I dạng:

ψ(t) I  ψ(t) (0)I I I (1) (2)  (2.20)Với các gần đúng:

(0) I



-

, aˆ , aˆ

Tương tự, ta cũng có  aˆ i j  =  aˆ i j†  = 0

2.3 Áp dụng cho quá trình phân rã C  A  B

Xét hệ gồm có ba loại hạt vô hướng A, B và C với khối lượng là mA, mB, mC

= k +m 2

a (p (k)e + aˆ

aˆ C C† (k)e ikx  2E C C C ) 0

vào đây vì các trạng thái đầu và trạng thái cuối là trực giao) Tức là ta cần tìm giá trịcủa biên độ xác suất:

kết hợp với trạng thái cuối không chứa các hạt của C Ta sử dụng (2.34) kết hợp với

aˆ C (k) 0 = 0 để viết lại (2.40):

d k 1

(2π) δ (p C C - k) 2E e 0 = e 0

2 2

p A B , p A (x)B (x)  0 e eiP B x

m C A B2 + p = m +p + m 2 ) Giả sử điều kiện trên thỏa mãn, ta sẽ tính toán tốc độ

phân rã C  A  B Vấn đề đầu tiên là xác suất chuyển dời Afi

và tương tác chỉ xảy ra trong khoảng thời gian T Khi đó, “(2π) δ (0) ” thực ra là

2 2

P fi fi A B C fi

Với (từ (2.43)) Afi(1) = (2π) δ (p A B C +p -p )iMfi

 Với p C  ( p C +m C , p C ) Một cách tương tự, ta cũng có:

Hàm δ trên chỉ khác không khi pC = pA + pB Rõ ràng sự chuyển dời

C  A  B chỉ xảy ra khi mC > mA + mB (trong hệ quy chiếu mà C đứng yên, ta cần

 

2 2

(1) 2

xuất hiện bìnhphương của hàm δ bốn chiều δ(x - a)δ(x - a) = δ(x - a)δ(0) và δ(0) tiến tới vô cùng.Trong trường hợp này ta có bốn lần vô cùng Đây là do ta đã dùng các nghiệm là

các sóng phẳng trong phương trình sóng Một giải pháp cho vấn đề này là ta chấp

nhận “chuẩn hóa hình hộp”, trong đó ta hình dung không gian có thể tích hữu hạn V

Vì vậy, biên độ bất biến iM fi trong trường hợp này chính là –ig

Phương trình (2.44) chính là xác suất chuyển dời trong một đơn vị thời giantới một trạng thái cuối cụ thể f Tuy nhiên, trong trường hợp ta đang xét, các

26

trạng thái cuối A + B có dạng liên tục, và để có được tốc độ phân rã toàn phần  ta

cần lấy tích phânPfi cho toàn miền liên tục của các trạng thái cuối thỏa mãn tính

bảo toàn năng – xung lượng Tốc độ phân rã vi phân d được định nghĩa:

Cuối cùng, để thu được một đại lượng không phụ thuộc vào chuẩn, ta cần

chia cho số các hạt phân rã trong một đơn vị thể tích chính là 2EC Vì vậy ta có côngthức cuối cùng của tốc độ phân rã:

2 3 

3 3 (2.47)

Bây giờ ta sẽ tính tốc độ phân rã toàn phần  với hệ quy chiếu C đứng yên

   Khi đó, phần xung lượng ba chiều của δ 4 dẫn đến p A +p B = 0 , hay p A = p = -p B ,

và phần năng lượng trở thành δ(E - m C ) với:

nhỏ thì  vẫn có thể lớn nếu như mC là lớn, ví dụ như quá trình W -  e + ν e

Phương trình (2.55) cho thấy kể cả khig / 16π (chẳng hạn như ~1/137) là

lượng giải phóng của phân rã được xác định bởi p Nếu mC = mA + mB thì p = 0

và do đó  =0 Nếu mA và mB không đáng kể so với mC, thì ta có:

2

-CHƯƠNG 3:

TỐC ĐỘ PHÂN RÃ SIÊU HẠT

Bây giờ, ta sẽ áp dụng các kết quả ở chương 1 và 2 để tính toán tốc độ phân

rã của siêu hạt photino thành quark và squark trong một vài sơ đồ cây

3.1 Sự phân rã của gluino g  uuL

u m1,k1,s1,c1

g

m3,k3,s3,c3 m2,k2,c2

u L

Hình 3.1 Giản đồ bậc thấp nhất cho phân rãg  uu L

Trước hết ta xem xét phân rã củag có khối lượng m3 ( mg ) , xung lượngbốn thành phần k3, spin s3 và chỉ số màu c3, tạo thành một quark u có khối lượng m1

(=mu), xung lượng bốn thành phần k1, spin s1, chỉ số màu c1 và một phản squarku L

có khối lượng m2 ( m u L ) , xung lượng bốn thành phần k2 và chỉ số màu c2 Ta giả

sử sự phân rã này được cho phép về mặt động học Sự pha trộn của squark có thể bỏqua cho trạng thái cuối của thế hệ thứ nhất này, ta sẽ tính đến nó cho quá trình

g  tt

Các trường gluino, quark và squark lần lượt được kí hiệu bởi các spinor trái

g, u và trường phức vô hướngu L Lagrangian tương tác cụ thể là: