Quá trình tán xạ siêu hạt

Khi siêu đối xứng là đúng, thay cho một spinơ diễn tả hạt chất nào đó, ta có một “siêu đa tuyến”, bao gồm cả trạng thái fermion spinơ lẫn trạng thái boson vô hướng.. Các phép biến đổi si

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS PHẠM THÚC TUYỀN

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TRƯỜNG SIÊU ĐỐI XỨNG 6

1.1.Siêu đối xứng 6

1.2 Siêu không gian và siêu trường 8

1.2.1.Siêu không gian 8

1.2.2 Siêu trường 9

1.2.3.Siêu trường vô hướng thuận tay (siêu trường chiral) 11

1.2.4 Siêu trường vectơ 15

1.3 Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng 17

1.3.1 Lý thuyết trường chuẩn Abel 17

1.3.2 Lý thuyết trường chuẩn non-Abel 20

1.3.3 Vi phạm siêu đối xứng 22

1.3.4 Trường vật lý của MSSM 24

CHƯƠNG 2: MA TRẬN VÀ TIẾT DIỆN TÁN XẠ 27

2.1 Ma trận tán xạ và tiết diện tán xạ trong cơ học lượng tử 27

2.1.1 Khái niệm ma trận tán xạ S 27

2.1.2 Ý nghĩa vật lí của ma trận tán xạ S 29

2.1 3 Khái niệm tiết diện tán xạ 31

2.1.4.Các biến Mandelstam 31

2.1.5.Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân 34

2.2.Ma trận tán xạ và tiết diện tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử 39

2.2.1 S- ma trận và khai triển Dyson 39

2.2.2 Tiết diện tán xạ 48

CHƯƠNG 3: QUÁ TRÌNH TÁN XẠ e e       52

3.1 Yếu tố ma trận 52

3.2 Tiết diện tán xạ vi phân 59

KẾT LUẬN 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

Tiên đoán trên đây được coi là kịch tính vì cho đến nay, sau 40 năm tìm kiếm, chúng ta chưa tìm được bất cứ siêu hạt đồng hành nào Nếu tìm thấy, siêu đối xứng sẽ

là đối xứng thực sự của tự nhiên, nếu không tìm thấy, siêu đối xứng sẽ chỉ là một giả định, chưa có gì đảm bảo là đúng

Khi siêu đối xứng là đúng, thay cho một spinơ diễn tả hạt chất nào đó, ta có một

“siêu đa tuyến”, bao gồm cả trạng thái fermion (spinơ) lẫn trạng thái boson (vô hướng) Thay cho một vectơ diễn tả trường một tương tác nào đó, ta có một “siêu đa tuyến”, bao gồm cả trạng thái boson (vectơ) lẫn trạng thái fermion (spinơ Majorana) [2]-[3] Khi đó, quá trình tán xạ giữa hai hạt trở nên rất phức tạp do sự tham gia của quá nhiều hạt Chính vì chưa tính được sự đóng góp của tất cả các hạt và hạt đồng hành, cho nên,

ta chưa thể tìm được vùng năng lượng có thể tìm thấy siêu hạt

Nhiệm vụ được đặt ra cho tác giả luận văn thạc sỹ này là nghiên cứu một trong

số những quá trình tán xạ khi tính đến siêu đối xứng Để tính đến sự đóng góp của tất

cả các hạt ta phải dùng đến các phần mềm chuyên dụng như FormCalc, FeynArts Trong luận văn này do tác giả chỉ tính bằng tay, cho nên cũng chỉ giới hạn ở một quá trình cụ thể

Luận văn được phân chia làm ba chương Chương 1 đề cập đến những khái niệm cơ bản về siêu đối xứng, viết tắt là SUSY, từ đó suy ra Lagrangian tương tác giữa

hạt với hạt, hạt với siêu hạt đồng hành và siêu hạt đồng hành với nhau Chương 2 tóm tắt các đặc trưng của bài toán tán xạ, các công thức cần thiết cho tính toán Chương 3 là

  Các kết luận được tách riêng thành mục cuối cùng

Việc lựa chọn quá trình tán xạ có sinh ra siêu hạt từ sự hủy cặp e e  là có chủ ý Hiện nay mặc dù đã có máy va chạm hadron lớn (LHC), nhưng những số liệu thu được

từ các máy gia tốc lepton (LEP) vẫn rất phong phú và có vai trò quan trọng trong việc tìm kiếm và kiểm chứng những lết luận của SUSY Thêm nữa, các máy gia tốc cũng

thể kiểm tra được ở các trung tâm này

CHƯƠNG 1

LÝ THUYẾT TRƯỜNG SIÊU ĐỐI XỨNG

1.1.Siêu đối xứng

Siêu đối xứng (SUSY) là đối xứng giữa fermion và boson [1]-[4] Các phép biến

đổi siêu đối xứng được sinh bởi các toán tử spinơ Q, Q , biến trường fermion thành

trường boson và ngược lại

Q Boson  Fermion  Q Fermion |  | Boson 

Do trường boson và trường fermion có thứ nguyên khác nhau 1/2, cho nên, thứ nguyên

của nhóm Lorentz, được gọi là vi tử sinh chẵn, lập thành một đại số, trong đó, ngoài đại số của nhóm Poincaré, ta còn có:

2 1 ,

Trong đại số này phép toán giữa các vi tử sinh chẵn (hai toán tử boson B ) hoặc một

chẵn một lẻ (một toán tử boson B và một toán tử fermion F) là giao hoán tử, phép

toán cho hai vi tử sinh lẻ (hai toán tử fermion F ) là phản giao hoán tử Kết quả của các

và boson, tức là, cho cả trường chất lẫn trường truyền tương tác

Điểm nổi bật của siêu đối xứng là kết hợp các boson và fermion vào trong cùng những đa tuyến tối giản hữa hạn Siêu đối xứng làm phong phú thêm cho vật lý hạt cơ bản; ngay cả một mô hình siêu đối xứng đơn giản nhất cũng có rất nhiều những hệ quả

lý thú, đặc biệt, chúng hạn chế được rất nhiều loại giản đồ phân kỳ trong lý thuyết nhiễu loạn

Siêu đối xứng là đối xứng duy nhất đã biết có thể liên hệ các hạt có spin khác nhau là boson và fermion, và có ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực phát triển của

vật lý lý thuyết ở giai đoạn hiện nay, chẳng hạn như lý thuyết dây Ngoài ra có nhiều nguyên nhân về mặt hiện tượng luận làm cho SUSY trở nên hấp dẫn Một là, nó hứa hẹn giải quyết vấn đề phân bậc tương tác (hierachy) tồn tại trong mô hình tiêu chuẩn Hai là, trong SUSY hạt Higgs có thể xuất hiện một cách tự nhiên như hạt vô hướng cơ bản và nhẹ

Để diễn đạt SUSY thuận tiện nhất, ta dùng phương tiện là siêu không gian và siêu trường

1.2 Siêu không gian và siêu trường

1.2.1.Siêu không gian

Vi tử sinh spinơ của nhóm siêu đối xứng không thể biểu diễn được chỉ bằng toán tử vi phân theo tọa độ không thời-gian thông thường Để khắc phục điều này, người ta đã mở rộng không-thời gian bằng cách đưa vào tọa độ spinơ phản giao hoán



 , bên cạnh tọa độ vectơ giao hoán x [5] Không gian mở rộng được gọi là siêu không gian, tọa độ phản giao hoán được gọi là tọa độ lẻ, tọa độ giao hoán được gọi là tọa độ chẵn Do tọa độ lẻ chỉ là công cụ, chúng không thể có mặt trong biểu thức cuối cùng của Lagrangian, cho nên, bước tính toán cuối cùng là tích phân theo tất cả tọa độ

lẻ Tích phân theo tọa độ lẻ được tính như đạo hàm theo tọa độ đó

còn nếu dùng hình thức luận spinơ hai thành phần tọa độ lẻ sẽ là cặp hai spinơ Weyl

Do tính phản giao hoán của tọa độ spinơ:

các trường thành phần được gọi là một siêu đa tuyến Siêu đa tuyến tương ứng với siêu trường (1.7) sẽ gồm:

- 8 trạng thái boson, diễn tả bằng 4 trường vô hướng phức:

Siêu trường thỏa mãn những tính chất cơ bản sau đây:

- Tổ hợp tuyến tính của các siêu trường cũng là siêu trường

-Tích các siêu trường cũng là siêu trường

Từ quy tắc biến đổi của siêu trường ta suy ra quy tắc biến đổi của trường thành phần Quy tắc biến đổi cho các siêu trường được định nghĩa:

Trong đó,  là tham số biến đổi Tham số biến đổi cũng phải là spinơ và có thứ

cho như trong (1.5), ta có thể thu được phép biến đổi cho trường thành phần:

1.2.3.Siêu trường vô hướng thuận tay (siêu trường chiral)

Siêu trường vô hướng thỏa mãn điều kiện [7]:

0

được gọi là siêu trường thuận tay trái, hay tay chiêu (left-handed superfield) Trong

chứa nội dung động lực học như đạo hàm hiệp biến trong lý thuyết trường chuẩn mà chỉ là công cụ toán học để giản lược số trường thành phần trong một siêu đa tuyến Đặt :

suy ra:

.

Như vậy, một siêu trường vô hướng tay chiêu chỉ chứa ba trường thành phần: một

hàm của chúng đều có mặt, vì vậy, Lagrangian của chúng có thể được tạo nên từ lũy thừa của siêu trường tay chiêu Siêu trường tay chiêu có thể coi là dạng siêu đối xứng

Tương tự, siêu trường thỏa mãn điều kiện:

cũng có khai triển của siêu trường tay đăm

Tích của một siêu trường có tính thuận tay khác nhau sẽ không còn là siêu trường thuận tay Ví dụ, với hai siêu trường tay chiêu i, j, tích   sẽ có khai i jtriển sau đây:

2 2

Rõ ràng, nó không phải là đa tuyến tay chiêu hay tay đăm

của siêu trường  Dạng Kähler có khai triển sau đây:

2 2

Số hạng F sẽ bị khử nhờ phương trình chuyển động Số hạng cuối cùng chỉ là đạo hàm toàn phần và do đó nó có thể được bỏ qua

1.2.4 Siêu trường vectơ

Siêu trường thỏa mãn điều kiện thực [7]:

- Các trường thành phần C D M N, , , và V là thực Đó là 8 thành phần boson của siêu đa tuyến

- Các trường  ,  là hai spinơ tay chiêu Weyl Đó là 8 thành phần fermion của siêu đa tuyến

2 Re , 2

2 Im , ,

Như vậy, giống như trường chuẩn cổ điển, thành phần vectơ của siêu trường vectơ

cũng được cộng thêm građiên 2 lẫn phần ảo của A Siêu trường vectơ có thể coi là

dạng siêu đối xứng hóa của trường chuẩn, và do đó nó còn được gọi là siêu trường

trường spinơ  và trường vô hướng phụ trợ D Trường spinơ  xuất hiện trong đa

Khác với siêu trường chất, trong khai triển (1.25) của siêu trường chuẩn, không

có thứ nguyên bằng 0 Vì vậy, để có cường độ trường chuẩn, ta phải lấy đạo hàm hiệp biến siêu trường vectơ Xét siêu trường spinơ sau đây:

,

W   DDD V W   DDD V (1.26)

nguyên 3/2 W W , W W  là tích hai siêu trường thuận tay nên chúng cũng thuận tay

Vì lẻ đó, ta chỉ giữ lại hệ số của lũy thừa  , của chúng Các hệ số này có thứ nguyên bằng 4, đúng như yêu cầu của Lagrangian của trường chuẩn Tính toán trực tiếp, ta có:

( ) 2

Với nhóm chuẩn non-Abel, siêu trường vectơ V sẽ không được chọn là siêu

số hạng thứ ba là khác không:

21

2

1.3 Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng

1.3.1 Lý thuyết trường chuẩn Abel

Giả sử ta có một siêu trường tay chiêu  mô tả chất Xét phép biến đổi chuẩn

0

Tuy nhiên, dạng Kähler lại không bất biến chuẩn:

bởi vì  không phải là siêu trường thực (vectơ)

Để khôi phục tính bất biến chuẩn cho dạng Kähler, ta đưa vào siêu trường vectơ

V , với quy tắc biến đổi (1.23):

Có thể thấy rằng, dạng Kähler (1.28) là bất biến chuẩn

Và như vậy, W W    W W   là bất biến chuẩn

Với các kết quả trên, ta sẽ chọn Lagrangian cho lý thuyết trường chuẩn U 1siêu đối xứng như sau:

1

| 4

Trong đó, để siêu thế là bất biến U 1 , ta phải yêu cầu m ik 0 hoặc g ikl 0 bất cứ khi

Lagrangian (1.32), ta có thể khai triển dạng Kähler của (1.28) trong chuẩn Zumino:

của hai trường nói trên Số hạng thuộc dòng thứ ba là Lagrangian tương tác bậc cao giữa trường chất (kể cả siêu đồng hành) với trường chuẩn vectơ và siêu đồng hành spinơ của nó

1.3.2 Lý thuyết trường chuẩn non-Abel

Ta có thể tổng quát hóa kết quả trên cho nhóm chuẩn non-Abel Khi đó, trường chất sẽ biến đổi theo quy luật:

' '

gT

hoán như sau:

biểu thức khai triển:

1 4 1

2 2

siêu đồng hành , trường chất vô hướng A, trường siêu đồng hành  , các thế của trường phụ trợ D a, F và Lagrangian tương tác

1.3.3 Vi phạm siêu đối xứng

Để lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng diễn tả thế giới tự nhiên một cách thực

tế, cả đối xứng chuẩn lẫn siêu đối xứng đều phải bị vi phạm Sự vi phạm có thể là tự phát, là vi phạm mềm hoặc cả hai Trong SM, sự vi phạm tự phát được diễn tả thông qua một lưỡng tuyến trường Higgs Trong MSSM, ta cần phải có hai lưỡng tuyến trường Higgs Trong tám bậc tự do Higgs, ba đã bị trường chuẩn Yang-Mills “ăn thịt”, năm thành phần còn lại sẽ tạo thành năm hạt Higgs, hai hạt tích điện, một hạt vô hướng thực sự và hai hạt giả vô hướng Sau đó, chúng lại pha trộn với hạt gauge tích điện và trung hòa, tạo thành các hạt chargino (tích tử) và neutralino (trung tử)

Sự vi phạm tự phát trong SM khác với trong MSSM [7] Từ hệ thức phản giao hoán của vi tử sinh lẻ (hệ thức thứ 4 của (1.1a) suy ra Hamiltonian:

không bị vi phạm siêu đối xứng, Q 0 Q 0  Để có sự vi phạm tự phát, trạng thái 0

cơ bản phải có năng lượng khác không

Với nhóm chuẩn G SU 3 SU 2 U 1 , ta sẽ có các trường nguyên thủy sau đây cho MSSM [8]:

1 Ba siêu đa tuyến trường chuẩn:

Siêu tích yếu của các trường chất được suy ra từ hệ thức Gell-Mann và Nishijima

3 Trường Higgs sẽ bao gồm hai lưỡng tuyến:

Siêu tích của lưỡng tuyến thứ nhất bằng 1, của lưỡng tuyến thứ hai bằng 1 Như

trong đó, L Q U D, , , được hiểu là lưỡng tuyến lepton, quark va đơn tuyên quark kiểu

up (u c t, , ) và quark kiểu down (d s b, , ) và I, J là chỉ só thế hệ Còn một số biểu thức bất biến gauge nhưng vi phạm các định luật bảo toàn số lepton, số baryon cho nên

Những số hạng vi phạm mềm được tách thành nhiều loại:

a) Số hạng khối lượng cho trường vô hướng

trong đó, tổng được lấy cho chỉ số thể hệ I J,

b) Số hạng khối lượng của gaugino:

Trường gauge: Trường gluon G và trường photon A vẫn không có khối

g và điện từ g1: eg2sin g1cos

Trường Higgs tích điện: Sẽ có bốn hạt Higgs tích điện tương ứng với bốn bậc

tự do tích điện trong hai đa tuyến Higgs Hai trong số đó có khối lượng

Trường Higgs trung hòa: Nếu các tham số của lý thuyết là thực, ta sẽ có hai

1,2

3,4

H Nếu, chẳng hạn, h là

đến nguồn gây nên vi phạm đối xứng CP Các hạt Higgs trung hòa được diễn tả thông

i

H nhờ ma trận chéo khối lượng, chứa tham số h S,  và  1,2Khối lượng của chúng cũng được xác định nhờ những tham số này

Trường tích tử (chargino): Hai spinơ hai thành phần siêu đồng hành của

W

 và hai spinơ hai thành phần siêu đồng hành của trường

gọi là hai hạt tích tử, hay chargino

Trong chương 3, ta dùng đến hàm sóng của tích tử và trung tử cho nên ở đó ta sẽ trình bày biểu thức cụ thể của chúng

Các trường vật lý khác, như quark, lepton, trường slepton cũng sẽ được trình bày trong chương 3

CHƯƠNG 2

MA TRẬN VÀ TIẾT DIỆN TÁN XẠ

2.1 Ma trận tán xạ và tiết diện tán xạ trong cơ học lượng tử

2.1.1 Khái niệm ma trận tán xạ S

Ma trận tán xạ đã được trình bày trong [9]-[10] Giả sử H t  là Hamiltonian

trong biểu diễn tương tác sẽ là:

bậc nhất, nên nghiệm của nó có thể viết dưới dạng:

S t t   i dt H t S t t  (2.3)

Sử dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp để giải (2.3) ta tìm được dạng của toán tử tuyến tínhS t t ( , )0 ở dạng gần đúng như sau:

Vớiti1  ti2   ti2 Khi xét bài toán tán xạ, ta coi hệ ban đầu là hoàn toàn tự do (các hạt không tương tác với nhau) Sau tương tác, các hạt tồn tại ở trạng thái hoàn toàn tự

do, nhưng chuyển động tự do của hạt sau tương tác khác với chuyển động tự do của hạt

biểu thức củaS t tn( , )0 được viết như sau:

điểm ban đầu t0là( )t0 Ta coi ban đầu hệ ở thời điểm t  0 , khi đó các hạt hoàn toàn tự do và vectơ trạng thái của hệ( )t0      Sau quá trình tán xạ, tại thời ( ) i

hệ thức:

( ) S ( ) S i

Sau khi tương tác, các hạt ở xa nhau vô cùng (không tương tác với nhau), và ta cũng có thể coi  ( )như là vectơ trạng thái của hệ mới các hạt tự do Vectơ trạng thái

2.1 3 Khái niệm tiết diện tán xạ

Giả sử có một hạt bia ở trong một miền không gian A và một hạt đạn đi qua miền không gian này Xác suất tán xạ P được định nghĩa như sau:

xạ toàn phần của quá trình tán xạ Xác suất tán xạ P và miền không gian A đều không phụ thuộc vào hệ quy chiếu là khối tâm hay phòng thí nghiệm Do vậy, tiết diện tán xạ

Trong nhiều trường hợp, ta chỉ quan tâm tới sự tán xạ trong một góc khối Ta có khái