phương trình luong giac (2)

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC

dạng 1: Ph-ơng trình bậc nhất và bậc hai , bậc cao với 1 hàm số l-ợng giác

Giải ph-ơng trình:

1) 2cos2x- 4cosx=1

sinx 0



 2) 4sin

3x+3 2sin2x=8sinx 3) 4cosx.cos2x +1=0

4) 1-5sinx+2cosx=0

cos x 0



 5) 3sin

3

x-3cos2x+4sinx-cos2x+2=0 6) sin3x+2cos2x-2=0

7) tanx+ 3

cot x -2 = 0 8) 2

4

cos x+tanx=7 9)

*

.sin6x+cos4x=cos2x 10)sin( 5

2

2

x  

)-3cos( 7

2

x 

 )=1+2sinx 11) sin2x  2sin x   2 2sin x  1 12) cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 13)

sin 2 4 cos 2 1

0 2sin cos

 14) sin x   1 cos x  0 15) cos2x+3cosx+2=0

16)

4sin 2 6sin 9 3cos 2

0 cos

x

 17) 2cosx-sin x =1

dạng 2: Ph-ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx+bcosx=c

Cách 1: asinx+bcosx=c

Đặt cosx=

2 2

a

a  b ; sinx= 2 2

b

a  b

2 2

sin( )

Cách : 2 a sinx bcosx c

a

Đặt b tan a  sin x cos tan x  c

sin( x ) c cos

a

Cách 3: Đặt tan

2

x

t  ta có

2



2

(b c t) 2at b c 0

Đăc biệt :

1 sin 3 cos 2sin( ) 2 cos( )

     

2 sin cos 2 sin( ) 2 cos( )

     

3 sin 3 cos 2sin( ) 2 cos( )

     

Điều kiện Pt có nghiệm : a2b2 c2

giải ph-ơng trình :

1) 2sin15x+ 3cos5x+sin5x=4 1’) 3 (sin 3 x  cos x )  cos 3 x  sin x 2) 3 sin cos 1

cos

x

4sin 3cos 1

3 sin cos 3

3 sin cos 1

  

  5)cos 7x 3 sin 7x 20

2 6 ( ; )

5 7

x   6) (cos2x- 3sin2x)- 3sinx-cosx+4=0 7) 1 cos 2 cos 2 cos 3 2

(3 3 sin )

2 cos cos 1 3

x

8)cos 22sin cos

3

  9)4cos 2x 3sin6x 2cos4x 3cos2x

10) 3 1

8sinx

cosx sinx

  11)sin2xcos2xcosxsinx0 12)9sinx3cosx3sin2xcos2x8 13)2cos x3 cos 2xsinx0

14)sin x cos x3  3 sinx cosx 15) 4(sin4 x cos x  4 )  3 sin 4 x  2

Dạng 3 Ph-ơng trình đẳng cấp đối với sin x và cosx

Giải ph-ơng trình

Ví dụ 1 :Giải phương trỡnh: cos2x - 3sin2x = 1 + sin2x

Ví dụ 2 : Giải phương trỡnh: 4sin2

x – 3sinxcosx +  34cos2x = 4

Ví dụ 3 :Giải phương trỡnh: 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4

Ví dụ 4 :Giải phương trỡnh: cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3

Bài tập tự giải

1) 3sin2x - 5 3sinxcosx – 6cos2x = 0 2) sin2x +(1  3)sin cos x x  3 cos x2  0

3) 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 1 4) cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 0

cos cos

sin

Vớ dụ 6: Giải phương trỡnh: cos3 xsinxcosx

Vớ dụ 3: Giải phương trỡnh: 3sin3x2cos3xsin2 xcosx2cosx0

Vớ dụ 4 :Giải phương trỡnh: 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0

Vớ dụ 5: Giải phương trỡnh : sin6 xcos6 xcos22xsinxcosx

Bài tập tự giải

1) sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 2) sin3x + cos3x + 2cosx = 0

3) sinx – 4sin3x + cosx = 0 ) 4) sin x cos x3  3 sinx cosx

5) 8  sin6x  cos6x   3 3 sin 4 x  2 6) 3 (cos 3 x  sin x )  sin 3 x  cos x

7)sin x cos x3  3 sinx cosx 8) 4(sin4x cos x  4 )  3 sin 4 x  2

9) 3 (sin 3 x  cos x )  cos 3 x  sin x 10) 8 8 17 2

16

x cos x   cos x

11)sin6 x cos x 6 2cos x2 1 12) 3sin2x- 3sinxcosx+2cos2x =2

13) 4 sin2x+3 3sinxcosx-2cos2x=4 14) 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0

15) 2 sin2x+6sinxcosx+2(1+ 3)cos2x-5- 3=0 16) sinx- 4sin3x+cosx=0

17) (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0 18) sin3x- sinx+ cosx- sinx=0

19) tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx) 20) 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0

21) 4cos3x+2sin3x-3sinx=0 6/ 2 cos3x= sin3x 22) cos3x- sin3x= cosx+ sinx

23) sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x 24) sin3(x-/4)= 2sinx

Dang 4 Ph-ơng trình đối xứng đối và bất đối xứng với sinx và cosx

* a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x+cosx t  2

 at + b

2

1 2

t 

=c bt2+2at-2c-b=0

* a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x- cosx t  2

 at + b

2

1 2

t



=c bt2 -2at+2c-b=0

Ví dụ 1 :Giải phương trỡnh: cos2x(1sinxcosx)cosxsinx0

Ví dụ 2 :Giải phương trỡnh: 2(sin x+cosx)=tanx+cotx

Ví dụ 3 :Giải phương trỡnh: 1+tanx=2sinx + 1

cos x

Ví dụ 4 :Giải phương trỡnh: 2sinx+cotx=2 sin2x+1

Đẳng cấp bậc 2: asin2x+bsinx.cosx+c cos2x=0

Cách 1: Thử với cosx=0 Với cosx0 Chia 2 vế cho cos2x ta đ-ợc:

atan2x+btanx +c=d(tan2x+1)

Cách2: áp dụng công thức hạ bậc

Đẳng cấp bậc 3: asin3x+b.cos3x+c(sinx+ cosx)=0 hoặc

asin3x+b.cos3x+csin2xcosx+dsinxcos2x=0

Xét cos3x=0 và cosx0 Chia 2 vế cho cos3x ta đ-ợc Pt bậc 3 đối với tanx

Gi¶i ph-¬ng tr×nh

1) sin x+cosx= 1

tan x

-1

cot x 2) sin

3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx 3) 1- sin3x+cos3x= sin2x 4) 2sin2x(sin x+cosx)=2

5) (1+sin x)(1+cosx)=2 6) 1+sin3 2x+cos32x=3

2sin 4x

7)* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2 8) sin x  cos x  4sin 2 x  1

9)*cos4x+sin4x-2(1-sin2xcos2x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0 10) cosx+ 1

cos x+sinx+

1

sin x=

10

3 11) sinxcosx+sin x  cos x =1

12)(sinxcosx1)cos2xcosxsinx0

13) sin x  cos x  sin 2 x  12 (cos x  sin x )  12 cos 2 x  0









 







4 sin 2 7 cos 2 sin 3 sin 2 sin 3 2 cos

x x

x x

x

15)sin3 xsin2 x2cosx20

16)sin2 xcosx12(sinxcosxsin2x)sinxcos2 x12

17)sin2 xsinxcosxcosx2sin2x(sinx1)1

4 cos 2 ) 1 cos (sin

2 sin









 





x x

x

19) x x sin 4 x sin x cos x

2

1 cos

20) cos3xcos2 x2sinx20

21) 3sinx 3sin2 x8(2cosx)

22) sin3 x3sin2 x6cosx60

dang 5 Gi¶i ph-¬ng tr×nh b»ng ph-¬ng ph¸p h¹ bËc

C«ng thøc h¹ bËc 2

cos

2



   ; 2 1 cos 2

sin

2



C«ng thøc h¹ bËc 3

cos

4

sin

4

VÝ dô 1 :Giải phương trình: sin2

x+sin23x=cos22x+cos24x

VÝ dô 2 :Giải phương trình: cos7x+ sin22x= cos22x- cosx

VÝ dô 3 :Giải phương trình: cos3x+ sin7x=2sin2( 5

4 2

x

)-2cos29

2

x

VÝ dô 4 :Giải phương trình: cos2x+cos22x+cos23x=3/2

VÝ dô 5: Giải phương trình: sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x

Gi¶i ph-¬ng tr×nh

1) sin2x+ sin23x-3 cos22x=0 2) sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x víix(0; )

3)sin24x-cos2

6x=sin(10,5 10x) víi (0; )

2

x 

4) cos4x-5sin4x=1 5) 4sin3x-1=3- 3cos3x 6) sin22x+ sin24x= sin26x 7) sin2x= cos22x+ cos23x

8) (sin22x+cos42x-1): sin cosx x=0 9) 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3

10) 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x 11) cos4xsinx- sin22x=4sin2(

4 2

x

)-7/2

12) 2 cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0 13) * 8cos3(x+

3



)=cos3x

14)cos10x+2cos24x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos23x 15) sin 5

5sin

x

x=1

16) sin2x+ sin22x+ sin23x=3/2 17) 3cos4x-2 cos23x=1

Dang 6 : Ph-ơng trình LG giải bằng các hằng đẳng thức

* a3b3=(ab)(a2 ab+b2) * a8+ b8=( a4+ b4)2-2 a4b4

* a4- b4=( a2+ b2) ( a2- b2) * a6b6=( a2b2)( a4 a 2b2+b4)

Giải ph-ơng trình

1)sin4

2

x

+cos4

2

x

=1-2sinx 2) cos3x-sin3x=cos2x-sin2x

3) cos3x+ sin3x= cos2x 4)

(tan cot )

x

vô nghiệm

5)cos6x-sin6x=13

8 cos

22x 6) sin4x+cos4x=7cot( )cot( )

7) cos6x+sin6x=2(cos8x+sin8x) 8) cos3x+sin3x=cosx-sinx

9) cos6x+sin6x=cos4x 10) sinx+sin2x+sin3x+sin4x= cosx+cos2x+cos3x+cos4x

11) cos8x+sin8x= 1

8 12) (sinx+3)sin

4

2

x

-(sinx+3) sin2

2

x

+1=0

Dang 7 : Ph-ơng trình LG biến đổi về tích bằng 0

1) cos2x- cos8x+ cos4x=1 2)sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0

3)sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4) 3

2 sin2x+ 2cos2x+ 6cosx=0 7) 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8) sin 3 sin 5

x  x

9) 2cos2x-8cosx+7= 1

cos x 10) cos

8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+5

4cos2x

11) 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x

12) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13) sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3

14) 2sin3x- 1

sin x=2cos3x+

1

cos x 15)cos

3x+cos2x+2sinx-2=0

16)cos2x-2cos3x+sinx=0 17) tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- 1

cos x)=0

18)sin2x=1+ 2cosx+cos2x 19)1+cot2x=1 cos 22

sin 2

x x



20) 2tanx+cot2x=2sin2x+ 1

sin 2x 21)cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0

22) 1+tanx=sinx+cosx 23)(1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx

24) 2 2 sin( )

4

x  

sin x  cos x 25) 2tanx+cotx= 2

3

sin 2x

 26) cotx-tanx=cosx+sinx 27) 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8

Dang 8 : Ph-ơng trình LG phải thực hiện công thúc nhân đôi, hạ bậc

cos2x= cos2x- sin2x =2cos2x-1=1-2sin2x

sin2x=2sinxcosx

tan2x= 2 tan2

1 tan

x x



sinx = 2 2 1

t t

 ; cosx=

2 2

1 1

t t



 tanx= 2

2 1

t t



Giải ph-ơng trình

1)sin3xcosx=1

4+ cos

3

xsinx 2) cosxcos2xcos4xcos8x=1/16 3) tanx+2cot2x=sin2x 4) sin2x(cotx+tan2x)=4cos2x 5) sin4x=tanx 6) sin2x+2tanx=3

7) sin2x+cos2x+tanx=2 8) tanx+2cot2x=sin2x 9) cotx=tanx+2cot2x

10)tan2x+sin2x=3

2cotx 11)*(1+sinx)

2

= cosx

Dang 9 : Ph-ơng trình LG phải thực hiện phép biến đổi tổng_tích và tích_tổng

Giải ph-ơng trình

1) sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x 2) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0

3)sin 3 sin

sin 2 cos 2

1 cos 2

x

 tìm x0; 2  4) sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0

5) sin5x+ sinx+2sin2x=1 6)3 cos 2 cot 2 

4sin cos

      

7) tanx+ tan2x= tan3x 8) 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x

Dang 10 : Ph-ơng trình LG phải đặt ẩn phụ góc A hoặc đặt hàm B

Giải ph-ơng trình

1) sin(3

10 2

x

)=1

2sin(

3

10 2

x

 

2 ; 2 ; 2

x k k k

2)sin(3

4

x

)=sin2x sin(

4

x

)

4 2

x  k

3)(cos4x/3 – cos2x): 1 tan x  2 =0 xk3  4) cosx-2sin(3

2 2

x

 

)=3 xk4  5)cos( 7

2

2

x 

 )=sin(4x+3)

;

k

x    k  

6)3cot2x+2 2sin2x=(2+3 2)cosx

2 ; 2

x    k  k 

7)2cot2x+ 22

cos x+5tanx+5cotx+4=0 x 4 k

   8)cos2x+ 12

cos x=cosx+

1

cos x xk 9)sinx- cos2x+ 1

sin x +2 2

1

sin x=5 2 ; 2 ;7 2

x k   k  k 

11)1 sin 2

1 sin 2

x x



1 tan

1 tan

x x



 =3 xk  ; k, tan   2

Dang 11 : Ph-ơng trình LG phải thực hiện các phép biến đổi phức tạp

Giải ph-ơng trình

1) 3 4 6 (16 3 8 2) cos    x  4cos x  3

2 4

x   k  2)cos 3 9 2 16 80



    

 =1 tìm n0 xZx   21; 3   3) 5cosxcos 2x+2sinx=0

2 6

x   k 4)3cotx- tanx(3-8cos2x)=0

3

x   k

5)2 sin  tan 

2 cos 2 tan sin

x



2 3

x  k 6)sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx= 2sin 2x

2 4

xk 

7) tan2xtan23xtan24x= tan2x-tan23x+tan4x

4

k

x  8)tanx+tan2x=-sin3xcos2x

2 3

k

x  k 

9) sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x) xk 10) sin x  sin x   1 sin2x  cos x 5 1

;sin 2

11)cos2  2 

sin 2 cos



tan 4

4

x   k 

x  k k  k 

Dang 12 : Ph-ơng trình LG không mẫu mực, đánh giá 2 vế ,tổng 2 l-ợng không âm,vẽ

2 đồ thị bằng đạo hàm

Giải ph-ơng trình

1) cos3x+ 2 cos 3x  2 =2(1+sin22x) xk 2) 2cosx+ 2sin10x=3 2+2sinxcos28x

4

x  k

3)cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 với x  0;   4) 8cos4xcos22x+ 1 cos 3x +1=0 2

2 3

x  k 

5)sin x  cosx x 0 6) 5-4sin2x-8cos2x/2 =3k tìm k Z* để hệ có nghiệm 7)

1-2

2

x

=cosx 8) (cos2x-cos4x)2=6+2sin3x

2

x  k

1 cos 1 cos cos 2 sin 4

2

4

x   k