Lượng giác phần thi đại học

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Bài 1... Cho nên phương trình 4 osx+3sinx=6c vô nghiệm.. Nếu phương trình có nghiệm thì tồn tại k,l thuộc Z sao cho hệ có nghiệm chung... PH

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN

I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Bài 1 Giải các phương trình sau :





  Điều kiện :

261

22

6

s inx 1

22

4 sin xcos x  3 sin 4x2 b 2 2 s inx+cosx cosx=3+cos2x

c cos 2x 3 sin 2x 2 s inx+cosx  d 4 4

11 6 2  5 2 2  6 4 2 36 32 0 c a b Phương trình vô nghiệm

c cos 2 3 sin 2 2 s inx+cosx  os2x- 3 sin 2 2 sin

Bài 3 Giải các phương trình sau :

=6sin2x-2 sin4x+sin2x 4sin 2x2sin 4x

Cho nên (1) : 2sin 4x4sin 2x2sin 4 +3cos2x=5x 4sin2x.+3cos2x=5

k x

Bài 4 Giải các phương trình sau :

a sin 8x c os6x= 3 sin 6 x c os8x b cos7x-sin5x= 3cos5x-sin7x

3sin 3x 3 os9x=1+4sin 3c x d 3 os5x+sin5x-2cos2x=0c

Giải

a sin 8x c os6x= 3 sin 6 x c os8xsin 8x 3 os8x= 3 sin 6c x c os6x

Chia hai vế ơhw[ng trình cho 2 ta có :

Chia hai vế phương trình cho 2 ta có kết quả :

a 5 s inx+cos3x+sin3x 3 os2x

2

x  (*) Phương trình (a) trở thành :

s inx+sin3x osx osx 1+2sin2x 

s inx+cosx+sin3x 2sin 2 osx+cosx

    Vi phạm điều kiện , cho nên loại

Tóm lại phương trình có một họ nghiệm : 2

4 3 256 36 Cho nên phương trình 4 osx+3sinx=6c vô nghiệm

Bài 2 Giải các phương trình sau

 

22

Phương trình (c) cot 2 cot 2 2 osx 2 os2x 2 2 cos2 os2x 2

sinx sin 2 s inx.cosx

26

( Thỏa mãn diều kiện )

Bài 3 Giải các phương trình sau :

Khi đó : 2 sin 3 1 2 cos 3 1 2 sin 3 s inx-1 2 cos 3 osx 1

os2x-cos4x-1 os4x+cos2x 1 os2x-2cos 2 os2x+2cos 2

osx 2sinx+3 2 2 cos 1

1 sin 2 +3 2 osx 2 cos 1 1 sin 2

x c

Do đó Phương trình có nghiệm :  

2osx=0

22

4sinx=

24

Bài 4 Giải các phương trình sau :

a cos 2 os 2x- 4 sin 2 2 1 s inx 

3cot x2 2 sin x 2 3 2 cosx Điều kiện : sinx  0 x k

Chia hai vế phương trình cho : 2

sin x0 Khi đó phương trình có dạng :

sin

3

t c

22

42

1

2osx=

32

f x  x x Hãy giải phương trình : f'(x)=0

Ta có : f ' x cosx+cos3x+2cos5x=0cos5x+cosx  coss5x+cos3x0

k Z k

k c

 2 2    2  2 sin 2 3 4sin 2t t 2 os2t- 5 os 2t =0c c sin 2 3 4 1t cos 2t 2 os2t- 5 os 2t =0c c

b sin 2xcotxtan 2x4cos2x

Điều kiện : sin 0

os2t 0

t c

2 cos 6t 1 3cost 2 cos12t=3cost 3cost-cos12t=2

   Nếu phương trình có nghiệm thì tồn

tại k,l thuộc Z sao cho hệ có nghiệm chung Có nghĩa là : 2  , 

Nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*)

Bài 6 Giải các phương trình sau :

a

4sin 2 os 2

Phương trình 48 14 22 1 os2 cos 0

os sin sin2x s inx

Chứng tỏ f(t) đồng biến Khi đó tại f(-1)=1 và f(1)=9 cho nên với mọi t 1;1  f t( )0

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 7 Giải các phương trình sau :

Phương trình cos sinx +4sin2x= 2 2 cos 2 4 sin 2 2

   Thỏa mãn điều kiện (*)

d sin 4xt anx Điều kiện : cosx0(*)

3 1os2x=

( Như kết quả trên )

Bài 8 Giải các phương trình sau :

u

c u

osx=0 x=

25

  Vi phạm điều kiện , nên bị loại

Vậy phương trình còn có nghiệm là : 5  

x= arccos 2

8

x k

k Z k

25

sin 2 11

4

os2x=01

Phương trình vô nghiệm

d 2 2 2 2 1 os2x 1 os4x 1 os6x 1 os8x

III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX

Bài 1 Giải các phương trình sau :

2 s inx+cosx + 2 s inx+cosx s inxcosx=1

cosx sinx s inx.cosx

Thỏa mãn điều kiện

d 3 cot x c osx 5 t anx-sinx2 Điều kiện : s inx 0  *

Khi đó : 3 cos sin x s inx- osx 2 2sin 1 1

3 1+sinxsin

24

2 sin xs inx=2cos x c osx+cos2x2 sin x c os x  s inx-cosx  cos xsin x 0

s inx-cosx 1 s inxcosx  os sin  0 s inx=cosx

s inx+cosx; t 2 s inxcosx=

21

2

t t

tan x 1 sin x cos x 1 0 b 2sinxcotx2sin 2x1

c Cho phương trình : msinx+cosx+1 1 sin 2x

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;

t=sinx+cosx; t 2,s inxcosx=

2sin osx-sinxcosx=0

Bài 4 Cho phương trình : 3 3

os sin sin cos

a Giải phương trình với m=1/2

b Tìm m để phương trình có nghiệm trên khoảng 0;

- Với t=0 và t=-1 ta đã có nghiệm như câu a

- Còn phương trình : m(t-1)=-1 , t=1 không là nghiệm ( vì : 0=-1 vô lý ) Cho nên ta xét hàm số

  F(t) đồng biến , cho nên phương trình có

nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán thì :

22

Bài 7 Giải các phương trình :

a cos 2x 5 2 2 cosx sinx-cosx  b 3 3

cos 2x 5 2 2cosx s inx-cosx 2 2cosx s inx-cosx  sin x c os x  5 0

s inx-cosx 4 2 cosx sinx c xos  5 0 s inx-cosx 4 sinx c xos  5 0

41-t

Phương trình viết lại :  2 2     

3 tan xcot x 4 t anx+cotx  2 0 1

sin 2 3 1( )3

sin 2 3

t

x x

Phương trình viết lại :    2 2   3 3   

t anx+cotx  tan xcot x  tan xcot x  6 0 1

a Giải phương trình với m=1

b Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn ;

2

f t   

tại hai điểm với t thuộc  2; 0

f(t)

- 2

0

1 Qua bảng ta thấy : với - 2<m<1 thì d cắt f(t) tại 2 điểm , và phương trình có 2 nghiệm thuộc ;

2cos 2xsin xcosxsinxcos xm sinx+cosx

a Giải phương trình với m=2

b Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;

t anx=-1osx+sinx=0

44

2 m có ít nhất 1 nghiệm

t thuộc 1; 2 Hay đường thẳng d : y=m cắt f(t)= 2  

21-t 1

2  2   t t tại ít nhất 2 điểm

Đặt : t= 2 2 2 2

sin2x  t x x t Cho nên phương trình trở thành

2

-

Qua bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi

3232

m m

2

2

k Z k

Cả hai nghiệm thỏa mãn điều kiện

Bài 12 Giải các phương trình sau :

a

3 3

sin xcosx c os2x+sinx=cos xsinx c osxsinxcosx cosx-sinx  cosx-sinx 0

cosx-sinx sinxcosx 1  0 1osx-sinx=0 t anx=1

sin2x=-2<-1(l) 4sin 2 1 0

4sin x 1 3sinx 3 os3xc Từ công thức : 3

sin 3x3sinx4 sin x, cho nên phương trình trở thành :

2 10

23

 



 



VI PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI -BẬC BA ĐỐI VỚI SINX,COSX Bài 1 Giải các phương trình sau :

cos x 3 sin 2x 1 sin x d 3 3 2

cos x4sin x3cos sinx xs inx=0

sin 1 osx sin

-4 0 t anx 1+tan 1 tan -4tan 0

cos x4sin x3cos sinx xs inx=0

Nhận xét : cosx=0 không là nghiệm cho nên cosx khác 0 Chia 2 vế phương trình cho 3

cos x0, ta có phương trinh :

cos sin cos sin s inx 1

3cos x4sin xcos xsin x0 b 3

sin sin 2x xsin 3x6 cos x

Nhận xét : cosx=0 không là nghiệm cho nên cosx khác 0 Chia 2 vế phương trình cho 3

cos x0, ta có phương trinh :

sin os sin sin

Khi đó : cos os2x 2

    Thỏa mãn điều kiện

d sin3x +cos3x +2cosx=0 3 3

3sinx 4sin x 4 cos x 3cosx 2 cosx 0

3sinx 4sin x 4 cos x cosx 0

     Chia hai vế phương trình cho 3

6 sin 2 cos 5sin 2 osx 6 sin 2 cos 5sin 2 osx

s inx sin osx

Bài 5 Cho phương trình :

4 6 msin3x3 2 m1 sinx+2 m-2 sin   2xcosx4m3 osx=0c

a Giải phương trình với m=2

b Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc đoạn 0;

4 6 m sin x3 2m1 sinx+2 m-2 sin xcosx 4m3 osx=0c

Nhận xét : Nếu cosx=0 thì sinx=1, phương trình có dạng :

   , Cho nên để phương trình có nghiệm duy nhất thì (**) vô

nghiệm Bằng cách tính đạo hàm và xét dấu , ta thấy : hoctoancapba.com

4sin x2 3 t anx+3tan x4sinx 2 0 b. 2 2 2

tan xtan 2xcot 3x1

4cos x3tan x4 3 osx+2 3 t anx+4=0c d 2 2 2  9

sin sin sin

Bằng cách biểu diễn các nghiệm trên

đường tròn đơn vị ta thấy có nghiệm chung là : 5 2

Cho nên phương trình có dạng :   2  2 2

t anx-tan2x  tan 2xcot 3x  cot 3xt anx 0

d 2 2 2  9 1 os2x 1 os2y 1 os2 x+y  9

sin sin sin

6sin 3x=1

33

31

2osx=

32

3sin cos cos sin sin 2 os2x= sin 4 sin 3

Cho nên phương trình d chính là phương trình a mà ta đã giải

B PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ

sin 2 0sin 2 0

6 2 3

2

2

k x

x=k

k c

Bài 3 Giải các phương trình sau :

x=

l c

k l

l x

Bài 4 Giải các phương trình sau "

a sinx c osx= 2 2 sin 3  x b tanx+tan2x=-sin3xcos2x

c sin4xcos16x=1 d 2 sin t anx+cotx

2

sin3x=01+cosx.cos 2

x x

    là một họ nghiệm , thỏa mãn điều kiện (*)

- Trường hợp : 2 osx 1+cos4x  cos5x+cos3x

Vậy phương trình có thêm nghiệm nữa là : x  l2 lZ

c sin4xcos16x=1 sin 20 sin12 2 sin 20 1 40 10

k x

2 4

Phương trình vô nghiệm

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC

Bài 1 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2 0

4

3cos

2

2

12

sin

cossin4 4

x x x

x x

34

sin

cos

sin4 4

x x x

x x

     Nhưng lại vi phạm điều kiện

Vậy phương trình vô nghiệm

c) 1sin x 1sin x 2cosx

2tan

2

x x

c) (46m)sin3 x3(2m1)sinx2(m2)sin2 xcosx(4m3)cosx0 (Biện luận theo m)

26

2tan

c) (46m)sin3x3(2m1)sin x2(m2)sin2xcosx(4m3)cosx0

Chia 2 vế phương trình cho 3

Như vậy ta có biện luận sau :

- Nếu : 1<m<3 Phương trình có 1 nghiệm : tanx=1

t anx=m+ m 4 3

m m

Bài 3 Giải các phương trình sau

a) 1tan2 x2tanxtan2x b) sin4x2cos2 x1

c) 8cos4xcos4x1 d)

2cos2sin2cos

k k

22

2

sin2 x 2 x b) tanxtan2xsin3xcosx

c) tanx3cotx4(sinx 3cosx) d) sin3xcos3xcos2x

k x

sin 3 cos sin 3 cos sin 3 1 os cos 2 0

   Đối chiếu với điều kiện , thì các nghiệm thỏa mãn

c) tanx3cotx4(sin x 3cosx) Điều kiện : s inx 0 *

2sin x- =sin

Bài 5 Giải các phương trình sau

a) sin4xtanx b) sin4x4sinx(cos4x4cosx)1 c) 3(cotxcosx)5(tanxsin x)2 d) cos7x 3sin7x 2

2s inx 2 cos 3 os os2x =0

cos4x+2cos2x=0 2cos 2 2 cos 2 1 0

b) sin 4x4sinx(cos 4x4cos ) 1x  sin 4x c os4x-1 4 osx-sinxc 0

Do điều kiện :cosx0 Còn các nghiệm trên thỏa mãn điều kiện

d) cos 7 3 sin 7 2 1cos 7 3sin 7 2 os 7x+ os3

Bài 6 Giải các phương trình sau

a) tanx2 2sinx1 b) 2cos3xsin3x

c)

x

x x

sin1

cos1

Giải

a) tanx2 2sinx1 Điều kiện : cosx0 Phương trình :

 2

2

s inx-cosx; t 2sin

2

t t

sin1

cos1

x x

4cos4

tan4

tan

2cos2

4 4

tan4

x x

x x

4cos4

tan4

tan

2cos2

Kiểm tra điều kiện (*)

không xác định cho nên với k lẻ thì loại

Tóm lại phương trình có nghiệm là :  

tan4

x x

x

sin

1cos

14

sin2

9sinx6cosx3sin 2xcos 2x 8 2cos x6 osx sinx-1c 9 sinx-1 0

sinx-1 2s inx+6cosx-7  0 s inx=1 2  

c x

Điều kiện : s inx0 *  Khi đó phương trình trở thành :

sin 5x 5sinx sin 5x sinx=4sinx 2cos3xsin2x-4sinx=0

cos2x=1

k x

sin8  8  10  10  b) 3sin2x2cos2 x2 22cos2x

c)

2

33sin2sin

x x

x

cos

1cos

5

 

21

2cos2x=-

2

k k

x

cos

1cos

2

cot x  x  x

b) 2cosx 2sin10x3 22cos28xsinx

c) sin2x2cos2x1sinx4cosx d) sin2x2tanx3

Giải

2tan22tan

2

cot x  x  x Đặt y2x   0 x log2 y * Phương trình trở thành :

2

log arctan -1+ 2arctan -1+ 2

arctan 1- 2 log arctan 1- 2arctan 1+ 2 log arctan 1+ 2

2 2 cos 28

4osx s inx

k

l x

sin 2x2 cos 2x 1 sinx4 cosxsin 2x2 1 2 sin  1 s inx-4cosx

d) sin2x2tanx3 Điều kiện : cosx0 *  Khi đó phương trình trở thành :

s inx-cosx s inx-cosx 0

osxosx

x c

Trên đây tạm trình bày 2 cách giải

- Trường hợp giải theo cách 1 :

Ta có nghiệm phương trình là : tan 1  

Vì : cos2x-sin2x=-5 vô nghiệm

* Chú ý : Ngoài 2 cách trên , ta còn quan niệm đây là phương trình đẳng cấp bậc cao đối

với sinx và cosx , cho nên ta chia 2 vế của phương trình cho 3

os 0

c x 2

2

1

1cot

)sin(cos22

cottan

a) ( 1 cos cos ) cos 2 1sin 4 sin 2 os2x

2

os2x=0os2x ( 1 cos cos ) sin 2 0

1 cos cos sin 2

Là một nghiệm của phương trình

- Trường hợp : 1 cos x cosx sin 2x

)sin(cos22

x Điều kiện : t anx+cot2x 0 *

1 2(cos sin ) osx.sin2x 2(cos sin ) s inx

s inx cos 2 cos s inxsin2x+cosxcos2x cos s inx

1cosx sin 2 s inx

 Vì sinx khác không cho nên

chia 2 vế phương trình cho sinx : 2 cos 2 osx= 2 2

2 21

8 2 os2x 1 sin 2 6 2 os2x 1 8 2 os2x-2 2 sin 2 os2x 6 2 os2x=1

Bài 13 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos3xsin3xsin2xsinxcosx b) 34cos2 xsin x(2sinx1)

c) 4 3sin xcosxcos2xsin8x d) tan2xcot22xcot3xtan2 xcot22xcot3x

anx-cot 31

tan cot 2 1 tanx 1 t anx+tan2x tan 3

tan cot 2 1 tanx 1 t anx-tan2x tan

4sin2sin43

Điều kiện : osx2 0 osx 0  *

34

32

Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*) Vậy nghiệm phương trình :

9343

x

4sin2sin4

 2

Bài 16 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos2x3cosx20 b) 3cos4x2cos23x1

c) 13cosxcos2xcos3x2sinxsin2x d) tanxtan2xsin3xcos2x

Giải

2osx=-1

2cosx=-

32

24

sin sin 2 s inxcos2x+sin2xcosx

os5x+cosx cos3x+cosx

x x

c c

x c

l c

cos

cos1

tan2  

2

32cos2sin

cos

cos1

c) tanxcotx2(sin2xcos2x) Điều kiện : s inx 0 *

2(sin 2 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 ) 1 sin 2 sin 2 os2x

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 18 Giải các phương trình lượng giác sau:

a)

8

9)4(sin)4(sin

sin4  4   4  

x x

sin1

sin4  4   4  

x x

x ( Bài này đã giải rồi )

22

sin 2 sin

22

Bài 19 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3cosx 1cosx 2 b) sinxcosx2sinx2cosx2

c)

16

18cos4cos2

cos

cosx x x x d) sin2 xsin23xcos22xcos24x

Giải

a) 3 cos x 1 cos x   2 2 2 3cosx 1 cosx 4 3cosx 1 cosx1

Vậy : cosx=1- 3cosx=+k2 kZ;cos =1- 3 

b) sin cosx x2sinx2cosx 2 sin cosx x2 sin xcosx2

d) 2 2 2 2 1 os2x 1 os6x 1 os4x 1 os8x

sin sin 3 cos 2 cos 4

   

2os5x=0

Bài 20 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin3x(cosx2sin3x)cos3x(1sin x2cos3x)0

24cos8cos

)sin1(3tan

)sin1(3tan

Bài 21 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2cos3xsin3x b) cos2x 3sin2x 3sin xcosx40

c) cos2xcos2 x 1tanx d) 3cot2x2 2sin2 x(23 2)cosx

2 2

Ta có :  2  2 1

2

2 3 2 2 3 2

3 22

2 3 2 8 2.3 3 2 2

2 3 2 2 3 2

22

x x

c) 2cos2xsin2 xcosxsin xcos2x2(sinxcosx)

Giải

cos

1cos222cos2

x x

x Điều kiện : cosx0 Phương trình :

16sin 8sin 1 0 4sinx+1 0

24

Bài 23 Giải các phương trình sau:

a) tanxsin2 x2sin2x3(cos2xsin xcosx) b) sin2x(cotxtan2x)4cos2 x

c) (1 cot2 cot ) 0

sin

2cos

1

x

e) cos3xcos2 x2sinx20 f)

2tan2cos

sin

os

c c

Khi đó phương trình trở thành : cos s in2 2

d) 6 6 3 2 3 1 os4x 5 3cos 4sin cos cos 4 1 sin 2 os4x cos4x=1-

    { Vì : Phương trình : sinx+cosx+5=0 vô nghiệm )

Bài 24 Giải các phương trình sau:

a) cos3x 2cos23x 2(1sin22x) b) sinxsin2xsin3x0

c) cotxtanxsinxcosx d) sin3xcos2x12sinxcos2x

 

2 2

2

1os6x=-1

sin2x=0sin 2 0

2

k x

c

c x

l x

Thay vào (2) nghiêm : 2 1  

x

cos

17cos8

3sincos

3cos x 3x x 3x 3 x

c) 9sinx6cosx3sin2xcos2x8 d) sin3xcos3xcos3 xsin3xsin34x

Giải

a)

x x

x

cos

17cos8

1

2cosx=

32

x k c

c c

k Z k

Bài 26 Giải các phương trình sau:

a) sinxsin2xsin3xsin4 xcosxcos2xcos3xcos4x

b) 2sin2xsin xcosxcos2 x1 c) 0

cossin

12cos2

x x

Giải

a) sinxsin2xsin3xsin4 xcosxcos2xcos3xcos4x

cosxs inxcos xsin xcos xsin xcos xsin x0

cos s inxcos sin 1 s inx cos cos sin  0 osx-sinx=0 

2

x x

x x

Điều kiện : s inxcosx>0 sin2x>0 0<2x< 0<x<  *

Bài 27 Giải các phương trình sau:

a) 2sin3xcos2xcosx0 b) 1cos3xsin3 xsin2x

c) 1cosxcos2xcos3x0 d) cosxcos2xcos3xcos4x0

e) cos2xsin3xcosx0 f) cosxsin x|cosxsin x|1

t=-11-t

sinx+cosx-sinxcosx=0 t- =0

2

c c

t t

Thu gọn 4 nghiệm trên ta được :  

2

k

   là nghiệm của phương trình

Bài 28 Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x5sinx b) sin3xcos3x2(sin5xcos5x)

c) sin2 xcos22xcos23x d) x cos3x

3cos

x=-6cos2y=

Bài 29 Giải các phương trình sau:

a) |sin xcosx||sin xcosx|2 b) 2sinxcotx2sin2x1

c) x x cos 2x

8

13sin

cos6  6  2 d) 13tanx2sin2x

Giải

a) |sinxcosx||sinxcosx|2 Bình phương 2 vế :ta được

x

t

t t t

1 3 4 sin osx cosx+3sinx=4sinxcos

Bài 30 Giải các phương trình sau:

a) sin3xcosxcos2x(tan2 xtan2x) b) 9sin2x 9cos2x 10

c) 4cos3x3 2sin2x8cosx d) x cosx

21

2





3sin x  x

c) 4cos3x3 2sin2x8cosx

Nhận xét : cosx=0 là nghiệm của phương trình do đó pt có nghiệm :

2

x  k

Khi cosx0 Ta chia 2 vé phương trình cho 3

cos x0, ta được phương trình :