Hướng dẫn học sinh giải các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng cách nhận dạng và đề ra phương pháp giải điển hình

Các bài tập về nguyên hàm và tích phân rất phong phú vàcông cụ để giải chúng rất đa dạng.. Thông qua giải các bài toán về nguyên hàm vàtích phân, học sinh sẽ hiểu được sâu sắc hơn về diệ

I Các dạng toán cơ bản dùng định nghĩa, công thức để tìm nguyên hàm và

tích phân

4

III Phương pháp lấy tích phân từng phần, nguyên hàm từng phần 7

VI Tích phân các hàm số lượng giác, hàm số chứa căn thức 13

PHẦN I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Nguyên hàm và tích phân là một trong những phần rất quan trọng củachương trình toán ở trường phổ thông Nó có mặt trong tất cả các đề thi từ kỳ thiTHPT Quốc gia đến các kỳ thi học sinh giỏi các cấp Vì thế nguyên hàm và tíchphân là một chuyên đề được nhiều người rất quan tâm Làm thế nào để dạy phầnnguyên hàm và tích phân một cách hiệu quả là vấn đề mà nhiều giáo viên dạy toánrất trăn trở suy nghĩ Các bài tập về nguyên hàm và tích phân rất phong phú vàcông cụ để giải chúng rất đa dạng Thông qua giải các bài toán về nguyên hàm vàtích phân, học sinh sẽ hiểu được sâu sắc hơn về diện tích, thể tích các hình, cáckiến thức vật lí, hóa học, sinh học có liên quan; các kỹ năng được rèn luyện, tư duy

và khả năng sáng tạo được phát huy, bởi vì các phương pháp giải toán nguyên hàm

và tích phân không theo một khuôn mẫu nào cả Có thể nói nguyên hàm và tíchphân là một công cụ sắc bén của toán học

Để giải bài toán về nguyên hàm và tích phân có thể xuất phát từ nhiều kiếnthức khác nhau, bằng nhiều hướng đi khác nhau Vì vậy, nếu không phân tích đượcđầy đủ và chi tiết các dữ kiện và điều kiện của bài toán, nếu khả năng tổng hợpkém, khả năng khái quát hóa, đặc biệt hóa không được rèn luyện thì việc địnhhướng và tìm lời giải cho bài toán nguyên hàm và tích phân sẽ rất khó khăn

Trên quan điểm hoạt động, trong đề tài này tôi muốn nghiên cứu, hướng dẫnhọc sinh giải các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng cách nhận dạng và đề raphương pháp giải điển hình

Tuy nhiên các phương pháp trên không phải thích hợp cho mọi bài toán vềnguyên hàm và tích phân Tuy vậy số lượng bài tập có thể áp dụng các phươngpháp này không phải là ít Các ví dụ minh họa trong đề tài này chứng tỏ điều đó

Với tất cả những lý do trên tôi chọn đề tài: Hướng dẫn học sinh giải các

bài toán nguyên hàm và tích phân bằng cách nhận dạng và đề ra phương pháp giải điển hình

2 Mục đích:

- Rèn luyện kỹ năng tính toán, phân tích, tổng hợp

- Rèn luyện tư duy logic, khả năng sáng tạo, tính cẩn thận chính xác, tính kỷluật cho học sinh

- Ôn tập các kiến thức về nguyên hàm và tích phân

3 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu lý thuyết và thực tiễn giảng dạy phần nguyên hàm và tích phântrong chương trình toán phổ thông.

- Nghiên cứu thực trạng dạy học và giải bài tập phần nguyên hàm và tích phân

4 Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh ôn thi THPT Quốc gia và xết tuyển đại học, cao đẳng trườngTHPT Lê Lợi

PHẦN II NỘI DUNG

cosdx = sinx + c sin xdx = - cosx + c

(1 + tg2x)dx =  cos12x dx = tgx + c ;(1 + cotg2x) =-cotg2x + c

x1

1



ax = arcsinx + c  2

x1

1



đx = arctgx + c

II TÍCH PHÂN:

2.1 Định nghĩa: Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì tích

phân của f(x) trên [a,b] được xác định bởi

2 ln(x x k ) k

2 cotgxdx = lnsinx+ c

3 cos(ax + b)dx =

a

1sin(ax + b) + c

4 tg(ax + b)dx =

-a

1lncos (ax + b)+ c

2.5 Hàm căn thức:

x 1

dx

 = arcsinx + c

2  2 2

x a

axa2

xdxxa

2 2 2 2

xdxa

2 2

2 2

ndx

nx

dx2

1x

1xln2

11x

1a

)x(

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

I CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN DÙNG ĐỊNH NGHĨA - CÔNG THỨC ĐỂ TÌM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN.

1



 0cos2xd2x

=

2x

2sin4

1x

2

1

0 0

0

4 /

0

4 /

0

2 2

dxdx

)xtg1(xdx

6 /

4 /

6 /

2 2

4 4

dx)11xgcotxgcotxg(cotxdx

gcot

6 /

4 /

6 /

4 /

6 /

2 2

2

dxdx

)xgcot1(dx)xgcot1(g[cot

/4 π/4

/6 π/4

/4 π/4

/6 π/4

/4 π/4

/6 π/4

2

dxd(cotgx)

xd(cotgx)cotg

=

123

2cot

cot3

6 /

4 / 6 /

4 / 6 /

1 0

1

0 ln2)

2xln(

2x

)2x(d2xdx

Các bài tập đề nghị:

I = 

 4 / 0

3xdx





4 /

4 /

6xdxgcot

I = (2x.32x.53x)dx I = ) dx

x

1 x x

1 (x

1(x

3

4 2

II PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:

Đổi cận (nếu là tích phân xác định)

L2 Đặt x = (t) với t là biến số mới

2.2 Các ví dụ minh hoạ:

1 dt

t 4

eÏ x

 Đặt ex + 1 = t  dt = ex dxVậy I =  dtt = ln t+ c = ln ex + 1 + c

1 0

e

2x x

x x

x

t1

dtdx

1e

edx

e

1ee

= lnt + 2

t

1  

2 1

1 e e ln(

2 e

0

3dxcosx

xsin

Đặt cosx = t  dt = - sinxdx

x = 0  t = 1 ; x =/3  t =1/2

1/2 1

1/2 1

2

t)dtt

1(t

).att(1

3)2

10()2

1ln8

1(2 / 1

1      Loại 2:

2 /



0

/2 π/4

2 cost sinz

sintdtz

cos1cost

sintdr

=  

/2 π/4

0sinz costsinzdt

/2 π/4

0sint cost

costdt

Khi đó I + J =  

/2 π/4

π/4 dt

costd(sint

dtcostsint

costsint

= - lnsint + cost 0 /2 0  I = J

Vậy I = /4

1 0

2dxx

1 Đặt x = sint dx = costdr với t = /2 thì x = 0 ; t = 0 thì x = 1

0

/2 π/4

/2 π/4 0 2 0

/2 π/4

2

tdtcoscostdt

costcostdt

tsin1

dx x

3 4  2 do f(x) = 3 4 x 2 không liên tục trên [0,3]

Nên không đổi biến x = 2 sint để tính được Do đó trước khi đổi biến nênchú chú ý liên tục của hàm số Hoặc với hàm số f(x) = sin22x + 1 do t=tgx thì t k'

ct trên t 0, /2J, nên không tính được

3.1 Nguyên hàm: u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên I thì.

u(x), v'(x) dx = u(x) v(x) - v(x) u'(x)dx

1) Đối với dạng p(x).eaxdx; p(x) sin axdx trong đó p(x) là một đa thức

thì nên chọn u(x) = p(x) Riêng p(x) lnxdx thì chọn u(x) = ln(x).

2) Nếu phải lấy từng phần nhiều lần thì phải giữ nguyên hàm đã chọn là u(x)hay v(x)

dxx

x dx

x x x

x ln 2 1 2 ln 2 1 1

4 4 1 4

3

13

1x e x e3x.2xdx =

31

e3 - I1

uxx

v

3 3

1 1

3

1)()

(

'

1)

(

1 3 1

3

3

1

3

1

c

x c

x x e dxe

0 3 3

9

19

23

1 IVËy9

29

13

19

1

3

1

ee

ee

ex

4 / 0

2sin2

1cos

0

2cos2

1)

2cos2

1(2

1

xdxx

x

=

8

1)2

sin4

10(2

cos

2 x

xdx

đặt u(x) = 2x u' = 2

v'(x) =

x2cos

0

4 /

0

4 / 0

cos

xxdx

2 / 0

4 / 0cosln22cos

cos2

2cos

sin

x

xddx

xx

2)02

2(ln2

 I = e sin1 - 1 + e cos1 - I  I =

2

1)1cos1(sine2

2

txÆt

§

dxx

2 / 0

2 /

0 2 costdt 2sint 2Bài tập đề nghị:

I1 = e dx

4

4 / 1

x ln x

3 /

dxxcos1

xsinx

+) Lấy tích phân nhiều lần từng phần

2dxx

xln

3dxx

xln

I = x2ex sinx dx.

5 5

5

xcosxsin

xdxsin





2 / 0

5 5

5

dxxcosxsin

xcos

0

2 /

5 5

5 0

2

5

tcostsin

tdtcos

t2cost2sin

dtt2sin

0

5 5

5

Jxcosxsin

xdxcos

 2 / 0cos2xdx

+) Tính I = 

 0(xsinx)2 & J = 

 0(xcosx)2dx

V TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ

1)0a(baxdx

2

a 4 a

2

b x

dx a

1

a 4 a 2

b x

dx a

1

a2

bx.a4arctga

4a

D

xx(

dxa

1

0

2 0

x

1)

xx(a

1)

xx)(

xx(

dxa

1

2 1

2 1 2

1

)xx(

)xx(ln)xx(a

1

2

1 2

0

1

0

2 2

4

32

1x

dx1

xxdx

arectg3

22

1x3

2arectg3

0

=

336

33

0 2

)1x(

dx1

x2xdx

=

2

112

1)

1x(

1)

1x(d)1x

0 1

1dx

1x

1)

2x)(

1x(

dx2

x3x

1x

xx2

xdx2

Ta có:

)1x2)(

1x(

BAx)BA2(1x2

B1

x

A)

1x2)(

1x(

1 A 0

B A

1 B A 2

11x

)1x(d1

x2

dx1

xdx

0

3

2x

dx3dx)2x2x(dx2

x

1x2x

4

32

xln3x

2xx3

0

1 0 2

3



7 I7=

1xx

DBx1x

A1x

1cãTa1x

dx

2 3

1

0 3

D A x ) D B A ( x ) B A (

3 2

3 / 1 B

3 / 1 A

1 D A

0 D B A

0 B A

1xx

2x3

11x

dx3

0 2 1

Đối với dạng R(sinx, cosx)dx trong đó R là hàm hữu tỉ

ĐB: Có thể dùng phép thế cosx = t nếu R lẻ đối với sinx &sinx = t

Nếu k là d với cosx, tgx = t nếu k chẵn với sinx &cosx

đối với I1 dùng phép thế: x = asint hoặc x =acost

I2 dùng phép thế: x = atgt hoặc x = acotgt

I3 dùng tích phân từng phần

Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: I =  4 sin x  dx 3 cos x  5

2

t1

dt2dx

;t1

t1tcos

;z1

t2

1 )

2 t (

dt

5 t 1

t 1 3 t 1

t 2 4

t 1

dr 2

xtg

xsinx

dt2

3dt2

1dt1t2

2t1

t2

)dr)(

t2(

2 2

2 2

2

12t

12ln22

32

t1)2t

)2t(d22

32

1x

tg1

1x

cos

;t1

12

)1t(

)1t(d1

t2t

dt

2 2

tgx

21

tgxln22

Vậy I4= t C

9

1 t 7

2 t 5

1 dt ) t 1 (

2xsin5

1dx)x4cos1

(8

1xdxcosx

)x(cosxdx

cos

3 3

2 6

6

1x7cos14

I1= 35sindxx3cosx I2= 1dxsinx

I3= sin2xcos4sinxdxxcosx

2xsin2 2

Phép thế lượng giác với hàm số vô tỉ

2 2

Vậy I1= 4 4cos t.

0

2 /

2

dt)t2cos1(2dtsin4

tsin

2 /

0 cost sint

dttcos

Khi đó I2 + J2 =

2



0

2 / 0

tsintcoslndttsintcos

tsint

2 2

3 /

4 /

3 2

2 2

3 /

4 /

2 2

tcos.sin

tdtcost

cos.sin

tdtcosdt

)ttg1(ttg

ttg1

Đặt sin t = u  du = costdt ; x = /2

2 3

2 2

2 2

) u 1 ( u dx

Vậy I3 = dx

u 1

1 u

1

1 u

2 2

1 2

3

2 2 2

22.23

23ln2

13

22u

1

u1ln2

1u

3

2 2+ Với hàm 2 2

3

1

2 2

3 2 2

)1x(V'

V1xx

1 3 2 2

xdx2.)1x()

1x(x31

1 3 2

)1x(d)1x()

1x(x31

2

5)

1x(x3

3 3

1

2 3

1 3 2

x'

u1xuÆt

§dx1x

2 2

2 1

1

2

I 3 2 dx 1 x

x 1

2

1 2

2 1

2 2

2

1x

dx1

x1

xx

1dx1x

x

dxx

2

2 2

3

Đặt

2x

xdxxdx

2.2x2

1dt

t2x

2 2

 

3

2dtdt3.t312

1du

ut3

0

2

du)uu(9

2udu3

2.3

1u.u

2 2

3 2 5

2

4xx

xdx4

xxdx

4x

xdt

t4

4 6 t

4 t 3

1 dt ) 4 t

3 2

3 2

1x1

x2 1

t1

1t2dt)1t(2dtt1

)1t(t

0

2 1

0 2 1

1 0

1 0 3

t1

dt2dt)1t(2t

23

t.2

3

111

tln4t2

t2t23

t

2 3

)1xx(x21xx

xdx2

2 2

2 2

   



 = 2x2dx 2x x2  1dx

= 3 2

Ix3

2



3 2 2

2 1 2

C)1x(3

2)1x(d)1x

x1 1 x

4



  Đặt x = - t  dx = - dt Với x = - 1 thì t = 1 ; x = 1 thì t = -1

21

2.xdt

21

t22

1

t

4 t 1

5

1dxxdx21

2.x21

1 1

1

5 1

1

4 x

x 4

Ví dụ 3: I4 = dx

x

x x





0

2cos1

x(cosarctg2

Itcos1

)t(cosdt

cos1

tdtsin)t

0 2

có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học thì có thể nâng cao chất lượng dạy toán học

Trong đề tài này, tôi đã trình bày một số ý kiến về vấn đề Hướng dẫn học

sinh giải các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng cách nhận dạng và đề ra phương pháp giải điển hình

Những kết quả nghiên cứu của đề tài cho phép tôi tin rằng bồi dưỡng chohọc sinh khả năng phân tích, tổng hợp, ứng dụng lý thuyết vào các bài toán thựctiễn, giáo viên đã góp phần thực hiện các mục đích yêu cầu của việc dạy học theohướng phát triển năng lực cá nhân, đặc biệt phát triển năng lực trí tuệ của học sinh,rèn luyện cho học sinh sự linh hoạt và khả năng sáng tạo

Song đề tài cũng không thể tránh khỏi những thiếu xót, tôi rất mong được sựgóp ý chân thành từ các đồng nghiệp Tôi xin cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018

Tôi cam đoan đây là SKKN của mìnhviết, không sao chép nội dung của

người khác

Người viết

Đỗ Thị Hồng Hạnh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12 - Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn - Nhà

xuất bản Giáo dục;

[2] Bài tập Đại số và Giải tích 12 - Tác giả: Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo - Nhà xuất

[7] Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo dục;

[8] Đề thi tuyển sinh môn Toán Tác giả: Phan Đức Chính, Đăng Khải

-Nhà xuất bản Giáo dục;

[9] Các đề thi đại học các năm trước;

[10] Các đề thi thử đại học các năm trước;

[11] Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10, 11, 12 của các tỉnh những năm trước

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH NHẬN DẠNG VÀ ĐỀ RA PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐIỂN HÌNH

Người thực hiện: Đỗ Thị Hồng Hạnh Chức vụ: Hiệu trưởng

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ- NĂM 2018.