++ Nếu cùng tính chẵn, lẻ , cùng chẵn hoặc , cùng lẻ thì ta có hai trường hợp: Cách 1: Dùng các công thức lượng giác để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về dạng cơ bản có trong
Trang 1DẠNG 9 : (9*)
CÁCH GIẢI CHUNG
CHÚ THÍCH:
Cụ thể:
chẵn
,
9 sinm .cosn
9 sinm cosn
cos x
,
2
sin k x
sin
2
cos k x
cos
10 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP ( Phần 05)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng 10 dạng tích phân thường gặp (Phần 05) thuộc khóa học
Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) tại website Hocmai.vn Để có thể nắm vững
kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
Trang 2++) Nếu cùng tính chẵn, lẻ ( , cùng chẵn hoặc , cùng lẻ) thì ta có hai trường hợp:
Cách 1: Dùng các công thức lượng giác để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về dạng cơ
bản
có trong bảng nguyên hàm và thường hay sử dụng công thức hạ bậc
)
CHÚ Ý:
+) Dạng và là một phần mở rộng của dạng
cũng có thể áp dụng tương tự
+) Các bạn xem thêm DẠNG 7 cho đầy đủ các trường hợp
+) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân đơn giản, các bạn có thể bỏ qua bước đổi biến bằng kĩ thuật vi
phân
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
1)
2
1
0
sin 2 cos
2)
2 2 0
(2sin 3) cos 2sin 1
x
3)
2
3 0
sin cos
Giải
1)
1
sin 2 cos 8 sin cos
,
,
m n
mn sin cos 1 sin 2
2
m
,
m n
sin
9.2
I
9.1
9.1
3; 7
m n
t x dt xdx : 0
2
x
Trang 3+) Vậy 1 1
5
I
2)
2
2
0
(2sin 3) cos 2sin 1
x
+) Vậy I2 1 2ln 3
3)
2
3
0
sin cos
315
I
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
1)
2 2
1
0
1 2sin
1 sin 2
x
x
(B – 2003) 2)
2 2 0
sin 2 cos
1 cos
x x
x
(B – 2005) 3)
0
2
sin 2 (2 sin )
x
x
Giải
1)
2 2
1
0
1 2sin
1 sin 2
x
x
Biến đổi ta được :
2
1
1 2sin cos 2
1 sin 2 1 sin 2
t x dt xdx x 0 t 0 1
2
x t
t x dt xdx xdx dt x 0 t 1 0
2
x t
sin 2
t x 2 cos 2 cos 2
2
dt
4
x
Trang 42
2
0
sin 2 cos
1 cos
x x
x
Biến đổi ta được :
2
2
sin 2 cos cos
2 sin
1 cos 1 cos
3)
.cos
Vậy I3 2 ln 2 2
CÁCH GIẢI CHUNG
CHÚ THÍCH:
t x dt xdx : 0
2
x
t x dt xdx : 0
2
t: 21
2
x
Trang 5giữa và và một biểu thức chứa hiệu (hoặc tổng) và tích giữa và hay tích phân
có dạng
Khi đó ta sẽ giải bài toán bài toán bằng cách đổi biến
và tích phân về dạng tích phân cơ bản
Dưới dấu tích phân thường chúng ta chưa nhìn thấy luôn cấu trúc của dạng 10 này Vì vậy các bạn
cần nắm rõ các công thức lượng giác cơ bản để biến đổi chúng về dạng trên
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 Tính tích phân sau:
4
0
sin
4 sin 2 2(1 sin cos )
x
Giải
Ví dụ 2 Tính các tích phân sau: 1) 2)
Giải
1)
+) Vậy
2) Ta có:
2
4
: 0 4
x
4 1 0
3cos 2 sin 4
2 sin cos
4
sin 4 (1 sin )(1 cos )
x
4
1
0
3cos 2 sin 4
2 sin cos
(3 2sin 2 ) cos 2 (3 2sin 2 )(cos sin )(cos sin )
2
t:1 2
2 1
1
2
13 2 5
6 ln(2 2) 3
1
13 2 5
6 ln 2 2 3
2
Trang 6+) Đặt ; Đổi cận và
+) Khi đó
+) Vậy
2
(cos sin )
sin cos
2
x x
x 0 t 1
2
1
1
2
t
t dt
t
2
0
( 2 1)
2 1
d t t
t t
2 6 8ln 2
I
Giáo viên : Nguyễn Thanh Tùng
Nguồn : Hocmai.vn
Trang 75 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN
Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực
Học mọi lúc, mọi nơi
Tiết kiệm thời gian đi lại
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm
4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN
Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học
CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN
Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12) Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia
Là các khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện bài
bản
Là các khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ năng trước kì thi THPT quốc gia cho các học sinh đã trải qua quá trình ôn luyện tổng
thể
Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa trên học lực tại thời điểm trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng