Ta phân tích 4 Phân tích và hướng giải: Ta nhận thấy biểu thức dưới dấu tích phân 7*2 nếu đảm bảo các biểu thức dưới dấu tích phân có nghĩa trên miền cần.. chọn phù hợp trong bài to
Trang 1Bài 1 Tính các tích phân sau : 1) 2)
Giải :
+) Ta có:
+) Khi đó
+) Vậy
Bài 2 Tính các tích phân sau:
2 4
1
3 6
cos
4
x
0
x
2 4
1
3 6
cos
4
x
3
4
2
cot
sin
dx
x
6
1 4
1
3 2
1
3 1
t
1
3 1
2
2
tan
cos
dx
x
4
1 2
0
2
t
5
7 ln 2 6 ln 3
10 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP ( Phần 04)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng 10 dạng tích phân thường gặp (Phần 04) thuộc khóa học
Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) tại website Hocmai.vn Để có thể nắm vững
kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này
Trang 21) 2) 3)
4) 5) 6)
Giải :
Cách trình bày 1:
+) Ta có :
+) Khi đó
+) Vậy
Cách trình bày 2:
Khi đó
3)
6 1
0 cos sin cos
dx I
4
1 2sin 2 2 cos
dx I
3
0
sin
x
2 4
0
sin cos
x
x
4
sin
xdx I
4
sin cos
dx I
6
1
dx I
6 1
dx I
0cos (tan 1)
dx
2
tan
cos
dx
x
3
3
0
dt
t
1
ln 3
6
I
2
tan
cos
dx
x
4
0
3
cos
x
3
1 tan
3
dt
t x
3
Trang 3+) Khi đó
4)
5)
( Ngoài ra các bạn có thể tính theo Cách 2 như sau :
6)
+) Khi đó
Nhận xét:
+) Ba ý do biểu thức dưới dấu tích phân đơn giản, nên ta đã sử dụng kĩ thuật vi phân
+) Ở tích phân nếu đổi lại đề (đổi lại cận) thì cách làm đầu tiên bằng việc biến
4
t
I
2 2
3 8
5
I
3
2 2
2 sin
4 4
I
x
4
:
:
2
sin
cot
2 2
t
8
2
I
2
tan
cos
dx
x
3
6
2
2
3, 4, 5
I I I
5
I
4
0
sin
xdx I
I
Trang 4đổi theo như sau
Song Cách 2 vẫn phát huy tác dụng Ngoài ra ta còn cách giải khác (sẽ được nói kĩ hơn ở các lớp tích
phân đặc biệt)
Bài 3 Tính các tích phân sau:
Giải
1)
+) Khi đó:
+) Vậy
2)
+) Khi đó:
+) Vậy
3)
cos x
I
2
0
sin
xdx I
3 4
0
sin
x
4
tan cos 1 2 cos
x
6
sin
x
2
0sin 3cos
dx I
0
sin
x
0
tan
1 cos
x
x
3 4
0
sin
x
0
tan
x
dx
2
2 tan
4
2
2 4
1
1 8
2
1
cos
x
2
tan
cos
t
t
6
tdt
t
3
x
Trang 5
Ta phân tích
4)
Phân tích và hướng giải:
Ta nhận thấy biểu thức dưới dấu tích phân
(7*2) nếu đảm bảo các biểu thức dưới dấu tích phân có nghĩa trên miền cần Song một “trở ngại”
không chuyển được về dạng (7*1) hoặc (7*2) nếu để nguyên miền cận Chỉ cần miền cận
không có ta sẽ chuyển được về dạng (7*2) và miền cận không có ta sẽ đưa được về dạng (7*1)
Điều đó khiến ta nghĩ tới việc tách cận để “khắc phục” những điều nói trên Vì vậy ta có lời giải sau:
Giải :
+) Tính
2
cot
sin
dx
x
3
dt I
2
2
6
3
3 3
3
2
0sin 3cos
dx I
sin x 3cos x cos x.(tan x 3)sin x.(1 3cot x)
2
(tan ) cos
dx x
(cot ) sin
dx x
;
0
x
2
x
4
2
0
2
4
I
0
4
A B
4
dx A
2
tan
cos
dx
x
2
1 2
dt A
t
Trang 6Đặt với
Suy ra
+) Tính
Suy ra
Vậy
5)
Khi đó
Vậy
3 tan
2 2
2 2
3
cos
u
6
2
2
u
u
2
4
dx B
2
cot
sin
dx
x
4
0 2
2
01 3
dt B
t
1 tan 3
2 2
u
2 2
cos
du
u
3
2
2
3
u
u
4
2
2
tan
cos
dx
x
4
2
t
1 2
0
t
t
5
5
4 ln 2 2
2
2
1
cos
x
x
Trang 7Đặt ; Đổi biến và
Khi đó
Giải
Phân tích và hướng giải: Tích phân này có dạng
(7*2) Trong lời giải của bài toán này ta chọn cách đưa về dạng (7*1)
Giải:
+) Biến đổi
+) Đặt
+) Khi đó
Bài 5 Tính tích phân sau:
Giải :
2
2 tan
4
3
3
4
sin cos
dx I
3
.cot sin
x
3
4
sin cos
dx I
2
sin cos
m n
dx I
2
(tan ) cos
x
(tan ) cos
x
8 4
1 cos
.cos cos
I
x
x x
8
4
4 4
3 3 2
3
.cot sin
x
3 3
3
cot
1
2
1
.( )
1 2 5
0
x
Trang 8+) Đặt ; Đổi cận và
+) Khi đó
Vậy
Bài 6 Tính tích phân sau: 1) (B – 2003)
2) (B – 2005) 3) (A – 2010)
Giải
1) (B – 2003)
Ta có :
Khi đó:
Bài 7 Tính các tích phân sau:
5
x
x e
1
e t
2 4
1 0
1 2sin
1 sin 2
x
x
2 2 0
sin 2 cos
1 cos
x
0
2
1 2
x
e
2 4
1
0
1 2sin
1 sin 2
x
x
4 1
0
cos 2
1 sin 2
x
x
2
dt
4
2 1
1
2 1
ln
dt
t
ln 2 2
2
2
0
sin 2 cos
1 cos
x
2 2 2
0
2
1 cos
x
2
2
2
1 2
3
0
2
1 2
x
e
1
2 3
1
01 2
x x
e dx I
e
2
1 2
1 2
3 3
e e
t
e
Trang 91) 2)
3) 4)
5)
6)
7) 8)
9) 10)
11)
12) 13) 14)
15) 16)
Giải 1) +) Vì nên
+) Vậy 2)
Vậy
CHÚ Ý: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân đơn giản, các bạn có thể bỏ qua bước đổi biến bằng kĩ thuật
vi
1 1
ln( )
1 2 ln
e
ex
2 1
3
1
e
dx
1
e
dx
2 2 2
5 0
6
1
ln
e
1
e
2 3
9 4
0
1
x
xe
0
x
1
1 2
x
x
2
3
4 14 1
0
x
x e
2
1
1 ln
e
1
1
ln( )
1 2 ln
e
ex
(1 2 ln ) ' x x 2lnx 2 2(1 ln ) x 2ln(ex)
1
1
e
1
1 ln(1 2 ) 2
3 2
4 3
e
2 2
ln
Trang 10phân Ở ta đã sử dụng :
3)
5)
+) Tính
+) Tính
6)
7)
2
3
1
e
dx
2
e
4
1
e
dx
2 2
5
2
0
2 0
2
6
6
1 ln
1 ln
x
Trang 11+) Tính Đặt , Suy ra
+) Tính
+) Khi đó
+) Tính
+) Tính
Vậy
10)
+) Tính
Đặt
1
ln
e
1
e
Ax x dx e x
1
1 1
e
2
1
e
x
2
t
t t
2
2
2 tan
3
3 4 4
12
2 3
4
9
ln
10
x
1 0
Trang 12Khi đó
+) Tính
Vậy
11)
+) Khi đó
Vậy
12)
13)
Vậy
14)
Vậy
Ta có:
1
0
1
1 1
1
1
d x
2
x
x e
1
e t
2
2 1
2 2
x x
x
d e e
e x
x
2 12
ln
e I
e
2
3
cos
cos
1
x
x
x
13
3
3 2
I
14
x
1
2 ln 2
x
dx
14
4 ln
2 ln 2
0
x
x e
x
Trang 13
Vậy
16)
+) Thay (1) và (2) vào (*) ta được:
Bài 8 Tính các tích phân sau:
1)
2) Giải :
(*)
+) Tính
Thay (1), (2) vào (*) ta được:
1
0
1
e
2
1
1 ln
e
2
2
1
2
2
e
x
2
1
e
16
1 2
3 1 0
1 2 cos
x
0
1 sin sin 3
1
sin
3
0
sin
3
0
3
2
dt
3
3 2
1
3
2
0
1 sin sin 3
Trang 14Khi đó (*)
+) Tính
Đặt
+) Tính
(2)
Thay (1) và (2) vào (*) ta được:
Bài 9 Tính các tích phân sau:
1)
4)
Giải
1)
2)
2
2
6 2
0 cos
x
x
cos
dx
dv
x
3 3
0
2
2
2
sin cos
.cos cos
x
x x
2 3
3 2 2
0 0
1 5 tan
x x
2
4
5 3
ln 2
2
1
0
cos
0
2 cos
1
ln
e
1
ln
e
1
1 ln ln
e
x
2
x x
1
0
2
x
2
1 ln
2
Trang 15
3)
4)
5)
Suy ra
6)
Phân tích bài toán:
Dễ dàng nhận thấy cấu trúc dưới mẫu số thuộc dạng 8 nên việc đầu tiên chúng ta sẽ biến đổi:
dạng trên? Câu trả lời thường là chia cả tử và mẫu cho một đại lượng thích hợp Lúc này có 3 sự lựa
chọn: Chia cho ; Chia cho hay chia cho ? Và việc nháp sau đó sẽ giúp ta biết được lựa
2
0
2 cos
dx
1 2sin
2 cos
x
2 cos
0
2
x
2
2 ln
1
2
1
1
e
x
x
2
ln
1
ln
e
ln 1
ln
1
x
t
t x
e
5
5
6
2
x x
1
2
x
( ( )) '( ) ( )
g x
x
Trang 16chọn phù hợp trong bài toán này là vì
Giải:
Ta có :
+) Tính
+) Tính
Vậy
Nhận xét: Ở , và sau khi tách thành hai tích phân ta không có được tích phân dạng
khi đó ta nghĩ tới việc chia cả tử và mẫu cho một lượng thích hợp để đưa về dạng trên
1
( )
x
x x
g x
6
5
5 2 2
3
Adxx
1 1 '
2
x
x x
2 2
2
1
1 1
x
x x
e
5
3 2 ln
1
e I
e
3, 4
( ( )) '( )
( )
g x
Giáo viên : Nguyễn Thanh Tùng
Nguồn : Hocmai.vn
Trang 175 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN
Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực
Học mọi lúc, mọi nơi
Tiết kiệm thời gian đi lại
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm
4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN
Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học
CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN
Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12) Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia
Là các khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện bài
bản
Là các khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ năng trước kì thi THPT quốc gia cho các học sinh đã trải qua quá trình ôn luyện tổng
thể
Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa trên học lực tại thời điểm trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng