10 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP PHẦN 1

Bài 1 Tính các tích phân sau:

1)

2011)

9)

10)

Gi i:

1)

(B – 2013)

+) Khi đó

+) V y

2)

+) V y

1

2 1

0

2

4

0

x dx x



4

0

x

dx x



 



4

2 4

3 1

1 1

dx

2

dx

5

31 2

1 2

xdx x

 

7

3 4

x dx x

1

dx I





1 2

1

x

x





xdx I





1

2 1

0

2

I x x dx

t x   t x  tdt   xdxxdx tdt x: 01 t: 2 1

2

2 1

1

3

t

I  t tdt t dt  2 2 13

1

2 2 1 3

2

I  4

0

x dx x





2

2

3 1

1

3

4

0

x

dx x



 



2

2





 

3 3

1

3

3

1

t

t



ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng 10 d ng tích phân th ng g p (Ph n 01) thu c khóa h c

Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng

ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

+) V y

4)

(*)

+) Tính

(2)

Thay (1); (2) vào (*) ta đ c:

+) Khi đó

+) V y

6)

+) V y

10 ln

3

10 ln

x x

2

1

2

1

dx B

2

x

x





2

2

2

1





 

2

1

0

4

I  97 4 ln 2

24

5

I  2 3

2

dx



2 2

4





 

1 [( 2) ( 2)]

I

  

4

3

4

ln

3

t dt



ln

5

ln

I 

6

5

31

2

1 2

xdx x

 

5

1 2

5

5

5

2

1 2

1 2

t x





 



31

2

x   t: 21

5

4

2

3 8 6

t

t dt

t t

t

144



6

9545 144

I  

+) V y

8)

V y

Nh n xét: Trong bài toán trên đ ng th i xu t hi n c n b c 2 và c n b c 3 nên chúng ta đã tìm cách đ i

)

Nh v y khi g p

9)

+) t

+) V y

10)

Khi đó ta ngh t i vi c nhân liên h p C th ta có l i gi i:

7

3 4

x dx x



4

7

2

1

7

ln

I  

64

1

dx I







6

5 6

6

;

dx t dt

x t

 



   

2

3

3 6 ln

2

I  

6

xt

6BCNN(2;3)

b

a

3

1 1

x



1

2

3

2

ln 1

1

t







2 1

1

ln



9

2 1 1

ln

I





2

xdx I





(1)

Tính

(2) .T (1) và (2)

Chú ý: Do v i nên ta có th nhân c t và m u c a bi u th c tích phân trên

phép bi n đ i nh th Các b n có th tham kh o tr ng h p này qua tích phân trong Bài 7

Bài 2 Tính các tích phân sau:

1)

(A – 2006) 2)

3)

4)

Gi i:

1)

+) t

+) V y

2)

+) t

2

1

xdx

3 2

1

2 2 1

1

t  x   t x  tdtxdx x:12 t: 0 3

2

3

3 0

t

I t tdt t dt

3

2

2

1

5

I

2

0

sin 2 cos 4sin

x







0

sin 2 1 sin

8 sin

x











3

0



0

1 cos xsin cosx xdx







2

0

sin 2 cos 4sin

x









3 xdx tdt

: 0 2

:1 2

1

2

1

tdt

t

1

2 3

I 

2

2

0

sin 2 1 sin

8 sin

x











2

2

x   t

+) Khi đó

+) Tính

(1)

+) Tính

(2) Thay (1), (2) vào (*) ta đ c:

(Các b n có th trình bày :

)

4)

+) t

+) V y

Bài 3 Tính các tích phân sau:

Gi i:

2

2



1

2



2

100 48ln 2 3

3

0

sinx 1 cosx sinxdx



sin xdx 1 cos sinx xdx A B

2

sin

2

0

1 cos sin



2

2

2

t

4 2 2

2 3

1 cos 2

2

x



3

(1 cos )

x



4 2 2

4

0

1 cos xsin cosx xdx









 



: 0

2

x  t: 01

2

4

1

0

7 13

t t



4

12 91

I 

4

0

sin 4 sin cos

x







3

1

3 2 ln

1 2 ln

e

x dx





3 1 1

e e

x









1)

+) Ta có

+) t

+) Khi đó

+) V y

2)

+) V y

3)

+) Khi đó

+) V y

4

0

sin 4 sin cos

x









2

2 3

4

x

3

4

x  t

2

1

1

t

1

2 3

I 

2

3

1

3 2 ln

1 2 ln

e

x dx







2

2

dx tdt

x t





3

:1

2 2

2

3 ( 1)

1 3

t

2

5 3

I 

2 3

3 1

1

e

e

x









1

x

x





3

2

3 1 1

e

e







1

2

2 1 1



3

2 1 1

I



Bài 4 Tính các tích phân sau: 1)

ln 5 1

ln 3

1 1

x x

e

e







2)

Gi i:

1)

ln 5

1

ln 3

1 1

x x

e

e









2

2)

+) V y

Bài 5 Tính các tích phân sau:

4)

5)

Gi i:

1)

Cách trình bày 1:

ln 3 2

x

e dx I





2

t e   t e   tdte dx

3

t

ln 3

2

x

e dx I





2

t e   t e   tdt e dx x: 0ln 3 t: 22

2

2

2

I

3

0 3

dx I

x





2014

2 2 0

2

0 4

x dx x



 2

dx I

x





2 2 2

2

0 1

x dx x



2

0 3

x dx x



2

e

dx



3

0 3

dx I

x







3 tan

2 2

t   

2

2

3 cos

dt dx

t







 



4

2

3 cos

cos

t t



1 ln 1 2

Cách trình bày 2:

2)

+) Khi đó

3)

+) Khi đó

+) V y

4)

gi i ti p ta có th đ i bi n ho c dùng k thu t vi phân C th :

Suy ra

2

0

3

2

2014

2 2 0



2014sin

2 2

t   

2014 cos

2014 2014 cos 2014 cos





 



2

x  t 

2

2014 cos 2014 cos 2014 cos 2028098 (1 cos 2 )

2

0

1

2





3

2

0 4

x dx x





2sin

2 2

t    

2 cos





 



  

2

2 3

4 sin 2 (1 cos 2 ) 2 sin 2

t



3

6

I   

2

dx I

x







1 cos

x

t

t      

2 2

sin cos

tdt dx

t

 



 



t  

sin cos tan cos

I

4

I

V y

Cách 1.2:

Cách 2:

Cách 3: (Cách trình bày khác c a Cách 2 )

Cách trình bày 3.1:

t

Cách trình bày 3.2:

t

5)

3 2 2 2

ln

u u



 ln(2 2 6 32)

4

I  ln(2 2 6 32)

(1 sin ) (1 sin ) cos

I

4

ln



2

2

2

1

2 2 2

2

2

1 2 1

t

t t

x





2

1

1 2

t

dt

dt t

t









2

1

1 1

t

1 2

ln

dt

t









5

2

2 2

2

0 1

x dx x





sin

2 2

t    

cos





 





2

2 5

sin

t

và c n

Mà ta có:

V y

7)

6

2

0 3

x dx x





3 tan

2 2

 

2

3 cos

t









 



: 0

4

3 cos

t

2

2

( 1) ( 1)

 

2

0

2

2 ln

u

6

7

2

e

dx



x

2

0 1 3

dt I

t







1 tan 3

2

3 cos

;

1 3

cos

du dt

u u

t

u

   



3

sin

3

0

ln

1 sin

2 3

u u







1

Cách 2:

Bài 6 Tính các tích phân sau: 1) 2)

Gi i: 1)

+) Khi đó

V y

2)

ta s kh c ph c b ng vi c s d ng k thu t vi phân Các b n s th y rõ đi u này qua l i gi i sau:

Gi i:

+) Tính

+) Tính

2 2

2

1 1

3

1 3

t

1 2 0

ln

3

1

2 1

0

0

4

x







1

2

3

2 2

t   

2 cos 3

 



 



0

3

0

2 1

3







1

 

1

0

4

x







2

Ax B

dx







x

2

dx





1

2 2

x

 

2

B

0

dx





V y

Chú ý: Cách kh cho bài toán trên đ c làm t ng quát nh sau

Bài 7 Tính tích phân : 1) 2)

3)

4)

5)

Gi i:

1)

t

Phân tích và h ng gi i: N u đ t

ta

nên ta “kh c ph c” b ng cách tính nguyên hàm r i sau đó m i th c n (k thu t d u c n)

Gi i:

1

2 0



0



2



x

2

2

2

A

a

 

1

0 1

x dx I

x x





0(1 ) 1

dx I





3 3 2

1 2

dx I







1

dx I



x





1

0 1

x dx I

x x







2

( 1) 3

3

2 1

( 1)

t



9

1

0(1 ) 1

dx I





t x   t x t dtx dx

I

2

1 x t

dx I



t

t

dt I

t

  



2 3

t dt I

 

u t  u   t u dut dt

(có th dùng k thu t vi phân đ tính : )

Nh n xét: Tích phân có d ng t ng quát là và ta gi i b ng hai cách trình bày:

(ta đã gi i theo cách trình bày này)

1)

3)

Khi đó

t

5)

m t l i gi i hoàn ch nh Lúc này ph n l n các b n s ngh t i k thu t nhân liên h p ngh a là ta s bi n

đ i

và đ a v tích phân khá đ n gi n và d tính Song n u chú ý t i c n c a bài toán ta s th y phép bi n đ i

2

1

0

1

x I

x

4 2

3

t dt



2

I

( n m) n n

dx



1 x t

u c dt

2

I

t

x





3 3

2

1 2

dx I







3

3

3

3

3 3

2 1

3

1 1

3

1 1

3

2

( 1)

2 2

1

t dt

x

t x

t x







I

t

1 3

2 dt 2 ln

t













2

5

x





2

5

x

trên là không chính xác vì t i c n Tích phân ban đ u và

theo h ng này ta ta s có m t gi i pháp là b qua c n c a tích phân b ng k thu t d u c n – tính nguyên

cùng xem l i gi i chi ti t cho bài toán này qua 2 cách khác nhau:

Gi i:

Cách 1: ( Dùng k thu t d u c n – tính nguyên hàm sau đó th c n)

Ta có

Suy ra

V y

Cách 2:

Khi đó

V y

x

dx



2 5 0

1

2

I    x x dx

[0; 2]

2

x

2 2

5



5

8 4 2 3

I  

3

2

2 2

2 5

2

t

5

8 4 2 3

I  

Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng Ngu n : Hocmai.vn

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N

 Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng

 Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c

 H c m i lúc, m i n i

 Ti t ki m th i gian đi l i

 Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm

 Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t

 i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam

 Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên

 Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c

Là các khoá h c trang b toàn

b ki n th c c b n theo

ch ng trình sách giáo khoa

(l p 10, 11, 12) T p trung

vào m t s ki n th c tr ng

tâm c a kì thi THPT qu c gia

Là các khóa h c trang b toàn

di n ki n th c theo c u trúc c a

kì thi THPT qu c gia Phù h p

v i h c sinh c n ôn luy n bài

b n

Là các khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k

n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho các h c sinh đã tr i qua quá trình ôn luy n t ng

th

Là nhóm các khóa h c t ng

ôn nh m t i u đi m s d a trên h c l c t i th i đi m

tr c kì thi THPT qu c gia

1, 2 tháng