HƯỚNG DẪN GIẢI PHÉP TOÁN TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI Loại 1: Loại Chứa Căn Thức Dùng Biến Đổi Tương Đương Bài 1: Tìm họ nguên hàm của hàm số:f x tan x 1.
Trang 1HƯỚNG DẪN GIẢI PHÉP TOÁN TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI
Loại 1: Loại Chứa Căn Thức Dùng Biến Đổi Tương Đương
Bài 1: Tìm họ nguên hàm của hàm số:f x( ) tan x 1
∫
2
Bài 2: Tính tích phân:
3 1
dx I
=
Ta có:
Bài 3: Tính tích phân:
1 0
dx I
=
Ta có:
I
2
Bài 4: Tính tích phân:
1 0
dx I
= + +
3
Bài 5: Tính tích phân:
e 1
2 ln x
2x
+
Ta cĩ:
e
2
+
Bài 6: Tính tích phân:
0 1
dx
−
=
∫
3
Trang 2Bài 7: Tìm họ nguên hàm của: I 2dx
=
− −
2
I
2
I
Ta lại đặt tiếp:
2 2
5
u 5 t
4
=
−
Bài 8: Tính tích phân:
e 1
1 ln x
x
+
2
+
Bài 9: Tính tích phân:
1
0
I=∫x 1 x dx.+
Ta cĩ:
I= x 1 x dx+ = (x + −x x) 1 x dx+ = x(x +1) 1 x+ −x 1 x+ dx
Bài 10: Tính tích phân:
2
0
I=∫x 1 x dx.+
Bài 11: Tính tích phân:
1
0
I=∫x 1 x dx.+
2
15
2
1
Trang 3Loại 2: Dùng Kỹ Thuật Phân Tích (Đổi biến cơ bản) Bài 1: Tìm họ nguên hàm của hàm số:f x( ) 10 x
x 1
= +
Đặt: t=101 x+ ⇔t10 = + ⇒1 x dx 10x dt= 9
10
x 1
−
Vậy: ( ) =1010( + )19 −1010( + )9 +
Bài 2: Tìm họ nguên hàm của hàm số: f (x) x 1 x= 3 3 + 2
2
2
= −
3
Bài 3: Tính tích phân:
0
x
1 x
=
+
2
= =
t 2
4
Bài 4: Tính tích phân:
1 4 0
I=∫x 1 x dx.−
Đặt:
2
= −
= − ⇔ = − ⇒ = −
I=∫ 1 t− t 2tdt− =2 1 t∫ − t dt 2 1 4t= ∫ − +6t −4t +t t dt
∫
Bài 5: Tính tích phân:
1 0
dx
1 x
= +
∫
2
+ −
0
Bài 6: Tính tích phân:
3
I= ∫ x 1 x dx.+
Trang 42 2
= −
= =
t 2
t 1
x 0
Bài 7: Tính tích phân:
1
0
I=∫x 1 x dx.−
2
π
2
π
I sin t 1 sin t.cos tdt sin t cos t cos tdt sin t.cos tdt do cos t 0
2
Bài 8: Tính tích phân:
2
0
I=∫x 4 x dx.−
dx 2cos tdt
2
2
=
2
π
I 4sin t.2cos t.2cos tdt 16 sin t.cos tdt 4 sin 2tdt
1
4
∫
Bài 9: Tính tích phân:
1 0
I=∫x 1 x dx.− Đặt:
2
= −
= − ⇔ = − ⇒ = −
I=∫ 1 t− −2tdt =2 1 t t dt 2 t∫ − = ∫ +t dt 3 5 1
0
2
= − ÷ =
Bài 10: Tính tích phân:
2 2 2
2 0
x
1 x
=
−
2
π
Trang 5Đổi cận:
x
4 2
t 0
x 0
=
=
2
Bài 11: Tính tích phân:
7 2
dx I
x 2 1
=
+ +
Ta cĩ:
x 1
+
7 2
Đặt:
2
dx 2tdt
= −
Vậy: I=
3
2 4ln 2 2ln 3
Bài 12: Tính tích phân:
2 2
−
−
+
=
+
∫ Đặt:
2x.dx 2t.dt
= −
⇒
+
Bài 13: Tính tích phân:
7 3 3 0
x 1
3x 1
+
=
+
∫ Đặt: t= 33x 1+ ⇔ =t3 3x 1+ ⇒t dt dx2 =
Đổi cận:
x 3
t 1
x 0
Vậy:
2
−
Bài 14: Tính tích phân:
1
2 1
dx I
−
=
Trang 6Đặt: ( )
2 2
2
x 2t
2 2t
= −
= + ÷
⇒
= − = − +
Vậy
+
− +
+
+ +
Bài 15: Tính tích phân:
1
0
I=∫x 1 x dx.+
Ta có:
I=∫x 1 x dx+ =∫x 1 x xdx.+
Đặt:
= −
=
⇒
Bài 16: Tính tích phân:
1
2 1
2
−
= ∫ −
Đặt: x sin t= ⇒dx cos tdt=
Đổi cận:
2 1
π
= − = −π
Vậy:
1
6 2
6 6
π
−
π
Bài 17: Tính tích phân:
1
m
0
dx I
(1 x ) 1 x
=
1
m
m 1
m 1
x
−
−
Đổi cận:
m
=
⇒
Trang 7Khi đĩ: ( )
m 1
m 1 m
m 1
t
t
−
−
−
+
+
−
1 m m
m m
1 1
t 1
t t
−
+
−
Ta lại đặt tiếp: u 1 1m du m.dtm 1 du m 1dt
Đổi cận:
2
⇒
=
Vậy:
m
0
1 1
t
1
m
−
−
− +
Bài 18: Tính tích phân:
1 0
x.dx I
2x 1
=
+
Đặt:
2 2
x
dx t.dt
= −
=
=
⇒
Vậy:
2
3
2
2
−
Bài 19: Tính tích phân:
4 2 7
dx I
=
+
Ta có:
I
Đặt:
= −
t 4
=
= =
Vậy:
5
−
+
Bài 20: Tính tích phân:
8 3
3 2
1
x
=
− .
Trang 8Ta có:
2
1
1 x
−
−
Đặt: Đặt:
= −
Đổi cận:
1
2
Vây:
2
2
−
+
−
−
Bài 21: Tính tích phân:
2 3 0
x 1
3x 2
+
=
+
∫ Đặt:
3 3
3
2
x
dx t dx
= −
=
=
=
⇒
2
Bài 22: Tính tích phân: 2
0
cos x
7 cos 2x
π
= +
I
Đặt: t sin x= ⇒ =dt cos xdx
2
t 0
x 0
π
Khi đĩ:
1
0
I
=
−
∫
=
6
π
2cos t
π
Bài 23: Tính tích phân:
1
0
I=∫x 1 x dx.−
Đặt:
= −
Trang 9Đổi cận: = ⇒ =
Bài 24: Tính tích phân: a 2 2 2 ( )
0
I=∫x a −x dx ; a 0>
u a.sint 0 t
=
2
π
Bài 25: Tính tích phân:
ln 3 x 0
dx I
=
+
Đặt:
x
x
e dx 2tdt
= +
=
=
⇒
Vậy:
2
2
+
Bài 26: Tính tích phân:
2 2 2 3
dx I
=
−
∫ Đặt:
dx tdt
= −
Đổi cận:
t 1
1
x
3 3
2
I
+
−
= − < < ÷⇒ = +
Đổi cận:
4 1
t
u
π
=
Vậy:
2
4 2
6
1 tan u
π π
+
Bài 27: Tính tích phân:
1
I=∫x 1 3x dx.+
Trang 10Đặt:
2 8
x
3
t.dt
12
=
∫
Bài 28: Tính tích phân:
x 0
e
=
+
∫
x
= +
⇒
=
2
∫
Bài 29: Tính tích phân:
2 0
x dx I
=
∫
2
5
Đặt:
xdx tdt
= −
=
⇒
+
Bài 30: Tính tích phân:
2
3 1
dx I
x 1 x
=
+
∫ Đặt:
2
3
+ =
⇒
t 3
x 2
Vậy:
3 3
2
2 2
+
−
∫
Bài 31: Tính tích phân:
1
2 3 0
I=∫ (1 x ) dx.−
Ta cĩ:
I=∫ (1 x ) dx− =∫1 x− 1 x dx.−
Do: x∈[ ]0;1 ⇒ −1 x2 ≥0 nên1 x− 2 = −1 x2
Đặt:
=
Trang 11Đổi cận:
π
2
+
0 0
π