3 4 Giải 1 Phân tích và hướng giải: Ở bài toán trên điều đầu tiên chúng ta nghĩ tới là biến đổi , bởi tính thông dụng của nó.. Trong trường hợp này ta sẽ chọn cách đặt thứ hai và đưa
Trang 1Bài 1 Tính các tích phân sau:
7)
8)
9)
Giải
1)Ta có :
+) Tính
Khi đó :
2)
+) Khi đó
2
1
0
(cos 1) cos
0
sin cos
x
x
4
dx I
x x
4
4
0
sin 2 (sin sin 3 cos cos 3 )
6
cos sin
x
x
4
6
0
cos 2 ln(sin cos )
3 4sin 2 cos 4
2 7
3
cos sin
1 cos
x x
x
0
sin 2
3 4sin cos 2
x
0
(sin cos ) sin 4 sin cos
1
2
2 5
0
cos
2
1
0
t
3 3
0
sin cos
x
x
t x dt xdx xdx dt x 0 t 1 1
x t
1
3
1
0
2
.sin
10 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP ( Phần 05)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng 10 dạng tích phân thường gặp (Phần 05) thuộc khóa học
Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) tại website Hocmai.vn Để có thể nắm vững
kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này
Trang 2
4) Ta có: = =
=
(Trong trường hợp này các bạn có thể sử lý nhanh bằng kĩ thuật vi phân :
)
Nhận xét : Nếu biểu thức dưới dấu tích phân đơn giản, ta có thể bỏ qua bước đổi biến bằng kĩ thuật vi phân 5)
+) Đặt và thì +) Khi đó 6)
+) Ta có:
3
4
dx I
x x
1
2
2
3 4
x
4
4
0
sin 2 (sin sin 3 cos cos 3 )
sin (1 cosx x)sin 3xcos (1 sinx x) cos 3x
sin sin 3x xcos cos 3x xsin cosx xcos sin 3x xsin cos 3x x
cos 2xsin cos sin 4x x x
2
cos 2x 2sin cos sin 2 cos 2x x x x cos 2x sin 2 cos 2x x
cos 2x sin 2 cos 2x x cos 2 (1 sin 2 )x x cos 2x
4
4
0
x
3 2
6
cos
sin
x
x
sin
t x dt cosxdx :
2
1
1
1 1
2
1 1
2 2
4 6
0
cos 2 ln(sin cos )
3 4sin 2 cos 4
Trang 3
+) Do đó
+) Đặt
+) Vậy
7)
8)
+) Khi đó
9)
+) Ta có:
+) Suy ra
Khi đó
4
0
(cos sin ) ln(sin cos )
(sin cos )
4
2
1
ln t
t
3
2
ln
1 2
dt
u t du
t dt
dv
v t
t
I
6
1 ln 2 8
I
2 7
cos (1 cos ).sin
2
7
2
11
t t
I t t dt t t dt
t x dt xdx x 0 t 1 2
2
x t
2
2
t dt
4
0
(sin cos ) sin 4 sin cos
4 9 0
3 cos 4
5 3cos 4
x
x
4
dt
t xdt xdx xdx x 0 t 1 1
4
x t
1
9
t dt
Trang 41)
2)
Giải
1)
Cách trình bày 1:
+) Khi đó
Cách trình bày 2:
Cách trình bày 3:
2)
và đưa về tích phân về dạng (Dạng 1 – dạng tích phân chúng ta đã tìm hiểu
trước đó) , đến đây theo dạng 1 ta đặt Song để rút ngắn lời giải, ta sẽ gộp 2 công đoạn đặt
thành một Nghĩa là ta sẽ đặt luôn (hoặc nhìn trực diện Dạng 1 ta cũng thấy được điều
này)
Do đó ta có lời giải chi tiết cho bài toán như sau:
+) Khi đó
2
2 3 1
0
(1 sin ) sin 2
2
6
x
2
2 3 1
0
(1 sin ) sin 2
t x dt xdx x 0 t 0 1
2
2
1
1
0
2
t t t t
15 4
I
2
t xdt xdx x 0 t 1 2
2
x t
2
3 1
15
t
15 4
I
2 4
1
(1 sin ) 15 (1 sin ) sin 2 (1 sin ) (1 sin )
x
(sin ) cos
I f x xdx
( ),n ( ) '( )
f g x g x g x dx
2 1
u t
2sin 1
2
2
cos
tdt xdx
x t
2
x t
Trang 5
1) 2)
Giải
Khi đó
.Vậy
+) Ta có:
+) Vậy
1)
1 1
2
23
4 ln 2 8
2
0
sin
1 cos
xdx I
x
0
sin 4 cos 2 sin cos
2
0
sin
1 cos
xdx I
x
I
(1 tan )
du
: 0 4
u
2
4
(1 tan )
1 tan
u du
u
4
I
4
0
sin 4 cos 2
sin cos
4 sin 4 cos 2 (2sin 2 1) cos 2
2
4
4
x x
sin 2 2cos 2
t xdt xdx t: 01
2
t
2
2 1 0
ln(1 cos ).sin 2
4
cot
1 sin
x
x
Trang 63) 4)
Giải
1)
Phân tích và hướng giải:
Ở bài toán trên điều đầu tiên chúng ta nghĩ tới là biến đổi , bởi tính thông dụng
của nó Khi đó có dạng (dạng ) với nên ta nghĩ tới việc đặt hoặc Trong trường hợp này ta sẽ chọn cách đặt thứ hai và đưa tích
phân về
Dạng 3 quen thuộc mà các bạn đã được tìm hiểu trước đó
Giải:
+)
Phân tích và hướng giải:
Sau phép biến đổi đầu tiên ta thấy tích phân đã có dạng vì vậy ta nghĩ ngay tới việc đổi biến Song với bài toán trên ta hoàn toán có thể biến đổi tiếp để đưa nó về dạng
bằng cách nhân cả tử và mẫu với Cụ thể:
Khi đó ta có thể đổi biến bằng cách đặt hoặc Vì vậy
ta có thể có lời giải của bài toán qua hai cách trình bày sau:
Cách 1:
2 3 0
sin 3
1 cos
x
x
0
sin 4 (sin cos )(2 cos 2 3)
x
2
1
0
ln(1 cos ).sin 2
sin 2x2sin cosx x
1
I9.2 f(cos )x 2ln(1 cos ).cos x x
cos
1
ln(1 cos ).sin 2 2 ln(1 cos ).cos sin
t x dt xdx
2
2
1 1
2 ( 1) ln
I t tdt
2
ln ( 1)
2
dt du
dv t dt t
1
1
1
(sin ).cos
f x xdx
sin
t x
1
( sink ).sink cos
f a b x x xdx
sin x
3 2
4
x x
sin
1 sin
2
Trang 7Suy ra
Cách 2:
Khi đó
Nhận xét:
+) Sau phần đổi biến ở Cách 1 các bạn gặp một dạng tích phân hàm hữu tỉ có dạng tổng quát
, khi đó việc giải tích phân này sẽ được thực hiện bằng phương pháp tách ghép sau:
theo Cách 2 ở trên
Phân tích và hướng giải:
Dưới dấu tích phân có và nên ta sẽ nghĩ đưa về cùng góc là Do đó ta sẽ biến đổi
Khi đó Như vậy với cách biến đổi đó ta đã đưa tích phân về dạng và dùng cách đổi biến
, song với bài toán trên ta có thể “linh hoạt” đặt Vì vậy ta có lời giải như sau:
Giải:
+) Ta có :
4
1 4
4 2 2
t t
4
dt
5
x t
2 2
x t
2
3 2
5
4
2
ln
I
dx
x a x
1
ln
n
dx
x a x x a x a n x x a a n x a
1
( sink ).sink cos
f a b x x xdx
2
3
0
sin 3
1 cos
x
x
sin 3x3sinx4sin xsin (3 4sinx x)sin (4cosx x1) sin 3 4 cos2 1.sin
x
(cos ).sin
f x xdx
cos
3
.sin
t x dt xdx xdx dt x 0 t 2 1
2
x t
Trang 8+) Khi đó
4)
Phân tích và hướng giải:
Vì vậy mẫu số dưới dấu tích phân có thể chuyển hết về hàm chứa hoặc Ở trên tử
Như vậy ta có thể chuyển tích phân về dạng Song với bài toán trên có thể nhìn theo dạng Qua các ví dụ trước ta thấy nếu chuyển tích
phân về được dạng thì ta sẽ đặt và với bài toán cụ thể này
ta sẽ đặt Vì vậy ta có lời giải của bài toán như sau:
Giải:
+) Ta biến đổi
+) Đặt
+) Khi đó
Bài 5 Tính các tích phân sau:
1)
2) 3) 4)
5) 6)
7)
8)
2 3
1
3 2 3ln 2
4
0
sin 4 (sin cos )(2 cos 2 3)
x
2
x
sin 2xcos 2x1
2
sin 2x cos 2x2
2
(sin 2 ).sin 2 cos 2
1
( sink ).sink cos
f a b x x xdx
2
sin 2
1 sin 2 (2 cos 2 3) 2
2
sin 2 4sin 2 cos 2
4
x t
1
4
4
0
( 2 cos ) sin cos
x
4
sin
x
4
3 0
sin cos
0
sin 2
4 cos
x
x
2
2 2 5
0
2 cos sin 2
6
cos ln(1 sin ) sin
x
3
0
3sin sin 2 (cos 2 3cos 1)(3 2sin )
0
cos 3
1 sin
x
x
Trang 9
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17) 18)
Giải 1) (*) +) Tính
Đặt Suy ra
(1) +) Tính (2) Thay (1), (2) vào (*) : 2) (*) +) Tính Đặt Suy ra (1)
4 9 0
sin 2
1 cos 2
x
3
3sin sin 2
dx I
6 11
04 cos sin 2
dx I
0
1 2sin (sin cos )
x
2 4 13
6
tan cos
x
x
0
4sin cos sin 2
2 15 0
3cos 2sin 2 3sin cos 2 2
0
sin cos
x
x
2
0
sin 2 sin 4
1 1 3cos
x
0
cos 2sin sin 2 (1 cos )(1 cos 2 )
4
2 0
sin cos
x
4
A
x
4
4 0 0
ln cos ln 2
x
2
3
4
cos sin
x x
x
2
4
Trang 10+) Tính (2)
Thay (1) và (2) vào (*) ta được:
3)
+) Ta có :
+) Khi đó
4)
+) Khi đó
Cách trình bày 2:
Cách trình bày 1:
+) Khi đó
Cách trình bày 2:
4
sin
2
I 2 2 3
2
4
3
0
sin cos
cos 6 cos 2
1 cos 2 cos 4
1 cos 2 cos 4 cos 6
3
2
0
sin 2
4 cos
x
x
2
t xdt x xdx xdx dt
2
1
4 0
4
ln 4 ln
dt
t
2
2 2
2
2 2 5
0
2 cos sin 2
t x dt xdx x 0 t 1 0
2
x t
2
5
1 6
0
19
t
t t
2
t xdt xdx x 0 t 3 2
2
x t
Trang 11+) Khi đó Vậy
Cách trình bày 3:
6)
Khi đó
Vậy
7)
Đặt
Khi đó
8)
Khi đó
3
2 1
19
t
19 3
I
5
0
x
2
6
cos ln(1 sin ) sin
x
sin
t x dt cosxdx 1
x t
1 2
x t
1
1 2
ln(1 t)
t
2
ln(1 )
1 1
dt
t dt
dv
v t
t
6
1
2
ln 2 2 ln
t dt
1
1 2
3
t t
(cos 2 3cos 1)(3 2sin ) (2 cos 3cos )(3 2sin )
.sin cos (3 2 cos )(1 2 cos ) cos (1 2 cos ) cos (1 2 cos )
2
4
dt
x t
1
7
.cos
t x dt xdx x 0 t 0 1
2
x t
1
2
01
dt A
t
Trang 12+) Đặt với
9)
+) Tính
Đặt
Khi đó
+) Tính
Vậy
10)
Đặt
Khi đó
11)
Đặt và làm tương tự như ta được đáp số
12)
tan
2 2
u
2
2 (1 tan ) cos
du
u
t u 1
4
4
1 tan
u
u
9
2
01 cos 2 02 cos
2
1 tan
dx
x
4
4 0
0
ln 1 cos 2 ln 2
9
ln 2 ln 2 ln 2
I
t x dt xdx
1
x t
0 2
x t
2
0
1 2
6 11
04 cos sin 2
dx I
sin
12 25
I
2
(sin cos ) (1 sin 2 )
Trang 13Đặt ; Đổi cận ;
Khi đó
13)
14)
Khi đó
Chú ý : Ở trên ta sử dụng kĩ thuật đồng nhất hệ số bằng cách phân tích :
15)
16)
2
dt
t xdt xdx xdx x 0 t 1 2
4
x t
2 2
dt I
2
t
1 1
2 2
ln
t dt
4sin cos sin 2 2sin cos (2sin 1)
2
t xdt x xdx x 0 t 0 1
2
14
0
7 ln 3 ln 1 ln ln 2 2 ln 2 ln 3
a b
a b
b14
3cos 2sin 2 (3 4sin ) cos
t x dt xdx x 0 t 0 1
2
x t
tan sin
0
1
x dx x
Trang 14
17)
+) Khi đó
18)
Giải
1)
2)
2
tan sin 2
x
x
2
sin 2 sin 4 sin 2 (1 2 cos 2 ) 4 cos 1
.sin 2
2 2
2
3
1 cos
3
tdt tdt xdx xdx
t x
2
2
2 17
1
t
2 3
2
1
t
t t t
2 2
cos 2
3 1 6
I
4 1 0
cos 2
2 1 sin cos
x
0
4(sin cos ) cos 2 2(sin cos 1) sin 2
4
1
0
cos 2
2 1 sin cos
x
0
(cos sin )(cos sin )
2 1 sin cos
dx
1 sin cos
2
x x t
x x dx tdt
1
1 0
3
1 sin cos
4
2
0
4(sin cos ) cos 2 2(sin cos 1) sin 2
0
(sin cos ) 1 (sin cos ) 2(sin cos 1) sin 2
dx
2
(sin cos )
sin 2
2
x
Trang 15Suy ra
( Các bạn có thể phân tích
1)
2)
3)
Giải :
1)
(các bạn có thể trình bày theo cách đặt )
Vậy
2)
+)
2( 1)
2
t
0
2 2
2
t A t B t
3
A B
t
4 1
0
cos 2
1 sin 2 cos
4
x
2 4
2 0
cos
8
2 sin 2 cos 2
x
4
3
0
1 tan 3(1 tan ) 4sin
x
2
2
sin cos
1 sin 2 cos
2
2
sin cos sin cos
t x x
I
2 4
2
0
cos
8
2 sin 2 cos 2
x
0
1 cos 2
2 2 sin 2 cos 2
x
dx
cos 2
x dx
dx A B
2
tan
8
2
Trang 16+)
Ta sẽ chỉ ra theo các cách sau :
Cách 1 :
Đặt
Cách 3 :
Khi đó
3)
+) Khi đó
Giải
Ta có
2 sin 2 cos 2
4
x
0
B
dt
t x dt xdx x dx
: 0 4
4
t x dt dt
4
t
3
0
2 cos 2 sin 2
t t
cos 2
1 cos 2 sin 2 4
2 sin 2 cos 2 2 2 sin 2 cos 2
x
0 0
1 ( 2 sin 2 cos 2 ) 1
ln 2 sin 2 cos 2 0
2
tan
I
4
3
3(1 tan ) 4sin 3(sin cos ) 2sin 2
2
dt x x dx
x t
4
x t
2 2
t dt
1 0
sin cos
3 sin 2
x
sin cos (sin cos )(1 sin cos )
Trang 17+) Đặt ; Đổi cận và
+) Khi đó
Giải
1)
Khi đó
2)
3)
Khi đó
2
(cos sin )
sin cos
2
x 0 t 1 x t 1 2
1
t dt
t
1
1
t t
t
3
1 ln 3 4
I
1 0
cos 2
x
0
sin
4
1 sin 2
x
x
2 3
4
3 sin 2
x x
x
0
cos
x
x
x
1
cos 2 (cos sin )(cos sin )
t x xdt x x dx x 0 t 1 x t 1
1
3
t
sin
4
x
x x
0 0
ln sin cos sin cos
t x xdt x x dx
0 4
2
1
0 4
dt I
t
2sin
2 2
u
2 cos
dt udu
t u 1
6
Trang 18Suy ra Vậy
4)
+) Đặt
+) Khi đó
3
2 cos
udu
u
6
4
1
2
2
1
t
x t
2 0
2
2
x t
2
2
0 0
2 2
2 2
t dt
2 10 6 2 ln
Giáo viên : Nguyễn Thanh Tùng
Trang 195 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN
Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực
Học mọi lúc, mọi nơi
Tiết kiệm thời gian đi lại
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm
4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN
Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học
CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN
Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12) Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia
Là các khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện bài
bản
Là các khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ năng trước kì thi THPT quốc gia cho các học sinh đã trải qua quá trình ôn luyện tổng
thể
Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa trên học lực tại thời điểm trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng