Bài 1 Tính các tích phân sau:
5)
(D – 2008) 6) (A, A1 – 2013 )
Gi i :
t
+) Tính
4 1 0
( 1) sin 2
0
(e xx e dx) x
3
0
(x2)e dxx
1
ln
e
5
2 3 1
ln x dx x
1
1 ln
x
x
7
3 2 2
ln(x x dx)
2 8
0
I x x x dx
4
1
0
( 1) sin 2
1
1
2
4
1
x
3 4
I
2
0
(e xx e dx) x
2 2
I e x e dxe dx xe dx A B
1 0
1
e
1
0
x
Bxe dx
1
10 D NG TÍCH PHÂN TH NG G P ( Ph n 02)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng 10 d ng tích phân th ng g p (Ph n 02) thu c khóa h c
Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng
ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.
Trang 2Thay (1), (2) vào (*) ta đ c:
+) t
(1)
V i
Thay (2) vào (1) ta đ c:
5)
t
V y
t
2
I 2e 1
e
3
0
(x2)e dxx
2
1 2
x x
2 3
0
x
4
1
ln
e
2
4 3
2 ln ln
4
x
x
v
3 4
1 1
ln
3 1
ln
e
ln
4
dx du
v
3 1
4
32
5
2
3 1
ln x dx x
3
2
ln
1 2
dx
x dx
dv
v x
x
I
5
3 2 ln 2 16
2 2
1
1 ln
x
x
2
ln
1 1
dx
x x
x
dx
7
3
2 2
ln(x x dx)
Trang 3t
Khi đó
+) Tính
+) Tính
t
Suy ra
V y
Bài 2 Tính các tích phân sau:
2
2
1
2 8
0
2
x du
v
2
0 0
x
2 2
A
x
tan
2 2
2
2
t
0
6
x t
1
3
x t
2
2
6
3
2
4
t dt
t
8
1
1
3 ln
x dx x
1
3
e
x
3
0
cos
dx x
0
(1 sin 2 )
Trang 45) (A, A1 – 2012) 6)
7)
10)
Gi i :
1)
(2)
Thay (1), (2) vào (*) ta đ c:
(1)
+) Tính
5
1
1 ln(x 1)
dx x
6 0
x
7 0
sin
x
2 2
1
x
x
0 x 4 x 4
xdx I
2
16
3 10
0
1
I
3
2 1
3 ln
x dx x
3
A
3
2 1
ln
x
x
2
ln
1
1
dx
x dx
dv
v x
x
3
e
1
I 3 3ln 3 ln 2
2
1
3
e
x
2
x
1
ln
e
ln
2
dx du
v
1
1
ln
e
x
x
2
e
x
Trang 5C2 : t và c n (2)
(th c ch t C2 là cách trình bày khác c a C1)
Thay (1), (2) vào (*) ta đ c:
(2)
Thay (1), (2) vào (*) ta đ c:
5)
x
1
1
t
ln
ln
du x dx
dv
x
2 1 1
2
e
x
2 2
2
e
2 2
3
0
cos
dx x
3
3
0
cos
dx
x
0
sin cos
x
3 3
2
3
0 cos
dx I
x
2
I
3
3
3
4
0
(1 sin 2 )
4
x
4
0
sin 2
sin 2
2
x
4
0
0
4
8 32
5
3
2 1
1 ln(x 1)
dx x
3
1
3
Trang 6Tính t
6)
Nh n xét 1: V m t lí thuy t bài toán này ta hoàn toàn có th gi i theo ph ng pháp tích phân t ng ph n
Song ta ph i s d ng t i 5 l n tích phân t ng ph n (vì b c c a đa th c là 5 – khá dài ) Lúc này ta s
có cách “kh c ph c nh sau”:
( Vì v y đ áp d ng (*) chúng ta s ph i tách ghép v d ng trên )
Áp d ng (*) ta đ c:
Nh n xét 2:
*) Nh v y qua bài toán trên ta th y vi c s d ng công th c (*) s giúp gi m b t thao tác l p đi l p l i
ph ng pháp tích phân t ng ph n (n u b c c a đa th c l n)
*) T bài toán trên chúng ta có th đ a ra đáp s t ng quát cho nh sau:
3 2 1
ln(x 1)
x
2
1 1
dx
x dx
dv
v x
x
ln
2
3
I5 2 ln 3 2ln 2
2
1
1
x
dx dv
v x
x
1
5 6
0
x
I x e dx
5
x
f x( ) f x e dx'( ) x f x e( ) xC
5
x
6
(x 5x e dx) x 5 (x 4x e dx) x 20 (x 3x e dx) x 60 (x 2 )x e dxx 120 (x 1)e dxx 120 e dxx
1
0
7
0 0
Trang 7+) Tính t
Thay (a), (b) vào (*) ta đ c:
8)
+) Tính
+) Tính
Khi đó
V y
9)
+) t
+) Khi đó
2 2 0
cos 2
x
2sin 2 cos 2
1 2
x x
2 2
0 0
2 2 0
sin 2
x
2 cos 2 sin 2
1 2
x x
2 2
0 0
1
2
7
8
e I
2
x
2
ln
x
2
2 2 1 1
Ae dxe e e
2
2 1
ln
x
x
2
ln
1
1
dx
x dx
dv
v x
x
2
2 8
5
ln 2 ln 3 3
4
x x
I
e
9
x
x
Trang 8
V y
+) Khi đó
+) t
Suy ra
V y
Bài 3 Tính các tích phân sau:
4)
5)
6)
7)
Gi i :
+) t
ln 2
0
x x
e e
9
ln 3 ln 2
2
16 3 10
0
2
2
tan
cos
x
t
2
2 2
tan tan
1
t
2
I
2
4
1
0 1 sin
dx I
x
3 sin 0
(cos x e x).sin 2xdx
1
2
x x
e
dx
4
4
1
x
e
dx x
0
cos
x
x
0
x x
2
1
7
1
4
cos 1
8 0
sin cos
x
2
4 9
0
sin 2 cos (sin )
10 1 2
x
I xe dx
2
4
1
0 1 sin
dx I
x
2
Trang 9Suy ra
+) t
Suy ra
2)
Ta có :
(*)
+) Tính
(1)
( Ta có th s d ng k thu t vi phân đ tính :
+) Tính
t
(2) vào (*) ta đ c:
3)
V y
2 1 0
2
1 sin
tdt I
t
2
2
2sin
t
2 1
d
2
3 sin 0
2
2 4 0
4 0
0
t
A
5
x
sin 0
.sin 2
x
2
1
0
1
2
5
e
3
1
2
x x
e
dx
0 3
1
0
1
t
e
2
e e
4
I 4
1
x
e
dx x
2
2 0
t
e
t
2e 2
4
2e 2
Trang 105)
+) Tính
+) Tính
Khi đó
V y
6)
+) Khi đó
+) V y
7)
t
V y
8)
Khi đó
0
2 1
tan 4 3 0
sin cos
x
x
2
tan
cos
dx
x
4
x t
1 4
tan
2
cos
x
1
0
Bte e dt e e e e
2
2 6
0
t
2
2
1
7
1
4
cos 1
2
2
7
0 2
2
0
2
I
2
2
8
0
sin cos
x
2
1
8
Trang 11t
V y
9)
t
Phân tích và h ng gi i:
đang thu c D ng 4 Do đó ta ngh ngay t i vi c đ t đ chuy n b c c a v b c nh t Khi đó
thuy t bài toán hoàn toàn có th gi i theo ph ng pháp tích phân t ng ph n, song ta c n dùng ph ng
pháp t ng ph n t i 3 l n đ làm ph n đa th c chuy n xu ng b c 0 (s t do) (vì b c c a đa th c là 3)
Khi đó ta có l i gi i c a bài toán nh sau:
Gi i:
+) t
Suy ra
1
1 1
8
1 0
(1 )
t
8
2 2
e
2
4 9
0
sin 2 cos (sin )
1
8
2 4
4
1 cos 4
1 2 cos 2
t
2 9
1 3
0
1
0
3 sin 2 sin 4
0
192
1
2 1 10
1 2
x
I xe dx
2 1
1 3 10
0
1
2
t
I t t e dt
3
t
f x( ) f x e dx'( ) x f x e( ) xC
2
t x t x tdt dxdxtdt
1
0 2
x t x 1 t 1
3 10
t
f x( ) f x e dx'( ) x f x e( ) xC
Trang 12Th t v y: (đpcm)
( Vì v y đ áp d ng (*) chúng ta s ph i tách ghép v d ng trên )
Áp d ng (*) ta đ c:
V y
Bài 4 Tính các tích phân sau:
Gi i : 1)
+) Ta có:
2)
+) Khi đó
+) t
3
t t
1
10 0
1
2
I t t t e t t e t e e dt
1
0
10
7 2 2
e
0
sin cos 1 1
2
4
x x
2
0
1
x
x e
x
0
sin cos 1 1
2
4
x x
1
4
0
sin cos 1
2
(sinx cosx 1)(cosx sin )x e x x dx
2
x t
x t
2 1 0
t
I te dt
2
0
I te e dt e e e e e
2
I e
2
0
1
x
x e
x
2 2
1
2
2
1
t
t x
2
2 1
t t
dv e dt
Trang 13Khi đó (1)
t , suy ra: (2)
+) Thay (2) vào (1) ta đ c: Bài 5 Tính các tích phân sau: 1) 2)
3) 4) 5) 6)
7)
8) 9)
Gi i : 1) t Khi đó 2)
t Khi đó (*)
Tính t và thì Suy ra (2*)
Thay (2*) vào (*) ta đ c: 3)
2
te dtte e dt e e e e e e e e
I e e e
3
6
ln(sin ) cos
x I
x
0
sin ln(1 cos )
01 cos 2
x
x
2 4
1
2
cos (ln )
e
1( 1)
x dx I
x
6 0
cos
x
2 2
0( 2)
x
x e
x
8 0
tan
0( 1)
x
x
3
6
ln(sin )
cos
x I
x
2
cot sin
tan cos
x dx
dv
x
3
1
6
2
2
0
sin ln(1 cos )
sin
cos
x
x
2 2
0
sin cos
1 cos
x
2
0
cos sin
1 cos
x
x
2
2 1
t
2
I 2ln 2 1
1
Trang 14V y
(2)
Thay (2*) vào (*)ta đ c:
5)
t
(*)
Tính
Thay (2*) vào (*) ta đ c:
4 4
3
1
ln 2
2 2
4
1
2
e
1
2
cos(2 ln )
e
2 1
1
2
e
1
2
sin(2 ln )
e
1 1
2
e
2
1 4
5
e
4
I
5 e
0 2
1( 1)
x dx I
x
2
1 1
0
1( 1)
dx I
x
2
cos
dt
t
4
0
2
4
5
Trang 15Nh n xét: Vì d i d u tích phân xu t hi n đ ng th i ba hàm ( đa th c , l ng giác, m ) nên chúng ta s
tính tích phân t ng ph n theo c m (quan ni m l ng giác và m là m t hàm) Tr c khi đi tính
+) Tính
+)Tính
Thay (4*) vào (3*) ta đ c:
Suy ra
7)
t
Khi đó
Suy ra
2
2 6
0
cos
x
2
2
6
0
cos
x
cos
x
2
2
cos 2
x
2 2
2sin 2 cos 2
1 2
x x
2
sin 2
x
2
sin 2
x
2 2
2 cos 2 sin 2
1 2
x x
2
cos 2
x
2
2
(sin 2 cos 2 )
x
x
2 2 6
0
cos
x
0
8
x
8
2 2
0( 2)
x
x e
x
2
2
1
dx
2 2 2
2 7
0 0
x
x
x e
x
2
0
x
2
0
I xe e dx e e e
Trang 168)
+) Tính
t
Khi đó
+) Tính
V y
9)
Cách 1:
t
Khi đó
Cách 2:
t
Khi đó
Bài 6 Tính các tích phân sau:
1)
2)
3)
4)
Gi i :
1)
(*)
2
1
x
4 2
0 cos
x
x
2
sin tan
4
4 0
x
2 8
1
ln 2
0( 1)
x
x
4
4
0
0
4
dt
t x dt x dxx dx
x t x 1 t 2
2
3
2
1
0
(1 sin )
1 cos
x
x e
x
1
1 xlnx x
x
1 2
1
x
1 2
0
x
x
1
Trang 17t
Suy ra
(2*)
Thay (2*) vào (*) ta đ c:
t
(2*)
Thay (2*) vào (*) ta đ c:
3)
(*)
t
(2*)
Thay (2*) vào (*) ta đ c:
4)
(*)
t
(2*)
Thay (2*) vào (*) ta đ c:
Nh n xét:
2
sin
1 cos
x
u
x
1
2
ln
x
1
ln
x
x
dx
x
2 2
ln 2
ln 2 e
3
1 1
2
1
1
1
2 2
2
2 3
1 1
2
2
2
2
x
x
1
0
2
1
1
dx du
u
x x
1
1
Trang 18tách thành hai tích phân và s d ng tích phân này đ t o ra l ng tri t tiêu cho tích phân kia (m t ý
t ng khá hay) V m t ý t ng nó gi ng nh vi c các b n đi gi i ph ng trình mà sau khi tìm đ c m t
vài nghi m thì nó l i t o ra m t ph ng trình còn ph c t p h n ph ng trình ban đ u Song lúc này ta s ngh t i vi c ch ng minh nó vô nghi m Và v i tích phân đây thì thay vì không tính đ c theo ki n th c toán s c p thì ta t o ra l ng gi ng nó đ tri t tiêu Chúng ta s ti p t c tìm hi u thêm các d ng tích
ph n này bài 7 ti p theo
Bài 7 Tính các tích phân sau:
1)
2)
3)
4)
Gi i :
1)
+) Thay (2) vào (1) ta đ c:
2)
(2)
2
1 0
2
x
x
1
3 4
2 tan cos
x
2 3 0
1 sin (1 cos ) x
x
x e
0
1
x
x
2
1
0
2
x
x
1
2
x
sin
1
0
2
1
1
3
4
2 tan cos
x
2
1
3 2
3
4
1
x
e
2
2
2 tan cos
dx
dv
x
2 3 2
4
9
x
x
Trang 19+) Thay (1) và (2) vào (*) ta đ c:
V y
3)
+) t
+) Thay (2) vào (1) ta đ c:
+) V y
4)
+) t
+) Thay (2) vào (1) ta đ c:
+) V y
2
3 2
9 4
2
3
0
1 sin (1 cos ) x
x
x e
3
2 2
cos (1 cos ) sin sin
1 cos
1
x
u
x dx
dx
3
I
3
1 I
e
1 2
0
1
x
x
2
1
x
2
2
1
1
x
x
x
x
0
Trang 205 L I ÍCH C A H C TR C TUY N
Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c
H c m i lúc, m i n i
Ti t ki m th i gian đi l i
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm
Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c
Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12) T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia
Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n
Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th
Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng