So phuc trong cac de thi dai hoc

Áp dụng công thức Moavre để thực hiện các phép tính a.Phương pháp Ta vận dụng công thức Moivre và các công thức lượng giác để tính toán : cosai sin a n cos i sin na  na... 2.Áp dụng

Bài tập số phức qua các đề thi đại học

1.( ĐH khối A – 2009 ) z1, z2 là nghiệm của phương trình z2 + 2z + 10 = 0 Tính giá trị của

biểu thức A = z1 2 z2 2

Đáp án: A = 20

2.( ĐH khối B – 2009 ) Tìm số phức z thoả mãn z (2 i)  10 và z z  25

Đáp án: z = 3 + 4i và z = 5

3.( ĐH khối D – 2009 ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện z (3 4 ) i 2

Đáp án: Đường tròn tâm I(3; -4), bán kính R= 2 4.(ĐH khối A - 2010 ) Tìm phần ảo của số phức z, biết z  2i 2 1 2i

Đáp án: - 2

5.(ĐH khối A – 2010 ) Cho số phức thoả mãn 1 3 3

1

i z

i







Tìm modun của z iz

Đáp án: 8 2 6.( ĐH khối B – 2010 ) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thoả mãn điều kiện z i 1i z

Đáp án: Đường tròn có phương trình x2 + (y + 1)2 = 2

7.( ĐH khối D – 2010 ) Tìm số phức thoả mãn điều kiện z  2 và z2 là số thuần ảo

Đáp án: z1 = 1 + i; z2 = 1 – i; z3 = -1 –i; z4 = -1 + i

Công thức Moivre và ứng dụng.

1 Áp dụng công thức Moavre để thực hiện các phép tính

a.Phương pháp

Ta vận dụng công thức Moivre và các công thức lượng giác để tính toán :

(cosai sin )a n cos( ) i sin( )na  na

(cosai sin )(cosa bi sin )b =cosa b isin(a b )

cos i sin

cos i sin



2

1 cos i sin 2cos 2 sin os 2cos os i sin

 

cos cos

a

b.Bài tập

1 Tính giá trị của số phức sau

D =

10

5

c



(1)

Bài giải:

Ta có

10





5





Thế vào (1) ta được

D =

c



=

2 Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A =

2

2

1 os +i sin

c c

(2)

b) B = (1 + i)2008 + (1 – i) 2008

Bài giải:

a) Ta có

2

     

     



Với phép biến đổi tương tự ta cũng có:

2

1 os +i sin



Thế hai đẳng thức vừa biến đổi vào (2) ta được

A =

2

2





= =

ic ic





=

os + i sin

c c

c          

= 1 3

i



b) Ta có

1 + i = 2 os isin



1 i2008 21004cos 502 isin 502

Tương tự

1 – i = 2 os i sin

1 i2008 21004 cos 502  isin 502 

Vậy B =21005

c Bài tập tham khảo

1)Tính giá trị của biểu thức: B = 6 5  5 6

1i 3 1 i  1i 1 i 3 Đáp số: B = -512

2)Tìm số phức sau: x =  

10 9

1 3

i i



 Đáp số: x = 1

16



3) Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: w = 2009

2009

1

z z

 biết z 1 1

z

  Đáp số: w = 1

4) Cho z = 1 3

2 i 2

  Tính w = z2011z2012 z2013

5) Cho z = 1 3

2  i 2 Tính C = 1 – z + z

2 – z 3 + z4 + ….-z9 + z10 2.Áp dụng công thức Moivre để chứng minh các hệ thức lượng giác

a.Phương pháp

- Tính cosnx, sinnx thao cosx va sinx:

CT Moivre (cosx + i sinx)n = cosnx + i sinnx Với công thức trên ta khai triển nhị thức ở vế trái và đồng nhất phần thực phần ảo của hai vế ta sẽ tính được cosnx, sinnx thao cosx và sinx

VD : Tính biểu thức sau theo sinx và cosx cos2x và sin 2x

Ta có cos2x + i sin2x = ( cosx + i sinx )2 = cos2x – sin2x + 2i sinx cosx

Vậy sin2x = 2 sinx cosx

cos2x = cos2x – sin2x

- Công thức rút gọn và các biểu thức lượng giác tương tự như phần 1

b Bài tập

1 Rút gọn các biểu thức:

A = 1 cos x c os2xcos3x cos9x

B = sinx sin 2 xsin 3x sin 9 x

Bài giải :

Ta xét biểu thức: A + i B = 1 cos x c os2xcos3x cos9x +

sinx sin 2 xsin 3x sin 9 x

= 1cosxi sinx  cosxi sinx2 cosxi sinx3  cosxi sinx9

=  

10

1 cos10 i sin10

1 cos isin

2 2

2sin 5 2 sin 5 os5 2sin 2 sin os





=

5

x

c

=

sin 5

os 5 i sin 5

sin 2

x

=

os i sin

sin

2

c

x



Vậy A =

sin 5 9

os

sin

2

c x

B =

sin 5 9

.sin

sin

2

x

c.Bài tập tham khảo

1.Chứng minh hệ thức

sin os

1 cos os2 os3 cos

sin 2

x

1

sin 2

x

x



2.Cho z = cosx + isinx Chứng minh:

2

1 1

z z

b 3 13

2 sin 3

z

3

2 sin 3 sin x

z z

Số phức và bài toán tính tổng chứa số tổ hợp 1.Lý thuyết

*Ta dùng số phức để tính tổng của các k

n

C khi tổng này có hai đặc điểm:

- Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau

- k luôn lẻ, hoặc luôn chẵn hoặc khi chia k cho một số ta luôn được cùng một số dư

*Khai triển nhị thức Newton

(1 + x)n = C0n xC1n x2C2n  xn-1Cnn-1 xnCnn

*Một số tính chất được sử dụng trong dạng toán:

- Hai số phức z = x + iy, w = x/ + iy/ bằng nhau khi và chỉ khi x = x/ và y = y/

- z = r(cos + isin)  zn = [r(cos + isin)]n = rn(cosn + isinn)

*Một số dạng khai triển thường được sử dụng

- Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là

x = i) So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính

- Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là

6



4



 , 3 ) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính

- Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một

số phức trong hai cách tính

Để chọn một trong cac khai triển trên ta chủ yếu dựa và số Ckntrong tổng

2.Bài tập

1)Tính tổng sau S = C20090  C20092  C20094   C20092006  C20092008

P = C20091  C20093  C20095   C20092007  C20092009

Bài giải :

Xét khai triển

1 i 2009=  0 2 4 2006 2008

C  C  C   C  C +

2009 2009 2009 2009 2009

Mặt khác ta tính 1 i 2009 theo dạng lượng giác của số phức và áp dụng công thức Moivre ta được :

1 i 2009=  2 2009 os2009 isin2009



Vậy so sánh phần thực và phần ảo ta có S = 21004

B = 21004 Nhận xét : bằng việc xét khai triển  

0

n k



   ta có kết quả tổng quát sau :

 

 

0 2 4

1 3 5

2 os

4 2 sin

4

n

n

n

n













n  *

2.Tính tổng: D = 3 10 C 0 20 9 C 2 20 8 C 4 20 7 C 6 20  2 C 16 20 3C 18 20C 20 20

Giải:

Xét khai triển:

20 C 19 20 C 3 i 18 20 C 2 ) 3 (

2 20 C 18 ) 3 ( 1 20 C 19 ) 3 i(

0 20 C 20 ) 3

(

20

i

= (310C020 9C220 8C420 7C620  2C1620 3C1820 C2020) +

20 C 3 17 20 C 3 ) 3 (

3 20 C 17 ) 3 ( 1

20

C

19

)

3

(

Mặt khác:































6

20π isin 6

20π cos 20 2

20 6

π isin 6

π cos 20 2

20 2

1 i 2 3 20

2

20

i

3

i 3 19 2 19 2 i 2

3 2

1 20 2 3

4π isin 3

4π

cos

20

























So sánh phần thực của  3  i20 trong hai cách tính trên ta có:

D = 310C020 9C220 8C420 7C620  2C1620 3C1820 C2020 = - 219

Dạng 2: Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp

Ví dụ 1:

Tính tổng: D = C 1 30 3C 3 305C 5 30 7C 7 30 25C 25 30 27C 27 3029C 29 30

E = 2C 2 30 4C 4 306C 6 30 8C 8 30 26C 26 30 28C 28 3030C 30 30

Giải:

(1 + x)30 = C030 xC130 x2C230 3C330  x28C3028 x29C2930 x30C3030

Đạo hàm hai vế ta có:

30(1 + x)29 = C130 2 xC302  x2C330  28 x27C3028 29 x28C3029 30 x29C3030

Cho x = i ta có:

30(1 + i)29 = (C130 3C330 5C530 7C307   25C3025 27C2730 29C2930) +

+ (2C302  4C304  6C630 8C830  26C3026 28C2830 30C3030)i

Mặt khác:























4

29π isin 4

29π cos 29 2 30

29 4

π isin 4

π cos 29 2 30

  i 15.215 15.215i

2

2 2 2 29 2













So sánh phần thực và ảo của 30(1 + i)29 trong hai cách tính trên ta có:

D = C130 3C330 5C530 7C730  25C3025 27C2730 29C3029 = - 15.215

E = 2C230 4C430 6C630 8C830  26C3026 28C3028 30C3030 = - 15.215

2.Tính tổng S = 2.3C 2 20 4.3 2 C 4 206.3 3 C 6 20 18.3 9 C 18 20 20.3 10 C 20 20

Giải:

Xét khai triển:

(1 + 3x)20 =

= C020 ( 3 x)C120 ( 3 x)2C220 ( 3 x)3C320  ( 3 x)19C1920 ( 3 x)20C2020

Đạo hàm hai vế ta có:

20 3 (1  3 x)19 =

= 3 C120 2 3 xC220 3 ( 3 )3x2C320  19 ( 3 )19x18C1920 20 310x19C2020

Cho x = i ta có: 20 3(1 3i)19=

=               19

20 C 19 3 19.

17 20 C 17 3 17.

5 20 C 5 3 5.

3 20 C 3 3 3.

1

20

C

3

i 20 20 C 10 20.3 18

20 C 9 18.3

6 20 C 3 6.3 4

20 C 2 4.3 2

20

















3

π isin 3

π cos 19 2 3 20.

19 i 2

3 2 1 19 2 3 20

i 19 30.2 19

.2 3 10.

i 2

3 2

1 19 2 3 20.

3

19π isin 3

19π cos 19

.2

3































So sánh phần ảo của 20 3 (1  3 i)19trong hai cách tính trên ta có:

S = 2.3C220 4.32C420 6.33C620  18.39C1820 20.310C2020 = 30.219

3.Tính các tổng sau: M = C 15 0  3C 15 2 5C 15 4  7C 15 6  13C 12 15 15C 14 15

N = 2C 1 15 4C 15 3 6C 15 5  8C 15 7  14C 13 15 16C 15 15

Giải:

Xét khai triển:

(1 + x)15 = C150  xC115 x2C152  x3C153   x13C1315 x14C1415 x15C1515

Nhân hai vế với x ta có:

x(1 + x)15 = xC150  x2C115 x3C152  x4C153   x14C1315 x15C1415 x16C1515

Đạo hàm hai vế ta có:

(1 + x)15 + 15x(1 + x)14 =

15 15 C 15 x 16 14 15 C 14 x 15 13 15 C 13 x 14

3 15 C 3 x 4 2 15 C 2 x 1 15 xC

2

0

15

C



Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 =

15 15C 12 15 13C

6 15 7C 4 15 5C 2

15

3C

0

15

15 16C 13 15 14C

7 15 8C 5 15 6C 3 15 4C 1 15

Mặt khác:

(1 + i)15 + 15i(1 + i)14 =         





















4

π isin 4

π cos

14 2 15i.

15 4

π isin 4

π cos

15 2



































2

2 2 2 15 2 4

14π isin 4

14π cos i 7 15.2 4

15π isin 4

15π cos

15

2

i 7 2 8 7.2 i 7 2 7 14.2 7

15.2 i

7

2

7





So sánh phần thực và ảo của (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 trong hai cách tính trên ta có:

M = C150  3C152  5C154  7C156   13C1215 15C1415 = 7.28

N = 2C115 4C153  6C155  8C157   14C1315 16C1515 = -27

3.Bài tập tham khảo

1) Tính các tổng sau:

30 C 29 3 29 27 30 C 27 3 27

5 30 C 5 3 5 3 30 C 3 3 3 1

30

C

3

1

30 30 C 15 30.3 28

30 C 14 28.3

6 30 C 3 6.3 4

30 C 2 4.3 2

30

2.3C

2

Hướng dẫn: Xét khai triển: 1 3 x30 Đạo hàm hai vế, cho x = i và so sánh phần thực, phần ảo của hai số phức

ĐS: A1 = 15 3 229; A2 = - 45.229

2) Tính các tổng sau:

24 25 23.24C 22

25 21.22C

8 25 7.8C 6

25 5.6C 4

25 3.4C 2

25 2C

0

25

C

1

25 25 24.25C 23

25 22.23C

9 25 8.9C 7

25 6.7C 5

25 4.5C 3

25 2.3C

1

25

C

2

Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25 Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i So sánh phần thực và phần ảo của hai số phức bằng nhau

ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214)

3) Tính các tổng sau:

20 20 21C 18 20 19C 16 20 17C

6 20 7C 4 20 5C 2 20 3C

0

20

C

1

19 20 20C 17 20 18C 15 20 16C

7 20 8C 5 20 6C 3 20 4C 1

20

C

2

2

Hướng dẫn: Xét khai triển: ( 1 + x)20 Nhân hai vế với x Đạo hàm hai vế Cho x = i

ĐS: C1 = - 11.210; C2 = - 10.210

4) Tính các tổng sau:

99 100 C 2 99 97 100 C 2 97 95 100 C 2 95

7 100 C 2 5 100 C 2 3 100 C 2 1 100 C

2

1

100 100 C 2 100 98 100 C 2 98 96 100 C 2 96

8 100 C 2 6 100 C 2 6 4 100 C 2 2 100 C 2

2

Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)100 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm hai

vế Cho x = i ĐS: D1 = - 50.100.250; D2 = -50.250

5) Chứng minh rằng 20 22 24 25   22 2

2

3

n

6) Tính tổng sau S = C200  3 C202  32C204  33C205  3  10C2020