TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC

• Vẽ đồ thị của hàm số: + Tìm điểm uốn của đồ thị đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương.. + Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ t

TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌCBIÊN SOẠN: NGUYỄN CÔNG NHỰTPHẦN I: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

CHUYÊN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐVấn đề 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

• Tìm tập xác định của hàm số

• Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y′

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc không xác định

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số

• Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương)

– Tính y′′.– Tìm các điểm tại đó y′′ = 0 và xét dấu y′′.+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trongtrường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua).Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị

• D=R

•

x x

6 3 0

x

x x

x y

; ( −∞

và

)

; 2 ( +∞

Hs giảm

) 2

; 0 (

• Đồ thị:

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC

 0937 944 688 Email: tringuyenlqd@gmail.com

Hs đạt cực đại tại (0;2), cực tiểu tại (2;-2).

•

6 6

'' = x −

y

Cho

0 1

0 6 6 0

'' = ⇔ x − = ⇒ x = ⇒ y =

y

Vậy hs nhận điểm uôn I(1;0) làm tâm đối xứng

Cho

2 3

; 2

y ' = − 4 3 + 4

Cho3

2

1 1

x x

; ( −∞ −

và

) 1

; 0 ( Hs giảm)

Hs đạt cực đại tại (-1;2) và (1;2), cực tiểu tại (0;1)

Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng

• Đồ thị:

• D=

} {

\

R

•

0 ) 1 (

2 ' 2 <

x

• BBT

Vậy: hs luôn giảm trên D.và Hs không có cực trị

Đồ thị nhận I(1;1) làm tâm đối xứng

• Cho

1 0

; 1

ax bx c y

trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số y f x m = ( , ) , m là tham số, có tập xác định D.

• Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y ′ ≥ 0, ∀ x ∈ D.

• Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y ′ ≤ 0, ∀ x ∈ D.

Từ đó suy ra điều kiện của m.

Chú ý:

1) y ′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

2) Nếu y ax bx c

2' = + +

thì:

•

00' 0,

00

a b c

00

a b c

g x = ax + + bx c

:

• Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

• Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 2

b a

0 ' 0

'

a

y

3 0

y

• D=R

•

2 )

1 2 ( 2 3

0 ' 0

'

m a

−

⇔

0

0)2(314

4 2

m

m m m

⇔

0

0)1

m m

0 ) 1 (

af af

+

<

− +

−

⇔

0 ) 1 6

3

(

3

0 ) 1 6

m x

y = 3 + ( − 1 ) 2 − ( 2 2 + 3 + 2 )

tăng trên

)

; 2 ( +∞

• D=R

•

) 2 3 2 ( ) 1 ( 2 3

và

22

0 ) 2 (

0 '

0 '

−

>

+ +

≤ + +

⇔

2 2

3

) 1 ( 2

0 ) 6 2

( 3

0 1 7 7

0 1 7 7

2 2 2

m

m m

m m

m m

3

m

m

2 2

Bài 5: Cho hàm số

m x x m x

sao cho2

⇔phơng trình

0 ' =

y

có hai nghiệm pb là

2

1, x x

⇔

Pt

0 3 ) 1 ( 2

=

∆

⇔

3 1

3 1 0

3 ) 1 (

m

m m

) 1 (

• Theo định lý Viet ta có

3 );

1 (

3 4 ) 1 ( + 2 ≤ ⇔ − ≤ ≤

Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là

3 1

3 ≤ < − −

và

1 3

' = x2 − mx + m2 −

y

Cho

0 ) 1 ( 3 6 3 0

) 2 ( + 3 + 2 + −

y ' = 3 ( + 2 ) 2 + 6 +

hs có cực đại, cực tiểu

0 ' =

20

963

20

)2(39

20

'

2

m m

m

m m

m

m m

2

m m

a) 0 0

( ) , max ( ) : ( )

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

• Tính f′ (x).

• Xét dấu f′ (x) và lập bảng biến thiên.

• Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].

' = x3 − x2 +

y

⇔

=

21

00

2640

x

x x

x y

• BBT

1 16

; 2 [ −

∈

x

•

] 3

; 2 [ −

∈

D

(hoặc D=R xét

] 3

; 2 [ −

) 1 ( 4 0

x

x x

x y

68 ) 3 (

; 13 ) 2 (

; 4 ) 1 (

; 4 ) 1 (

] 3

; 2

; 1 [ −

∈

x

] 2

; 1 [ −

∈

D

(hoặc D=R xét

] 2

; 1 [ −

∈

x

)2

3

4 20 15 5

−

⇔

=

] 2

; 1 [ 3 1

0 0

15 20

5 0

x x

x x

x x

y

6 ) 2 (

; 9 ) 1 (

; 3 ) 1 (

] 2

; 1 [ =− ⇔ =−

−

Min

x

; 2 [ −

∈

D

•

24

'

x

x y

' = ⇔ x =

y

0 ) 2 (

; 0 ) 2 (

] 2

; 2

Bài 10: Cho hàm số

2 +

−

=

x

x m y

có đồ thị là

) ( Hm

d

cắt

) ( Hm

tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành một

tam giác có diện tích là

8

là các nghiệm của phương trình

2

1

2 = − + +

+

−

x x

m x

2 , 0 ) 1 ( 2

170

)1(22)2.(

016172

m

m m

m

Ta có

16 17 2

2 4

) (

2 ) (

2 ) (

)

1 2

2 1 2

2 1 2

2 1

1 8

3 16 17 2

2 2 2

1 2

1

2

x 1

+

= +

2g(x) 2x (m 1)x m 3 0 (x 1) (*)

Ta có:

(m 1) 8(m 3) (m 3) 16 0, mg( 1) 2 0, m

∆ = + − − = − + > ∀

⇔  − = − ≠ ∀



→ phương trình (*) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt khác – 1

Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của M và N thì x1, x2 là

nghiệm của phương trình (*) Ta có:

Bài 12: Cho hàm số y =

1

1 2

−

+

x x

(1)1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2/ Định k để đường thẳng d: y = kx + 3 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm M, N sao cho tam giác OMN vuông góc tại O ( O là gốc tọa độ)

Giải

2 / Xét pt:

) ( 0 4 ) 1 ( )

1 ( 3 1

1

x g x

k kx x

kx x

4 7

0 0

) 1 ( 0

0

k k

k g

−

⇔

= + + +

+

⇔

= + +

x

k

k x x k

k

k

x x k x

x k

kx kx

x x ON

OM ON

OM

N M

N M

N M N

M N

M N

M

4

1 5

3 0

4

6

0 9 ) (

3 ) )(

1 ( 0 ) 3 )(

3 (

0

x y x

−

= + (C)

1 Khảo sát hàm số

2 Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB =

5.Giải

2 Phương trình hoành độ giao điểm: 2x2 + mx + m + 2 = 0 , (x≠ - 1) (1)

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ PT(1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1 ⇔ m2 - 8m - 16 > 0 (2)

Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m Ta có x1, x2 là 2 nghiệm của PT(1)

Theo ĐL Viét ta có

1 2

1 2

2 2 2

m

x x m

ba điểm phân biệt.

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm:

(Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt⇔

(1) có ba nghiệm phân biệt⇔

(2) có hai ngiệm phân biệt khác 1

Từ (a) và (b) ta có gía trị cần tìm là: m < -1 hoặc m > 1.

Bài 16: Cho hàm số

m

y = − + x mx − m (C )

Định m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt

Giải: Đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt⇔

(Cm) có hai cực trị đồng thời hai giá trị cực trị trái

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm:

(C).

a) khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b) biện luận số nghiệm phương trình : x3 − 3 x2 + 2 = m

.c) Tìm m để phương trình x3 − 3 x2 + 3 = m

có 3 nghiệm phân biệt

6 3 0

x

x x

x y

; ( −∞

và

)

; 2 ( +∞

Hs giảm

) 2

; 0 (

Hs đạt cực đại tại (0;2), cực tiểu tại (2;-2)

•

6 6

'' = x −

y

Cho

0 1

0 6 6 0

; 2

1 ⇒ = − = ⇒ =

−

x

• Đồ thị:

b)

m x

Vậy: ⇔−2<m−1<2⇔−1<m<3

Vấn đề 5: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y =f(x) tại điểm M x y0( 0 0; )

:

• Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0).

Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0.

• Tính y ′ = f ′ (x) Suy ra y ′ (x0) = f ′ (x0).

• Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y – y0 = f ′ (x0).(x – x0)

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y =f(x), biết ∆ có hệ số góc k cho trước.

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

• Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm Tính f ′ (x0).

• ∆ có hệ số góc k ⇒ f ′ (x0) = k (1)

• Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0) Từ đó viết phương trình của ∆ .

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

• Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: y = kx + m.

• ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

( ) '( )

• Giải hệ (*), tìm được m Từ đó viết phương trình của ∆ .

Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến ∆ có thể được cho gián tiếp như sau:

+ ∆ tạo với chiều dương trục hoành góc α thì k = tan α

+ ∆ song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a

+ ∆ vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) thì k =

k a ka

• Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm Khi đó: y0 = f(x0), y ′0 = f ′ (x0).

• Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M: y – y0 = f ′ (x0).(x – x0)

• ∆ đi qua

( ; )A A

A x y

nên: yA – y0 = f ′ (x0).(xA – x0) (2)

• Giải phương trình (2), tìm được x0 Từ đó viết phương trình của ∆ .

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua

( ; )A A

A x y

và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA)

• ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

(C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến:

27 x − y + =

g) Vuơng gĩc với đường thẳng (d) :

2011 9

=

3

00

31

0

0 2

1 : 0 ) 0 ( '

x y tt y

k

y tt y

y x

x x

x x

19

639)('

9

0

0 0

0 0

2 0 0

f) do tt // (d) : 3

5

9 +

= x y

=> k = 9

=> giải tương tự

g) do tt

9 9 1

1 2011

9

1 :

x y x

2 Tiếp tuyến của (C) tại điểm

x y x

−

= +

có đồ thị là (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại Bsao cho OA = 4OB

Giải

2 OA =4OB nên ∆

OAB có

1 tan

4

OB A OA

⇒Tiếp tuyến AB có hệ số góc k =

1 4

x x x

CÔNG THỨC

Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những

hàm số sơ cấp thường gặp

Nguyên hàm của những hàm số

thường gặp

Nguyên hàm của những hàm số hợp

1

≠+

∫cos sin

C x xdx=− +

C x dx

( 0)

ln1

≠+

+

=+

a b ax dx

C e

a dx

e ax+b = ax+b +

a dx b

a dx b

(ax b)dx=a (ax+b)+C+

cos

12

(ax b)dx=−a (ax+b)+C+

sin

12

C u

du= +

∫

( 1)1

1

≠++

C e du

u u

C u

∫cos sin

C u udu=− +

C u du

cos

12

C u du

sin

12

f[u(x)]u (x)dx

ò

ta thực hiện các bước sau:

f[u(x)]u (x)dx f(t)dt

b a

dxI

dx I

2 0

=

Ví dụ 2 Tính tích phân

2

2 0

dxI

p

=

Ví dụ 4 Tính tích phân

3 1 2 0

dxI

dxI

dxI

Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ) Tính tích phân

2 5 0

p

=

Ví dụ 14 Tính tích phân

2 0

dx I

Ví dụ 15 Tính tích phân

0

xdxI

t d

( )

2007 0

cos t dx J sin t cos t

2

p

p + = ò =

(2) Từ (1) và (2) suy ra

I4

p

=

( )

2 2

0

4

I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du

4p

[- a a ; ]

thì

p -

cosxdx 2 cosxdx 2

p -

Vậy

2 I 3

=

2 Phương pháp giải toán

Giả sử cần tính tích phân

b af(x)g(x)dx

Ví dụ 1 Tính tích phân

1 x 0

dv xdx v x

2

ìï = ï

III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán

1 Dạng 1

Giả sử cần tính tích phân

b a

I = ò f(x) dx

, ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

x a

1x

2x b

f(x) + 0 - 0 +

x - 3x+2

+ 0 - 0

Vậy

59 I 2

=

Ví dụ 10 Tính tích phân

2

2 0

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).

Ví dụ 11 Tính tích phân

2 1

I = òmax f(x), g(x) dx

và

b a

J =òmin f(x), g(x) dx

, ta thực hiện các bướcsau:

x 0 1 3 4h(x) + 0 – 0 +

=

Ví dụ 13 Tính tích phân

2

x 0

x 0 1 2h(x) – 0 +

Vậy

I ln3 2

y = f(x), x = a, x = b

và trục hoành là

b a

S=ò f(x) dx

Phương pháp giải toán

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b af(x) dx

= (đvdt).

trên đoạn [a; b]

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b af(x)- g(x) dx

Phương pháp giải toán

Bước 1 Giải phương trình

a

-ò

Ví dụ 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

= (đvdt)

Ví dụ 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

x 1 2 3h(x) 0 + 0 – 0

= (đvdt).

= (đvdt).

Ví dụ 7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

ïî ë

.Bảng xét dấu

x 0 1 3 52

2 2

x - 1 = x + Û 5 t - 1 = + t 5, t = x ³ 0

2 2

= (đvdt)

và

x = b (a < b)

quay quanh trục Ox là

b 2 a

y = d (c < d)

quay quanh trục Oy là

d 2 c

a y 4 a b

2 a y

3 3b

ç

= p ç çè - ÷ ÷ ø =

Vậy

2

4 a b V

p

= (đvtt)

( ) ( )

2

2 1

CHUYÊN ĐỀ 4 PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I Phương trình và bất phương trình mũ−logarit

f

b

a

log0

Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) (a−1)[f(x)−g(x)]=0

Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số

Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2

3

±), (7

4 3

±

),… Nếu trong một phương trình có chứa {a 2x ;b 2x ;axbx} ta

có thể chia hai vế cho b 2x (hoặc a 2x ) rồi đặt t=(a/b) x (hoặc t=(b/a) x

Phương pháp logarit hóa: af(x) =b g(x)  f(x).log c a=g(x).log c b,với a,b>0; 0<c1

x g x

f

a

00

10

Đặt ẩn phụ

2 Bất phương trình mũ−logarit

x g x f a a

0

x g x f a a

0,

0

10

x g x f a

x g x f a

0,

0

10

x g x f a

x g x f a

Đặt biệt:

+ Nếu a>1 thì: loga f(x)>log a g(x) 

( ) ( ) ( )

x g x f

;

+ Nếu 0<a<1 thì: log a f(x)>log a g(x) 

( ) ( ) ( )

x g x f

Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích:

Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi

Thay vào (*) ta tìm được x.

Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương

Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không quá một

nghiệm trong khoảng (a;b).

Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có

( )

( )

f u = f v ⇔ =u v

Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều

nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì

( ) a b

c ∈ ;

∃

:( ) ( ) ( )

a b

a F b

có nghiệm thuộc (a;b).

Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm

Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1 Ta cần chứng minh

không còn nghiệm nào khác

1

x

y

y e

y x e

suy ra hệ phương trình vô nghiệm

Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 6: Cho

0

>

≥b a

Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2

nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2.

Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN

I Hệ phương trình đối xứng loại 1:

Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng

− Phương trình n ẩn x1, x2, , xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay x i bởi x j ; x j bởi x i thì phương trình không thayđổi

− Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:

x1 + x2 + + xn

x1x2 + x1x3 + + x1xn + x2x1 + x2x3 + + xn-1xn

x1x2 x n

− Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng

− Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét

* Nếu đa thức F(x) = a0x n + a1x n− 1 + a n , a0 ≠ 0, a i∈ P có nhgiệm trên P là c1, , c n thì:

1 Định lý Viét cho phương trình bậc 2:

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:

Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và

+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.

Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm

Phương pháp giải chung:

+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và

Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v.

Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

Ví dụ 3 Tìm điều kiện m để hệ phương trình

9 - 5

u =12

II Hệ phương trình đối xứng loại 2:

1 Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn:

A Định ghĩa:

( ) ( )

( , ) 0 1( , ) 0 2

Cách giải: Lấy (1) − (2) hoặc (2) − (1) ta được: (x−y)g(x,y)=0 Khi đó x−y=0 hoặc g(x,y)=0.

+ Trường hợp 1: x−y=0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra được nghiệm.

+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương

trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm

B Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

( ) ( )

3 3