CHUYEN DE TOAN 12 LUYEN THI CAO DANG DAI HOC 2012 2013

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M–1;–9... Định m để đồ thị hàm số có cực đại

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC

Cho hàm số y  f   x ,đồ thị là (C) Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:

Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M x 0;y0   C

 Tính đạo hàm và giá trị f' x0

 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y f ' x0 xx0 y0

Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M x 0;y0   C có hệ số góc k f ' x0

Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k

 Giải phương trình: f ' x k, tìm nghiệm x0y0

 Phương trình tiếp tuyến dạng: yk x x0y0

Chú ý: Cho đường thẳng :AxBy C 0, khi đó:

 Nếu d//  d :yaxb hệ số góc k = a

 Nếu d   d :yaxb hệ số góc k 1

a

 

Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A x  A; yA    C

 Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó   d : y  k x   xA  yA

 Điều kiện tiếp xúc của     d v à C là hệ phương trình sau phải có nghiệm:    

b Viết phương trình tiếp tuyến  của (C):

i Tại điểm có hoành độ x 2

ii Tại điểm có tung độ y = 3

iii Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1: 24x y 20090

iv Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d2:x24y20090

3 Cho hàm số 2

1

x y x



a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác OAB bằng

1

4 ĐS:

1

; 22

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2

b Gọi M là điểm thuộc (C m) có hoành độ bằng 1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm ) tại M song song với đường

C yx  x  Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ được 3

tiếp tuyến với (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9)

Lời giải:

a D=R, y’ = 12x2 – 12x; y’ = 0  x = 0 hay x = 1

BBT :

b Tiếp tuyến qua M(1;9) có dạng y = k(x + 1) – 9

Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng :

2

x y

a



  

 Để hàm số y f x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành y CĐ.y CT 0

 Để hàm số y f x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung x CĐ.x CT 0

 Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trên trục hoành 0

 Để hàm số y f x có cực trị tiếp xúc với trục hoành y CĐ.y CT 0

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

4 Cho hàm số yx3 3mx2 9x3m5 Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường

thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy

yx   m x  m x m Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ

của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

y  x x  m  x m  (1), m là tham số (ĐH KhốiB năm 2007)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1

b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ

2

m 

8 Cho hàm số 4  2  2

ymx  m  x  (1) (m là tham số)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1

b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị (ĐH KhốiB năm 2002)

m m

 



  



Cho hàm sô y  f   x có tập xác định là miền D

 f(x) đồng biến trên D  f '   x  0 ,  x  D

 f(x) nghịch biến trên D  f '   x  0 ,  x  D

(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)

Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai:   2

  và f(x) luôn cùng dấu với a khi

2

b x a

a Hàm số luôn đồng biến trên R

b Hàm số luôn đồng biến trên khoảng 2;

yx  m x  m x

a Định m để hàm số đồng biến trên khoảng 2;

b Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1

Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG

Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm

Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2) Khảo sát sự tương giao giữa hai đồ thị (C1) và (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1) Số giao điểm của (C1) và (C2) đúng bằng

số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1)

(1) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm chung

(1) có n nghiệm  (C1) và (C2) có n điểm chung

(1) có nghiệm đơn x1  (C1) và (C2) cắt nhau tại N(x1;y1)

(1) có nghiệm kép x0  (C1) tiếp xúc (C2) tại M(x0;y0)

a Khảo sát hàm số trên khi k = 3

b Tìm các giá trị của k để phương trình 3 2

x kx   có nghiệm duy nhất

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba

điểm phân biệt

= 0 có 3 nghiệm phân biệt

c Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

y

(C')

f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5

x

y

(C'')

Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ

1 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y2x3 9x2 12x4

b Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: 2x39x2 12 x m (ĐH Khối A2006) f(x)=2x^3-9x^2+12x

-4 -2

2 4 6

2 4 6

x y

Trang 7

Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG

Điểm I x 0;y0là tâm đối xứng của đồ thị  C :y f x  Tồn tại hai điểm M(x;y) và M’(x’;y’) thuộc (C)

a Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB

f x x

2 4

Trang 8

f(x)=(2x+1)/(1-x) y=3x+1

x(t )=1 , y(t )=t f(x)=-2 Series 1 f(x)=-(1/3)x-13/3

-8 -6 -4 -2

2

x y

b ax y

m

n x d y

m

n x

a y x

1 2 3





 có đồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất

2 Cho hàm số 2 1

2

x y

x





 có đồ thị (H)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến  của (H) tại giao điểm với trục tung

c Tìm những điểm N (x N >1) thuộc (H) sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến  ngắn nhất

Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b

ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b

b Thể tích

Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi

{(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox

được tính bởi công thức:      

b

a

dx x f

Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox (f(x)g(x), x[a;b])

được tính bởi công thức:            

b

a

dx x g x f

1 2 3

1 2 3

x y

1 2 3 4

x y

y=x

y=3 x

y=log3x

f(x)=ln(x)/ln(1/3) f(x)=(1/3)^x

f(x)=x

-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4

n n b

a b



a

x b

log

1) logb a.log a x=log b x; alogb =xlogb

IV Phương trình và bất phương trình mũlogarit

(t>0), để đưa về một phương trình đại số

Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 3), (74 3),… Nếu trong một phương trình có chứa {a 2x

;b 2x ;axbx} ta có

thể chia hai vế cho b 2x (hoặc a 2x ) rồi đặt t=(a/b) x

(hoặc t=(b/a) x

Phương pháp logarit hóa: af(x)

=b g(x) f(x).logc a=g(x).log c b,với a,b>0; 0<c1

b Phương trình logarit:

a 10

x g x

f

a

00

10

0

x g x f a

a

;  a f(x)ag(x)          



01

0

x g x f a

0,

0

10

x g x f a

x g x f

0,

0

10

x g x f a

x g x f

x g

x g x f

x f

x g x f

2 log x log x.log 2x 1 1

Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: log3x2 log3 2x 1 1 log 3x0

là phương trình tích đã biết cách giải

Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành

t  x t x    t t  x Thay vào (*) ta tìm được x

Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi  là số chính phương

Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có f u( ) f v  u v

Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b)

Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì

  a b

c  ;

a b

a F b F c F





 ' Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì

 ; : '  0 '  0

Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc

D

Ví dụ 1: Giải phương trình: x2.3log 2x 3

Hướng dẫn: log 2 log 2

1

x y

y e

y x e

Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh

Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với ab0ta có f ( a )  f   b (Đpcm)

IV Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên

2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp

5 6

Ví dụ 1: Giải phương trình log 7 3

4 x x Đặt tlog7x 3 7t  x 3, phương trình tương đương

Đặt t = x+4 phương trình tương đương log3 t 1 t

g x Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của

log x log x 1 2m 1 0 (m là tham số) (ĐH_Khối A 2002)

a Giải phương trình khi m=2

b Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 3 3

Bài 6: Giải các phương trình sau:

a log5xlog5x6log5x2 b log5 xlog25xlog0,2 3

Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những

hàm số sơ cấp thường gặp

Nguyên hàm của những hàm số

thường gặp

Nguyên hàm của những hàm số hợp

cos sin

C x xdx 

sin cos

C x dx

ax a dx b ax

C e

a dx

e axb  axb 

a dx b

a dx b

C u

C e du

u u

C u

cos sin

C u udu 

sin cos

C u du

cos

12

C u du

sin

12

2

2 1 1

dt

Vậy I ln 2

Ví dụ 8 Tính tích phân

4

3 0

dx I

2 0

dx I

dxI

dx I

4 x ĐS: I

2

Ví dụ 6 Tính tích phân

3 1

2 0

dxI

t 0 u , t u 0

0 4

cos xdx 2 cos xdx 2

Vậy 2 I

ii/ Với a > 0, hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì

Cách 1

Bước 1 Đặt u f(x), dv g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân

/

du u (x)dx không quá phức tạp Hơn nữa, tích phân

b

avdu phải tính được

Bước 2 Thay vào công thức (1) để tính kết quả

v 2

III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán

1 Dạng 1

Giả sử cần tính tích phân

b

a

I f(x) dx, ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x)

J min f(x), g(x) dx, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2

+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x) f(x) và min f(x), g(x) g(x)

+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x) g(x) và min f(x), g(x) f(x)

x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 +

IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

Phương pháp giải toán

1 Dạng 1

Để chứng minh

b

af(x)dx 0 (hoặc

b

af(x)dx 0) ta chứng minh f(x) 0 (hoặc f(x) 0) với

Để chứng minh

b

a

A f(x)dx B ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m f(x) M

Bước 2 Lấy tích phân

2

x cotx sin x

A f(x)dx B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện

Bước 1 Tìm hàm số g(x) sao cho

b b

a a

a a

2007 0

2007 0

Giải

V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Diện tích hình thang cong

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường

y f(x), x a, x b và trục hoành là

b

a

S f(x) dx

Phương pháp giải toán

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

af(x) dx

Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y ln x, x 1, x e và Ox

Giải

e 1

Phương pháp giải toán

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

af(x) g(x) dx

2.2 Trường hợp 2

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Phương pháp giải toán

Bước 1 Giải phương trình f(x) g(x)

Bước 2 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn ;

Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx

Ví dụ 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 11x 6, y 6x2, x 0, x 2

Nếu trong đoạn ; phương trình f(x) g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công thức

Ví dụ 8 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 1 , y x 5

Giải

Tung độ giao điểm của (E) và Oy là

2 2

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x f(y), x g(y), y c và

Vậy 153 V



2 2

-2-1

2

6sin cot



C=

2

2 2 0

sin 2

x dx x

e

dx e



3

2 2

sin

1 cos

x x

dx x

ln x dx x

3x 2x

dx x



4 1

1 1

1ln

b Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox

11 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2

Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN

I Hệ phương trình đối xứng loại 1:

Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng

 Phương trình n ẩn x1, x2, , xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay x i bởi x j ; x j bởi x i thì phương trình không thay đổi

 Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:

x1 + x2 + + xn

x1x2 + x1x3 + + x1xn + x2x1 + x2x3 + + xn-1xn

x1x2 x n

 Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng

 Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét

* Nếu đa thức F(x) = a0x n + a1x n1 + a n , a0 ≠ 0, a i  P có nhgiệm trên P là c 1, , c n thì:

1 Định lý Viét cho phương trình bậc 2:

Nếu phương trình bậc hai ax2

+ bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:

Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 4P

Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y

Chú ý:

+ Cần nhớ: x2

+ y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP

+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv

+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ

Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm

Phương pháp giải chung:

+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 4P (*)

+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m

Chú ý:

Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v

Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:



9+ 5

u =12

9 - 5

u =12

y x

a Giải hệ phương trình khi m = 5

b Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm

a Giải hệ phương trình khi m = 7/2

b Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm

b Tỡm cỏc giỏ trị của m để hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm (x;y) với x >0, y >0

III Giải phương trỡnh bằng cỏch đưa về hệ phương trỡnh:

1 Giải phương trỡnh: 4x 1 418 x 3

2 Tỡm m để mỗi phương trỡnh sau cú nghiệm:

a 1 x 1 x m b m x m x m c 31 x 31 x m

Phần 3 – Hệ phương trỡnh đối xứng loại 1 ba ẩn: (Đọc thờm)

a Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các ph-ơng trình trong hệ là đối xứng

b Định lý Vi-et cho ph-ơng trình bậc 3:

Cho 3 số x, y, z có:

x + y + z = α

xy + yz + zx = β xyz = γ

+ Giải ph-ơng trình X 3 - αX 2 + βX - γ = 0 (1) tìm được nghiệm (x, y, z) của hệ

Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất  hệ vô nghiệm

(1) có 1 nghiệm kép duy nhất  hệ có nghiệm

(1) có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn  hệ có 3 nghiệm

Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)}

e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần l-u ý khi giải hệ loại này

+ Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đ-a ra đ-ợc x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó là hệ quả của hệ nên khi tìm đ-ợc nghiệm nên thử lại

+ Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo ph-ơng trình cộng, thế

Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = 0 không là nghiệm của hệ

Với x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nhân hai vế của (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4)

II Hệ phương trỡnh đối xứng loại 2:

1 Hệ phương trỡnh đối xứng loại 2 hai ẩn:

A Định ghĩa: