Luận văn thạc sĩ tích chập của hàm suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 NGÔ THỊ HỒNG DIẼM TÍCH CHẬP CỦA HÀM SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRl/CiNG DAI HOC SC PHAM HA NOI 2

NGO THI HONG DIEM

TfCH CHAP CUA HAM SUY RONG

• •

LUAN VAN THAC SI TOAN HOC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGÔ THỊ HỒNG DIẼM

TÍCH CHẬP CỦA HÀM SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN HỮU THỌ

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng

dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Hữu Thọ Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, nghiêm

túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành

hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn,

lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,

phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạn học viên đã giúp

đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận

Lồi cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng

dẫn của TS Nguyễn Hữu Thọ

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả

khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn

Mục lục

I

6

Lòi mỏ đầu

Lý do chọn đề tài

Lý thuyết về tích chập và các toán tử chập được xây dựng khởi đầu từ nửa đầu của thế kỷ 20, sau đó được phát triển mạnh mẽ trong những năm gần đây vì chúng có nhiều ứng dụng không chỉ vào nhiều lý thuyết khác nhau của toán học như: Phương trình vi tích phân, phương trình đạo hàm riêng, đại số Banach, mà còn được ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khoa học và công nghệ Trong hai chục năm gần đây, nhiều công trình liên quan đến các tích chập, tích chập suy rộng của các phép biến đổi tích phân và những ứng dụng của nó đã được công bố Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về tích chập của hàm suy rộng, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Hữu Thọ, em chọn đề tài cho luận văn của mình:

Tích chập của hàm suy rộng.

Luận văn được trích dẫn từ Chương 1 của cuốn sách : Generalized Functions in Mathematical Physics của v.s Vladimirov

(Bản dịch của G Yankovsky sang Tiếng Anh từ nguyên gốc Tiếng Nga).

Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về tích chập của hàm suy rộng: khái niệm, các cấu trúc cơ bản và khả năng ứng dụng trong nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về lý thuyết hàm suy rộng

Trình bày một cách hệ thống về tích chập của hàm suy rộng và ứng dụng của chúng

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: tích chập

Phạm vi nghiên cứu: trong lớp hàm suy rộng

Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu tư liệu trong sách, báo;

Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài

Đóng góp của đề tài

Trình bày một cách hệ thống về tích chập của hàm suy rộng, một số ứng dụng của tích chập

7

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian các hàm cơ bản @ { ũ )

Theo một nghĩa nào đó, hàm delta là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên lớp các hàm liên tục trong các hàm, và khi đó hàm liên tục được coi như hàm cơ bản đối với hàm delta Chính quan điểm này làm cơ sở cho việc xác định một hàm suy rộng

tùy ý như là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên tập hợp đủ "tốt" được gọi là hàm cơ bản Trong mục này chúng ta sẽ xét không gian của các hàm cơ bản 3>{yt) đối với tập mở bất kỳ íì c_ R N

Tập hợp các hàm cơ bản là tập tất cả các hàm khả vi vô hạn trong n,tứcià#(íi) - ơ^(íĩ)

Ta định nghĩa sự hội tụ trong s>{íì) như sau Một dãy các hàm (pi,ự>2, trong s>{íì) hội tụ tới hàm </? (trong @{Ò)) nếu tồn tại một tập ừ £ íì sao cho supp ip k L_ ÍT và với mỗi a:

Daifk{x) x=¥ Daíp(x), khi k —> X.

Khi đó ta viết: tp k —f ụ>, khi k —f X trong

Một tập hợp tuyến tính 3>(p,) được hang bị tính hội tụ được gọi là không gian các hàm cơ bản 3>{íì) và ta có kí hiệu sau:

RÕ ràng, nếu íìi £- íì2, khi đó 3>{ỹti) S>[CÍ2) và từ sự hội tụ trong S>[Cíi)

sẽ suy ra sự hội tụ trong @{ỹl 2 ) Một ví dụ về hàm cơ bản khác không đó là:

Các hàm cư e sẽ đóng vai một hàm trung bình, và hằng số Cg sao cho:

cư e [x)dx — 1, tức là C e £ n Ị e1 — 1.

Ta có bổ đề sau

Bổ đề 1.1.1 Cho tập hợp Ả và số bất kỳ £ > 0, luôn tồn tại hàm TỊe £ C' sao cho:

TỊe{x) = 1, X £ A£, r/e(x) = 0, xUA3e;

0 ^ TỊe{x) ^ 1, \DaTỊe{x)\ ^ Ka£~ịaị.

Chứng minh Giả sử 9 A 2e là hàm đặc hưng của tập hợp A 2e Thì hàm:

OA** [y)ue{x - y)dy - c ve{x - y)dy,

trong đó co e là "chuông", chính là điều cần tìm Chứng minh đã được hoàn thành. -I

Hệ quả 1.1.1 Giả sử là tập hợp mỏ Khỉ đó với bất kỳ ừ (£ íì luôn tồn tại hàm TỊ £ @{Ci) sao cho

Ĩ Ị { X ) — 1, X £ íì, 0 ^ Ĩ Ị { X ) ^ 1.

Điều này được suy ra từ bổ đề hên khi A — ũ' và £ — Ị A(Hr, d Q ) > 0 Giả sử íì k , k — 1, 2, , là họ đếm được các tập mở

Ta nói rằng hệ này tạo thành phủ hữu hạn địa phương của tập hợp mở íì nếu

Định lý 1.1.1 (Phân tích đơn vị) Giả sử (íìfcỊ là phủ hữu hạn địa phương của í) Khi đó tồn tại dãy hàm {ek \ sao cho:

k \ như mong muốn.

Như là hệ quả của bổ đề trên, sẽ tồn tại các hàm rj k sao cho :

T Ị k [ x ) - l , x t ứ k , 0 ^ r j k { x ) ^ 1

Đặt:

e k [ x )

-chúng ta thu được phân tích đơn vị cần tìm Việc chứng minh đã được hoàn thành J

Giả sử / là hàm khả tổng địa phương trong í l f - _ế?^c(D) Tích chập của / và "chuông", U J £

f e { x ) - f { y ) ư e { x - y ) d y - U ỉ e { y ) f { x - y ) d y (nếu nó tồn tại) được gọi là hàm trung bình của / (hay là chính quy hoá của

/)

ỹ ^ J - y

Ị

Giả sử / £ Jẵ?p(íì), 1 ^ p ^ x> (/(rc) được xem như bằng không bên ngoài ÍT Khi đó fe £ c^ và ta luôn có bất đẳng thức sau:

Thật vậy, thực tế là /£ £ cv' có được từ tính chất của hàm / và từ định nghĩa của hàm trung bình Khi 1 p < X thì bất đẳng thức (1.1) có được từ bất đẳng thức Holder sau:

Định lý 1.1.2 G i ả s ử Ị £ ^(íĩ) v à Ị { x ) — 0 hầu khắp nơi bên ngoài K — íì Khi đó với mọi £ < A{K, (?íì) hàm trung bình

và từ tính liên tục đều của hàm / kéo theo tính hội tụ đều trong í ì của f e í x ) tới / { x ) khi £ — > TO.

Giả sử / t (íl) 1 ^ p < 30 Lấy tùy ý ổ > 0 Khi đó tồn tại hàm g b C Q (íl) sao cho:

1 , 1 ị

\ J 9 \ & r { n ) < ß- Từ những điều đã chứng minh, sẽ có e0 sao cho:

19 - 9e \jerW < 3 vói mọi e < eQ.

Từ đây, sử dụng bất đẳng thức (1.1) ta có với mọi £ < £o

H ệ quả 1 1 2 & (il) là trù mật trong (il), 1 ^ p < 30.

H ệ quả 1.1.3 St (H) là trù mật trong CQ (ÍÌ) (theo chuẩn trong c k (íl)) nếu íỉ bị chặn hoặc íì — Mn

1.2 Không gian các hàm suy rộng & (íì)

Một hàm suy rộng xác định hên tập hợp mở íì là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian các hàm cơ bản [ Í Ì )

Ta sẽ viết giá trị của hàm (hàm suy rộng) / trên hàm cơ bản </? là (/, </?) Bằng cách tương tự với các hàm thường thỉnh thoảng

ta viết / (æ) thay bằng /, coi X như biến của hàm cơ bản của phiếm hàm /.

Bây giờ ta đưa ra một giải thích của định nghĩa hàm suy rộng

(1)Mỗi hàm suy rộng / là một phiếm hàm trong í? (íì), tức là với mỗi £ & (íì) luôn xác định một số (số phức)

(2)Mỗi hàm suy rộng / là một phiếm hàm tuyến tính trên & (í)), tức là nếu Lp\ầĩị> thuộc & (í)) và A và ịi là các số phức thì

ư, + ạý) - A (/, (p) + n (/, ị).

(3)Mỗi hàm suy rộng / là một phiếm hàm liên tục trong @{ỹì), nghĩa là nếu tp k V khi k 30 trong & (í)) thì

(/,<?*) -» ư><p) khi k -> 00.

Hai hàm suy rộng / và g được gọi là bằng nhau trong í) nếu chúng bằng theo nghĩa phiếm hàm trong s> { { ì ) , tức là với

mọi t p trong s > { { ì ) ta có (/, t p ) — [ g , t p ) , và ta sẽ viết là / — g trong í) hoặc f [ x ) — g { x ) , x t í).

Ký hiệu ty (í)) là tập hợp tất cả các hàm suy rộng trong íì Tập hợp ty (í)) là tập hợp tuyến tính nếu chúng ta định nghĩa tổ hợp tuyến tính A f + ng của các hàm suy rộng / và g trong ty (í)) như là phiếm hàm có dạng song tuyến tính:

(A/ + ịig, (p) - A (/, (p) + \x [g, ỳ), ( p t ® (í)).

Giả sử / t t y (íí), ta định nghĩa hàm suy rộng / trong t y (íì) là số phức liên hợp của / và được xác định như sau:

=

ự , ỹ ) , V - ■ Các hàm suy rộng

Re / —

lần lượt là phần thực và phần ảo của / do đó

/ - R e / - H i m / , / - R e / - « I m / Nếu Im / — 0 thì / được gọi là hàm suy rộng thực

Ví dụ 1.2.1 Hàm denta là thực

Ta định nghĩa sự hột tụ trong 3 ' (íl) như sau: Dãy hàm suy rộng /i, /2, trong 3 ’ (íl) hội tụ tới hàm suy rộng / b 3 ’ (íl) nếu

với mọi hàm cơ bản - 3 (íĩ) ta có l f k , tp) -> (/, tp) khi k —> 30 Khi đó ta viết:

f k f khi k —> 30 trong 3’ (Í1).

Sự hội tụ này được gọi là hội tụ yếu.

Tập hợp tuyến tính 3' (íl) cùng với sự hội tụ như trên gọi là không gian hàm suy rộng 3' (íl).

Như vậy, với mỗi hàm suy rộng / trong 3’ (íl) sẽ tồn tại (duy nhất) một hạn chế ÍT Í1 sao cho / b 3' (ílr).

Chú ý 1.2.1 Phiếm hàm tuyến tính trên 3 [ ũ) không nhất thiết liên tục trên 3 [p) Tuy nhiên, không có hàm liên tục tuyến tính nào được xác định hiện trên 3 [ í ì ) mà chỉ có thể chứng minh sự tồn tại của chúng về mặt lý thuyết dựa trên tiên đề chọn Đinh lý 1.2.1 Một phiếm hàm tuyến tính f trên 3 (íl) sẽ thuộc 3' (íl) (tức là nó trỏ thành một hàm suy rộng trong íl) nếu và chỉ nếu với mỗi tập mỏ íl r (£ Í1 luôn tồn tại các số K — K (íl ) r vàm — m ÍÍT) sao cho

|(/,V)|S:.R:MC„(Ü’)> </>eỗ>(íí') (1.2)

Chứng minh Điều kiện đủ là hiển nhiên đúng Ta cần chứng minh điều kiện cần.

Giả sử / t & (íì) và íy (£ íì Nếu đẳng thức (1.2) không đúng, khi đó tồn tại dãy ( P k , k — 1,2, , các hàm trong & (íy) sao

Giả sử / t ty' (í)) Nếu từ đẳng thức (1.2) ta có thể chọn được số nguyên ra không phụ thuộc vào íy, thì ta nói rằng hàm suy rộng / có bậc hữu hạn Giá trị nhỏ nhất trong số các số ra như vậy gọi là bậc của / trong í).

Chẳng hạn, bậc của hàm delta bằng 0 còn bậc của hàm suy rộng xác định bởi

1.3 Tính đầy đủ của không gian hàm suy rộng & (íì)

Tính chất đầy đủ của không gian ty' (íl) là cực kỳ quan họng và được khẳng định trong định lý sau.

Định lý 1.3.1 Cho một dãy các hàm suy rộng /i, /2, trong t y ' (íl) sao cho với mọi hàm <p t ty (íl), thì dãy số [ f k , ( f ) hội

tụ khi k —► tj Khi đó phiếm hàm Ị trên ty (fỉ) được xác định bỏi

i f , v ) - lịm { f k , ( p )

k - r x >

là tuyến tính và liên tục trên ty (íl), hoặc Ị £ ty' (íl).

Chứng minh Tính chất tuyến tính của phiếm hàm giới hạn / là hiển nhiên Ta đi chứng minh tính liên tục của phiếm hàm đó trên ty iỹi).

Chứng minh Giả sử bổ đề trên là sai, khi đó ta có thể nói rằng \ l f k , < P k ) I ^ c > 0 Sự hội tụ của tp k tới 0 trong & (íì) nghĩa

là supp tp k c: íìr ^ íì và với mỗi a

Hệ quả 1.3.1 Nếu tập M' E- a$r (íl) /À bị chặn yếu, thì với ÍT (£ íì íồn tại số K vàm sao cho bất đẳng thức (1.2) đúng với mọi

<p £ @ (ÍT) VÀ / £ M'.

1.4 Giá của hàm suy rộng

Nhìn chung các hàm suy rộng không có giá trị tại các điểm riêng biệt Tuy vậy, ta có thể nói về sự triệt tiêu của hàm suy

rộng trong một tập mở Ta nói rằng hàm suy rộng / trong s> r {íì) triệt tiêu trong tập mở íì r c: íì nếu hạn chế của / trong ÍT là một phiếm hàm không trong s> r {íì r ), tức là (/, </?) — 0 với mọi ự> £ (ÍT) Khi đó ta viết:

/ [x) — 0, XE Çir.

Giả sử hàm suy rộng / trong 3' (íl) triệt tiêu trong íì, hiển nhiên nó cũng triệt tiêu trong lân cận của mỗi điểm của tập hợp íì.

Ngược lại, cho / trong s>' (n) triệt tiêu trong lân cận U [y) íì của điểm y của tập mở íì Bằng cách sử dụng các phủ { U (y), y £

íì\ của tập íì, cho ta xây dựng được phủ con hữu hạn địa phương {í~2fc} sao cho mỗi íìk được đều bị chứa trong ư [y) nào đó Xét ừị fc ừ 2 ^ J u > ị t y u — Ü Theo bổ đề Heine-Borel, fỉ2 được phủ bằng một số hữu hạn của lân cận ư ( y ) : ư { y 1

ư I V N J , tương tự vậy được phủ bởi một số hữu hạn của lân cận như ư (yjv1+-1) , ư C2/JV1-HJV2)- Đặt

n k = ư { y k ) ^ ư 2 , k =

nt = u M -1 (n'M), k = 1,

và cứ tiếp tục như vậy ta sẽ tạo ra được các phủ (íìfcỊ như mong muốn

Gọi (efc| là phân tích đơn vị tương ứng với phủ [ í ì k \ của tập Ü Khi đó với mỗi t p trong & (íl), supp l < p e k ) c_ ư [ y ) với y nào đó và (/, i p e k ) - 0, vì vậy

Ư,<p) - (f , Ỵ i - Ỵ i ư , P e k ) - 0.

V fcỉsl / fcỉslNhư vậy ta luôn có bổ đề sau đây đúng

Bổ đề 1.4.1 Nếu một hàm suy rộng trong ty (íl) triệt tiêu trong một lân cận nào đó của mọi điểm của tập mỏ n thì nó luôn triệt tiêu trong toàn bộ tập Í1

Giả sử / b t y { í ì ) , hợp của toàn bộ lân cận mà tại đó / = 0 tạo thành tập hợp mở í ì f , được gọi là tập không điểm của hàm suy rộng / Theo bổ đề / — 0 trong í ì f , hơn nữa í ì f là tập mở lớn nhất mà trong đó / triệt tiêu.

Giá của hàm suy rộng / là phần bù của í ì f trong í ì và được ký hiệu là supp /, vì vậy supp / — í ì \ í ì f ; supp / là tập đóng trong í ì Nếu supp / ¡Ẽ íì thì / được gọi là h ữ u h ạ n trong í ì

Từ đó chúng ta có những khẳng định sau:

(a)Nếu giá của / b t y (íl) và i p b 3 (íl) không có bất kì điểm chung nào

thì (/, </?) = 0.

(b)X b supp / khi và chỉ khi / không triệt tiêu trong bất kỳ lân cận nào của điểm X

Cho A là một tập đóng trong il Ta ký hiệu t y (il, A ) là tập hợp các hàm suy rộng trong t y [ ũ ) mà giá của nó bị chứa

trong A và với sự hội tụ như sau: /fc —^ 0, k — > X' trong t y (íì, A ) nếu f k — * ■ 0, k — > ■ x> trong t y (íl) và supp /fc (_ A

Ta viết t y (Ẩ) — t y [ R n , Á).

Định lý 1.4.1 (Định lý liên kết thành phần) Giả sử rằng với mỗi điểm y £ tồn tại một lân cận ư (y) ¡C và trong đó tồn tại một

hàm suy rộng fy sao cho fVl (x) — fy2 [x) nếu X £ u (yi) n u (y2) A 0 Khi đó tồn tại duy nhất một hàm suy rộng Ị trong ty (í)) trùng với fy trong ư {y) với mọi y £ í)

1.5 Hàm suy rộng chính quy

Ví dụ đơn giản nhất về một hàm suy rộng đó là phiếm hàm xác định bởi một hàm / (æ) khả tổng địa phương trong í)

- ịf { x ) < p [ x ) d x , (1.11)

Từ tính chất tuyến tính của tích phân và từ định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân suy ra phiếm hàm trong vế phải của (1.11 )

là tuyến tính và liên tục trong & { n ) , do đó / £ { Ù }

Hàm suy rộng được xác định như trong (1.11) bởi hàm khả tích địa phương trong íì được gọi là hàm suy rộng chính quy Tất cả hàm suy rộng khác được gọi là kỳ dị.

Bổ đề 1.5.1 (Du Bois Reymond) Cho một hàm số f {x) là khả tích địa phương trong triệt tiêu hầu khắp nơi trong íl, nó là cần

và đủ để hàm suy rộng đều f tạo ra triệt tiêu trong

Từ bổ đề ta thấy rằng mỗi hàm suy rộng chính quy trong íì được xác định duy nhất (sai khác nhau hên tập có độ đo không) bởi một hàm khả tổng địa phương trong íì Do đó có một phép tương ứng 1 — 1 giữa hàm khả tổng địaphương trong tì và các hàm suy rộng chính quy trong tì Vì vậy ta sẽ đồng nhất một hàm / (z) khả tổng địa phương trong tì với một hàm suy rộng từ

*3' (íì) được tạo ra bởi (1.11) Theo nghĩa này, hàm "thường" (đó là hàm khả tổng địa phương trong tì) là hàm suy rộng chính quy từ (tì).

Lưu ý rằng nếu dãy f k [ x ) , k — 1 , 2 , c ấ c hàm khả tổng địa phương trong íì hội tụ đều tới hàm f { x ) trên mỗi compact K ( Ẽ t ì ử ù f k — > f , fc—>x> trong (íì).

Giả sử / b & (íì) và íìi t ì Ta sẽ nói rằng hàm suy rộng / thuộc lớp c k ( t ì i ) nếu trong t ì ị nó trùng với hàm /i của lớp c k

( t ì i ) nghĩa là với mọi

b (íìl)

Ư><p) - j /i { x ) i p { x ) d x Bên cạnh đó nếu /i b c k (íìi) thì ta cũng nói rằng / thuộc lớp c k (íìi)

1.6 Đổi biến trong hàm suy rộng

Cho / E S ^ ị 0 C (íĩ) và X - A y + b là biến đổi tuyến tính không suy biến của íì vào íìi Khi đó với mọi t p b & (íìi) ta có

J

f { A y + b ) ( p [ y ) d y - —j Ị [ x ) t p l/T 1 [ x - b ) ị d x Đẳng thức này đưa ra định nghĩa của hàm suy rộng / ( Ay + b ) với mỗi / [ x ) trong & [ t ì )

Vì toán tử ( p (rr) —>■ ( p [ A 1 (x — Ồ)J là tuyến tính và liên tục từ @ (íli) đến 3 > (íl) nên phiếm hàm / [ Ay + b ) được

xác định bởi vế phải của (1.12) thuộc

Nếu A là đồng dạng nghĩa là A — c l , c A 0 và b — 0, thì

[/

{ c y ) , < p ) Trường hợp A — I , khi đó (phép tịnh tiến)

1.7 Phép nhân của hàm suy rộng

Giả sử / b Jễ?^c (í)) và a b C * J [í)) Khi đó với mọi t p trong 3 [í)) ta có đẳng thức

(a/,<p) = a { x ) f { x ) ( p { x ) d x = Đẳng thức này cho ta định nghĩa của tích số hàm suy rộng / trong t y ' [í)) với hàm a khả vi vô hạn trong í ì