Luận văn thạc sĩ khai triển một hàm thành tổng vô hạn hoặc tích vô hạn và một số ứng dụng

ứng dụng tổng vô hạn trong việc tìm nghiệm của một số phương trình vi phân thường 2.2.1... Nhằm tìm hiểu sâu về ứng dụng của lý thuyết chuỗi và tổng vô hạn trong lĩnh vực biểu diễn nghiệ

BỘ G IÁO D Ụ C VÀ Đ À O TẠO

T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

Q U Á C H T H Ị T H U H U Y E N

K H AI T R IỂ N M ỘT H ÀM T H À N H TỎ N G VÔ H Ạ N HOẶC TÍCH VÔ H Ạ N VÀ M ỘT s ố Ứ NG D Ụ N G

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ T O Á N HỌC

C huyên ngành: Toán giải tích

M ã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học

T S B ùi K iên Cường

H À N Ộ I, 2015

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường, thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giảng giải để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.

Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu cùng toàn thể các thầy cô giáo trường THPT Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 01 năm 2015

Tác giả

Quách T hị T hu H uyền

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường, luận văn:

K h a i t r i ể n m ộ t h à m thành tổ n g v ô h ạn hoặc tích v ô h ạn và

m ộ t s ố ứng dụng là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 01 năm 2015

Tác giả

Quách T hị T hu H uyền

M ột số ứng dụn g của tổ n g vô hạn và tích vô hạn

Phương trình vi phân thường cấp 2

2.1.1.

2.1.2.

Các điểm kì dị của phư ơng t r ì n h vi p h â n th ư ờ n g cấp 2

Nghiệm tr o n g m ộ t lân cận của điểm th ư ờ n g

33

33 34

2.2 ứng dụng tổng vô hạn trong việc tìm nghiệm của một số phương trình vi phân thường

2.2.1.

2 2 2

2.2.3.

Nghiệm tr o n g lân cận của m ộ t điếm kì dị

Nghiệm chính quy Điếm kì dị chính quy

P h ư ơ n g p h á p F robenius

2.3 Khai triển hàm qua tích vô hạn

39

39 45 51

54

2.4.1.

2.4.2.

Khai triển tiệm cận

Mở đ ầ u về khai triể n tiệm cận

K h ai tr iể n tiệm cận của tích p h â n Laplace, Bổ đề W a tso n

K ết luận

Tài liệu th am khảo

Nhằm tìm hiểu sâu về ứng dụng của lý thuyết chuỗi và tổng vô hạn trong lĩnh vực biểu diễn nghiệm kỳ dị của một số lớp phương trình vi phân,

và được sự hướng dẫn của T S B ù i kiên Cường, tôi đã chọn đề tài

nghiên cứu: K h a i t r i ể n m ộ t h à m thành tổ n g vô hạn hoặc tích

vô hạn v à m ộ t số ứng dụng để thực hiện luận văn tốt nghiệp thạc

sĩ.

2 M ục đích nghiên cứu

Biểu diễn một số hàm qua tích vô hạn và ứng dụng trong tìm nghiệm

kỳ dị của một số phương trình vi phân thường.

3 N hiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu về lý thuyết tích vô hạn và việc khai triển một hàm thành tổng hoặc tích vô hạn;

• Nghiên cứu ứng dụng của việc khai triển hàm thành tổng vô hạn trong việc tìm nghiệm kỳ kị của một số phương trình vi phân.

4 Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Một số đa thức: Bernoulli, Euler, tích vô hạn, khai triển tiệm cận trong giải tích cổ điển;

• Nghiệm của một số phương trình vi phân thường cấp 2 có sử dụng các hàm đặc biệt.

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết.

6 Những đóng góp của đề tài

Luận văn là tài liệu tổng quan về biểu diễn hàm qua tổng vô hạn hoặc tích vô hạn và một số ứng dụng của nó trong việc giải một số kiểu phương trình vi phân thường cấp 2.

C hương 1 Tổng vô hạn và tích vô hạn

Ta thấy rằng, nếu chuỗi «71 = A thì ữ n = A — a n- Do đó,

n= 1

(1.1.5)

00 „71 iog(i - * ) = £ - , \ z \ < i (1.1.6)

Ta có một số kết quả về tính hội tụ của tổng vô hạn sau đây.

Điều ngược lại của định lí này là không đúng, chẳng hạn xét chuỗi

Ẽ ( - 1)"

n= 1 ^

00

tuy nhiên chuỗi

, chuỗi này là chuỗi đan dấu và hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz,

Đ ịnh lý 1.1.4 Giả sử rằng amn € [0,oo) với mỗi (m , n ) € N X N và

ệ : N —> N X N ỉà một song ánh Với ngầm hiểu rằng một chuỗi số thực

không ăm hội tụ đến 00 nếu như nó không hội tụ đến một số thực, ta có

7 1 = 1 7 7 1 = 1 7 7 1 = 1 7 1 = 1 fc=l

Đ ịn h lý 1.1.5 Giả sửcm n € c với mỗi (m, n) e N x N và ệ : N ^ N x N

ỉà một song ánh Nếu một trong ba tổng sau

Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm và các bài toán hội

tụ của tích vô hạn, đặc biệt trình bày các điều kiện về hội tụ tuyệt đối Tích vô hạn

tiến tới một giới hạn Um không bằng 0 khi n —> 00 Khi đó,

00

u 11 un U\U 2 ■ ■ ■ umLĩm (1.1.9)

71 = 1

được gọi là giá trị của tích vô hạn.

Đ ịnh lý 1.1.6 Nếu tích vô hạn (jl.1 -7|) hội tụ thì lim un = 1.

Khi đó, từ định lí 1.1.6 suy ra nếu chuỗi (1.1.10) hội tụ thì lim an = 0.

Đ ịnh lý 1.1.7 Tích vô hạn (ỊTTTTTÕỊ) hội tụ nếu và chỉ nếu tồn tại m

sao cho chuỗi

00

n = m + 1

hội tụ, ở đây logarit được lấy theo các giá trị chính, tức là \arg(l + an)\ <

7Ĩ Kí hiệu tổng trong (1.1.11) là L, khi đó

sẽ hội tụ và lim Pn = eL Ngược lại, nếu tích hội tụ thì tồn tại m sao

Do đó, chuỗi (1.1.11) là hội tụ Tuy nhiên, các giá trị của nó phụ thuộc

vào argument của các thừa số trong p Các argument đó không thể xác định một cách bất kì, vì lim ln(l + an) = 0 là điều kiện cần để chuỗi

(1.1.11) hội tụ và

ln(l + an) = ln |1 + an\ + iarg( 1 + an).

Vì vậy, ta phải có an —> 0 và arg( 1 + an) —> 0 Do đó, ngoại trừ với một

số số hạng hữu hạn ta phải có \arg(l + a„)| < 7Ĩ, tức là logarit là lấy các

tuyệt đối nếu tích vô hạn n ( i + \ữn I) hội tụ.

tồn tại r sao cho

Ọs — (1 + |ữr+ i|)(l + |ar+iI) ■■■(! + |as|) -> ợ 7^ 0 khi s —> 0 (1.1.13)

điều này chứng tỏ rằng, khi S > r a , l + as ^ 0 v à nếu Ps tiến tới một giới

hạn thì giới hạn đó phải khác không Hơn nữa, từ (1.1.14) ta có

Rõ ràng, Pn Ỷ 0 Đặt Sn = \am+ì \ + \am+2\ -b |an| Vì 1 + \au\ < e|ov|,

do đó Sn < Pn < eSn và điều này suy ra sự hội tụ của Sn và Pn là tương

Đ ịnh lý 1.1.10 Nếu tích vô hạn J1 (1 + an) hội tụ tuyệt đối thì tổng

hội tụ tuyệt đối.

Thật vậy, ta biết rằng khai triển

s i n H = V ( - l ) fc / - ■

sina; =

g ix _ e ~ í x

~Yi

và thay các hàm mũ eix,e ix bởi các giới hạn tương ứng của các hàm

L

1 n 2 tan2 h i ĩ / n

Lý luận tương tự như trong (1.1.20) ta thu được

cosa: = (n i)/2 , [1 + cos(2fc - l ) 7ĩ/n]a:2 Ị

n™ 1 1 \ 1 _ [1 + cos(2fc - l ) 7ĩ/n ]n 2 J

Áp dụng các công thức biến đổi lượng giác hạ bậc ta có

4x2

(2 k — 1)27 ĩ 2/

Vậy ta thu được biểu diễn Euler cho hàm cos X

4x2 cosx

(n-Ị)/2 sinhæ = X lim y c f +1

Hàm ở vế trái của fll.2.ip gọi là hàm sinh (generating function) của

gần nhất với 0 là ±27 rị ở đây ta kí hiệu B n( x) thay cho tpn(x).

hồi cho các số Bernoulli.

Cân bằng hệ số của đẳng thức trên ta suy ra

1

Vo =

n — 1

1 E fc=o

k\(n — fc)!

Đây là công thức truy hồi cho ípk Đặt 71 = 2, 3, ta có thể tính được

tpn Lưu ý rằng, nhờ (1.2.4) tất cả các ípn với n lẻ là bằng không, ngoại

trừ (/?!■

Từ (1.2.5) và (1.2.6) có thể được biểu diễn ở dạng:

ở đây ta ngầm hiểu, trong khai triển nhị thức, lũy thừa ipk chính là ipk-

Mười số Bernoulli đầu tiên và với bảy đa thức Bernoulli đầu tiên được cho như sau:

thay n bằng n + 1 trong (1.2.11) và lấy tích phân ta có

So sánh các hệ số của t n trong chuỗi trên ta thu được (1.2.15).

5 Công thức cộng Thay X trong (Ị1.2.1Ị) bởi X + y ta có

Hơn nữa, chúng ta còn có công thức tổng cho một số hàm:

Từ (1.2.3) ta cũng thu được công thức khai triển đối với hàm cot :

không có các lũy thừa các bậc lẻ theo t được trình bày theo chuỗi ở vế phải Vì vậy, ta có

Tiếp theo ta trình bày các tính chất cơ bản của đa thức Euler và các

số Euler Chứng minh các tính chất đó tương tự với các tính chất ở mục 1.1.1 của đa thức và các số Bernoulli.

1 Biểu diễn tường minh của đa thức Euler và công thức truy hồi cho các số Euler

trong đó [n/2] kí hiệu là số nguyên lớn nhất không lớn hơn n / 2 So sánh

với (1.2.21) ta có biểu diễn dạng tường minh của các đa thức Euler:

So sánh hai vế của công thức trên ta thu được (1.2.26).

Mười số Euler đầu tiên và bảy đa thức Euler đầu tiên được cho dưới đây:

1.3 Khai triển Lagrange

Trong mục này, trước tiên ta phát biểu và chứng minh một định lí quan trọng của lí thuyết hàm biến phức đó là định lí về các không điểm và cực điểm của một hàm Phần này được trình bày dựa theo tài liệu [6J.

Đ ịnh lý 1.3.1 Cho i){z) là một hàm giải tích trong một chu tuyến đơn

c trừ tại một số cấc cực điểm bj, j = 1 ,2 , ; ữfc, k = 1, 2, là các

không điểm của iị){z) trong c ; trên c,iị>(z) Ỷ 0- Cho <p(z) ỉà một hàm giải tích trong và trên c Khi đó

trong đó (afc) và (bj) tương ứng kí hiệu là các chu tuyến đơn bao quanh

ak và bj theo hướng dương, mỗi chu tuyến bao quanh chỉ một không

điểm hoặc một cực điểm.

Trong một lân cận của ak,

iị>(z) = (z - ak)nkiỊjk(z), i>k{ak) Ỷ 0;

Đ ịnh lý 1.3.2 (Lagrange) Cho f ( z ) và íp(z) giải tích trong và trên

có một và chỉ một nghiệm trong c ; khi t = 0, nghiệm gần tới a.

(ii) Hàm f ( z ) có thể được khai triển trong chuỗi ỉũy thừa của t :

C hứng m inh Áp dụng công thức (1.3.6) vào hàm

00 £71

E ^ư(a)[v(“)]”}Ị l

71 = 0 00

1.4 Khai triển hàm phân hình th eo hàm phân thức

Hàm phân hình là hàm đơn trị và trong mỗi miền hữu hạn có kì dị chỉ

có thể là các cực điểm Phần này được trình bày dựa theo tài liệu [6J.

V í dụ 1.4.2 Các hàm cscz, c o t các điểm kì dị của chúng là

z = ± n 7 ĩ , n = 0,1, 2 , , và tất cả các cực điểm đơn.

Trong một miền hữu hạn, số các cực điểm của một hàm phân hình phải là hữu hạn Còn lại, chỉ có thể là các điểm đó là điểm tụ (điểm giới hạn) mà không thể là một cực điểm, vì một cực điểm là một điểm kì dị

cô lập.

Nếu một hàm phân hình có một số vô hạn các cực điểm an,n =

1, 2, , như trong Ví dụ 1.4.2 ở trên đây, thì ta phải có lim an = 00.

Vì nếu giới hạn là hữu hạn, thì sẽ có vô hạn các cực điểm trong một lân cận của điểm giới hạn đó, và như vậy có vô hạn các cực điểm trong một miền hữu hạn, mâu thuẫn với định nghĩa hàm phân hình.

Bây giờ ta sẽ khai triển theo các phân thức của lớp hàm phân hình Trong khai triển đó, tất cả các cực điểm của hàm cùng với tính kì dị tại mỗi điểm của chúng được trình bày đầy đủ.

Đ ịnh lý 1.4.1 (Định lí Mittag-Leffler) Giả sử f ( z ) là một hàm phân

hình mà toàn bộ cực điểm là ữi, ữ2, ữ3, , và 0 < |ữi| < |ữ2| < |a3| <

(i) khi m —> 00 khoảng cách gần nhất từ Cm tới gốc (z = 0), Rm tiến tới 00, nhưng lm / Rm vẫn hữu hạn, trong đó lm là chu vi của Cm; (ii) trên Cm

trong đó p là số nguyên không ăm nhỏ nhất đã biết và M là hằng

số không phụ thuộc vào m.

• • • Nếu tồn tại một dẫy các chu tuyến { Cm} sao cho:

Khi đó f ( z ) có thể được khai triển dưới dạng chuỗi gồm các phân thức sau:

trong đó (a+) kí hiệu là chu tuyến nhỏ bao quanh ar theo hướng dương

mà trong đó f ( z) không có các cực điểm khác ar; tương tự với {z+) Pr(o—

a) là phần chính quy của f ( z ) trong lân cận của ar; rm là số các cực điểm

trong Cm Vì Pr(o — ar)/( o — z) là giải tích trong lân cận của ar, tích

phân trên chu tuyến đó là bằng 0 Hơn nữa, theo định lí Cauchy với miền đa liên, ta có

trong đó C r là đường tròn tâm z = 0 bán kính R, bao quanh các điểm

f ( z ) — G q (1/ z ), G q (1/ z )là phần chính của f ( z ) tại z = 0,nếu F(z) thỏa

mãn các điều kiện của định lí.

Khi tất cả các ar là các cực điểm đơn 0) của các hàm phân hình

f (z ) , và \f(z)\ < M trên Cm (tức là, trường hợp p = 0), M không phụ

thuộc vào ra, ta có công thức khai triển đơn giản đặc biệt

V í dụ 1.4.3 Khai triển phân thức hữu tỉ hàm cot z.

Hàm cot z là hàm phân hình, tất cả cá cực điểm của hàm này là 0 và 717T, n = ±1, ± 2 , , và tất cả đều là cực điểm đơn với thặng dư là bằng

1

1 Vì z = 0 cũng là một cực điểm, ta phải xét hàm F(z) = cot z —

z

toàn bộ cực điểm là ĨI 1r, n = ±1, ± 2 , , với các thặng dư bằng 1 Đặt

Cm là chu tuyến vuông (xem hình dưới đây) Ta có ^(¿Ol < M trên Cm

y c'

z - p

X

0

không phụ thuộc vào m Thật vậy, ta có

cot z = — -— -— -— ,

e 2y _|_ e - 2 y _ 2 cos 2x z = x + ỉy.

Trên hai cạnh B C và B ' ơ của Cm,x = ±(m + |)7Ĩ, ta có cos2ai = — 1

Khi |t| < 27Ĩ mỗi số hạng của chuỗi ở vế trái có thể được khai triển thành

chuỗi lũy thừa theo t, cụ thể là,

2.1 Phương trình vi phân thường cấp 2

2.1.1 Các điểm kì dị của phương trìn h vi phân thường cấp 2 Trong mục này ta trình bày ứng dụng của lý thuyết tổng vô hạn trong việc nghiên cứu các điểm kỳ dị của phương trình vi phân tuyến tính bậc

Ta thường yêu cầu hàm w(z) tìm được thỏa mãn các điều kiện ban

đầu, chẳng hạn w ( zq ) = Co và ^'(^o) = C\.

Tính giải tích của hàm nghiệm w(z) hoàn toàn được xác định nhờ tính giải tích của các hàm hệ số p(z) và q(z) Giả sử rằng các hàm hệ số