Luận văn thạc sĩ sự ổn định của phương pháp sắp xếp spline đối với phương trình vi tích phân

2.2 Sự ốn định của phương pháp sắp xếp spline vdi phương2.2.1 Sử dụng ma trận đưòng chéo trội nghiên cứu tính ốn định của phương trìn h vi p h â n .... Trong một số trường hợp phương phá

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h và sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Tuấn, ngưòi thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn th àn h luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lòi cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp, BGH và tổ KHTN trường THCS X uân Hòa thị xã Phúc Yên tỉnh Vĩnh Phúc đã cổ vũ, động viên, tạo điều kiện để tôi hoàn th àn h luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Đ in h T h ị T h u

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Nguyễn Văn

Tuấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tằi:((S ự ổ n đ ị n h

1.2.1 Khái niệm không gian định chuẫn

1.2.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẫn

1.3 Không gian H i l b e r t

1.4 Không gian các hàm s p l i n e

1.4.1 Spline đa thức bậc ba vòi mốc cách đều

1.4.2 Spline đa thức tổng quát

1.5 Sai số, tốc đô hôi t u

1.5.1 Sai số

1.5.2 Xấp xỉ tố t nhất

1.5.3 Tốc đô hôi tu của nghiêm xấp x ỉ

1.5.4 Ma trậ n đường chéo trội

1.5.5 Các khái niệm cờ bản của lý thuyết ổn định

8812 121616191924282829303132

2 Sự ổn đ ịn h củ a ph ư ơ n g p h áp sắp x ếp sp lin e đ ố i với

2.2 Sự ốn định của phương pháp sắp xếp spline vdi phương

2.2.1 Sử dụng ma trận đưòng chéo trội nghiên cứu tính

ốn định của phương trìn h vi p h â n 382.2.2 Sự ốn định của phương pháp sắp xếp spline cho

phương trình vi phân bậc hai 452.3 Sự ốn định của phương pháp sắp xếp spline vdi phương

2.3.1 Phương pháp sắp xếp spline cho phương trình vi

tích phân Volterra bậc hai 482.3.2 Sự ốn định của phương pháp sắp xếp spline cho

phương trình vi tích phân Volterra bậc hai

3 ứ n g d ụ n g

3.1 ữ n g dụng với phương trình vi phân

3.2 Ung dụng với phương trình vi tích phân

67

68

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Trong khoa học tự nhiên, kĩ th u ật, trong kinh tế, cũng như trong các lĩnh vực khác của cuộc sống ta gặp rất nhiều bài toán đưa tới việc nghiên cứu các phương trình vi phân, phương trình vi tích phân Giải đúng phương trình vi tích phân rất khó vì vậy ngưòi ta thường áp dụng các phương pháp xấp xỉ để giải Có rất nhiều phương pháp giải gần đúng khác nhau, phương pháp sắp xếp spline là một phương pháp thường được lựa chọn

Ưu điểm của phương pháp sắp xếp spline là sử dụng các hàm đa thức tính toán để giải Các hàm đa thức dễ dàng lập trình đưa lên máy tính, tính toán th u ận lợi, hiệu quả Trong một số trường hợp phương pháp sắp xếp spline thường đạt tốc độ hội tụ nhanh, độ chính xác của nghiệm gần đúng tốt hơn các phương pháp khác Có thể khái quát cho nghiệm xấp xỉ bằng spline bậc cao hoặc các hàm B-spline

Sự ổn định của nghiệm xấp xỉ luôn được các nhà Toán học trong

và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Với mong muốn tìm hiểu về sự ổn định của nghiệm xấp xỉ và phương pháp sắp xếp spline nhằm nâng cao kiến thức đã học trong chương trình đại học và cao học nên em chọn đề tài này để nghiên cứu và làm luận văn tốt nghiệp cho mình

3 N h iệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu ổn định của phương pháp sắp xếp spline với phương trình

vi phân, phương trìn h vi tích phân

Nghiên cứu về lập trình Maple để ứng dụng

4 Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: “Sự ổn định của phương pháp sắp xếp spline ”.Phạm vi nghiên cứu: các khái niệm, định lý các kết quả cơ bản của phương pháp sắp xếp spline Các phương trình vi phân, vi tích phân.Lập trình Maple với phương pháp sắp xếp spline

5 P hương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp phân tích, tổng hợp, phương pháp lấy ý kiến chuyên gia

6 Đ óng góp mới

Sẽ nghiên cứu sự ổn định của một lớp phương trình vi tích phân bằng phương pháp sắp xếp spline, có thể chứng minh được sự ổn định

của một lớp phương trìn h vi tích phân bằng phương pháp sắp xếp spline.

Chương 1

Kiến thức cơ bản

Chương này trình bày một số không gian thường dùng như: Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian các hàm spline, sai số, tốc độ hội tụ, sự ổn định của nghiệm để phục vụ

chứng minh ở chương sau.

1.1 K hông gian vectơ

th ỏ a m ãn các tiên đề sau:

• ã + ặ = ặ + ã ì Va, ¡3 G V;

• ( â + ¡3) + 7 = ã + 0 + 7), Va, ệ, 7 G V;

• tồn tại 9 G V sao cho ớ + a = a + ớ = a , Va G V ;

• Với mỗi a tồn tại a ' G V sao cho a' + ã = ã + a ' = 0]

• (2; + y ) ã = x ã + y ã , Va G V và 2;, y G K;

• a:(a + ¡3) = a:a + xj3, Va, ¡3 G V và 2; G K;

• 2;(ya) = (a:y)a,V a G V và x , y G K;

• 1 • ã = ã, Va G V và 1 là phần tử đơn vị của trường K.

Khi đó V cùng với hai phép toán trên gọi là không gian vectơ trên trường K, hay K-không gian vectơ,hay không gian tuyến tính

Khi K = R thì V được gọi là không gian vectơ thực

Khi K = c thì V được gọi là không gian vectơ phức

Ví dụ: Dễ dàng kiểm tra Cịa, b] là một không gian vectơ.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 2 Trong không gian vectơ V

Hệ vectơ ( «1, , ã n) được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức:

Aiõ:i + • • • + Ằnã n = 0

Chỉ xảy ra khi Ai = • • • = A„ = 0

Hệ vectơ («!, , ã n) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính

Ví dụ: Trong không gian vectơ thực R 2 cho hệ ba vectơ:

ã i = (2;0);ữ 2 = (0;4);ữ 3 = (4; 4)

Hệ độc lập tuyến tính vì :

AiCüi + A202 = 0 => (2Ai; 0) + (0; 4A2) = (0; 0)

^ ( 2 A 1;4A2) = ( 0 ; 0 ) ^ A 1 = A2 = 0

Hệ (0 1,0:2,0:3) phụ thuộc tuyến tính vì 2c?i + c?2 — Ổ3 = 0

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 3 Giả sử V là một không gian vectơ

Một hệ vectơ của V được gọi là một hệ sinh của V nếu mọi vectơ của

V đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó

Khi V có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì V được gọi là không gian vectơ hữu hạn sinh

Một hệ vectơ của V được gọi là một cơ sở của V nếu nó là hệ sinh độc lập tuyến tính

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 4 Cho V là không gian vectơ có cơ sở gồm hữu hạn

phần tử thì số phần tử trong cơ sở đó được gọi là số chiều của không gian vectơ

Khi Y là một K-không gian vectơ có số chiều n ta kí hiệu:

d im V = n( hay dim K V = n).

Nếu V = {0} ta quy ước dim V = 0.

Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là không gian vectơ vô hạn chiều

Ví dụ: Trong K —không gian vectơ I n xét hệ vectơ:

(e) = {ẽỉ = ( 1, 0, ,0),ẽỉ = ( 0, 1, , 0 ) , ,ẻ; = ( 0 , 0 , , 1)}

n

thì với mọi ã = ( x i , X 2 , ■ ■ ■ , x n) G I n ta đều có ã = X ị ẽ ị nên (e) là

i= 1 n

một hệ sinh của I n M ặt khác, nếu có AịéTị = 0 thì

i= 1

( 0 , , 0) Suy ra Ai = • • • = A„ = 0

(Ai, ■ ■ ■, A„)

Vậy hệ (e) còn là một hệ độc lập tuyến tính Do đó hệ (e) là một cơ

sở của K" Cơ sở này được gọi là cơ sở chính tắc ( hay cơ sở tự nhiên )

của K n Từ đó suy ra dirriKn = n.

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.5 Tập con w Ỷ 0 một i f -không gian vectơ E

được gọi là không gian vectơ con của E nếu nó ổn định với hai phép toán của E , nghĩa là thỏa mãn các điều kiện sau:

2 Va G w và Va: G K thì x ã G w.

( xem [6])

1 2.1 K h á i n iệ m k h ô n g g ia n đ ịn h c h u ẩ n

1.2 K hông gian định chuẩn

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến

tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường p ( P = K hoặc p = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực K, kí hiệu là

||.|| và đọc là chuẩn,thỏa mãn các tiên đề sau đây:

1 (Va; G X ) ||a;|| > 0, ||a;|| = 0 X = 9 (kí hiệu phần tử không là 9 );

2 (Va; G X ) (Va G p ) ||aa;|| = |a | ||a;|| ;

3 (Va;, y e X ) \\x + y\\ < ||a;|| + ||y||

Số ||a;|| gọi là chuẩn của vectơ X Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X Các tiên đề trên gọi là hệ tiên đề chuẩn.

Ví dụ: Không gian K 2 là không gian định chuẩn với chuẩn thường chọn là chuẩn:

Ngoài ra còn có những chuẩn khác chẳng hạn như:

hay

m a x { | Xị I, I x 2 |}.

trong đó X = (a;i,a;2) G M2 Ví dụ: Không gian C[a,b] = { / : [a,b] —>

R I / liên tục trên [ữ, ồ]} là không gian định chuẩn

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.2 Cho không gian tuyến tính X với hai chuẩn lllli và

II ||2 Hai chuẩn này được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số M > 0

Khi đó d là một metric trên X

Chứng minh của định lý trên dễ dàng suy ra từ hệ tiên đề chuẩn và

hệ tiên đề tuyến tính

Mọi không gian định chuẩn đều có thể trở th àn h không gian metricvới metric (1.1) Do đó mọi khái niệm,mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.3 Dãy (x n) trong không gian định chuẩn X được gọi

là hội tụ đến X q & X nếu

Đ ị n h n g h ĩ a 1 2.4 Dãy điểm (x n) trong không gian định chuẩn X gọi

là dãy cơ bản, nếu

lim \\xn — x m II = 0

m , n —>oo

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.5 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 6 Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian

metric đầy đủ (với khoảng cách d ( x , y ) = 11rc — y II) Khi đó X được gọi

là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 7 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường

p Ánh xạ A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y

được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu Ả thỏa mãn:

1 A(X + y) = A x + Ay\

2 A (a x ) = a A (a;).

- A được gọi là toán tử cộng tính nếu A chỉ thỏa mãn 1

- A được gọi là toán tử th u ần nhất nếu A chỉ thỏa mãn 2.

- Khi Y = p thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến

tính

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 8 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Toán tử

tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho:

II A x ||< c II X II, với mọi X G X

A được gọi là ánh xạ giới nội.

Đ ịn h lý 1 2 2 Ánh xạ A : X —> Y tuyến tính, liên tục khi và chỉ khi

do đó A liên tục.

Ngược lại, giả sử Ả liên tục nhưng Ả không giới nội.

Tức Vra > 0, 3 x n G X : ||A(æm)|| > ra ||æm||.

Ta đăt y m = II ■ Ta đươc ||ym|| = = — —> 0, ra —> 00.

\\A (ym)\\ -/* 0 o - A ( y m) 0 = A(0) (mâu thuẫn)

Vậy A giới nội.

Ta có điều phải chứng minh

Đ ị n h n g h ĩ a 1 2.9 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Kí hiêu L(J*r, Y ) là tập t ấ t cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y Ta đưa vào L (X , Y ) hai phép toán:

1 Tổng của hai toán tử A, B G L (X , Y ) là toán tử,kí hiệu A + B , xác

định bởi biểu thức

(A + B ) ( x ) = A x + B x , với mọi X & X ;

2. Tích vô hướng của a G p ( p = R hoặc P = c) với toán tử A G

L (X , V) là toán tử, kí hiệu a A , được xác định bởi biểu thức

( a A ) ( x ) = a ( A x )

Dễ kiểm tr a được rằng A + B G L (X , V), a.A g L (X , V) và haiphép toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính Khi đó, tập L(Jf, V)

trở th àn h một không gian tuyến tính trên trường p

Đ ị n h lý 1.2.3 Nếu Y là một không gian Banach thì L (X , Y ) là không

gian Banach.

( xem [5])

Giả sử X là không gian định chuẩn và {æ„}“=1 c X , Xo £ X .

1 x n —> X q ( dãy x n hội tu tới £o) có nghĩa là II x n — Xo II —> 0.

2 Nếu x n —> Xo thì II x n II —>\\ Xo II, tức là chuẩn II x n II là một hàm liên tục của X.

3 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là: nếu x n hội tụ thì 3 M £ R, M >

0, Vn, Il x n ||< M

4 Nếu x n ->• Xo, y n -> Vo thì x n + y n ->• x 0 + y 0.

5 Nếu x n —> X o ,a n —> CKo thì x na n —> X q OI o , V {a„}“=1 c l , ữ f l € R.

6 Một dãy cơ bản trong không gian định chuẩn X là một dãy { x n} c

X sao cho:

lim \\xn — x m II = 0.

m,n— >oo

Nếu trong không gian định chuẩn mọi dãy cơ bản đều hội tụ,tức là:

11x n — x m \\ —?• 0 kéo theo sự tồn tại Xo £ X sao cho x n —> Xo, thì không gian đó được gọi là không gian đủ thường gọi là không gian Banach

1.3 K hông gian H ilbert

Đ ịn h n g h ĩa 1 3 1 (Tích vô hướng) Cho không gian tuyến tính X trên

trường p (p là trường số thực R hoặc trường số phức c ) Ta gọi là tích

vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X X X vào

trường p ,k í hiệu (., ), thỏa mãn tiên đề:

1 (Væ, y £ X) ( y , x ) = {x ,y)\

2 (Væ, y, Z £ X ) (x + y, z ) = (x, z ) + (y, z ) ;

1 2 2 Sự h ộ i t ụ t r o n g k h ô n g g ia n đ ịn h ch u ẩ n

1 H là không gian tuyến tính trên trường P\

2 H được tran g bị một tích vô hướng (., );

3 H là không gian Banach với chuẩn ||a;|| = - \ / ( x , x ) , x G H Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H

Đ ị n h n g h ĩ a 1 3.4 (Trực giao) Cho không gian Hilbert H Hai phần

tử x , y G H gọi là trực giao,ký hiệu X-Ly,nếu (x , y ) = 0.

Đ ị n h n g h ĩ a 1.3.5 Cho không gian Hilbert H và tập con Ả c H, Ả Ỷ

0 Phần tử X G H gọi là trực giao với tập A, nếu X-Ly (Vy E A ) và kí hiệu X-LA.

Đ ị n h lý 1.3.2 (Định lý hình chiếu lên không gian con) Cho không gian

Hilbert H v à H q l à không gian con của H Khi đ ó phần tứ bất kì X G H

biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

Phần tử y trong biểu diễn (1.4) gọi là hình chiếu của phần tử X lên không gian con H q

Đ ị n h n g h ĩ a 1 3.6 (Hệ trực chuẩn) Cho không gian Hilbert H Một

tập (còn gọi là hệ thống) gồm hữu hạn hay đếm được các phần tử

ien)n> 1 c H gọi là một hệ trực chuẩn, nếu

ỏij là kí hiệu Kroneckes,ổịj = 0 với % Ỷ = 1 v<3i í = j , { h j =

X € X , { x + Ua} aeI là họ lân cận của X.

Đ ị n h n g h ĩ a 1 3.7 Mọi họ các lân cận của điểm 0 (Kí hiệu: ỈA ) được

gọi là họ cơ sở của lân cận nếu:

1 u bất kỳ là lân cận của điểm 0 thì tồn tại ƯQ c u sao cho ƯQ c U]

2 Với U \ , U 2 E ỈA thì U\ n U 2 E ỈA]

3 Với ưị G u , i = 1, • • • ,00 thì u Uị G U;

i= 1

4 Với w & u , tồn tại ƯQ G u sao cho ƯQ + ƯQ c w.

1.4 K hông gian các hàm spline

1 4.1 S p lin e đ a t h ứ c b ậ c b a v ổ i m ố c c á c h đ ề u

Xét phân hoạch 7ĩ trên đoạn [a, b] với các mốc nội suy

a = t0 < ti < t 2 < < t n = b.

Kí hiệu hị = tị — t ị -1, nếu hi = h = const thì các mốc nội suy

to, t \ , ¿2 J ■ ■ ■ J t n gọi là các mốc nội suy cách đều.

Đ ị n h n g h ĩ a 1.4.1 Một spline đa thức bậc ba trên đoạn [ữ, b] với phân hoạch 7Ĩ là hàm số y = s ( t ) thỏa mãn hai điều kiện sau:

Từ định nghĩa ta có không gian S 3 (7ĩ) chứa t ấ t cả các đa thức có bậc

nhỏ hơn hoặc bằng 3 Dễ dàng kiểm tra các tiên đề của không gian vec

tơ suy ra ^ ( tĩ) là không gian tuyến tính

M ệ n h đ ề 1 4.1 Không gian là không gian tuyến tính và không gian đó chứa tất cả các đa thức có bậc nhỏ hơn bằng 3.

B à i t o á n 1.4.1 Tồn tại duy nhất hàm số s ( t ) G thỏa mãn hệ

điều kiện:

V ( í o ) = /'(to),

ks'(ín) =

Khi đó s ( t ) được gọi là đa thức nội suy spline bậc ba của hàm số f ( t )

Xây dựng sự tồn tại của hàm s ( t ) với các mốc nội suy cách đều

( 1 , 8 )

Các hàm ổ-spline khác không nhỏ gọn nhất với các mốc nội suy

t —2 < t- 1 < to < < t n < tn+1 < t n + 2 đó là, bất kì spline đa thức bậc

3 s (í) đồng nhất triệt tiêu bằng 0 ngoài khoảng ( t j - 2 , t j + 2

)-Hơn nữa mỗi Bị(t) là bậc 3 trên [t j, tj+1] nên B ị(t) G So(ĩĩ).

Tính B j( t ) , B'-(t), B"{t) chúng ta có bảng sau:

B'_ l{to) B'o (to) B [ ( k ) • ■ B'n+1 (to)

B _l{to) Bo (to) Bi(to) ■ ■ B n-ị- (to)

Đ ị n h lý 1 4.2 Với các không gian và B^(Tĩ)nêu trên chúng ta có:

Vì f { t ) , g{t) G c 2[a, b] nên g(t) G c 2[a, h] theo định lý Rolle thì g'(t)

có n nghiệm Ui thỏa mãn tị < Ui < tị + 1 đồng thòi t o , t n là hai nghiệm của g'(t) Như vậy g'(t) có ít nhất n + 2 nghiệm do đó g"{t) có ít nhất

n + 1 nghiệm Zị và Xi < Zị < ĩ/i, 0 < i < n .

Nhưng g"{t) là đa thức có bậc cao nhất bằng 1 trên t i , ti+ 1 với các

điểm lưới của phân hoạch 7Ĩ , vì g"(t) nhận Zị,i = 0,1, 2, , n là các nghiệm nên chúng ta suy ra g"(t) = 0 trên tị, tị+ 1

H ệ q u ả 1.4.2 Tồn tại duy nhất một spline bậc 3 s ( t ) là nghiệm của

bài toán (1.6) Hàm s ( t ) như vậy gọi là spline nội suy bậc 3 của f ( t )

Các spline bậc ba nội suy đến hàm / ( í ) không phải chỉ là đa thức

nội suy bậc ba của / ( í ) tại các điểm nút t ị, 0 < i < n nói trên Thực

tế nhiều vô hạn spline, có thể chứng minh rằng tồn tại duy nhất spline

s ( t ) cho bởi công thức:

Spline s ( t ) được gọi là spline bậc ba tự nhiên nội suy của hàm số f ( t )

Ma trận A để xá định khi giải s ( t ) sai khác ma trậ n Ả ở dòng cuối cùng Khi / G ơ 4[a, b] thì

5/ - s ||<

384 / (4) II h \

1 4 2 S p lin e đ a t h ứ c t ố n g q u á t

Để nghiên cứu khái niệm B — spline tổng quát chúng ta đi từ khái

niệm sai phân của hàm số

Chúng ta có:

A / ( z 0) = f { x i) - f { x o),

A k+Ìf ( x 0) = A / ( s 1) - A f ( x 0).

(1.13)

T h ật vậy: hàm F "' ( x) gián đoạn suy ra từ công thức sau:

Từ (1.16 )suy ra K (í) = 0, Vi > X ị , hơn nữa cố định t và x < t, Fị(x) là

đa thức bậc ba.Vì vậy A 4Fị(xo) = 0 khi £0 > t, nghĩa là K ị t ) = 0 khi

t > X ị và t < S0)Cấc hàm B — spline bậc ba B 2{t) cũng có tính chất này Mà tổng của các spline bậc ba là (Xị — t ) ị , K ( t ) cũng là spline bậc

K ( t ) = A m+iF ,( x) = X ) ( - 1 ycr+i{xi - í ) ; (1.18)

i= 0

với ra = 1 , 2 , 3 , mà (Xị — t)Ỵ = 0 , t > Xi suy ra K ( t ) = 0 khi t < X0

và t > x m+ị Hơn nữa K ( t ) là tổng của ra — 1 hàm số khả vi liên tục

và K ( t ) khả vi liên tục, từ đó ta có

K ( t ) e s m(7I-).

Đ ị n h n g h ĩ a 1 4.2 Giả sử 7Ĩ là một phân hoạch ¿0 < ti < ¿2 < <

t n, (n > ra + 1) của [a, ồ], không gian

S m{Tĩ) = { s ( í) e c m~l [a) b\ I s(t) \[tiíti+1 là đa thức bậc m

là không gian các hàm spline đa thức bậc ra với các mốc nội suy của

phân hoạch 7T Khi đó s(t) được gọi là một spline đa thức bậc m.

Ví dụ: cho m = 1 thì F ị ( x ) = (x — t ) +

và K ( t ) = A 2Ft (xo) = ( x 2 - t)+ - 2(xi - t)+ + (z 0 - t)

' ( x 2 - t ), Xị < t < x 2,

= ị {x2 — t) — 2(xi — t), x 0 < t < X1,k0, t ệ [ x 0, x 2},

Đ ị n h n g h ĩ a 1.5.1 số a được gọi là số gần đúng của số a * nếu a sai khác với á* không nhiều Kí hiệu a ~ a*.

Đ ị n h n g h ĩ a 1.5.2 Đại lượng A =1 a — a* I được gọi là sai số thực sự của a.

Nói chung ta không biết a* nên ta không biết A Tuy nhiên ta có thể ước lượng sai số thực sự của a bằng số dương A a > 0 sao cho:

Đ ị n h n g h ĩ a 1.5.3 số A a nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện( 1.19) gọi là

sai số tuyệt đối của số gần đúng a Khi đó a* = a ± A a

Đ ị n h n g h ĩ a 1.5.4 số ôa = được gọi là sai số tương đối của a.

Khi đó , ta có: ôa = = 0,1% , ôb = = 1%

Vậy phép đo đoạn thẳng A B chính xác hơn đoạn thẳng C D tu y chúng

có cùng sai số tuyệt đối Aữ = Aồ = 0, Olra

Sai số tuyệt đối cũng như sai số tương đối của một số gần đúng a của

số đúng a* là không duy nhất

Độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối

1 5 2 X ấ p x ỉ t ố t n h ấ t

Đ ị n h n g h ĩ a 1 5.5 Cho X là không gian định chuẩn với chuẩn IIII, M c

X và p E X Điểm y Q E M được gọi là xấp xỉ tố t nhất tới p từ M nếu:

\ \ p - y o ||< || p - y II,Vĩ/ e M

x ấ p xỉ tốt nhất có thể tồn tai, có thể không và sự tồn tại nếu có cũng không phải là duy nhất.

trường hợp này tồn tại xấp xỉ tố t nhất = ( — 1, 0), Z 2 = (1, 0)

Đ ị n h lý 1.5.1 Nếu X là không gian định chuẩn với chuẩn II II , và X n

là không gian con hữu hạn chiều của X thì với mỗi X G X tồn tại xấp

xỉ tốt nhất X n £ X n , tức là:

Il X — X n 11= min II X — y II

y z x N Chứng minh: Lấy G X n và đặt d =11 X — Z II

K = Z E X N :|| X — z ||< d

Từ II X II là hàm liên tục của X nên K là tập đóng và bị chặn Mà

K là không gian hữu hạn chiều nên K compact.

Đ ặt g( z) =11 X — Z II, Z G K Khi đó , g là hàm liên tục của z.

Do K compact nên g đạt giá trị nhỏ nhất tại một số điểm X n g K

Đ ăt h = b• -=± n

Giả sử X là nghiệm đúng và X* là nghiệm xấp xỉ của phương trình

đã cho (theo phương pháp gần đúng nào đó) Nếu có:

\\ X — X* 11= 0 ( hk).

thì X* được gọi là hội tụ bậc k về nghiệm X.

1 5 4 M a tr ậ n đ ư ờ n g ch é o tr ộ i

Đ ị n h n g h ĩ a 1.5.6 Cho ma trận vuông Ả = (ữịj)"j=1

-Ta nói ma trận Ả có tính chất đưòng chéo trội nếu nó thỏa mãn một

trong hai tính chất sau:

và Dy là một miền mở thuộc R n ở đây tũ là một số hoặc ký hiệu

— 00,sau này để tiện thường viết 00 thay cho + 0 0 ( nếu không có gì nhầm lẫn )

Để thỏa mãn định lí về tồn tại và duy nhất nghiệm cũng như có thể

kéo dài nghiệm về bên phải từ nay ta giả thiết rằng hàm vectơ F( t , K) trong miền T liên tục theo t và có các đạo hàm riêng cấp một theo các

biến 2/1, 2/2, ■ ■ ■ , y n liên tục

Đ ị n h n g h ĩ a 1.5.7 Nghiệm z = z ( t ) (ữ < t < 00) của hệ (1.21)

được gọi là ổn định theo Liapunốp khi t —> + 0 0 ( hay ngắn gọn là ổn

định ) , nếu với mọi £ > 0 và to G (a, 00) tồn tại ổ = ỗ ( e , t o) > 0 sao

Nói cách khác,nghiệm z(t) ổn định,nếu các nghiệm Y(t) khá gần

với nó ở thòi điểm ban đầu ¿0 bất kì sẽ hoàn toàn nằm trong ống £ nhỏ

tù y ý được dựng quanh nghiệm z(t)

Từ các bất đẳng thức (1.22) và (1.23)về ý nghĩa ta luôn luôn có thể

chọn ỗ < £.

Trường hợp đặc biệt, khi F( t , 0) = 0 nghiệm tầm thường ( còn gọi là

trạng th ái cân bằng ) z(t) = 0(ữ < t < oo) ổn định nếu với mọi £ > 0

và to G (a, oo) tồn tại ô = Ô( e , to) sao cho bất đẳng thức

II y ( t o ) I M

Kéo theo bất đẳng thức

Y ( t ) II< £ khi to < t < oo