Luận văn tích chập của hàm suy rộng

Trong quá tành nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.. Lý do chọn đề tàỉ Lý thuyết về

TRUÔNG DAI HOC SU PHAM HÀ NÔI 2

NGÔ THI HONG DIEM

TÎCH CHÂP CÛA HÀM SUY RÔNG « •

LUÂN VAN THAC SÏ TOAN HOC

HÀ NÔI, 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGÔ THỊ HồNG DIẼM

TÍCH CHẬP CỦA HÀM SUY RỘNG « •

Chuyên ngành: Toán gỉảỉ tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN HỮU THỌ

HÀ NỘI, 2015

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Hữu Thọ Sự giúp đô và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạn học viên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này!

Hà Nội, ngày 15 tháng 10 năm 2015

Г Т 1 V _ * 2

Tác giả

Ngô Thị Hồng Diễm

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Hữu Thọ

Trong quá tành nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ

rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 15 tháng 10 năm 2015

m / _ *2Tác giả

Ngô Thị Hồng Diễm

Mục lục

1.1 Không gian các hàm cơ bản 3

1.2 Không gian các hàm suy rộng <3' (Q) 7

1.3 Tính đầy đủ của không gian hàm suy rộng t y [ Q ) 11

1.4 Giá của hàm suy r ộ n g 13

1.5 Hàm suy rộng chính q u y 15

1.6 Đổi biến trong hàm suy r ộ n g 16

1.7 Phép nhân của hàm suy r ộ n g 17

1.8 Đạo hàm của hàm suy rộng 18

1.9 Tích trực tiếp của các hàm suy rộng 19

2 Tích chập của hàm suy rộng 21 2.1 Khái niệm tích c h ậ p 21

2.2 Tính chất của tích c h ậ p 25

2.3 Sự tồn tại của tích c h ậ p 30

2.4 Tích chập là toán tử tịnh tiến bất biến tuyến tính liên tục 33

3 Một số ứng dụng 36

3.1 Thế vị N e w to n 363.2 Công thức G r e e n 383.3 Phương trình tích c h ậ p 38

Lời mỏ đầu

1 Lý do chọn đề tàỉ

Lý thuyết về tích chập và các toán tử chập được xây dựng khởi đầu

từ nửa đầu của thế kỷ 20, sau đó được phát triển mạnh mẽ trong những năm gần đây vì chúng có nhiều ứng dụng không chỉ vào nhiều lý thuyết khác nhau của toán học như: Phương trình vi tích phân, phương trình đạo hàm riêng, đại

số Banach, mà còn được ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khoa học và công nghệ Trong hai chục năm gần đây, nhiều công trình liên quan đến các tích chập, tích chập suy rộng của các phép biến đổi tích phân và những ứng dụng của nó đã được công bố Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về tích chập của hàm suy rộng, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Hữu Thọ, em chọn đề tài cho luận văn của mình:

Tích chập của hàm suy rộng.

Luận văn được trích dẫn từ Chương 1 của cuốn sách : Generalized Func­

sang Tiếng Anh từ nguyên gốc Tiếng Nga)

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về tích chập của hàm suy rộng: khái niệm, các cấu trúc cơ bản

và khả năng ứng dụng trong nghiên cứu

3 Nhiệm yụ nghiên cứu

Tìm hiểu về lý thuyết hàm suy rộng

Trình bày một cách hệ thống về tích chập của hàm suy rộng và ứng dụng của chúng

4 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: tích chập.

Phạm vi nghiên cứu: trong lớp hàm suy rộng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu tư liệu trong sách, báo;

- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài

6 Đóng góp của đề tàỉ

Trình bày một cách hệ thống về tích chập của hàm suy rộng, một số ứng dụng của tích chập

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian các hàm cơ bản @(ũ).

Theo một nghĩa nào đó, hàm delta là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên lớp các hàm liên tục trong các hàm, và khi đó hàm liên tục được coi như hàm cơ bản đối với hàm delta Chính quan điểm này làm cơ sở cho việc xác định một hàm suy rộng tùy ý như là một phiếm hàm tuyến tính liên tục

trên tập hợp đủ "tốt" được gọi là hàm cơ bản Trong mục này chúng ta sẽ xét

Tập hợp các hàm cơ bản $ { ũ ) là tập tất cả các hàm khả vi vô hạn trong

Ta định nghĩa sự hội tụ trong $ { p ) như sau Một dãy các hàm </> 1, (fi2, trong @{ỹL) hội tụ tới hàm ip (trong @{ỹL)) nếu tồn tại một tập Q! !c Q sao

D a(fk{x) x=> D a(p{x), khi к x>

Khi đó ta viết: (fk —> ip, khi к —> УО trong $ { ũ ).

gian các hàm cơ bản @{Q) và ta có kí hiệu sau:

0 - &{}r ) , ^ ( a , ò )

-Rõ ràng, nếu Qi ^ 0 2, khi đó c_ ^ ( 0 2) và từ sự hội tụ trong

Chứng minh Giả sử 6A2t là hàm đặc trưng của tập hợp A 2e Thì hàm:

trong đó 0J£ là "chuông", chính là điều cần tìm Chứng minh đã được hoàn

hàm TỊ t @{Q) sao cho

ĩ ị { x ) — 1 , X t ừ , 0 ^ ĩ ị { x ) ^ 1

Điều này được suy ra từ bổ đề trên khi Ả — fìf và £ — |A c?fi) > 0

Giả sử ũ k, к — 1, 2 , là họ đếm được các tập mở Ta nói rằng hệ này tạo

thành phủ hữu hạn địa phương của tập hợp mở 0 nếu

- [ J Q*, ũk £ tì

1

và với một tập compact bất kỳ К ^ Oi chỉ giao với một số hữu hạn các tập trong họ { ũ k}.

Đỉnh lý 1.1.1 (Phân tích đơn vị) Giả sử {Ofc} là phủ hữu hạn địa phương của

П Khi đó tồn tại dãy hàm \ eỵ \ sao cho:

e k b @ { n k ) , 0 ^ e k { x ) ^ l , ^ e k { x ) - 1 , X t í l

k^l Chú ý 1.1.1 Mỗi X t Q là tổng khác không của một số hữu hạn các số hạng ek[x) Tập hợp các hàm ek được gọi là phân tích đơn vị tương ứng với phủ hữu hạn địa phương [Q,k\ đã cho của tập mở Q.

Chứng minh Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại phủ hữu hạn địa phương (0'}

K , - n \ I J f i*

kĩf2

hữu hạn địa phương của 0 Tương tự ta cũng xây dựng được một tập hợp mở

Như là hệ quả của bổ đề trên, sẽ tồn tại các hàm Tjk sao cho :

Giả sử / t Jzf^Q), 1 ^ p ^ X (f{%) được xem như bằng không bên

của hàm trung bình Khi 1 ^ p < x> thì bất đẳng thức (1.1) có được từ bất

\Jđv{ũ) •

Định lý 1.1.2 Giả sử / £ J ỉ ? q IQ) và f { x ) — 0 hầu khắp nơi bên ngoài

К - — íì Khi đó với mọi £ < А [ к , c?fi) hàm trung bình f £ E ®{ỹt) và:

trong C'(Q), nếu / t C'o(ii), trong J f p(Q) (1 ^ p < 30 ), nếu f ь Jzf0p(Q), hầu khắp nơi trong 0 , nếu / t Jzfg'^Q).

Chứng minh Nếu £ < А [ к , c?fì) thì f £ (æ) là hữu hạn trong Q và từ f £ E

và từ tính liên tục đều của hàm / kéo theo tính hội tụ đều trong о của f e {x) tới / (æ) khi £ —ĩ -HO.

Giả sử / t Jz?0p (Q) 1 ^ p < X) Lấy tùy ý ỗ > 0 Khi đó tồn tại hàm

Hệ quả 1.1.2 & (fì) là trù mật trong Jzfp , 1 ^ p < 30

Hệ quả 1.1.3 & (П) là trù mật trong C q (fì) (theo chuẩn trong c k (fi) ) nếu

1.2 Không gian các hàm suy rộng (Q)

Một hàm suy rộng xác định trên tập hợp mở 0 là một phiếm hàm tuyến

tính liên tục trong không gian các hàm cơ bản @ {ũ).

Ta sẽ viết giá trị của hàm (hàm suy rộng) / trên hàm cơ bản (p là (/, (p) Bằng

cách tương tự với các hàm thường thỉnh thoảng ta viết / (æ) thay bằng / , coi

X như biến của hàm cơ bản của phiếm hàm /

Bây giờ ta đưa ra một giải thích của định nghĩa hàm suy rộng

(1) Mỗi hàm suy rộng / là một phiếm hàm trong $ ip ), tức là với mỗi

(2) Mỗi hàm suy rộng / là một phiếm hàm tuyến tính trên @ {£}), tức là

có (/, (p) — (g, (p), và ta sẽ viết là / = g trong Q hoặc f [x) — g{x) , x ^ Q.

Ký hiệu <3' (_fi) là tập hợp tất cả các hàm suy rộng trong fi Tập hợp <3' (fì)

là tập hợp tuyến tính nếu chúng ta định nghĩa tổ hợp tuyến tính Л / -H ịig của các hàm suy rộng / và g trong $)’ { ũ ) như là phiếm hàm có dạng song tuyến

tính:

[Xf + fig, <p) = Л (/, <p) + ịi {g, <p) , <p t @ ( í ì ) Giả sử / ^ <3' (fì), ta định nghĩa hàm suy rộng / trong <2)' (fi) là số phức liên

hợp của / và được xác định như sau:

Ví dụ 1.2.1 Hàm denta là thực.

trong *3' (Q) hội tụ tới hàm suy rộng / t < ) ' 2 nếu với mọi hàm cơ bản

4> t 9 {p) ta có ự k, <p) Ự, Ф) khi к —r 30 Khi đó ta viết:

f k ~ > f khi к —> 3Ü trong $>r (_fì).

Sự hội tụ này được gọi là hội tụ yếu.

Tập hợp tuyến tính $>' (Q) cùng với sự hội tụ như trên gọi là không gian

Ta ký hiệu:

& _ & ự r ), & (a, ò) - & ((a, ò )).

íT (íì2) ^ Ш

và từ sự hội tụ trong <3)' (fi2) kéo theo hội tụ trong <3)’ (fix).

Như vậy, với mỗi hàm suy rộng / trong $)' {ũ) sẽ tồn tại (duy nhất) một

hạn chế f i ' c f i sao cho / £ (Qr)

Chú ý 1.2.1 Phiếm hàm tuyến tính trên <3 (0) không nhất thiết liên tục trên

$ iỹì) Tuy nhiên, không có hàm liên tục tuyến tính nào được xác định hiện trên $ {ũ) mà chỉ có thể chứng minh sự tồn tại của chúng về mặt lý thuyết

dựa trên tiên đề chọn

Định lý 1.2.1 Một phiếm hàm tuyến tính f trên {p) sẽ thuộc <3’ (Q) (tức

là nó trở thành một hàm suy rộng trong ũ ) nếu và chỉ nếu với mối tập mở

fir (с luôn tồn tại các số К — К (ÍT) v à m — m (fir) sao cho

Chứng minh Điều kiện đủ là hiển nhiên đúng Ta cần chứng minh điều kiện

cần

Giả sử / ỉr $)' (Q) và íy ^ Q Nếu đẳng thức (1.2) không đúng, khi đó

(1.3)Nhưng dãy

Giả sử / £ @r v_0) Nếu từ đẳng thức (1.2) ta có thể chọn được số nguyên

ra không phụ thuộc vào ừ , thì ta nói rằng hàm suy rộng / có bậc hữu hạn Giá trị nhỏ nhất trong số các số ra như vậy gọi là bậc của / trong Q.

Chẳng hạn, bậc của hàm delta bằng 0 còn bậc của hàm suy rộng xác định bởi

k^l

là vô hạn

Chú ý 1.2.2 Định lý trên cho ta thấy rằng, nếu trang bị trong một không gian

v = ồ’ 1 ’ - ’(P * c o { t o k ) ,

là đúng cho mọi hàm (fi trong c™ (fir)

1.3 Tính đầy đủ của không gian hàm suy rộng ty (Q)

Tính chất đầy đủ của không gian t y (0) là cực kỳ quan trọng và được

khẳng định trong định lý sau

với mọi hàm ự) i= $ (Q), thì dãy số ựk, ự>) hội tụ khi к 30 Khi đó phiếm hàm / trên & (Q) được xấc định bởi

(/>¥>) = lim i f к, ự)

là tuyến tính và liên tục trên $ iỹt), hoặc f ĩ= *3)T (Q).

Chứng minh Tính chất tuyến tính của phiếm hàm giới hạn / là hiển nhiên

Ta đi chứng minh tính liên tục của phiếm hàm đó trên @ (0 ).

Nhưng điều này không thể xảy ra được vì bổ đề tiếp theo sau đây Mâu thuẫn

Bổ đề 1.3.1 Cho một dãy các phiếm hàm /i, / 2, lấy ra từ tập bị chặn yếu

M ' <3' ( f ì) , tức là I (_/, (fi) I < Cự, f E M r với mọi (p trong và giả sử dãy các hàm cơ bản </?!, <P 2, trong & (_fi) tiến đến 0 trong & (fi) Khi đó

i f k , ự >k ) ^ 0 khi к X)

Chứng minh Giả sử bổ đề trên là sai, khi đó ta có thể nói rằng \{fk,ụ>k)\ ^

Bây giờ ta xây dựng các dãy con [ fk } và {-0* f bằng phương pháp sau Chọn

f kl và ф к1 sao cho \ { f k l , ф к1)\ ^ 2 Giả sử f kj và ф к , э - 1, V - 1 ta đã

xây dựng được, ta xây dựng /fc và ĩpk • Vì ĩpk —> о, к —> X) trong & (fì) nên

Hệ quả 1.3.1 iVểM íập M' <3ì' (0) /à bị chặn yế u , thì với О' ^ 0 /ồn tại số

К v à m sao cho bất đẳng thức [1.2) đúng với mọi <p E & (fir) và / E M r.

1.4 Giá của hàm suy rộng

Nhìn chung các hàm suy rộng không có giá trị tại các điểm riêng biệt Tuy vậy, ta có thể nói về sự triệt tiêu của hàm suy rộng trong một tập mở Ta nói

rằng hàm suy rộng / trong @'{Q) triệt tiêu trong tập mở Q' ■- Ü nếu hạn chế

mọi ip £ & (fìr) Khi đó ta viết:

/ [x) — 0, Xí:

Giả sử hàm suy rộng / trong $)' [Ũ) triệt tiêu trong 0 , hiển nhiên nó cũng

triệt tiêu trong lân cận của mỗi điểm của tập hợp 0

Ngược lại, cho / trong <3' (fì) triệt tiêu trong lân cận и {у) С- Ü của điểm y

xây dựng được phủ con hữu hạn địa phương sao cho mỗi được đều

và cứ tiếp tục như vậy ta sẽ tạo ra được các phủ {Q,k \ như mong muốn.

Gọi (efcỊ là phân tích đơn vị tương ứng với phủ (Ofc[ của tập 0 Khi đó với mỗi (ptrong ( f ì) , supp {(pek) u [y) với y nào đó và (/, (pek) — 0, vì

vậy

Như vậy ta luôn có bổ đề sau đây đúng

Bổ đề 1.4.1 Nếu một hàm suy rộng trong *3)' (Q) triệt tiêu trong một lân cận nào đó của mọi điểm của tập mở 0 thì nó luôn triệt tiêu trong toàn bộ tập 0 Giả sử / t @r{£ì), hợp của toàn bộ lân cận mà tại đó / = 0 tạo thành

Giá của hàm suy rộng / là phần bù của Q f trong Q và được ký hiệu là

thì / được gọi là hữu hạn trong 0

Từ đó chúng ta có những khẳng định sau:

[a) Nếu giá của / t <3' (_fì) và ip t & (_fì) không có bất kì diểm chung nào

Cho A là một tập đóng trong o Ta ký hiệu 00' (Q, A) là tập hợp các hàm suy rộng trong & (Г2) mà giá của nó bị chứa trong A và với sự hội tụ như sau: /jfc —^ о, к ^ 3Ü trong @r A) nếu fk —» о, к —>■ X) trong (fì) và

supp f k <- A.

Định lý 1.4.1 (Định lý liên kết thành phần) Giả sử rằng với mối điểm y t Q, tồn tại một lân cận и {у) (с Q và trong đó tồn tại một hàm suy rộng fy sao cho f Vl (æ) — fy2 [x) nếu X e и lyi) n и [у2) ^ 0 Khi đó tồn tại duy nhất một hàm suy rộng / trong *3' (Q) trùng với fy trong и {у ) với mọi y b íì.

Hàm suy rộng được xác định như trong (1.11) bởi hàm khả tích địa phương

trong О được gọi là hàm suy rộng chính quy Tất cả hàm suy rộng khác được gọi là kỳ dị.

Bổ đề 1.5.1 (Du Bois Reymond) Cho một hàm số f {x) là khả tích địa phương trong О triệt tiêu hầu khắp nơi trong 0 , nó là cần và đủ đ ể hàm suy rộng đều / tạo ra triệt tiêu trong 0

Từ bổ đề ta thấy rằng mỗi hàm suy rộng chính quy trong 0 được xác định duy nhất (sai khác nhau trên tập có độ đo không) bởi một hàm khả tổng địa phương trong fì Do đó có một phép tương ứng 1 — 1 giữa hàm khả tổng địa

phương trong Q và các hàm suy rộng chính quy trong Q Vì vậy ta sẽ đồng

nhất một hàm / (íc) khả tổng địa phương trong n với một hàm suy rộng từ

& (Q) được tạo ra bởi (1.11) Theo nghĩa này, hàm "thường" (đó là hàm khả

tổng địa phương trong 0 ) là hàm suy rộng chính quy từ *2)' { f t )

Lưu ý rằng nếu dãy f k{%), k — 1,2, các hàm khả tổng địa phương trong

Q hội tụ đều tới hàm / (z) trên mỗi compact K íc Q thì f k -> / , Ả; -> 30 trong s>r [ỹì).

Bên cạnh đó nếu /i £ c k(fii) thì ta cũng nói rằng / thuộc lớp c k(fìi) .

1.6 Đổi biến trong hàm suy rộng

Cho / £ Jzfị0C v_n) và X — A y -\- b là biến đổi tuyến tính không suy biến của vào fii Khi đó với mọi (p E & (Qi) ta có

Đẳng thức này đưa ra định nghĩa của hàm suy rộng / [ Ay + b) với mỗi / (x) trong @r (íì)

Vì toán tử ip (íc) —?• (fi \ A 1 [x — Ò)J là tuyến tính và liên tục từ (Qi) đến

& № )

I / [Ạy + b)ip ly) dy - 1 I / {x) tp [A 1 {x - Ò)J dx

(1.12)

ự{Ảy), ự>) = (/,¥> [ATx))

1.7 Phép nhân của hàm suy rộng

Giả sử / t Jzfị0C và a t c :x} (Q) Khi đó với mọi (fi trong ỉ& (fì) ta có

Do toán tử ip —> aự>, a ^ c ° là tuyến tính và liên tục từ $ V.O) vào @ (0)

nên phiếm hàm a f được xác định bởi vế phải của (1.13) là một hàm suy rộng trong @r ( í ì )