Điều kiện không cục bộ trong 0.3 lần đầu tiên được nghiên cứu tro n g [10], cho phép mô tả dữ kiện đầu vào tố t hơn các điều kiện ban đầu so với các bài to án Cauchy cổ điển.. Trong ứng
Trang 3L Ờ I C Ả M Ơ N
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PG S.T S Trần Đình Kế đã tậ n tìn h hướng dẫn em tro n g quá trìn h thự c hiện luận văn này
Em xin chân th à n h cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, cùng toàn
th ể các th ầ y giáo, cô giáo tro n g K hoa Toán Trường Đại Học Sư P hạm Hà Nội
2, đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện th u ậ n lợi để em có điều kiện tố t n h ấ t tro n g suốt quá trìn h học tậ p , thực hiện đề tà i và nghiên cứu khoa học
Do thời gian và kiến thứ c có hạn nên luận văn không trá n h khỏi những hạn chế và th iếu sót n h ấ t định Em xin chân th à n h cảm ơn đã nh ận được những ý kiến đóng góp của các th ầ y giáo, cô giáo và các bạn học viên
Hà Nội, ngày 08 tháng 07 năm 2015
Tác giả
N g u y ễ n V ăn T h ọ
Trang 4L Ờ I C A M Đ O A N
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PG S.T S Trần Đình Kế, luận văn
tố t nghiệp “N g h i ệ m p h â n rã t h e o th ờ i g ia n c ủ a m ộ t lđp h à m bao th ứ c
vi p h â n cấ p p h â n số ” được hoàn th à n h bởi sự nh ận thứ c của chính bản th â n
tác giả và không trù n g với b ấ t kỳ luận văn nào khác
Trong quá trìn h làm luận văn, tô i đã kế th ừ a những th à n h tự u của các nhà khoa học với sự trâ n trọ n g và biết ơn
Hà Nội, ngày 08 tháng 07 năm 2015
Tác giả
N g u y ễ n V ăn T h ọ
Trang 5M uc luc
1.1 G iải tích bậc phân s ố 41.2 Độ đo không com pact và ánh xạ đa trị n é n 7
2 T ín h giải đư ợ c tr ê n các đ o ạ n c o m p a c t 10
3.1 Nghiệm ph ân r ã 193.2 Áp dụng 27
Trang 6M ở đầu
l.L ý do chọn đề tài
C húng ta nghiên cứu bài to á n sau tro n g m ột không gian B anach X
ở đây D q , a € (0,1), là đạo hàm bậc phân số theo nghĩa C ap u to , A và B là những
to án tử tuyến tín h , đóng và không bị chặn tro n g X , A c N, A u ( t k) = u(tk ) - u ( t k ) Các hàm F, g và I k là các hàm cho trước.
Phương trìn h kiểu Sobolev có th ể tìm th ấy tro n g các công trìn h của B arenblat
và các cộng sự [5], ở đó các tác giả là những người đầu tiên đưa ra m ột mô hình dòng chảy của chất lỏng tro n g môi trư ờng đá n ứ t, đó là phương trìn h
dt{u - dịu) - dịu = 0.
Mô hình này sau đó được p h á t triển và nghiên cứu tro n g các bài báo [7, 26] khi
đó các tác giả đã xét phương trìn h phi tuyến trừ u tượng
- Au(t) = f { t , u { t )) at
tro n g không gian B anach, với A và B là các to án tử không bị chặn G ần đây,
khi giải tích bậc phân số trở th à n h m ột công cụ hữu dụng để m iêu tả các hiện tượng vật lí khác nh au như dòng chảy tro n g môi trư ờng rỗ thủng, các dao động
và điều khiển (xem, chẳng h ạn [17, 24, 27]), phương trìn h vi phân bậc phân số
đã được đề x u ấ t th ay th ế cho các phương trìn h vi phân bậc nguyên tro n g các
mô hình này M ột số lớp phương trìn h vi phân bậc phân số kiểu Sobolev đã
th u h ú t nhiều nghiên cứu tro n g vài năm gần đây Có th ể kể đến các công trìn h [3, 4, 15, 19, 25], ở đó m ột số kết quả về sự tồ n tạ i và điều khiển được đã được
th iế t lập
Trang 7Liên quan tới hệ (0.1)-(0.3), ánh xạ phi tuyến đa trị F hình th à n h từ nhiều
bài to án khác nhau, tro n g đó có bài to án chính quy hóa phương trìn h vi phân thường với vế phải không liên tụ c ([16]), các b ất đẳng thứ c vi biến phân ([29]), các bài to án điều khiển phản hồi ([21]), Điều kiện xung tro n g (0.2) là m ột hiệu ứng x u ấ t hiện khi hàm trạ n g th á i chịu sự th a y đổi đột ngột, hiện tượng này thường x u ấ t hiện tro n g sinh học và kĩ th u ậ t Điều kiện không cục bộ trong (0.3) lần đầu tiên được nghiên cứu tro n g [10], cho phép mô tả dữ kiện đầu vào
tố t hơn các điều kiện ban đầu so với các bài to án Cauchy cổ điển Trong ứng dụng, điều kiện không cục bộ thường có các dạng sau
M ột vấn đề quan trọ n g liên quan tới bài to án (0.1)-(0.3) là câu hỏi về dáng điệu
của các nghiệm khi thời gian t lớn Chú ý rằng lý th u y ết tậ p h ú t to àn cục (xem
[11]) không th ể áp dụng với bài to án này vì th iếu tín h chất nửa nhóm của toán
tử nghiệm Ngoài ra, sử dụng hàm Lyapunov để phân tích sự ổn định của các nghiệm là không thự c tế do những khó khăn tro n g tín h to án và ước lượng đạo hàm bậc phân số, th ậ m chí ngay cả tro n g trư ờng hợp hữu hạn chiều Bởi những
lí do trên , kết quả về dáng điệu nghiệm với các phương trìn h vi phân bậc phân
số khi thời gian lớn ít được biết đến Trong m ột số bài báo gần đây [12, 22, 23], các tá c giả đã nghiên cứu m ột số mô hình phương trìn h vi phân bậc phân số nửa tuyến tín h tro n g các không gian B anach bao gồm các điều kiện không cục
bộ và các hiệu ứng xung, ở đó sự tồ n tạ i các nghiệm phân rã được chứng m inh bằng cách sử dụng nguyên lí ánh xạ co Cách tiếp cận này được giới th iệu bởi
B urton và Furum ochi [8, 9] để nghiên cứu tín h ổn định cho các bài to án phương trìn h vi phân thường và phương trìn h vi phân hàm Tuy nhiên, kĩ th u ậ t dùng
tro n g [12, 22, 23] không sử dụng được tro n g bài to án các hàm phi tuyến F, g và
I k không có giả th iế t Lipschitz.
Với m ong m uốn tìm hiểu sâu hơn về lý th u y ết bao hàm thứ c vi phân bậc phân số, tô i chọn vấn đề " N g h iệ m p h â n r ã t h e o t h ờ i g ia n c ủ a m ộ t lớp
b a o h à m t h ứ c v i p h â n c ấ p p h â n số " cho đề tà i nghiên cứu của luận văn Các kết quả được trìn h bày dựa trê n công trìn h (0.2)
Trong luận văn này, chúng tôi chứng m inh bài to án (0.1)-(0.3) có m ột tập
com pact các nghiệm phân rã tro n g VC([0, +oo); X) Để làm được việc đó, chúng
tôi xây dựng m ột độ đo không com pact chính quy (M NC), gọi là X * trê n m ột
m
l i (O) = u 0 + ^ C ị ĩ i { t ị), Cị ẽ R , t ị > 0,
li(O) = UQ + ■ k(s)u(s)ds, b > 0, k là m ột hàm thực.
Trang 8không gian con đóng của VC{[0, +oo); X ), sau đó chỉ ra rằng to án tử nghiệm đa
trị liên kết với (0.1)-(0.3) là x*-nén
Luận văn được trìn h bày tro n g ba chương Chương 1 bao gồm các kiến thức chuẩn bị liên quan đến giải tích bậc ph ân số và độ đo không com pact Chương 2 trìn h bày tín h giải được của bài to án (0.1)-(0.3) trê n các đoạn com pact Chương
3 sẽ chứng m inh sự tồ n tạ i nghiệm phân rã và trìn h bày m ột ví dụ áp dụng
2 M ục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tín h giải được trê n đoạn com pact và sự tồ n tạ i nghiệm phân rã khi
t 00 của hệ (0.1)-(0.3) C hứng m inh chi tiế t các kết quả tro n g các công trìn h [18, 22],
3 N h iệm vụ nghiên cứu
1 Tìm hiểu về độ đo không com pact;
2 Tìm hiểu về giải tích bậc phân số;
3 Nghiên cứu tín h giải được của hệ trên đoạn com pact;
4 Nghiên cứu điều kiện tồ n tạ i nghiệm phân rã khi t ->■ 00 của hệ
4 Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiêu cứu: Bao hàm thứ c vi phân bậc phân số suy biến
• P hạm vi nghiên cứu: Điều kiện tồ n tạ i nghiệm trên đoạn com pact và điều kiện tồ n tạ i nghiệm phân rã
5 D ự kiến đ óng góp mới
C hứng m inh chi tiế t các kết quả tro n g các công trìn h [18, 22],
6 Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng m ột số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:
• G iải tích đa trị, giải tích bậc phân số, độ đo không com pact;
• Lý th u y ết điểm b ấ t động cho ánh xạ nén
Trang 9Đ ịn h n g h ĩa 1.2 Cho hàm / € C N {[0,T]; X) , đạo hàm Caputo bậc phẫn số cấp
a € {N - 1, N) được định nghĩa
Chú ý rằng có nhiều khái niệm về đạo hàm bậc phân số, tro n g đó định nghĩa của Riem ann-Liouville và C ap u to được sử dụng rộng dãi Nhiều bài to án ứng dụng, biểu diễn bởi phương trìn h vi phân bậc phân số, đòi hỏi các điều kiện đầu li(o), và đạo hàm C ap u to bậc phân số th ỏ a m ãn các điều kiện xác định
X ét bài to án (1.1)-(1.3)
Giả th iế t rằng D { B ) c D(A), B là song ánh và có ánh xạ ngược bị chặn Áp
dụng biến đổi Laplace cho phương trìn h (1.1), ta được
r ( l - a)
Trang 10do D q U = ^ y(') “ * li', ở đây £ là kí hiệu biến đổi Laplace của hàm nhậngiá trị vector Suy ra
- ^ B [ \ C [ u } ( \ ) - Y , e - Aí*/fc - U(0)] = AC[u}(A) + £[/](A)
ke A
Bởi vậy
5£[ii](A) =A“ _1(A°7
-+ A“ _1(A“ / - Ấ 5 “ 1)“ 1# e_Aífc/fc + (A“ 7 - ^4-B_1)_1£[/](A), (1.4)
ke A
với 7 là to án tử đồng n h ấ t xác định trê n X.
Cho {T{t)} là C q - nửa nhóm sinh bởi A B - 1 Thế {T{t)} vào (1.4), ta được
Do đó
£[ii](A) =A“ _1 B ~ 1e~xasT{s)Bu{0)ds
(1.5)
Sử dụng lí luận như [15], ta th u được
Trang 11với ệ a là hàm phân bố xác suất xác định trê n (0,oo), nghĩa là, ệa{6) > 0 và / 0°° ệa{&)d& = 1 Hơn nữa, ệa có biểu diễn
Cho {U(t)}t >0 là m ột họ các to án tử bị chặn trên X Ta nói [/(•) liên tụ c theo
chuẩn nếu và chỉ nếu í U{t) là liên tụ c trê n (0,oo) Nếu U{t) € L { X ) là m ột
to án tử com pact với mỗi t > 0 th ì [/(•) gọi là com pact.
B ổ đ ề 1.1 Cho T{') là Co-nửa nhóm sinh bởi A B - 1 Nếu T{') bị chặn đều, nghĩa
Chứng minh Chứng m inh phần th ứ n h ấ t giống như tro n g [22, Bổ đề 2.1], còn
Cho <É>(í,s) là m ột họ các to án tử bị chặn trê n X với t , s e [O.T^S < t K ết
quả sau được chứng m inh tro n g [28, Bổ đề 1]
B ổ đ ề 1.2 Giả sử rằng $ thỏa mãn các điều kiện sau:
(<É>1) Tồn tại một hàm p e L 9(J),q > 1 sao cho ||<Ê>(t,s)|| < p(t - s) với mọi
t, s e [O, T], s < t;
(<ĩ>2) ||ỉ>(í, s) — ỉ>(r, s) II < e với 0 < s < r — e,r < t = r + h < T với e = e(h) —)• 0 khi
h ^ 0.
Khi đó toán tử s : L q (0 ,T ;X ) -> C ([0,T ];X ) được định nghĩa bởi
biến mộ t tập bị chặn bất kì thành một tập liên tục đồng bậc, ở đây q' là liên hợp
q (q' = + 0 0 nếu q = l).
(Sg)(t) := [ <Ê>(í, s)g(s)ds
Trang 12Định nghĩa
Q Ct Qa
: ư ( [ O ì T ] ; X ) ^ C ( [ O ì T ] ; X ) ì
(■t - s r 1p a {t - s)f(s)ds.
Sử dụng hai bổ đề cuối, ta có kết quả sau
(1.7)
M ệ n h đ ề 1.3 Nếu nửa nhóm T(-) sinh bởi A B -1 bị chặn đều và liên tục theo
chuẩn, thì toán tử Qa xác định bởi (1.7) biến một tập bị chặn bất kì trong Lp{ 0, T; X) thành một tập liên tục đồng bậc trong C([0, T]; X ).
Cho E là m ột không gian B anach Định nghĩa
V{E) = {B c E : B Ỷ 0},
r b{E) = {B € V{E) : B bị chặn},
K ( E ) = {B € V{E) : B com pact},
K V{E) = {B € K{ E) : B là tậ p lồi}.
C húng ta sẽ sử dụng định nghĩa độ đo không com pact (xem [21])
Đ ịn h n g h ĩa 1.3 Một hàm Ị3 : Vb(E) ->■ R+ được gọi là m ột độ đo không
com pact ( MNC) trên E nếu
P(cõíl) = P(íl) với mỗi Í2 e V b(E), vôi c ỏ n là bao lồi đóng của Í2 Một M N C p được gọi là
i) đơn điệu nếu ílo ,íĩi e V b(E), Í20 c SI 1 thì yỡ(Sl0) < /ỡ(SI 1)/
ii) không suy biến nếu P({a} u Í2) = /?(íl) với mỗi a e E , í ì e 'Pb(E);
ni) bất biến theo mi ền với tập compact nếu P ( K UÍ2) = P(íl) với mọi tập compact tương đối K c E và Í2 e Vb(E);
V b(E);
v) chính quy nếu P(íl) = 0 thì tương đương với compact tương đối của Í2.
Trang 13M ột ví dụ quan trọ n g của MNC là độ đo không com pact Hausdorf f MNC x(')j nó được định nghĩa như sau, với íĩ € Vb{E) đặt
x(íì) = inf{e > 0 : íĩ có m ột hữu hạn E-lưới}
Cho T € L{E), hay T là to án tử tuyến tín h bị chặn trê n E Ta có th ể định nghĩa
chuẩn X của T như sau
Ill’ll* = inf{/? > 0 : x ( T( B) ) < ß ■ x ( B) với mọi B e r b(E)} (1.8)Như đã biết (xem [21])
• ||T'||X = x (T (B i)) với Bi là hình cầu đơn vị tro n g E.
• ||T ||X < \\T\\L(Ey
• ||T ||X = 0 khi và chỉ khi T là m ột to án tử com pact.
Ta cần m ột số kết quả sau, nó là m ột ước lượng M NC Việc chứng m inh có thể xem tro n g [21]
Ta cũng cần ước lượng MNC cho trư ờng hợp các tậ p không đếm được
M ệ n h đ ề 1.5 (Ị2[) Cho D c L l (ữ, T]E) thỏa mãn
(1) ||£(t)\\E < v{t), với mọi £ e D và với m ọ i t e [0, T] h k n,
(2) x{E{t)) < q(t), với mọi t e [ o , T] h.k.n,
Trang 14C húng ta phải sử dụng m ột số khái niệm và kết quả của giải tích đa trị Cho
Y là m ột không gian m etric.
Đ ịn h n g h ĩa 1.4 Một ánh xạ nhận giá trị đa trị (ánh xạ đa trị) T : Y ->■ V{E)
được gọi là:
của Y với mỗi tập con đóng V c E ;
ii) nửa liên tục trên yếu nếu E ~ l {V) là một tập con đóng của Y với mỗi tập con đóng yếu V c E;
ỉv) compact nếu T { Y ) là compact tương đối trong E;
V) tựa compact nếu hạn chế trên mọi tập con compact A c Y là compact.
Bổ đề sau là m ột nguyên lý để kiểm tr a khi nào ánh xạ đa trị là nửa liên tục trê n (nửa liên tụ c trê n yếu)
B ổ đ ề 1.6 ([21], Định lí 1.1.12) Cho G : Y ->■ V{E) là một ánh xạ đa trị đóng
tựa compact với giá trị compact Khi đó G là nửa liên tục trên.
B ổ đ ề 1.7 ([6], M ệnh đề 2) Cho X là một không gian Banach và ĩl là một tập
một ánh xạ đa trị nhận giá trị lồi, compact yếu Khi đó G là nửa liên tục trên yếu
theo một dãy con.
C húng ta nhắc lại m ột số khái niệm của ánh xạ đa trị nén ([21])
Đ ịn h n g h ĩa 1.5 Một ánh xạ đa trị T : Z ç E -> V{E) được gọi là nén theo
một M N C ß (ß-nen) nếu với mỗi tập bị chặn Í2 c z , từ
0(íĩ) < p ự m
suy ra tính compact tương đối của Í2.
Cho ß là m ột MNC không suy biến, đơn điệu tro n g E Áp dụng lí th u y ết
bậc tô pô cho các ánh x ạ nén (xem, chẳng h ạn [1, 21]) th u được nguyên lí điểm
b ất động sau đây, chúng sẽ được dùng để chứng m inh sự tồ n tạ i nghiệm cho bài
to án (0.1)-(0.3)
Đ ịn h lí 1.8 ([21, Hệ quả 3.3.1]) Cho M là một tập con đóng, lồi, bị chặn của
E và cho T : M -> K V{ M) là mộ t ánh xạ đa trị ß-nen và nửa liên tục trên Khi
đó tập các điểm bất động Fix(Jr) := {x e E{x)} là một tập khác rỗng và compact.
Trang 15C hương 2
T ín h giải được trên các đoạn
com p act
Cho trước T > 0, ta định nghĩa VC([0,T]-, X ) không gian các hàm u : [0, T] ->■ X
th ỏ a m ãn u là liên lục trên [0, T]\{tfc : k € A} và với mỗi tk € [0, T\, k € A, tồ n tạ i
lí(í^) = lim u(t); u(t£) = lim u(t)
• < X p c {D), với mọi te [0,T], ở đây D{t) := {ai(t) : X e D}.
• Nếu D là m ột tậ p liên tụ c đồng bậc trê n mỗi nửa khoảng (tfc, h +1] c [0, T],
Trang 161 Án h xạ đa trị F(-,v) thừa nhận một hàm chọn với mỗi V € X và ánh
xạ đa trị F{t, •) là nửa liên tục trên với mọi t € (0, T) h.k.n;
2 Tồn tại các hàm m € Lp{0,T), p > - và ty F là hàm không giảm và liên tục, nhận giá trị thực, thỏa mãn
1 Bg : VC{[ữ,T]]X) ->■ X liên tục và
\\Bg{u)\\ < tyg(\\u\\p c ), với mọi u € VC{[0, T]; X ), với ty g là một hàm liên tục và không giảm trên R + ;
\\BI ị ( x )\\ x < với mọi X e X , k e A;
2 Tồn tại một dãy không âm {ßki keA thỏa mãn
x { B I h{D)) < PkX{D), với mọi tập con bị chặn D c X ;
3 Dãy {t k} keA thỏa mãn infkeA{t k+i - t k} > 0.
Trang 17Với u € PC([0, T]] X) , ta định nghĩa
r P F (u) = { f e Lp( 0 , T ; X) : f (t ) e F(t,u(t))}.
X u ất p h á t từ công thứ c (1.6), chúng ta đưa ra định nghĩa sau
Đ ịn h n g h ĩa 2 1 Một hàm u € PC([0, 71]; V) được gọi là một nghiệm tích phân
của bài toán (0.1)-(0.3) trên đoạn [0, T ] nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm / € Vpi u) thỏa mãn
u(t) = S a {t)Bg(u) + ^ 2 s a {t - t k) B I k(u(tk))
0<tfc<t
■*ữ với mỗi t € [0,T].
Ta định nghĩa toán tử nghiệm
Vì F nh ận giá trị lồi, nên Vp cũng nh ận giá trị lồi Điều này dẫn tới T cũng
nh ận giá trị lồi M ặt khác, u là m ột nghiệm tích phân của bài to án (0.1)-(0.3) nếu nó là m ột điểm b ấ t động của to án tử nghiệm T
Để ước lượng kết quả của sự tồ n tạ i nghiệm , ta cần m ột số tín h chất của V P p.
B ố đ ề 2 1 Dưới các giả thiết của (F ), ánh xạ đa trị V P F hoàn toàn được xác định và nửa liên tục trên yếu.
Chứng minh Trước tiên ta chứng m inh tín h nửa liên tụ c trê n yếu nhờ sử dụng
Bổ đề 1.7 Lấy {un} c VC{[0,T ];X ) th ỏ a m ãn u n -> u*, fn e V P F {un) Ta thấy
rằng {fn{t)} c C{t) := F(t, {un(t)}), và C{t) là m ột tậ p com pact với mọi t e (0, T) h.k.n Thêm vào đó, bởi (F )(2 ), {fn} là khả tích bị chặn (bị chặn bởi m ột hàm khả tích Lp) Ta được {/„} là com pact yếu trê n Lp( 0 , T ; X) (xem [13]) Lấy
f n —*■ f* K hi đó từ m ệnh đề M azur (xem [14]), có f n e co{/j : i > n} th ỏ a m ãn / n —>• Ị* tro n g Lp( 0 , T ; X) và từ đó fn(t) —>• f*(t) với mọi t e (0,T) h.k.n, theo
Trang 18m ột dãy con Vì F nh ận giá trị com pact, tín h nửa liên tụ c trê n của F (t, •) có
với mọi t € (0, T) h.k.n Vì e là tù y ý, chúng ta th u được /* € V P p{u*).
Tiếp theo ta cần chỉ ra rằng với mỗi V € PC([0, T]; V ), V P p{v) Ỷ 0- Từ điều
kiện (I)(3), ta th ấ y có nhiều n h ấ t hữu h ạn số t k € [0,T] Nên ta có th ể tìm m ột dãy hàm bậc th a n g {vn} m à nó hội tụ đều tới V trê n [0,T] Từ đó với mỗi n tồn
tạ i m ột hàm đo được m ạnh /„ th ỏ a m ãn /„ (í) € F{t , vn {t)), do điều kiện (F )(l)
Nghĩa là, {/„(í)} c C(t), với C(t) = F(t, {vn(t)}) là m ột tậ p com pact, nhờ tín h
liên tụ c trê n của F (t, •) Sử dụng lí luận tương tự như phần trên , ta có {/„}
com pact yếu tro n g Lp(0, T ] X ) và /„ -*■ / e Lp(0, T \ X ) và f (t ) € F(t, v(t)) với mọi
là một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị compact, ở đây Qa được định nghĩa bởi (1.7).
Chứng minh Bước 1: Qa o Vp là ánh xạ đa trị đóng Cho
F ( t , u n(t)) c F(t,u*(t)) + B e,
f n{t) € F(t, u*{t)) + B e,
B ổ đ ề 2.2 Với các giả thiết (A) và (F), hợp thành
Ta cần chỉ ra rằng z* e Qa ° 'Pp{u*) Lấy fn e V P p{un) th ỏ a m ãn
0
(2.3)
Bởi Bổ đề 2.1 ta được / „ - » / * € Lp( 0 , T ; X) và /* e V P p{u*)
Thêm vào đó, C(t) = (fn(t) '■ n > 1} com pact tương đối, và
0
Trang 19theo M ệnh đề 1.4 Áp dụng M ệnh đề 1.3, {Qa(fn)} là liên tụ c đồng bậc Nên theo định lí A rzela - Ascoli, ta th u được tín h com pact tương đối của {Qa (/„)}
Vì fn{t) f*{t) với mọi t € (0, T) h.k.n, ta có Qa{fn) ->■ Qa{ỉ*)- Nên từ (2.3) ta
suy ra
với mọi t € [0, T1], với /* e r P F {u*), vậy z* € Q a ° V P p{u*).
Bước 2: Qa o V P p là m ột ánh x ạ đa trị tự a com pact Cho /c c VC([0,T]; X )
là m ột tậ p com pact và {zn} c Qa o V P p{K,) Ta cần chứng m inh {zn} com pact
tương đối tro n g C([0, T]; X) , và từ đó tro n g VC{[0, T]; X ) Lấy {life} c /c th ỏ a m ãn
m ột dãy con Đ ặt /„ e V P p{un) th ỏ a m ãn zn (t) = Qa{fn){t), với mọi t e [03 T1]
Vì {/n(s)} c F(s, (ií„(s)}), nên {/n(s)} là com pact tương đối với mọi s € (0, T) h.k.n Do đó {Qa{fn){t)} là m ột tậ p com pact với mọi t € [0, T1] Thêm vào đó,
{Qa{fn)} lừ liên tụ c đồng bậc do M ệnh đề 1.3, bởi vậy {zn} com pact tương đối
tro n g C([0,T};X).
K ết hợp Bước 1, Bước 2 và Bổ đề 1.6 ta được điều phải chứng m inh □
B ổ đ ề 2 3 Cho các giả thiết (A ), (F ), (G ) và (I) được đặt đúng Khi đó toán
tử nghiệm T thỏa mãn
0
Chứng minh Cho D c PCQO, T]; X) là m ột tậ p bị chặn Ta có
Trang 20Với Zi, Z 2 e Pi {D), tồ n tạ i UI,U 2 e D th ỏ a m ãn
Zi{t) = 5 a (í)Bg(iíi), z2{t) = Sa (t )Bg(u 2 ),t e [o, T],
Bây giờ lấy ZI,Z 2 e p 2 {D), ta có th ể tìm được U\,ĨÍ 2 e D sao cho
Zi{t) - z2{t) = ^ 2 s a (t - t k)B[Ik{ui{tk)) - /fc(u2(ífc))],í € [0,T].