Luận Văn thạc sĩ QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC Nguyễn Thị Thu Hảo (2015)

Theo Trần Anh Dũng 2013, trong [3], tác giả đã thực hiện một nghiên cứu dạy học khái niệm HSLT trên quan điểm so sánh ở các thể chế dạy học khác nhau và các ảnh hưởng của lựa chọn chuyển

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thu Hảo

QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ KHÁI NIỆM

HÀM SỐ LIÊN TỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

Trang 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thu Hảo

QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ KHÁI NIỆM

HÀM SỐ LIÊN TỤC

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRẦN ANH DŨNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

Trang 3

về didactic Toán cũng như những bài học bổ ích về nghề nhà giáo

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các giáo sư: GS Claude Comiti, GS Annie Besot, GS Alain Birebent về những lời góp ý bổ ích cho luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng SĐH trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập tại trường

- Ban giám hiệu cùng các thầy cô và các em học sinh trường: THPT Ngô Gia Tự, THPT Phan Bội Châu đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn

- Tập thể lớp Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán K24 đã đồng hành cùng tôi trong thời gian học tập tại trường

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới những người thân trong gia đình đã giúp đỡ

và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập

NGUYỄN THỊ THU HẢO

Trang 4

MỤC LỤC MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC BẢNG

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát 1

2 Lý thuyết tham chiếu 4

3 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu 7

3.1 Mục tiêu nghiên cứu 7

3.2 Câu hỏi nghiên cứu 7

4 Phương pháp nghiên cứu 7

5 Tổ chức luận văn 8

Chương 1 TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU VỀ KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 10

1.1 Những quan niệm đặc trưng trong quá trình hình thành và phát triển của khái niệm HSLT trong lịch sử 10

1.1.1 Các đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số liên tục 10

1.1.2 Những chướng ngại khoa học luận 12

1.1.3 Quan niệm nguyên thủy (QNT) 12

1.1.4 Quan niệm hình học của Descartes (QHD) 12

1.1.5 Quan niệm hình học của Euler (QHE) 13

1.1.6 Quan niệm số hoá của Cauchy (QSC) 13

1.1.7 Quan niệm số hoá của Weierstrass (QSW) 15

1.1.8 Quan niệm Baire (QNB) 15

1.1.9 Quan niệm tôpô (QT) 16

1.2 Một số nghiên cứu quan niệm của GV và HS THPT về khái niệm HSLT 16

1.2.1 Một số kết quả trong luận án tiến sĩ của Habiba El Bouazzaoui (1988) 16

1.2.2 Một số kết quả trong luận án tiến sĩ của Bridgers L C (2007) 28

1.3 Kết luận chương 1 40

Trang 5

Chương 2 NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CỦA GIÁO VIÊN

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC 42

2.1 Những quan niệm đặc trưng của khái niệm HSLT trong SGK Việt Nam hiện hành 42

2.2 Nghiên cứu thực hành giảng dạy của GV THPT về khái niệm HSLT 49

2.3 Kết luận chương 2 và giả thuyết nghiên cứu 61

Chương 3 MỐI QUAN HỆ CÁ NHÂN CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC 62

3.1 Bộ câu hỏi điều tra học sinh (lớp 10 và lớp 11) 62

3.1.1 Phân tích tiên nghiệm bộ câu hỏi điều tra học sinh 68

3.1.2 Phân tích hậu nghiệm bộ câu hỏi điều tra học sinh 76

3.2 Bộ câu hỏi điều tra giáo viên 91

3.2.1 Phân tích tiên nghiệm bộ câu hỏi điều tra giáo viên 94

3.2.2 Phân tích hậu nghiệm bộ câu hỏi điều tra giáo viên 96

3.3 Kết luận chương 3 103

KẾT LUẬN 104

TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 PHỤ LỤC

Trang 7

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Bảng tóm tắt tiến triển của các đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm

số liên tục (Trích theo Bouazzaoui H E [15, tr 126]) 11

Bảng 2.1: Các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm hàm số liên tục (trích theo [3, tr.100-101-102]) 47

Bảng 2.2: Bảng thống kê sáu thời điểm của các tổ chức toán học được GV lựa chọn trong tiết dạy 59

Bảng 3.1: Kết quả trả lời câu hỏi 1 (bộ câu hỏi 1) 77

Trang 8

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 3.1: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi 1-2 (bộ câu hỏi 1) 78

Hình 3.2: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi 3 (bộ câu hỏi 1) 80

Trang 9

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Theo Trần Anh Dũng (2013), trong luận án tiến sĩ “Dạy học khái niệm liên tục ở trường trung học phổ thông” [3]:

Hàm số liên tục (HSLT) là một đối tượng cơ bản của giải tích Nó là công cụ nghiên cứu nhiều đối tượng khác như: đạo hàm, vi phân, tích phân, phương trình vi phân,…; là cơ sở cho việc xây dựng hình học bằng phương pháp tiên đề và là một chủ đề nghiên cứu của Tôpô [3, tr.13]

Ở Việt Nam có rất nhiều công trình nghiên cứu về khái niệm HSLT Chẳng hạn, luận văn thạc sĩ “Khái niệm liên tục một nghiên cứu khoa học luận và didactic” của tác giả Trần Anh Dũng (2005) Tác giả đã nghiên cứu những đặc trưng khoa học luận của khái niệm liên tục Đồng thời, tác giả thực hiện một nghiên cứu thể chế Toán trung học phổ thông (THPT) dựa trên chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 với khái niệm liên tục ở giai đoạn ngầm ẩn và tường minh Cuối cùng, tác giả đưa ra giả thuyết và thực nghiệm kiểm chứng về sự tồn tại ngầm ẩn của quy tắc hợp đồng didactic liên quan đến kiểu nhiệm vụ vẽ đồ thị hàm số ở cấp độ trước lớp 11 và kiểu nhiệm vụ chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trong một khoảng (ở lớp 11)

Theo Trần Anh Dũng (2013), trong [3], tác giả đã thực hiện một nghiên cứu dạy học khái niệm HSLT trên quan điểm so sánh ở các thể chế dạy học khác nhau và các ảnh hưởng của lựa chọn chuyển hóa sư phạm ở Việt Nam trên học sinh (HS) Nghiên cứu này còn chỉ ra những lựa chọn cách tiếp cận khái niệm HSLT theo con đường tắt,

bỏ qua các đặc trưng khoa học luận của khái niệm và những ảnh hưởng của nó trên quan niệm của HS Ở đây, “quan niệm” được hiểu theo nghĩa mà Habiba El Bouazzaoui (1988) đã đề xuất trong luận án “Quan niệm của học sinh và giáo viên về khái niệm tính liên tục của một hàm số”1 [15]:

Quan niệm” là tập hợp các qui tắc, thực tiễn, kiến thức nói chung cho phép giải quyết một loại tình huống và các vấn đề một cách thỏa mãn, nhưng ở các tình huống khác thì quan niệm này thất bại [15]

1 Conceptions des élèves et des professeurs à propos de la notion de continuité d’une fonction

Trang 10

Chẳng hạn, “hàm số liên tục là hàm số xác định bởi một biểu thức duy nhất”,

“miền liên tục của một hàm số cũng là miền xác định” là những quan niệm theo nghĩa của H E Bouazzaoui

Võ Thị Vân Thuỷ (2014), trong luận văn thạc sĩ “Một nghiên cứu về dạy học hàm số liên tục ở bậc trung học phổ thông”, đã thực hiện nghiên cứu mối quan hệ thể chế của đối tượng HSLT trong thể chế Đại số và Giải tích 11 hiện hành Đồng thời, so

sánh với thể chế dạy học ở bậc cao đẳng ở Mỹ: Giáo trình “Caculus: Early

Transcendentals” của James Stewart Từ đó, tác giả tiến hành thực nghiệm nhằm kiểm

chứng quan niệm của HS về mối quan hệ giữa tính liên tục và tính khả vi của hàm số trên phương diện đồ thị Tiếp đó, một tiểu đồ án được tổ chức với môi trường đồ thị nhằm mục đích làm rõ mối quan hệ giữa tính liên tục và tính khả vi của hàm số

Như vậy, khái niệm HSLT là một đối tượng được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Tuy nhiên ở Việt Nam, việc tìm hiểu quan niệm của giáo viên (GV) và HS trong các giai đoạn ngầm ẩn và tường minh của khái niệm HSLT chưa được chú trọng Nghiên cứu ở [3] vẫn còn để ngỏ vấn đề này, đặc biệt là việc tìm hiểu quan niệm của

HS và GV cũng như quyền hạn của GV ở các hợp đồng dạy học đã được dự đoán, những ảnh hưởng của thể chế dạy học đến quan niệm của GV và HS

Ở nước ngoài, việc nghiên cứu quan niệm của GV và HS về khái niệm HSLT hình thành nên một chủ đề quan trọng Chẳng hạn, luận án tiến sĩ thuộc khối Pháp ngữ của Habiba El Bouazzaoui (1988) thực hiện ở Đại học Laval (Canada) với chủ đề

“Quan niệm của học sinh và giáo viên về khái niệm tính liên tục của một hàm số” Luận án này được thực hiện theo trường phái Didactic Toán, trong thể chế dạy học THPT ở Maroc Trong luận án, tác giả đã nghiên cứu quan niệm của GV và HS về khái niệm HSLT và so sánh quan niệm của GV và HS Tuy nhiên việc nghiên cứu này thực hiện ở chương trình sách và giáo khoa giai đoạn 1945 đến 1976, có rất nhiều khác biệt so với hiện nay

Luận án tiến sĩ thuộc khối Anh ngữ của Bridgers L C (2007) được thực hiện tại đại học Syracuse, New York với đề tài “Khái niệm tính liên tục: Một nghiên cứu đối

Trang 11

với giáo viên trung học và học sinh của họ”2 [16] Luận án này được thực hiện theo trường phái Tâm lý học nhận thức, trong thể chế dạy học THPT ở New York Tác giả

đã nghiên cứu quan niệm của GV và HS về khái niệm HSLT và bản chất của quan hệ giữa quan niệm của GV và HS Tuy nhiên, nghiên cứu này không cho biết sự tiến triển trong quan niệm của HS về khái niệm HSLT và việc điều tra quan niệm của GV không dựa trên việc nghiên cứu thực hành giảng dạy của GV

Một lí do nữa dẫn chúng tôi đến đề tài nghiên cứu này là những vấn đề được đặt

ra bởi các nhà giáo dục học David Tall và Shlomo Vinner trong bài báo “Hình ảnh khái niệm và định nghĩa khái niệm, một nghiên cứu đặc biệt về liên tục và giới hạn”3

[17] Theo các tác giả:

Hình ảnh khái niệm bao gồm tất cả những cấu trúc nhận thức liên quan đến một khái niệm đã biết ở mỗi cá nhân Nó có thể không ăn khớp và có thể có những khía cạnh hoàn toàn khác biệt với định nghĩa chính thức về khái niệm Sự phát triển của lí thuyết giới hạn

và liên tục, được giảng dạy ở bậc trung học và đại học, được đề cập đến Nhiều nghiên cứu cho thấy rằng những hình ảnh khái niệm ở cá nhân khác với lí thuyết đã được truyền thụ và chứa đựng những xu hướng dẫn đến xung đột nhận thức.[17]

Từ những ghi nhận đó, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến quan niệm của GV và HS THPT về khái niệm HSLT với những câu hỏi ban đầu như sau:

CH1’: Quan niệm của GV THPT ở Việt Nam về đối tượng HSLT như thế nào? Những điểm tương đồng hay khác biệt giữa các GV có những cơ sở khoa học nào ? CH2’: Trên thực tế, GV THPT giảng dạy khái niệm HSLT như thế nào ? Quan niệm của GV THPT về khái niệm HSLT có ảnh hưởng đến quan niệm của HS về đối tượng này hay không ?

CH3’: Quan niệm của HS về khái niệm HSLT có tiến triển như thế nào ? Quan niệm giữa các HS có những điểm tương đồng nào và nguồn gốc của các tương đồng này ?

2 Conception of continuity: An investigation of high school calculus teachers and their students

3 Concept Image and Concept Definition in Mathematics with particular reference to Limits and Continuity

Trang 12

Với những ghi nhận ban đầu đã nêu ở trên, chúng tôi chọn đề tài: “QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC” để thực hiện nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của mình

Thành công của nghiên cứu này mang lại lợi ích thiết thực vì kết quả nghiên cứu

sẽ cung cấp cho GV một cái nhìn nhiều khía cạnh khác của việc dạy học khái niệm HSLT Đó là những quan niệm tồn tại ở cả GV và HS trong thực tiễn dạy học khái niệm này ở bậc THPT

2 Lý thuyết tham chiếu

Để nghiên cứu quan niệm của GV và HS về khái niệm HSLT, chúng tôi cần thực hiện những nghiên cứu sau:

- Nghiên cứu quan niệm đặc trưng về khái niệm HSLT xuất hiện trong lịch sử

- Nghiên cứu quan niệm về khái niệm HSLT được trình bày trong SGK toán phổ thông hiện hành

- Nghiên cứu thực hành giảng dạy khái niệm HSLT của GV THPT

- Nghiên cứu xây dựng bộ câu hỏi và thực nghiệm bộ câu hỏi tìm hiểu mối quan

hệ cá nhâncủa GV và HS THPT với khái niệm HSLT

Nghiên cứu thứ nhất và thứ hai đã được trình bày trong luận án tiến sĩ của tác giả Trần Anh Dũng (2013) Do đó chúng tôi tổng hợp lại các nghiên cứu này Như vậy

để tìm yếu tố trả lời các câu hỏi ban đầu, chúng tôi nghiên cứu thực hành giảng dạy và xây dựng bộ câu hỏi, sau đó tiến hành thực nghiệm

Việc nghiên cứu thực hành giảng dạy của GV, chúng tôi cần yếu tố lý thuyết liên quan đến tổ chức toán học, tổ chức didactic Đó chính là nội dung quan trọng của

“thuyết nhân học trong didactic Toán” Bên cạnh đó không thể thiếu lý thuyết chuyển hoá sư phạm Ngoài ra các nghiên cứu của chúng tôi cần sử dụng lý thuyết tình huống

2.1 Lý thuyết chuyển hoá sư phạm

Lý thuyết chuyển hóa sư phạm là một lý thuyết quan trọng của thuyết nhân học Các giai đoạn chủ yếu của quá trình chuyển đổi sư phạm là:

Tri thức bác học

(Thể chế tạo ra tri

thức)

Tri thức cần dạy (Thể chế chuyển đổi)

Tri thức được dạy (Thể chế dạy học)

Trang 13

(sơ đồ trích từ [3], tr.28)

Qua mỗi lần chuyển hóa thì tri thức có thể bị biến đổi, đôi khi có sự chênh lệch khá lớn giữa tri thức bác học, tri thức cần dạy và tri thức được dạy GV là người can thiệp chính vào quá trình chuyển đổi giứa tri thức cần dạy và tri thức được dạy

2.2 Tổ chức didactic

Nội dung của mục này được trích dẫn từ bài giảng Lý thuyết nhân học 2, dành cho chuyên ngành Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán, trường đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh

Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T,τ, θ,], trong đó: T là kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ,  là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ

Tổ chức didactic là một praxéologie, trong đó kiểu nhiệm vụ cấu thành nên nó là kiểu nhiệm vụ thuộc loại nghiên cứu Công cụ lý thuyết mà Chevallard đưa ra để nghiên cứu thực hành của giáo viên là khái niệm về các thời điểm nghiên cứu

Thời điểm thứ nhất: là thời điểm gặp gỡ đầu tiên với tổ chức toán học OM được

diễn ra dưới hình thức giải quyết một kiểu nhiệm vụ cụ thể Đó chính là mục tiêu đặt

ra cho việc học tập liên quan đến khái niệm HSLT

Thời điểm thứ hai: là thời điểm nghiên cứu kiểu nhiệm vụ Ti liên quan đến HSLT và xây dựng nên một kỹ thuật i cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ này

Thời điểm thứ ba: là thời điểm xây dựng môi trường công nghệ lý thuyết liên

quan đến kỹ thuật i, nghĩa là tạo ra những yếu tố lý thuyết cho phép giải thích kỹ thuật đã

được thiết lập

Thời điểm thứ tư: là thời điểm làm việc với kỹ thuật Đây là thời điểm này là

thời điểm hoàn thiện kỹ thuật bằng cách cho học sinh làm việc với một tập hợp thích đáng cả về số lượng lẫn chất lượng các nhiệm vụ khác nhau thuộc kiểu nhiệm vụ này

Thời điểm thứ năm: Là thời điểm thể chế hoá Mục đích của thời điểm này là

chỉ ra một cách rõ ràng các kiểu bài toán liên quan đến kiểu nhiệm vụ, các kỹ thuật

Trang 14

được ưu tiên giải, các yếu tố công nghệ - lý thuyết của kỹ thuật đó, … Đặc biệt, phải phân biệt những yếu tố của tổ chức toán học đã tham gia vào quá trình xây dựng này với những yếu tố của tổ chức toán học thực sự muốn nhắm đến

Thời điểm thứ sáu: là thời điểm đánh giá Mục đích của thời điểm này là xem

xét tầm ảnh hưởng của các kỹ thuật liên quan đến nhiệm vụ: kỹ thuật nào có thể giải quyết được phần lớn các kiểu nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ trên ? Kỹ thuật nào dễ sử dụng hơn?

Phân tích một tổ chức didactic có nghĩa là phân tích cách thức mà sáu thời điểm nghiên cứu trên đã được thực hiện (hay không thực hiện) Trong đó, ba thời điểm đầu tương ứng với giai đoạn nghiên cứu bài học của học sinh

2.3 Quan hệ cá nhân và thuật ngữ “quan niệm”

Theo GS Nguyễn Lân (2006) trong Từ điển Từ và Ngữ Việt Nam [9], quan niệm

là cách hiểu riêng của mỗi người về một sự vật, vấn đề Theo G Brousseau, quan niệm

là “một tập hợp những quy tắc, cách thực hành, tri thức cho phép giải quyết một cách

tương đối tốt một lớp các tình huống và vấn đề, trong đó lại tồn tại một lớp các tình huống khác mà trong đó quan niệm này dẫn đến thất bại, hoặc nó gợi lên những câu trả lời sai, hoặc kết quả thu được một cách khó khăn trong những điều kiện bất lợi” [1,

tr.91]

Quan niệm là một mô hình được các nhà nghiên cứu sử dụng để phân tích ứng xử của HS trước một kiểu vấn đề liên quan đến một khái niệm toán học [1, tr.89] Nó cho phép xác định rõ sự tồn tại nhiều cách hiểu khác nhau về cùng một khái niệm cũng như những cách ứng xử tương ứng Nó cũng cho phép phân định những tri thức mà thầy giáo muốn truyền thụ và những kiến thức thực tế được HS tự xây dựng

Y Chevallard (1990) trong lý thuyết nhân chủng học của ông, đã mô hình hóa

bởi thuật ngữ quan hệ cá nhân Mỗi tri thức O đều tồn tại trong một thể chế I nhất

định Một cá nhân X (GV hay HS) ở trong thể chế I với một vai trò cụ thể Chẳng hạn,

I là thể chế dạy học khái niệm hàm số liên tục (O) ở trường THPT ở Việt Nam Giáo viên vào trong I với vị trí thầy giáo, còn học sinh vào trong trong I với vai trò người học Như vậy, trong I, các mối liên hệ giữa GV với O, HS với O được hình thành Didactic Toán dùng thuật ngữ “quan hệ cá nhân” để chỉ các mối liên hệ này

Trang 15

Theo Didactic Toán, quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O là tập hợp những tác động qua lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó Quan hệ cá nhân với một đối tượng O, chỉ rõ cách thức mà X biết O [1, tr.315] Theo Chevallard, mối quan hệ cá nhân bao gồm hai thành phần: một thành phần công khai lộ ra trong I và một thành phần khuất mà I không đánh giá được Thành phần khuất này có thể khuất trong thể chế này nhưng lại công khai trong thể chế khác

Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng thuật ngữ “quan niệm” với các ý nghĩa đã nêu trên

3 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

3.1 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn là:

 Làm rõ các quan niệm của GV và HS THPT về khái niệm HSLT

 Làm rõ nguồn gốc các ảnh hưởng của thể chế dạy học ở Việt Nam trên quan niệm của GV và HS

3.2 Câu hỏi nghiên cứu

Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, để thực hiện được mục tiêu

nghiên cứu đã đề ra, chúng tôi xác định lại các câu hỏi nghiên cứu như sau:

CH1: Những quan niệm đặc trưng trong quá trình hình thành và phát triển của

khái niệm HSLT trong lịch sử ?

CH2: Những quan niệm nào về khái niệm HSLT được trình bày trong SGK

Toán Việt Nam hiện hành ? GV THPT truyền đạt đến HS của họ những quan niệm nào

về khái niệm HSLT ?

CH3: Những đặc trưng của mối quan hệ cá nhân của GV và HS THPT với khái

niệm HSLT ?

CH4: Quan niệm của GV THPT về khái niệm HSLT ảnh hưởng như thế nào

đến quan niệm của HS ? Và quan niệm của HS THPT về khái niệm HSLT có đồng nhất với điều mà GV của họ đã truyền đạt cho họ hay không ?

4 Phương pháp nghiên cứu

Trang 16

Để trả lời câu hỏi CH1, một phần của CH2 cũng như có cơ sở tham chiếu trả lời câu hỏi tiếp theo, chúng tôi tổng hợp các kết quả có trong luận án của tác giả Trần Anh Dũng (2013), Habiba El Bouazzaoui (1988), Bridgers L C (2007)

Để trả lời phần còn lại của CH2, chúng tôi thực hiện một nghiên cứu thực hành giảng dạy của GV đối với khái niệm HSLT, đồng thời chúng tôi thu thập các thông tin

có được từ bài làm và vở ghi chép của HS

Để trả lời câu hỏi CH3 và CH4 chúng tôi biên soạn một bộ câu hỏi điều tra nhằm làm rõ hơn quan niệm của GV và HS về khái niệm HSLT Đồng thời chúng tôi bổ sung 1 buổi phỏng vấn một số GV và HS mà chúng tôi đặc biệt quan tâm

Nghiên cứu của chúng tôi có thể được tóm tắt trong sơ đồ sau:

5 Tổ chức luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương:

 MỞ ĐẦU

Trong phần này chúng tôi trình bày lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát, khung

lý thuyết tham chiếu, trình bày lại câu hỏi nghiên cứu, mục tiêu nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

 CHƯƠNG 1: Tổng quan nghiên cứu về khái niệm hàm số liên tục trong chương trình trung học phổ thông

Tổng hợp nghiên cứu về HSLT

thuộc phạm vi của đề tài

Nghiên cứu thực hành giảng dạy của

GV THPT về khái niệm HSLT

Thu thập và phân tích các thông tin từ bài làm của HS,

giờ dạy của GV

Thực nghiệm

Trang 17

Chúng tôi tổng hợp kết quả trong luận án tiến sĩ của tác giả Trần Anh Dũng (2013) về những quan niệm đặc trưng trong quá trình hình thành và phát triển của khái

niệm HSLT trong lịch sử

Chúng tôi tổng hợp một số kết quả nghiên cứu quan niệm của GV và HS THPT

về khái niệm HSLT trong hai luận án:

- Habiba El Bouazzaoui (1988), Quan niệm của học sinh và giáo viên về khái niệm tính liên tục của một hàm số, luận án tiến sĩ Đại học Laval Canada

- Bridgers L C (2007), Khái niệm tính liên tục: Một nghiên cứu đối với giáo viên trung học và học sinh của họ, luận án tiến sĩ đại học Syracuse, New York

 CHƯƠNG 2: Nghiên cứu thực hành giảng dạy của giáo viên THPT về khái niệm HSLT

Chúng tôi tổng hợp kết quả trong luận án tiến sĩ của tác giả Trần Anh Dũng (2013) về sự phát triển của khái niệm HSLT trong SGK Việt Nam hiện hành

Dựa trên những kết quả đã xác định, chúng tôi nghiên cứu thực hành giảng dạy của GV THPT về khái niệm HSLT Từ đó chúng tôi đưa ra giả thuyết nghiên cứu

 CHƯƠNG 3: Mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh THPT với khái niệm hàm số liên tục

Tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của GV và HS THPT với khái niệm HSLT Để thực hiện được điều này chúng tôi xây dựng bộ câu hỏi điều tra GV và HS THPT về đối tượng hàm số liên tục

 KẾT LUẬN

Trong phần kết luận chung, chúng tôi tổng kết lại các kết quả quan trọng của chương 1, 2, 3 Đồng thời nêu ra hướng mở của đề tài

Trang 18

Chương 1 TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU VỀ KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Mục đích của chương: trong chương này chúng tôi tổng hợp nghiên cứu về quá

trình hình thành và phát triển của khái niệm HSLT trong lịch sử Bên cạnh đó, chúng tôi tìm hiểu một số nghiên cứu quan niệm của GV và HS THPT về khái niệm HSLT

để làm cơ sở tham chiếu cho nghiên cứu ở các chương sau

1.1 Những quan niệm đặc trưng trong quá trình hình thành và phát triển của khái niệm HSLT trong lịch sử

Trong mục này chúng tôi tổng hợp kết quả trong luận án tiến sĩ [3] của tác giả Trần Anh Dũng (2013) về những quan niệm và các đặc trưng của khái niệm HSLT trong lịch sử tiến hóa của nó

1.1.1 Các đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số liên tục

Các nghiên cứu ở [3] và [15] đã chỉ ra 7 quan niệm đại diện trong lịch sử tiến hóa của khái niệm HSLT Đó là quan niệm nguyên thủy (QNT), quan niệm hình học của Descartes (QHD), quan niệm hình học của Euler (QHE), quan niệm số hóa của Cauchy (QSC), quan niệm số hóa của Weierstrass (QSW), quan niệm Baire (QSB) và quan niệm tôpô (QT)

Khái niệm liên tục của hàm số trong lịch sử được phân loại dựa trên những đặc trưng khoa học luận sau đây:

 Đặc trưng tổng thể hay địa phương4

 Đặc trưng về phạm vi tác động của khái niệm liên tục: Hình học, số học, giải

tích hay tôpô

 Đặc trưng về bài toán, tình huống có sự tác động của khái niệm HSLT

 Đặc trưng về đối tượng được xét tính liên tục: Một đại lượng, quĩ đạo hay đường

cong, những hàm số với biến thực được biểu diễn bằng biểu thức giải tích, những hàm

số tùy ý không biểu diễn được bằng công thức, tập số thực, hàm trong không gian tôpô

4 Các thuật ngữ về đặc trưng của khái niệm HSLT đã được giải thích trong [3]

Trang 19

 Đặc trưng về cơ chế của khái niệm liên tục: Đối tượng, Công cụ (ngầm ẩn hay

Bảng 1.1 Bảng tóm tắt tiến triển của các đặc trưng khoa học luận của khái niệm

hàm số liên tục (Trích theo Bouazzaoui H E [15, tr 126])

Giai đoạn

Hy lạp cổ đại đầu thế kỷ 17

Descartes Newton Leibniz

Euler Cauchy Weierstrass Baire Hausdorff

số với biến số thực

Hàm số biến số thực

Hàm số tùy ý Hàm trong

không gian tôpô

Trang 20

1.1.2 Những chướng ngại khoa học luận

Trong việc phân cấp các quan niệm, các nghiên cứu đã chỉ ra rằng 4 quan niệm đầu tiên QNT, QHD, QHE, QSC đã sinh ra những chướng ngại khoa học luận trong

sự tiến triển của các quan niệm Đặc biệt là quan niệm hình học, ảnh hưởng của quan niệm này tồn tại mãi cho đến quan niệm QSC của Cauchy

1.1.3 Quan niệm nguyên thủy (QNT)

Quan niệm nguyên thuỷ về sự liên tục kéo dài từ thời Hy Lạp cổ đại đến thế kỉ

17 Khái niệm liên tục tồn tại dưới hình thức của một khái niệm tiền toán học (chưa có tên, chưa có định nghĩa) Nó có tính tổng thể và xuất hiện ngầm ẩn qua những giải đáp

về các nghịch lý của Zenon, nghịch lý lưỡng phân hay Asin và con rùa; các bài toán tính diện tích, thể tích trong phạm vi hình học dựa trên phương pháp vét kiệt hay kỹ thuật vô cùng bé Ý tưởng liên tục còn gắn liền với chuyển động, sự biến đổi không gián đoạn liên quan đến những đại lượng biến thiên như đường đi, thời gian, vận tốc Điều này thể hiện qua hình biểu diễn tương quan giữa vận tốc, thời gian và quãng đường

1.1.4 Quan niệm hình học của Descartes (QHD)

Vào thế kỉ 17, đại số hoá hình học phát triển mạnh mẽ Điều này đặt cơ sở cho sự phát sinh khái niệm hàm số Từ đó, việc xét tính liên tục của đường cong được René Descartes (1595 - 1650) chuyển sang xét tính liên tục của hàm số một cách trực quan Descartes là người đầu tiên đưa ra quan niệm về HSLT, nó có tính tổng thể và dựa trên trực giác hình học

Descartes không ghi định nghĩa chính thức của khái niệm HSLT mà chỉ phát biểu

bằng lời: “một hàm số là liên tục nếu đồ thị của nó có thể được vẽ mà không phải nhấc viết chì khỏi tờ giấy” (xem hình 1.1)

Trang 21

1.1.5 Quan niệm hình học của Euler (QHE)

Leonard Euler (1707 - 1783) là nhà toán học vĩ đại của thế kỉ 18 Euler đã đưa ra những công trình nghiên cứu mà trong đó khái niệm hàm số đóng vai trò trung tâm và

là một đối tượng nghiên cứu chính

Để xác định một hàm số liên tục hay không, Euler không quan tâm đến đặc điểm

đồ thị của hàm số đó, mà ông chỉ chú ý đến biểu thức giải tích của nó Theo Euler,

HSLT là hàm số được biểu thị bởi một biểu thức giải tích duy nhất theo biến

Hàm số không liên tục là hàm số xác định bởi các biểu thức khác nhau trong những

khoảng khác nhau của miền xác định Ví dụ, hàm số y 1

x

 là HSLT theo quan niệm

của Euler, mặc dù đồ thị của nó “đứt quãng” tại x = 0

Euler cũng định nghĩa đường cong liên tục là đường cong xác định bởi một phương trình nhất định, còn đường cong không liên tục là đường cong không xác định bởi phương trình nào, như những đường cong vẽ tự do

QHE có đặc trưng hình học, số hoá và tổng thể Khái niệm liên tục và HSLT thể hiện dưới hình thức khái niệm cận toán học QHE có sự tiến triển so với các quan niệm trước vì quan niệm này gắn liền tính liên tục của đường cong với biểu thức của hàm

số, tạo tiền đề cho khái niệm HSLT thoát khỏi hình học và chuyển sang số hoá

1.1.6 Quan niệm số hoá của Cauchy (QSC)

Augustine Louis Cauchy (1785 - 1857) được xem là nhà toán học lớn nhất thế kỷ

19, người đặt nền móng cho sự phát triển của toán học hiện đại Ông đã công thức hoá một cách chặt chẽ những khái niệm cơ bản của giải tích như: liên tục, đạo hàm, sự hội tụ,… Cauchy định nghĩa sự liên tục của hàm số trên một khoảng như sau:

Hình 1.2

Trang 22

“Khi cho biến số x một số gia cực bé  thì hàm số sẽ nhận một số gia f x( ) f x( ) phụ thuộc đồng thời vào biến số mới  và giá trị của x Một hàm số được gọi là liên tục theo x trên một khoảng đã cho nếu với mọi x thuộc khoảng đó thì số f x( ) f x( ) giảm vô hạn cùng với  Nói cách khác, một hàm số liên tục trên một khoảng nếu một số gia cực bé của biến số sinh ra một số gia cực bé của hàm số” [3, tr.70]

Theo Cauchy, hàm số nhiều biến liên tục nếu mỗi biến riêng lẻ liên tục Ngày nay, chúng ta biết điều này không chính xác thông qua phản ví dụ:

“Xét a, b là hai giá trị cố định và x là một đại lượng thay đổi lấy tất cả các giá trị giữa a và

b Khi x thay đổi một cách liên tục giữa a và b, ứng với mỗi x là một y duy nhất sao cho y =

f (x) cũng thay đổi một cách liên tục thì y được gọi là một hàm số liên tục của x trên khoảng này Ở đây không cần phải có một biểu thức đại số ràng buộc x và y Về phương diện hình học, nếu xem x và y lần lượt là hoành độ và tung độ của một điểm, một hàm số liên tục ứng với tính chất đường cong nối các điểm với mỗi x giữa a và b là một đường liền nét Định nghĩa này không hề nói đến tính chất chung nào đó của các phần khác nhau của đường cong và người ta có thể hình dung đường cong này gồm nhiều mảnh nối với nhau hoặc các đường vẽ ngẫu nhiên Như vậy một hàm số được xác định hoàn toàn trên một khoảng khi mỗi phần của nó được cho bởi các công thức hoặc là xác định bằng công thức trên một phần của khoảng, phần còn lại lấy giá trị bất kỳ.” [3, tr.71]

Ngoài ra, Dirichlet là người đưa ra ví dụ đầu tiên về hàm số “hoàn toàn không liên tục” vào năm 1829 trong một bài viết về điều kiện cho sự hội tụ của chuỗi Fourier Hàm số này còn được gọi là hàm Dirichlet:

' '

Trang 23

1.1.7 Quan niệm số hoá của Weierstrass (QSW)

Từ giữa thế kỷ 19, trực giác hình học đã không còn chiếm vị trí quan trọng trong

sự phát triển của giải tích như trước nữa Một số trường hợp sử dụng trực giác hình học dẫn đến sai lầm Ví dụ, cho đến giữa thế kỷ 19, người ta cho rằng một HSLT thì chỉ không có đạo hàm tại các điểm giới hạn của nó (hàm số f x( ) x có điểm giới hạn

x = 0) Tuy nhiên, vào năm 1861, Karl Weierstrass (1815 - 1897) đã đưa ra một hàm

số liên tục trên tập số thực nhưng không đâu khả vi, đó là hàm số

Weierstrass đưa ra một định nghĩa về HSLT như sau:

“Hàm số f(x) là liên tục trên một khoảng nếu với mọi x 0 thuộc khoảng này và mỗi số dương bé tuỳ ý  , có thể tìm được một khoảng chứa x 0 sao cho với mọi giá trị x thuộc khoảng này thì hiệu f x( ) f x( 0) ” [3, tr 73]

QSW về khái niệm HSLT vừa có tính địa phương vừa có tính tổng thể, được số hoá và có hình thức của một khái niệm toán học

1.1.8 Quan niệm Baire (QNB)

René Louis Baire (1874 - 1932) là người đã tìm ra điều kiện để một hàm số là giới hạn của một dãy hàm liên tục Ông đưa ra một sự phân loại hàm số như sau:

Trang 24

QNB về khái niệm HSLT vừa có tính địa phương vừa có tính tổng thể, được số hoá và có hình thức của một khái niệm toán học

1.1.9 Quan niệm tôpô (QT)

Đến thể kỷ 20, Dedekin và Cantor đã đặt nền móng cho sự phát triển của tôpô Khi đó quan niệm số hoá của tính liên tục không còn thích hợp trong không gian tôpô nữa Felix Hausdorff (1868 - 1942) đã phát triển một cách rõ ràng không gian tôpô Hausdorff bằng một hệ tiên đề với những khái niệm cơ bản như tập đóng, tập mở, lân cận, điểm dính, liên thông,… Dựa trên khái niệm lân cận cho phép Hausdorff định nghĩa khái niệm liên tục trong nhiều không gian tôpô:

“Một phép biến đổi f là liên tục tại điểm x nếu với mỗi lân cận bất kỳ V f x    đều tồn tại lân cận U(x) sao cho: f U x   V f x   ” [3, tr.76]

QT về tính liên tục có tính tổng thể và tôpô, có hình thức của một khái niệm toán học và được áp dụng cho những hàm tổng quát trong các không gian tôpô

1.2 Một số nghiên cứu quan niệm của GV và HS THPT về khái niệm HSLT

Trong mục này chúng tôi tổng hợp một số kết quả nghiên cứu quan niệm của GV

và HS THPT về khái niệm HSLT trong hai luận án [15] và [16]

1.2.1 Một số kết quả trong luận án tiến sĩ của Habiba El Bouazzaoui (1988)

Trong [15], tác giả đã nghiên cứu thể chế dạy học THPT ở Maroc theo quan điểm của Didactic Toán Tác giả đã nghiên cứu quan niệm của GV và HS về khái niệm HSLT và so sánh quan niệm của GV và HS Để thực hiện được việc này, tác giả đã nghiên cứu sự tiến triển của các quan niệm trong lịch sử hình thành khái niệm tính liên tục của một hàm số và nghiên cứu những quan niệm trong các chương trình sách giáo khoa sử dụng ở Maroc từ năm 1945 đến 1976 Từ đó, so sánh những quan niệm ấy với những quan niệm của GV và HS

Thành phần tham gia thực nghiệm là 6 trường trung học: 2 trường ở trung tâm thành phố và 4 trường ở ngoại ô, trong đó có 10 GV phụ trách giảng dạy 10 lớp này cùng với HS của họ, với số lượng là 311 em (cả nam và nữ) ở lớp trình độ năm thứ 6

và thứ 7, khi mà giải tích nói chung và sự liên tục nói riêng bắt đầu được giảng dạy

Trang 25

Ngoài ra, tác giả bổ sung thêm 10 GV nữa để tăng thêm mẫu cho việc điều tra quan niệm của GV

Để nghiên cứu quan niệm của HS, tác giả đã sử dụng ba biện pháp: một bộ câu

hỏi điều tra, một cuộc tranh luận về bộ câu hỏi ấy và cuộc tiếp xúc với một số HS

Về bộ câu hỏi điều tra

Tác giả đã đưa ra thử nghiệm bộ câu hỏi và nó được điều chỉnh 2 lần để có được

bộ câu hỏi hoàn chỉnh gồm 26 câu hỏi thuộc 3 dạng: dạng thứ nhất gồm 10 câu hỏi liên quan đến đường cong biểu diễn của các hàm số (G1 đến G10), dạng thứ hai gồm

15 câu hỏi liên quan đến biểu thức giải tích của các hàm số (E11 đến E25) và câu hỏi cuối cùng E26 là “giải thích thế nào là một HSLT cho một HS lớp dưới (lớp 5), nghĩa

là lúc chưa học khái niệm HSLT”

Bộ câu hỏi điều tra

Với mỗi đồ thị dưới đây, hãy cho biết nó có biểu diễn một đồ thị hàm số liên tục trên (a; b) không? Hãy giải thích

Trang 26

G10 Đồ thị dưới đây có biểu diễn một hàm số liên tục trên (a; b) không ? Hãy giải thích

E11 f là hàm số từ vào xác định bởi công thức: f x( )  x2 1 f có liên tục trên

không ? Tại sao ?

E12 f là hàm số từ vào xác định bởi công thức:

'

( ) nê u 1 ( ) nê u 1

f có liên tục trên không ? Tại sao ?

E13 f là hàm số từ vào xác định bởi công thức f (x) = E(x) ( E(x) là hàm phần nguyên của x) f có liên tục trên không ? Tại sao ?

'

( ) 1 nê u 1 ( ) 2 nê u 2

( ) ( )

1 ( )

2 (2) 0

f x x f







' '

( ) 2 nê u ( ) 4 nê u

E18 f có liên tục trên không ? Tại sao ?

Trang 27

'

( ) 1 nê u ( ) 0 nê u

E20 f có liên tục trên không ? Tại sao ?

' '

( ) nê u ( ) 0 nê u

E22.f có liên tục trên không ? Tại sao ?

E23 f là hàm số xác định trên bởi công thức:

( ) 2

f x  x

'

1 ( ) sin nê u 0 (0) 0

x f



f có liên tục tại 0 không ? Tại sao ?



f có liên tục tại 0 không ? Tại sao ?

E26 Câu hỏi phỏng vấn: “Giả sử một học sinh lớp 5 nhìn thấy cuốn sách toán của bạn và hỏi: một hàm số liên tục là gì ? Bạn trả lời như thế nào ? Viết câu trả lời vào phần cuối của bộ câu hỏi này”

(Chú ý: HS lớp 5 chưa học giải tích)

Chúng tôi chỉ chọn một số tiêu chuẩn mà tác giả đã sử dụng trong phân tích tiên nghiệm để trình bày, những tiêu chuẩn này hoặc thể hiện sự tương đương giữa HS Maroc và HS Việt Nam hoặc thể hiện sự khác biệt giữa hai chương trình và SGK

1 Tiêu chuẩn chứng minh: “đường cong chỉ gồm một mảnh”

Trong phân tích tiên nghiệm, tác giả dự kiến một số câu trả lời thuộc kiểu tiêu chuẩn này như sau:

Hàm số liên tục vì:

- “đường cong liên tục”

Trang 28

- “người ta có thể vẽ đường cong mà không cần nhấc tay” (hình G1)

- “đường cong không đứt đoạn” (hình G1)

- “đường cong chỉ gồm một mảnh” (hình G1)

Hàm số không liên tục vì:

- “hyperbol không liền nhau” (hình G3, G6)

- “có một sự ngăn cách giữa hai đường cong” (hình G3, G6)

- “đường cong không được vẽ một cách liên tục” (hình G4, G7, G9)

2 Tiêu chuẩn chứng minh: “đường cong không có bước nhảy”

Một số lời giải được dự kiến:

- “đường cong không thể hiện một sự gián đoạn nào” (hình G1)

- “đồ thị không có bước nhảy” (hình G1)

- “đồ thị có bước nhảy” (hình G3, G4)

- “đường cong có một vết đứt” (hình G2, G5)

- “đường cong có một lỗ thủng” (hình G2, G5)

3 Tiêu chuẩn chứng minh: “đường cong không có điểm góc, cạnh”

Hàm số liên tục vì “đường cong không có điểm góc, cạnh”

- “nó bao gồm các đường thẳng và một đường cong” (hình G8)

- “có một điểm góc, cạnh” (hình G8)

4 Tiêu chuẩn chứng minh: “một điểm không thuộc đường cong”

- “có một điểm không thuộc đường cong” (hình G2, G5)

- “đường cong không đi qua một điểm” (hình G2, G5)

- “tồn tại một điểm x0( , )a b mà f (x0) không tồn tại” (hình G2, G5)

5 Tiêu chuẩn chứng minh: “hàm số xác định bởi nhiều công thức”

Trang 29

- “hàm số xác định từ hai cách khác nhau” (E12, E14)

- “không chỉ có một công thức để tính các ảnh” (E12, E14)

6 Tiêu chuẩn chứng minh: “f (x0 ) tồn tại và

- “là tích của hai hàm đa thức” (E12)

8.Tiêu chuẩn chứng minh: “liên tục trên A và liên tục trên B nên liên tục trên

9.Tiêu chuẩn chứng minh: “liên tục trên B nên liên tục trên AB”

Lời giải được dự kiến: hàm số liên tục vì: “hàm số liên tục trên nên liên tục trên ” (E23)

Trang 30

10 Tiêu chuẩn chứng minh (định nghĩa Wierstrass theo  và ):

12.Tiêu chuẩn chứng minh: “giới hạn bên phải khác giới hạn bên trái”

Ví dụ: “hàm số này không liên tục trên vì giới hạn bên phải khác giới hạn bên trái tại mỗi điểm thuộc ” (E23)

13.Tiêu chuẩn chứng minh: “vì xác định tại mọi điểm”

- “các phần tử thuộc khoảng (a;b) có một ảnh” (hình G1)

- “hàm số xác định ở mọi nơi” (E19, E23)

- “không có phần tử nào không có ảnh”

- “có một điểm tại đó hàm số không xác định” (hình G2, G5)

- “hàm số không xác định trên khoảng (1; 2)” (E14)

- “hàm số không xác định ở mọi nơi”

14.Tiêu chuẩn chứng minh: “hàm số chẵn, lẻ hay đối xứng”

- “đường cong đối xứng” (hình G3,G5)

- “hàm số chẵn” (hình G3)

Trang 31

15 Tiêu chuẩn chứng minh: “kéo dài bằng sự liên tục”

Lời giải được dự kiến: Hàm số liên tục là vì: hàm số xác định bằng cách kéo dài liên tục

16 Tiêu chuẩn chứng minh: “vì khả vi”

Hàm số liên tục vì nó khả vi

Hàm số không liên tục vì nó không khả vi

17 Tiêu chuẩn chứng minh: “các chứng minh khác”

18 Tiêu chuẩn chứng minh: “đáp án có – không, không chứng minh”

19 Tiêu chuẩn chứng minh: “bỏ phiếu trắng”

Trong các tiêu chuẩn đã được tác giả đưa ra, tiêu chuẩn 13 được sử dụng nhiều

nhất ở cả 2 khối 6 và 7 (24,82%), nghĩa là HS cho rằng HSLT trên một khoảng bởi

vì nó xác định tại mọi điểm trên khoảng ấy

Tiêu chuẩn chứng minh 6 (sử dụng giới hạn) xuất hiện khá nhiều với tần số

12,38% Tuy nhiên, HS khối 7 sử dụng tiêu chuẩn này nhiều hơn HS khối 6 Ngoài ra, các tiêu chuẩn 3 (đường cong không có bước nhảy), tiêu chuẩn 15 (kéo dài bằng sự

liên tục) và tiêu chuẩn 5 (hàm số không liên tục vì nó xác định bởi nhiều công thức) xuất hiện nhiều hơn ở HS khối 7 Như vậy, quan niệm hình học Euler (thể hiện bởi tiêu chuẩn 5) xuất hiện ở HS

Về phần các tiêu chuẩn chứng minh 19 (phiếu trắng), 7 (định lý), 11 (hàm số xác định bởi nhiều biểu thức coi như nhiều hàm số), 14 (hàm số chẵn, lẻ hay đối xứng), 10

(định nghĩa Wierstrass theo  và ) được HS khối 7 sử dụng ít hơn so với HS khối

6 Từ đó ta thấy quan niệm Wierstrass (tiêu chuẩn 10) được HS chú ý đến

Qua bộ câu hỏi điều tra, tác giả bổ sung thêm rằng:

- HS làm những câu hỏi liên quan đến đồ thị tốt hơn những câu hỏi liên quan đến biểu thức đại số

- HS khối 7 làm bài tốt hơn HS khối 6

- HS cùng một khối có sự khác biệt trong việc đưa ra các tiêu chuẩn chứng minh

Cuộc tranh luận về bản câu hỏi điều tra

Trang 32

Để tìm hiểu thêm về các thông tin có thể bị mất đi trong quá trình trả lời câu hỏi trên giấy, tác giả tổ chức một cuộc tranh luận về bản câu hỏi điều tra ngay sau ngày thực nghiệm bản câu hỏi Đa số các cuộc tranh luận diễn ra sôi nổi dưới sự điều khiển của nhà nghiên cứu và sự hỗ trợ từ phía GV Các HS tham gia tích cực, bảo vệ quan điểm của họ trước mọi người

Cuộc tranh luận tập trung vào các câu hỏi E17, 18, 19, 20 và các tiêu chuẩn 13

(liên tục vì xác định), 5 (giới hạn), 10 (định nghĩa Wierstrass theo  và  ), 4 (một

điểm không thuộc đường cong)

HS khối 6 và khối 7 có chung một ý tưởng rằng: “xác định tại mọi điểm của khoảng” là một điều kiện đủ để một hàm số liên tục trên khoảng ấy Một số HS cố gắng đưa ra ví dụ rằng một hàm số có thể xác định trên một khoảng nhưng không liên tục trên khoảng ấy Qua những cuộc tranh luận tại lớp, một số kết luận được rút ra như sau:

Các điều sau đây là tương đương:

a Đường cong liên tục

b Đường cong không thể hiện một sự gián đoạn nào

c Người ta có thể vẽ đường cong không nhấc tay

d Đường cong không đứt đoạn

e Đường cong không dừng lại

f Đường cong không thể hiện sự nảy lên

g Đường cong chỉ gồm một mảnh thôi

h Đường cong không thể hiện một cái dốc nào

Sự phủ định của các mệnh đề trên cũng dùng để chứng minh rằng một hàm số không liên tục trên một khoảng hay tại một điểm

Cuộc tranh luận tại lớp góp phần giúp tác giả xếp loại các tiêu chuẩn chứng minh; nhận biết một số tiêu chuẩn là sai lầm, như tiêu chuẩn 1 và 2; những điều tương ứng với định nghĩa đã dạy ở lớp ít được HS sử dụng khi giải quyết các bài toán

Về cuộc tiếp xúc cá nhân với HS

Trang 33

Có tất cả 50 HS được chọn phỏng vấn từ 10 lớp (trung bình mỗi lớp 5 em) HS được chọn là người thường dùng cách chứng minh đặc biệt Vì tác giả muốn tìm hiểu

rõ tại sao HS lại sử dụng đáp án đó Ví dụ như một HS được chọn vì em này hầu như chỉ sử dụng tiêu chuẩn 13 (liên tục vì xác định) cho các câu trả lời, nghĩa là một HSLT trên một khoảng nếu nó xác định tại mọi điểm trên khoảng ấy Hay một HS được chọn

vì em thường dùng tiêu chuẩn 5 (liên tục vì f (x0) tồn tại và

thỉnh thoảng lại dùng tiêu chuẩn 13 (liên tục vì xác định tại mọi điểm)

Với những buổi tiếp xúc, tác giả đưa ra 5 câu hỏi Q1 đến Q5, trong đó Q1, Q2, Q3 được lấy trong bộ câu hỏi điều tra, câu hỏi Q4, Q5 liên quan đến các hàm số không bằng số

Bộ câu hỏi phỏng vấn

Q1 Cho f là hàm số đi từ vào biểu diễn bởi đường cong sau đây Hỏi f có liên tục trên

không ?

Q2 Cho f là hàm số đi từ vào biểu diễn bởi đường cong sau đây

1 f có liên tục trên không ?

(sau khi trả lời xong câu hỏi này, HS được hỏi tiếp câu 2)

2 miền xác định của f là gì ?

(sau khi trả lời xong câu hỏi này, HS được hỏi tiếp câu 3)

3 f có liên tục trên miền xác định của nó hay không ?

Q3 Cho f là hàm số từ vào xác định bởi công thức:

f (x) = x2 – 1 nếu x< 1

f (1) = 1

f (2) = 3

Trang 34

f (x) = x + 4 nếu x 3

1 f có liên tục trên không ?

2 f có liên tục trên miền xác định của nó hay không ?

Q4 HS được cho một hình vẽ là hình vuông ABCD Cho E là tập hợp các điểm nằm trên 2 cặp cạnh song song Một ánh xạ đi từ E vào E được xác định với mỗi điểm M của E tương ứng với 1 điểm M’ (điểm M trên đoạn thẳng AD tương ứng với 1 điểm M’ trên cạnh BC) Hỏi ánh xạ này có liên tục hay không ?

Q5 Cho S là tập hợp các đoạn thẳng của mặt phẳng HS được nhận hình vẽ có 2 đoạn thẳng S1, S2 bất kỳ Bằng các đoạn thẳng của tập hợp S, người ta muốn tìm một đường nối giữa S1

và S2 Để vẽ đường ấy, ta chỉ dùng đoạn thẳng và tùy ý

1 Em có thể cho ví dụ về một đường nối giữa S1 và S2 ?

2 Em hãy vẽ nó ra (nếu HS trả lời “có” cho câu 1)

3 Nó có liên tục không ?

4 Làm thế nào cho nó gián đoạn ? (nếu đáp án “có” cho câu 3)

5 Làm thế nào cho nó liên tục ? (nếu đáp án “không” cho câu 3)

Một số HS có sự tiến triển trong quan niệm, tức là đi từ quan niệm sai lầm đến quan niệm đúng (tiêu chuẩn 13 đến tiêu chuẩn 1).Trái lại có một số HS lại thụt lùi trong quan niệm, nghĩa là đi từ quan niệm đúng đến một quan niệm sai lầm (HS sử dụng tiêu chuẩn 1 hay 10 trong bộ câu hỏi nhưng lại dùng 13 hay 11 trong cuộc tiếp xúc) Thông qua buổi tiếp xúc với HS, tác giả khẳng định rằng: HS lẫn lộn giữa miền xác định và miền liên tục của một hàm số, đặc biệt là HS khối 6 đồng nhất 2 miền này với nhau; đa số HS cho rằng “đường cong liên tục” là một đường cong mà các điểm liền kề nhau, không nhất thiết đường cong kéo dài vô hạn

Như vậy, qua điều tra tác giả khẳng định rằng ở HS tồn tại những quan niệm về khái niệm tính liên tục đồng nhất với các quan niệm trong lịch sử hình thành khái niệm này, ngoại trừ quan niệm Baire (QSB) Đó là 6 quan niệm: quan niệm nguyên thủy (QNT), quan niệm hình học của Descartes (QHD), quan niệm hình học của Euler (QHE), quan niệm số của Cauchy (QSC), quan niệm số của Weierstrass (QSW) và quan niệm tôpô (QT) Họ cũng bày tỏ những quan niệm không xuất hiện trong lịch sử của khái niệm ấy Đó là quan niệm thể hiện bởi tiêu chuẩn 13 (liên tục vì xác định tại mọi điểm), quan niệm thể hiện bởi tiêu chuẩn 4 (không liên tục vì một điểm không thuộc đường cong)

Trang 35

Ở mỗi HS tồn tại nhiều quan niệm về khái niệm tính liên tục và HS cho rằng tính liên tục có tính chất toàn thể hơn là tính địa phương Quan niệm trội nhất ở HS là quan niệm thể hiện bởi tiêu chuẩn 13 (liên tục vì xác đinh tại mọi điểm), tiếp sau là quan niệm hình học của Descartes (QHD) và quan niệm số của Cauchy (QSC) Quan niệm

số của Weierstrass (QSW) và quan niệm tôpô (QT) được giảng dạy nhưng xuất hiện rất ít trong các câu trả lời của HS

Để nghiên cứu quan niệm của GV, tác giả thực hiện các biên pháp sau: thu thập

những thông tin cá nhân liên quan đến GV, sau đó thu thập những dấu hiệu về những quan niệm GV đưa vào giảng dạy nhờ vào nghiên cứu giảng dạy khái niệm hàm số liên tục, cuối cùng các GV trả lời các câu hỏi Q2, Q4, Q5 lấy trong 5 câu hỏi đưa ra khi tiếp xúc với HS Ở phần cuối cùng này cho phép xác định những quan niệm cá nhân của GV, những quan niệm mà họ biểu lộ khi giải quyết bài toán

Trong giảng dạy, mỗi giáo viên chuyển tải nhiều quan niệm, nói chung là khoảng

3 đến 5 quan niệm được sắp xếp đi từ trực giác hình học đến số hóa, đó là: QNT, QHD, QSC, QSW và QT Họ giảng dạy những định nghĩa chính thức trong trường hợp QSW và QT, nhưng họ bổ sung thêm những quan niệm khác về khái niệm tính liên tục

để học sinh của họ có những quan niệm trực giác hơn Các giáo viên chuyển tải hai quan niệm về hàm số liên tục không thể hiện trong sách giáo khoa chính thức là quan niệm trực giác theo ngôn ngữ thông thường QNT và QHD

Đa số giáo viên biểu lộ các quan niệm riêng về tính liên tục của một hàm số: QHD, QSC và quan niệm ngầm về định nghĩa tính liên tục của một hàm số trong trường hợp không gian mê-tric:

“> 0, >0 sao cho  x D f : d(x, x0) <d(f(x), f(x0)) < ”;

một số ưu tiên cho một hoặc hai quan niệm trong khi những người khác sử dụng chúng hoàn toàn không phân biệt Còn một số giáo viên chỉ biểu lộ một quan niệm riêng là QHD

Ở GV tồn tại những quan niệm về khái niệm tính liên tục đồng nhất với các quan niệm trong lịch sử hình thành khái niệm này, ngoại trừ các QHE và QSB Quan niệm thể hiện nhiều nhất ở các giáo viên là QHD Đa số người dạy không quan tâm nhiều đến QSW nên không đủ khả năng tổng quát hóa quan niệm tôpô cho hàm số không

Trang 36

bằng số QHD xuất hiện như một trở ngại về dạy học ở một số giáo viên Một số giáo viên có nhận thức sai về hàm số, họ có xu hướng hạn chế ở trường hợp hàm số bằng

số

1.2.2 Một số kết quả trong luận án tiến sĩ của Bridgers L C (2007)

Luận án tiến sĩ thuộc khối Anh ngữ của Bridgers L C (2007) được thực hiện tại đại học Syracuse, New York với đề tài “Khái niệm tính liên tục: Một nghiên cứu đối với giáo viên trung học và học sinh của họ” Luận án này được thực hiện trong thể chế dạy học THPT ở New York và tác giả dựa trên quan điểm của trường phái Tâm lý học nhận thức

Nghiên cứu này xoay quanh những mô hình và mô hình hoá quan niệm của GV

và HS Thành phần tham gia là 13 GV THPT giảng dạy giải tích thuộc 13 trường khác nhau cùng với 146 HS của họ

Mục tiêu chính của luận án là tìm hiểu quan niệm của HS về tính liên tục dựa trên những kết quả đã biết; thiết lập cơ sở về quan niệm của GV về tính liên tục cả về tính sư phạm lẫn khái niệm toán học; điều tra về bản chất của mối quan hệ giữa GV và

HS về tính liên tục

Để thực hiện được điều này, đầu tiên tác giả tiến hành nghiên cứu tổng quan các các công trình liên quan đến đề tài Một nghiên cứu chi tiết giúp tác giả định hướng nghiên cứu của mình cũng như tìm hiểu quan niệm của GV và HS dựa trên các kết quả

đã có Qua việc nghiên cứu này, những kết quả đã được làm rõ như: vai trò của biểu diễn hàm số, mối quan hệ giữa tính liên tục và tính liên thông, mối quan hệ giữa sự tồn tại và tính liên tục của hàm số, mối quan hệ giữa giới hạn và liên tục, việc sử dụng ngôn ngữ thông thường Bên cạnh đó, tác giả nhận thấy một số kết quả chưa rõ ràng,

đó là vai trò của máy tính đồ họa, mối quan hệ giữa liên tục và đạo hàm Ngoài ra còn

có một số vấn đề chưa được các tài liệu đề cập đến là: vai trò của miền xác định, hàm

số liên tục hay rời rạc Đó cũng là điều mà tác giả đặc biệt quan tâm và ông đặt ra các câu hỏi nghiên cứu sau:

Câu hỏi 1: Bản chất quan niệm của GV về khái niệm liên tục là gì ?

Câu hỏi 2: Làm sao để người GV giải thích được lí do về sự liên tục của HS ?

Trang 37

Câu hỏi 3: Bản chất quan niệm của HS về khái niệm liên tục là gì ?

Câu hỏi 4: Bản chất của mối quan hệ giữa quan niệm của GV và HS về khái niệm tính liên tục

Để trả lời 4 câu hỏi trên, tác giả tiến hành điều tra 13 GV đến từ 13 trường khác nhau, trong đó chỉ có 10 GV tham gia cùng HS của họ, 3 GV còn lại được chọn để tăng thêm số lượng GV.Tất cả GV tham gia 2 cuộc phỏng vấn và 146 HS được chọn

từ 10 lớp giải tích tham gia trả lời bảng hỏi Tiếp đó, 12 HS được chọn từ 4 lớp (mỗi lớp 3 HS) để tham gia cuộc phỏng vấn chuyên sâu nhằm nghiên cứu rõ hơn về quan niệm của HS.Cuối cùng, 4 GV phụ trách 4 lớp trên tiếp tục tham gia cuộc phỏng vấn thứ 3

Bảng câu hỏi điều tra quan niệm của HS gồm 8 câu hỏi liên quan đến các bài toán về tính liên tục

Câu 1 Hàm số nào sau đây liên tục ? Giải thích câu trả lời của em trong từng trường hợp

Trang 38

a) b) c)

Câu 3 Khoanh tròn vào những đáp án sao cho có thể điền được chúng vào dấu “…” để được

một mệnh đề đúng: “Mỗi hàm số liên tục …” Đối với các đáp án không được chọn, hãy giải thích tại sao ?

a) có đồ thị liên thông

b) có thể được biểu diễn bởi một công thức

c) thì khả vi

d) có giới hạn tại mọi số thực

e) có giới hạn tại mọi điểm trên miền xác định

f) xác định tại mọi số thực

Câu 4 Vẽ phác thảo đồ thị hai hàm số khác nhau thỏa bảng giá trị sau:

Trang 39

Câu 5 Một thành phố có dân số là 1000 vào năm 2003 và có tỉ lệ gia tăng dân số là 5%/năm

Hai HS vẽ hai đồ thị khác nhau mô tả cho bài toán này Đồ thị nào tốt hơn ? Tại sao ?

Câu 6 Giả sử một đôi thỏ sống mãi và cứ mỗi tháng đôi thỏ này sinh ra một đôi thỏ mới Sau

đó đôi thỏ này lại tiếp tục sinh sản khi được hai tháng tuổi Giả sử ta bắt đầu với một đôi thỏ

sơ sinh Dưới đây là biểu đồ mô tả số đôi thỏ vào mỗi tháng

Hãy lập bảng và vẽ đồ thị mô tả bài toán này Làm rõ kí hiệu sử dụng trong bảng và trên trục, chỉ ra thang sử dụng trong mô tả Có bao nhiêu đôi thỏ trong tháng thứ 7

Câu 7 Một hàm số xác định trên khoảng đóng [a; b] luôn đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất ?

Tại sao ?

Câu 8 Jacob và Malloly vẽ đồ thị hàm số bằng máy tính Khi họ nhìn thấy đồ thị và bảng giá

trị thì họ không chắc là mình đã làm đúng hay không

a) Đầu tiên, họ vẽ đồ thị hàm số ( ) 1

1

f x x



 Họ điền “y = ” được kết quả hiện ra như màn

hình 1 Sau đó họ nhấn nút “đồ thị” thì được đồ thị hàm số hiện ra như màn hình 2 Họ không chắc đồ thị này có đúng không vì có đường thẳng đứng trong đồ thị, vì vậy họ nhìn vào bảng như trong màn hình 3 Hãy gải thích cho họ những gì họ nhìn thấy trong màn hình 2

Trang 40

b) Tiếp theo, họ vẽ đồ thị hàm số

2

9 ( )

3

x

f x x





 Họ điền “y = ” được kết quả hiện ra như màn

hình 1 Sau đó họ nhấn nút “đồ thị” thì được đồ thị hàm số hiện ra như màn hình 2 Họ không chắc đồ thị này có đúng không vì nó trông như một đường thẳng, vì vậy họ nhìn vào bảng như trong màn hình 3 Hãy giải thích cho họ những gì họ nhìn thấy trong màn hình 2

Sau khi thu thập dữ liệu từ bảng hỏi, 12 HS tiếp tục được chọn dựa trên sự góp ý của GV của họ, tham gia cuộc phỏng vấn chuyên sâu gồm 6 câu hỏi.Trong suốt buổi phỏng vấn, HS giải thích thêm cách suy nghĩ cũng như phương pháp giúp họ đạt được những kết quả các bài toán trong bảng hỏi

Câu 1 Em có thể cho tôi biết một ít về bản thân em ?

 Em thích điều gì nhất về Toán ?

 Em không thích điều gì nhất về Toán ?

 Làm thế nào để so sánh được một lớp Toán giải tích với một lớp Toán khác mà em từng học?

 Tại sao em quyết định theo học giải tích ?

 Em nghĩ làm cách nào để mình làm vượt qua kì thi AP 5 ?

Câu 2 Hãy nói cho tôi biết cách em giải các bài toán trong bảng hỏi

 Em sử dụng chiến lược nào?

 Em nghĩ bài toán này như thế nào ?

Người phỏng vấn phát cho HS nhiệm vụ mới:

5AP: viết tắt của Advanced Placement, nghĩa là chương trình nâng cao

Màn hình 1 Màn hình 2 Màn hình 3

Định dạng
Số trang	138
Dung lượng	4,57 MB