Dai so chuong 3 toán cao cấp

Một số tính chất của không gian vectơ Từ các tiên đề trên ta suy ra một số tính chất của không gian vectơ như sau... Như vậy, theo các định nghĩa trên, hệ vectơ không độc lập tuyến tính

KHÔNG GIAN VECTƠ

NỘI DUNG CHÍNH

3.1 – Định nghĩa và các ví dụ

3.2 – Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

3.3 – Không gian vectơ con

3.4 – Không gian Euclide

3.1 Định nghĩa và các ví dụ

3.1.1 Không gian vectơ

Định nghĩa 3.1.1 Cho tập hợp V V được gọi là một không gian vectơ thực (hoặc trên ) nếu trên V có hai phép toán gọi là cộng (+) và nhân vô hướng (.):

Khi đó, phần tử của V được gọi là vectơ và số gọi là đại

lượng vô hướng

1) 3 với phép cộng vectơ và phép nhân một số với một vectơ theo nghĩa thông thường, tức là u ( , , ), u u u1 2 3 v ( , , ) v v v1 2 3 3;

3.1.3 Một số tính chất của không gian vectơ

Từ các tiên đề trên ta suy ra một số tính chất của không gian vectơ như sau

Định lí 3.1.1 Trong không gian vectơ V , ta có

1) Vectơ 0V tồn tại duy nhất

2) Vectơ đối u của u tồn tại duy nhất

3) u v w V u w v w , , : u v (luật giản ước)

5) , u V : ( ) ( ) u u ( ) u

Chứng minh 1) Giả sử tồn tại V sao cho

Do đó u v.

Chứng minh 4), 5) dành cho bạn đọc

3.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Ngược lại, nếu tồn tại i 0(1 i k ) thì tổ hợp tuyến tính

1

k

i i

i

u được gọi là không tầm thường

Ví dụ 3.2.1 1) Trong không gian vectơ 3, cho các vectơ

2) Trong không gian vectơ 2, cho các vectơ

Định nghĩa 3.2.1 Cho V là không gian vectơ trên Hệ vectơ

Trong trường hợp tổng quát ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 3.2.3 Hệ vectơ S V được gọi là phụ thuộc

tuyến tính nếu tồn tại một hệ hữu hạn các vectơ { , , } u1 uk S sao

cho hệ vectơ { , , } u1 uk phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 3.2.2 Trong không gian vectơ 3, cho các vectơ

nên hệ các vectơ { , , } u u u1 2 3 là phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 3.2.3 Trong không gian vectơ 3, hệ vectơ

Định nghĩa 3.2.4 Hệ vectơ { , , } u1 uk V được gọi là độc lập tuyến tính nếu 1 1u k ku 0 thì 1 k 0

Tổng quát ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 3.2.5 Hệ vectơ S V được gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi hệ gồm hữu hạn các vectơ { , , }u1 u k S đều độc lập tuyến tính

Quy ước: hệ không chứa vectơ nào là độc lập tuyến tính

Như vậy, theo các định nghĩa trên, hệ vectơ không độc lập tuyến tính là phụ thuộc tuyến tính và ngược lại Nói cách khác, hai khái niệm độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ là phủ định với nhau

Ví dụ 3.2.1 Xét tính chất độc lập tuyến tính của hệ vectơ

Hệ này có nghiệm duy nhất là 1 2 3 0 (vì ma trận các

hệ số có định thức khác không) Vậy { , , }u u u1 2 3 độc lập tuyến tính

3.2.2 Tính chất của hệ vectơ độc lập và phụ thuộc tuyến tính

Định lí 3.2.1 Trong không gian vectơ V , ta có

1) Hệ vectơ chỉ gồm một vectơ khác không là độc lập tuyến tính

2) Mọi hệ con của một hệ vectơ độc lập tuyến tính đều độc lập tuyến tính

Chứng minh 1) Nếu u 0 thì u 0 0, do đó u độc lập tuyến tính

Điều này có nghĩa là { }u j j J độc lập tuyến tính

Nhận xét 3.2.1 1) Hệ vectơ chỉ gồm một vectơ 0 là phụ thuộc

tuyến tính

2) Hệ vectơ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì phụ thuộc tuyến tính Do đó, mọi hệ vectơ chứa vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính

3) Hệ vectơ S { , ,u1 u n} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một vectơ u i S sao cho u i là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại trong S

Chứng minh Ta chứng minh 3), các nội dung còn lại dành cho bạn

Điều kiện đủ: Giả sử có một vectơ uj là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại trong hệ S , tức là tồn tại các vô hướng i sao cho

Giải Ta lần lượt xét các hệ con của S. Đặt

Lập ma trận hệ số của hệ phương trình thuần nhất cuối cùng và biến đổi sơ cấp dòng

3.2.3 Hạng của một hệ hữu hạn vectơ

Định nghĩa 3.2.6 Cho S { , , , } u u1 2 uk là một hệ hữu hạn các

vectơ trong không gian vectơ V Số phần tử của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại tùy ý của S được gọi là hạng của hệ vectơ

Định lí 3.2.2 Trong không gian vectơ n cho hệ gồm m vectơ

n n

Hệ quả 3.2.1 Trong không gian vectơ n cho hệ m vectơ

Ta có r A( ) 3 nên hệ các vectơ { ,u u u1 2, 3} là độc lập tuyến tính

Ví dụ 3.2.8 Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

3.3 Không gian vectơ con

3.3.1 Không gian vectơ con

Định nghĩa 3.3.1 Cho V là không gian vectơ trên và

.

W V Tập W được gọi là không gian vectơ con (gọi tắt là

không gian con) của V nếu W cũng là không gian vectơ trên với các phép toán cộng và nhân như trên V thu hẹp trên W. Để chỉ W là không gian con của V, ta ký hiệu W V.

Định lí sau cho ta điều kiện cần và đủ để tập W V là không gian con của V.

Định lí 3.3.1 Cho V là không gian vectơ trên và W V

W là không gian con của V khi và chỉ khi W thoả mãn một trong hai

điều kiện sau đây:

1) u v W và u W, u v W, ,

2) u v W , u v W, , ,

Ví dụ 3.3.2 1) Theo Mục 2.1.2, tập hợp tất cả các nghiệm của một

hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn (2.2) là một không gian con của n.

2) V và {0 }V là các không gian con của V.

3.3.2 Tập sinh, không gian vectơ sinh bởi một hệ vectơ

Cho V là không gian vectơ trên và { , ,u1 u m} V. Gọi S là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của u u1, , ,2 u m Khi đó, dễ dàng kiểm tra rằng S là một không gian con của V.

Định nghĩa 3.3.1 Không gian vectơ con S gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của u u1, , ,2 u m V được gọi là không gian con sinh bởi

hệ vectơ { , ,u1 u m} (hay còn gọi { , ,u1 u m} sinh ra S ), ký hiệu

Định lí 3.3.1 Cho V là không gian vectơ trên ,

Phép biến đổi sơ cấp đề cập trong Định lí 3.3.2 được hiểu tương

tự như là phép biến đổi sơ cấp dòng (cột) của ma trận Cụ thể là: đổi chỗ hai vectơ trong hệ, nhân một vectơ với một số khác 0 , cộng vào

một vectơ tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác của hệ

Nói cách khác, W là một không gian con của 3 mà mỗi vectơ của nó có dạng là

3.4.1 Cơ sở, số chiều của không gian vectơ

Định nghĩa 3.4.1 Cho V là không gian vectơ Tập B V

được gọi là một cơ sở của V nếu B độc lập tuyến tính và sinh ra V

Khi đó, nếu B có n vectơ thì ta nói số chiều của V là n và ký hiệu là dim V n

Ví dụ 3.4.1

1) Trong Ví dụ 3.3.3, các hệ vectơ

{(1,1,1);(0,1,2)} và {(1,1,1);(1,2, 3)}

là hai cơ sở của không gian vectơ W

2) Trong không gian vectơ 3, hệ vectơ

Tổng quát, không gian vectơ n có một cơ sở vectơ e e1 2, , , en ,

Định lí 3.4.1 Cho V là không gian vectơ n chiều trên và

B V là hệ gồm n vectơ Khi đó, B là cơ sở của V khi và chỉ khi

B sinh ra V hoặc B độc lập tuyến tính

Ví dụ 3.4.3 Chứng minh rằng E {(1, 0,1); (0,1,1); (1,1, 0)} là một cơ sở của 3.

Giải Theo Ví dụ 3.4.1, 3 có số chiều bằng 3 Theo Định lí 3.4.1, hệ E gồm 3 vectơ và độc lập tuyến tính nên E là cơ sở của 3.

Ví dụ 3.4.1 Cho không gian con S (1,1,1); (2, 3, 4); (4,5,6) của

3. Tìm số chiều của S

Giải Ta có S (1,1,1); (2, 3, 4); (4,5,6) (1,1,1); (0,1,2)

và hệ vectơ {(1,1,1); (0,1,2)}là độc lập tuyến tính nên

{(1,1,1); (0,1,2)} là một cơ sở của S. Vậy dimS 2

3.4.2 Tọa độ của vectơ

Định nghĩa 3.4.1 Cho B { , , , } u u1 2 un là cơ sở của không gian

vectơ V và u V Khi đó, mọi vectơ u V đều được viết duy nhất dưới dạng

Bộ số ( , , , )1 2 n có thể được viết dưới dạng cột, kí hiệu là [ ] u B

và cũng được gọi là tọa độ của vectơ u đối với cơ sở B Vậy

1 2

n

u

2) Dễ thấy rằng u 0 u1 2 u2 u3

nên

0 [ ] 2

1

B

u

Nhận xét 3.4.2 Theo định nghĩa tọa độ của một vectơ, nếu B là

cơ sở của không gian vectơ hữu hạn chiều trên thì

[ u v ]B [ ] u B [ ] , v B , , , u v V

Sinh viên tự chứng minh nhận xét này như bài tập

1 2 3

{ (1,1,1), (1,1, 2), (1, 2, 3)}, { (2,1, 1), (3, 2, 5), (1, 1,1)}

3.5 Không gian Euclide

Từ định nghĩa tích vô hướng ta có thể dễ dàng suy ra các tính chất sau đây:

v) u u , 1 u2 u u , 1 u u , 2 , , , u u u V1 2 .

vi) u v , u v , u v , , , u v V ,

vii) 0, v v ,0 0, v V

Ví dụ Error! No text of specified style in document 1 1) Trong

không gian vectơ n ta định nghĩa

u v x y thỏa mãn các điều kiện của

một tích vô hướng trên n.

Ta quy ước rằng khi nói đến tích vô hướng trên n mà không nói

gì thêm thì hiểu đó chính là tích vô hướng nói trên

2) Cho u ( , , ),x x x1 2 3 v ( , , )y y y1 2 3 3 và định nghĩa

3

2 2 1

i

Khi đó, u v, không phải là một tích vô hướng vì nó không thỏa

tiên đề (iv) Thật vậy, với 2 và x i y i 1, i 1, 3 thì

Định lý 3.5.2 Không gian Euclide là một không gian vectơ mà

trên đó có một tích vô hướng

Định nghĩa 3.5.4 Cho V là một không gian Euclide, u v V, và

4) Hệ vectơ A và B được gọi là trực giao với nhau nếu mọi vectơ

a A và mọi vectơ b B thì a b, ký hiệu A B

Từ các định nghĩa trên ta có các định lí sau

đó,

nếu A là hệ trực giao và 0 A thì A là hệ độc lập tuyến tính

Định nghĩa 3.5.5 Cho V là một không gian Euclide n chiều Cơ

sở B { , , ,u u1 2 u n} của V được gọi là cơ sở trực giao (trực chuẩn) nếu B là hệ trực giao (trực chuẩn)

Ví dụ 3.5.2 Trong 3 với tích vô thông thường

3.5.4 Trực chuẩn hóa Gram – Schmidt

Không gian Euclide là một không vectơ có một tích vô hướng Do

đó, trong không gian này người ta thường sử dụng cơ sở trực chuẩn Trong phần này chúng ta sẽ xây dựng một cơ sở trực chuẩn từ một hệ vectơ độc lập tuyến tính trong không gian Euclide V cho trước

Định lí 3.5.3 Cho B { ,u u1 2, , u n} là cơ sở của không gian Euclide V. Khi đó, B { , , ,v v1 2 v n} thu được từ quá trình trực

giao hóa Gram–Schmidt của hệ vectơ B { ,u u1 2, , u n} là cơ sở trực giao Hơn nữa,

là một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide V

Quá trình đi từ hệ { ,u u1 2, , u n} đến hệ { ,w w1 2, , w n} như trên

được gọi là quá trình trực chuẩn hóa Gram–Schmidt

Ví dụ 3.5.3 Trong không gian vectơ V 3, cho

Ta lại đặt

1 1

v

2 2

v

3 3

v

Khi đó, { , w w w1 2, 3} là một cơ sở trực chuẩn của V