Dai so chuong 1 toán cao cấp

Ma trận tam giác trên dưới là ma trận vuông có các phần tử nằm phía dưới trên đường chéo chính đều bằng 0.. Một ma trận vuông vừa là tam giác trên vừa là tam giác dưới được gọi là ma trậ

NỘI DUNG CHÍNH

1 – Ma trận

2 – Định thức

3 – Ma trận nghịch đảo

Khi m n ta nói A là ma trận vuông cấp , n

Trong giáo trình này chúng ta chỉ xét các ma trận trên tập số thực

Định nghĩa 1.1.2 Cho ma trận vuông ( ) aij n

11, 22, 33, , nn

a a a a được gọi là đường chéo

chính của ma trận A. Đường thẳng đi qua các phần

tử a1n, a2(n 1), a3(n 2), , a được gọi là đường n1

chéo phụ của ma trận A

là ma trận vuông cấp 3 Đường thẳng đi qua các phần tử 1, 2, 3 là

đường chéo chính Đường thẳng đi qua các phần tử 7, 2, 4 là đường chéo phụ của A

Định nghĩa 1.1.3 Ma trận tam giác trên (dưới) là ma trận vuông

có các phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0

Ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới được gọi chung là

ma trận tam giác

Một ma trận vuông vừa là tam giác trên vừa là tam giác dưới được gọi là ma trận chéo Nói cách khác, ma trận chéo là ma trận vuông có các phần tử không nằm trên đường chéo chính đều bằng 0

Ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị Ma trận đơn vị cấp n được ký hiệu là In.

đối xứng nếu

ij ji

Như vậy, ma trận đối xứng có các phần tử đối xứng qua đường

chéo chính đều bằng nhau

1.1.2.4 Phép nhân hai ma trận

Định nghĩa 1.1.8 Cho A ( )a ij m n và B ( )b ij n p. Tích của hai

ma trậnA và B là một ma trận C ( )c ij m p, kí hiệu AB, được xác định bởi

b

,

tích của n lần ma trận A và kí hiệu là A Ta quy n ước A0 I n.

Nhận xét 1.1.1 Phép nhân ma trận A với ma trận B chỉ thực hiện

được khi số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B

Nói chung, AB BA Nếu AB BA , thì ta nói A và B là hai

ma trận giao hoán với nhau

1.1.2.5 Ma trận chuyển vị

Định nghĩa 1.1.9 Chuyển vị của ma trận A là

ma trận có được từ A bằng cách viết các dòng của

ma trận A theo thứ tự thành cột Ký hiệu chuyển vị của ma trận A là A hoặc t A T .

1.1.3 Một số tính chất của các phép toán trên ma trận

Định lí 1.1.1 Cho A B M, m n( ) và , Khi đó, ta có 1) A B B A.

hiện được Khi đó, ta có

1) A B( C) AB AC.

2) A BC( ) (AB C)

3) (AB)t B A t t.

4) (AB) ( A B) A B( ),

Chứng minh Ta chứng minh 3) các nội dung còn lại dành cho bạn

đọc (xem như bài tập)

1.1.4 Phép biến đổi sơ cấp ma trận

1.1.4.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Loại 1: Đổi chỗ hai dòng cho nhau, ký hiệu:

.

i i j

d d cd

1.1.4.2 Các phép biến đổi sơ cấp trên cột

Tương tự như phép biến đổi sơ cấp dòng, ta cũng có phép biến đổi sơ cấp trên các cột của ma trận, bằng cách chỉ việc thay chữ ‘‘dòng’’ bởi chữ

‘‘cột’’ ở phép biến đổi sơ cấp dòng Dễ thấy, biến

đổi sơ cấp cột ma trận A chính là biến đổi sơ cấp

dòng trên ma trận A t.

Định nghĩa 1.1.10 Ma trận A M m n( ) ( ,m n 2)

được gọi là ma trận bậc thang dòng nếu:

i) Dòng bằng 0 (nếu có) nằm phía dưới so với

dòng khác 0;

ii) Trên hai dòng khác 0, phần tử khác 0 đầu

tiên (tính từ bên trái sang) của dòng dưới nằm vào bên phải so với phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên

Mọi ma trận đều có thể được biến đổi sơ cấp dòng để đưa về ma trận bậc thang

2 2 1

4 3

n n

n

n n

Ta thường gọi định thức của ma trận cấp n là định thức cấp n

Nếu A (a11) là ma trận chỉ có một dòng và một cột thì người ta quy ước

11

A a

Định thức của ma trận A còn được kí hiệu là det A Khi đó, ta có

1 1 1

det ( 1) det (1, ).

n

j j j

j

(khai triển theo cột j ), (1.2)

trong đóA i j ( 1)i j A i j( , ) , vớiA i j( , ) là ma trận có được từ A

bằng cách bỏ dòng i và cột j.

Nhận xét 1.2.1 1) Để tính định thức của ma trận A ta có thể khai

triển theo một dòng hoặc một cột bất kì theo các công thức (1.1) hoặc (1.2) và nên chọn dòng hoặc cột có nhiều số 0

n n

Viết cột 1 và cột 2 vào tiếp sau cột 3 của định thức Khi đó, A

bằng tổng các tích trên các đường chéo chính trừ đi tổng các tích trên các đường chéo phụ

Định thức của ma trận vuông có một số tính chất sau đây:

1) detA det A t

2) Nếu đổi chỗ hai dòng hoặc hai cột cho nhau thì định thức đổi dấu

3) Từ một dòng (một cột) ta cộng vào một dòng khác (cột khác) sau khi nhân một số c 0 thì định thức không đổi, tức là

Nếu A d i d cd i j A thì det( )A det( ).A

4) Ta có thể đưa thừa số chung c 0 ra ngoài định thức, tức là

Nếu A d i cd i A thì det( )A c det( ).A

5) Cho A B M, n( ). Khi đó det(AB) det det A B

6) Cho A M n( ). Khi đó, rank A( ) n detA 0

Nhận xét 1.2.2 Từ các tính chất trên ta có nhận xét sau đây:

1) Ma trận có một dòng (hoặc một cột) bằng 0 thì định thức của nó bằng không

2) Ma trận có hai dòng hoặc hai cột tỷ lệ nhau thì định thức bằng không

2 2 1

3 3 1

3 3 2

4 3

Khi đó, ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A.

Định lí 1.3.1 Cho A là ma trận vuông cấp n Ma trận nghịch đảo của A nếu có là duy nhất

Ma trận nghịch đảo của ma trận A được kí hiệu là A 1.

1.3.3 Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp

Định lí 1.3.3 Cho A M n( ) là ma trận khả nghịch Khi đó, những phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào biến A thành I n thì chúng cũng biến I n (theo thứ tự đó) thành A 1

Theo định lý trên, để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

11 12 1

1 0 0 0 1 0

0 0 1

n

n n

Bước 2: Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đối với ( | )A I n để biến

A thành I n, đồng thời khi đó I n biến thành A 1

1 3 2 1 0 0( | ) 1 4 2 0 1 0

Định lí sau đây cho ta điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông là khả nghịch

Định lí 1.3.4 Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi đó, A khả

Điều này có nghĩa là A 0.

Điều kiện đủ: Giả sử A 0. Đặt c ij ( 1)i j A i j( , ) , khi đó

1

A được xác định theo công thức sau đây

0, ,

Như vậy, để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A ta có

thể làm theo các bước sau

Bước 1: Tính det A

+ Nếu detA 0 thì ma trận A không khả nghịch

+ Nếu detA 0 thì ta chuyển sang bước hai

Bước 2: Tính các giá trị c ij theo công thức

A

nhập ma trận B bằng phím Shift 4(matrix) 1(dim)

nhập ma trận.

trận A, chúng ta sẽ thao tác như sau: Shift 4(matrix) 7(det) Shift 4(matrix) 3(matA) =

Chúng ta sẽ được kết quả định thức ma trận A

2) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A: trên máy

tính fx-570ES chúng ta chỉ thao tác đơn giản như sau:

Shift 4(matrix) 3(matA) x-1 là có kết quả ngay

(Shift 4(matrix) rồi chọn 3(matA), hoặc 4(matB),

thường)

Ví dụ: Giải phương trình AX=B

Các bạn sẽ nhập ma trận A, ma trận B, sau đó chỉ cần bấm phép tính matA x-1 x matB = là có được kq X