dai so tuyen tinh ( Toan cao cap )

Tự thưởng cho mình sau khi đạt được kết quả kiểm tra tốt, và đặt ra những mục tiêu phấn đấu khi bạn đang tụt lại ở phía sau hoặc cần phải cải thiện khả năng học đối với một phần nào đó của môn Toán. Bạn làm hết bài tập trong sách giáo khoa để có được điểm tốt trong môn toán. Dành một lượng thời gian mỗi ngày để làm bài tập.

MU C LU C

Mu.c lu.c 1

L`o.i n´oi d¯ˆ` u 4a Chu.o.ng 0: Kiˆe´n th´u.c chuˆa’n bi 7

§1 Tˆa.p ho p 7

§2 Quan hˆe v`a ´Anh xa 11

§3 Lu c lu.o ng cu’a tˆa.p ho p 15

§4 Nh´om, V`anh v`a Tru.`o.ng 18

§5 Tru.`o.ng sˆo´ thu c 26

§6 Tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c 29

§7 D- a th´u.c 35

B`ai tˆa.p 40

Chu.o.ng I: Khˆong gian v´ecto 45

§1 Kh´ai niˆe.m khˆong gian v´ecto 45

§2 D- ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh 50

§3 Co so.’ v`a sˆo´ chiˆe`u cu’a khˆong gian v´ecto 56

§4 Khˆong gian con - Ha.ng cu’a mˆo.t hˆe v´ecto 63

§5 Tˆo’ng v`a tˆo’ng tru c tiˆe´p 66

§6 Khˆong gian thu.o.ng 69

B`ai tˆa.p 72

Chu.o.ng II: Ma trˆa.n v`a ´Anh xa tuyˆe´n t´ınh 77

§1 Ma trˆa.n 77

§2 ´Anh xa tuyˆe´n t´ınh 83

§3 Ha.t nhˆan v`a a’nh cu’a d¯ˆo`ng cˆa´u 94

§4 Khˆong gian v´ecto d¯ˆo´i ngˆa˜u 99

B`ai tˆa.p 105

Chu.o.ng III: D- i.nh th´u.c v`a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 113

§1 C´ac ph´ep thˆe´ 113

§2 D- i.nh th´u.c cu’a ma trˆa.n 116

§3 ´Anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen 121

§4 D- i.nh th´u.c cu’a tu d¯ˆo`ng cˆa´u 125

§5 C´ac t´ınh chˆa´t sˆau ho.n cu’a d¯i.nh th´u.c 128

§6 D- i.nh th´u.c v`a ha.ng cu’a ma trˆa.n 135

§7 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh - Quy t˘a´c Cramer 136

§8 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh - Phu.o.ng ph´ap khu.’ Gauss 139

§9 Cˆa´u tr´uc nghiˆe.m cu’a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 144

B`ai tˆa.p 146

Chu.o.ng IV: Cˆa´u tr´uc cu’a tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u 155

§1 V´ecto riˆeng v`a gi´a tri riˆeng 155

§2 Khˆong gian con ˆo’n d¯i.nh cu’a c´ac tu d¯ˆo`ng cˆa´u thu c v`a ph´u.c 161

§3 Tu d¯ˆo`ng cˆa´u ch´eo ho´a d¯u.o c 164

§4 Tu d¯ˆo`ng cˆa´u lu˜y linh 168

§5 Ma trˆa.n chuˆa’n Jordan cu’a tu d¯ˆo`ng cˆa´u 172

B`ai tˆa.p 179

Chu.o.ng V: Khˆong gian v´ecto Euclid 188

§1 Khˆong gian v´ecto Euclid 188

§2 ´Anh xa tru c giao 201

§3 Ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i liˆen ho p v`a ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i d¯ˆo´i x´u.ng 214

§4 V`ai n´et vˆe` khˆong gian Unita 222

B`ai tˆa.p 225

Chu.o.ng VI: Da.ng song tuyˆe´n t´ınh v`a da.ng to`an phu.o.ng 234

§1 Kh´ai niˆe.m da.ng song tuyˆe´n t´ınh v`a da.ng to`an phu.o.ng 234

§2 D- u.a da.ng to`an phu.o.ng vˆe` da.ng ch´ınh t˘a´c 237

§3 Ha.ng v`a ha.ch cu’a da.ng to`an phu.o.ng 244

§4 Chı’ sˆo´ qu´an t´ınh 247

§5 Da.ng to`an phu.o.ng x´ac d¯i.nh dˆa´u 252

B`ai tˆa.p 254

Chu.o.ng VII: D- a.i sˆo´ d¯a tuyˆe´n t´ınh 262

§1 T´ıch tenxo 263

§2 C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch tenxo 267

§3 D- a.i sˆo´ tenxo 270

§4 D- a.i sˆo´ d¯ˆo´i x´u.ng 275

§5 D- a.i sˆo´ ngo`ai 281

B`ai tˆa.p 290

T`ai liˆe.u tham kha’o 292

L ` O . I N ´ OI D - ˆ A ` U

Theo d`ong li.ch su’ , mˆ. on D - a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh kho.’i d¯ˆa`u v´o.i viˆe.c gia’i v`a biˆe.n luˆa.n

c´ac hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh Vˆe` sau, d¯ˆe’ c´o thˆe’ hiˆe’u thˆa´u d¯´ao cˆa´u tr´uc cu’a tˆa.pnghiˆe.m v`a d¯iˆe` u kiˆe.n d¯ˆe’ mˆo.t hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh c´o nghiˆe.m, ngu.`o.i ta xˆay

du. ng nh˜u.ng kh´ai niˆe.m tr`u.u tu.o ng ho.n nhu khˆong gian v´ecto v`a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh.Ngu.`o.i ta c˜ung c´o nhu cˆ` u kha’o s´a at c´ac khˆong gian v´o.i nhiˆ` u thuˆe o.c t´ınh h`ınh ho.cho.n, trong d¯´o c´o thˆe’ d¯o d¯ˆo d`ai cu’a v´ecto v`a g´oc gi˜u.a hai v´ecto Xa ho.n, hu.´o.ngnghiˆen c´u.u n`ay dˆa˜n t´o.i b`ai to´an phˆan loa.i c´ac da.ng to`an phu.o.ng, v`a tˆo’ng qu´at ho.nphˆan loa.i c´ac tenxo., du.´o.i t´ac d¯ˆo.ng cu’a mˆo.t nh´om cˆa´u tr´uc n`ao d¯´o

Ng`ay nay, D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c ´u.ng du.ng v`ao h`ang loa.t l˜ınh vu c kh´ac nhau,t`u Gia’i t´ıch t´o.i H`ınh ho.c vi phˆan v`a L´y thuyˆe´t biˆe’u diˆe˜n nh´om, t`u Co ho.c, Vˆa.t l´yt´o.i K˜y thuˆa.t V`ı thˆe´, n´o d¯˜a tro’ th`. anh mˆo.t mˆon ho.c co so.’ cho viˆe.c d¯`ao ta.o c´acgi´ao viˆen trung ho.c, c´ac chuyˆen gia bˆa.c d¯a.i ho.c v`a trˆen d¯a.i ho.c thuˆo.c c´ac chuyˆenng`anh khoa ho.c co ba’n v`a cˆong nghˆe trong tˆa´t ca’ c´ac tru.`o.ng d¯a.i ho.c

D

- ˜a c´o h`ang tr˘am cuˆo´n s´ach vˆe` D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c xuˆa´t ba’n trˆen to`an thˆe´gi´o.i Ch´ung tˆoi nhˆa.n thˆa´y c´o hai khuynh hu.´o.ng chu’ yˆe´u trong viˆe.c tr`ınh b`ay mˆonho.c n`ay

Khuynh hu.´o.ng th´u nhˆa´t b˘a´t d¯ˆa` u v´o.i c´ac kh´ai niˆe.m ma trˆa.n, d¯i.nh th´u.c v`a hˆe.phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh, rˆ`i d¯i t´o o.i c´ac kh´ai niˆe.m tr`u.u tu.o ng ho.n nhu khˆong gianv´ecto v`a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh Khuynh hu.´o.ng n`ay dˆe˜ tiˆe´p thu Nhu.ng n´o khˆong cho

ph´ep tr`ınh b`ay l´y thuyˆe´t vˆ` d¯i.nh th´u.c v`a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh b˘a`ng mˆo.tengˆon ng˜u cˆo d¯o.ng v`a d¯e.p d¯˜e

Khuynh hu.´o.ng th´u hai tr`ınh b`ay c´ac kh´ai niˆe.m khˆong gian v´ecto v`a ´anh xa.tuyˆe´n t´ınh tru.´o.c, rˆ`i ´o ap du.ng v`ao kha’o s´at d¯i.nh th´u.c v`a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´nt´ınh U.u d¯iˆe’m cu’a phu.o.ng ph´ap n`ay l`a d ¯ˆ ` cao ve’ d¯e.p trong t´ınh nhˆa´t qu´an vˆe e ` cˆ a´u tr´ uc cu’a c´ac d¯ˆo´i tu.o. ng d¯u.o c kha’o s´at Nhu.o c d¯iˆe’m cu’a n´o l`a khi x´et t´ınh d¯ˆo.c lˆa.p

tuyˆe´n t´ınh v`a phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh, thˆa.t ra ngu.`o.i ta d¯˜a pha’i d¯ˆo´i m˘a.t v´o.i viˆe.c gia’i

hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh

C´ach tr`ınh b`ay n`ao c˜ung c´o c´ai l´y cu’a n´o Theo kinh nghiˆe.m cu’a ch´ung tˆoi th`ı

nˆen cho.n c´ach tr`ınh b`ay th´u hai cho c´ac sinh viˆen c´o kha’ n˘ang tu duy tr`u.u tu.o ng

tˆo´t ho.n v`a c´o mu.c d¯´ıch hu.´o.ng t´o.i mˆo.t m˘a.t b˘a`ng kiˆe´n th´u.c cao ho.n vˆe` to´an.Cuˆo´n s´ach n`ay d¯u.o. c ch´ung tˆoi biˆen soa.n nh˘a`m mu.c d¯´ıch l`am gi´ao tr`ınh v`a s´ach

tham kha’o cho sinh viˆen, sinh viˆen cao ho.c v`a nghiˆen c´u.u sinh c´ac ng`anh khoa ho.c

tu. nhiˆen v`a cˆong nghˆe cu’a c´ac tru.`o.ng d¯a.i ho.c khoa ho.c tu nhiˆen, d¯a.i ho.c su pha.mv`a d¯a.i ho.c k˜y thuˆa.t Cuˆo´n s´ach d¯u.o c viˆe´t trˆen co so.’ c´ac b`ai gia’ng vˆe` D- a.i sˆo´ tuyˆe´nt´ınh cu’a tˆoi trong nhiˆ` u n˘e am cho sinh viˆen mˆo.t sˆo´ khoa cu’a tru.`o.ng D- a.i ho.c Tˆo’ng

ho. p (nay l`a D- a.i ho.c khoa ho.c Tu nhiˆen) H`a Nˆo.i v`a cu’a mˆo.t sˆo´ tru.`o.ng d¯a.i ho.c su.pha.m D- ˘a.c biˆe.t, tˆoi d¯˜a gia’ng gi´ao tr`ınh n`ay trong 3 n˘am ho.c 1997-1998, 1998-1999,1999-2000 cho sinh viˆen c´ac ng`anh To´an, Co., L´y, Ho´a, Sinh, D- i.a chˆa´t, Kh´ı tu.o ngthuy’ v˘an cu’a Chu.o.ng tr`ınh d¯`ao ta.o Cu’ nhˆ. an khoa ho.c t`ai n˘ang, D- a.i ho.c khoaho.c Tu nhiˆ. en H`a Nˆo.i

Ch´ung tˆoi cho.n khuynh hu.´o.ng th´u hai trong hai khuynh hu.´o.ng tr`ınh b`ay d¯˜an´oi o.’ trˆen Tˆa´t nhiˆen, v´o.i d¯ˆoi ch´ut thay d¯ˆo’i, cuˆo´n s´ach n`ay c´o thˆe’ d`ung d¯ˆe’ gia’ng

D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh theo khuynh hu.´o.ng tr`ınh b`ay th´u nhˆa´t

Tu tu.o ’ ng cˆ a´u tr´ uc d¯u.o. c ch´ung tˆoi nhˆa´n ma.nh nhu mˆo.t ma.ch ch´ınh cu’a cuˆo´ns´ach Mˆo˜i d¯ˆo´i tu.o ng d¯ˆe` u d¯u.o. c nghiˆen c´u.u trong mˆo´i tu.o.ng quan v´o.i nh´om c´acph´ep biˆe´n d¯ˆo’i ba’o to`an cˆa´u tr´uc cu’a d¯ˆo´i tu.o. ng d¯´o: Kha’o s´at khˆong gian v´ecto g˘a´nliˆ` n v´e o.i nh´om tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at GL(n, K), khˆong gian v´ecto Euclid v`a khˆonggian v´ecto Euclid d¯i.nh hu.´o.ng g˘a´n liˆe` n v´o.i nh´om tru. c giao O(n) v`a nh´om tru. c giaod¯˘a.c biˆe.t SO(n), khˆong gian Unita g˘a´n liˆe` n v´o.i nh´om unita U (n) Kˆe´t qua’ phˆanloa.i c´ac da.ng to`an phu.o.ng phu thuˆo.c c˘an ba’n v`ao viˆe.c qu´a tr`ınh phˆan loa.i d¯u.o ctiˆe´n h`anh du.´o.i t´ac d¯ˆo.ng cu’a nh´om n`ao (tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at, tru c giao )..

Theo kinh nghiˆe.m, ch´ung tˆoi khˆong thˆe’ gia’ng hˆe´t nˆo.i dung cu’a cuˆo´n s´ach n`aytrong mˆo.t gi´ao tr`ınh tiˆeu chuˆa’n vˆe` D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh cho sinh viˆen c´ac tru.`o.ng d¯a.i

ho.c, ngay ca’ d¯ˆo´i v´o.i sinh viˆen chuyˆen ng`anh to´an C´ac chu’ d¯ˆe` vˆe` da.ng chuˆa’n t˘a´c

Jordan cu’a tu d ¯ˆ `ng cˆ o a´u, da ng ch´ınh t˘ a ´c cu’a tu d ¯ˆ `ng cˆ o a´u tru c giao, viˆ e.c d¯u a d¯ˆo`ng th` o.i hai da ng to` an phu.o.ng vˆ ` da.ng ch´ınh t˘a´c, d¯a.i sˆo´ tenxo., d¯a.i sˆo´ d¯ˆo´i x´u.ng v`a d¯a.i e

sˆ o´ ngo` ai nˆen d`ung d¯ˆe’ gia’ng chi tiˆe´t cho c´ac sinh viˆ en cao ho c v` a nghiˆ en c´ u.u sinh

c´ac ng`anh To´an, Co ho.c v`a Vˆa.t l´y

Ch´ung tˆoi cˆo´ g˘a´ng b`ınh luˆa.n ´y ngh˜ıa cu’a c´ac kh´ai niˆe.m v`a u.u khuyˆe´t d¯iˆe’mcu’a c´ac phu.o.ng ph´ap d¯u.o. c tr`ınh b`ay Cuˆo´i mˆo˜i chu.o.ng d¯ˆe` u c´o phˆ` n b`a ai tˆa.p,d¯u.o. c tuyˆe’n cho.n chu’ yˆe´u t`u cuˆo´n s´ach nˆo’i tiˆe´ng “B`ai tˆa.p D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh” cu’a

I V Proskuryakov D- ˆe’ n˘a´m v˜u.ng kiˆe´n th´u.c, d¯ˆo.c gia’ nˆen d¯o.c rˆa´t k˜y phˆa`n l´y thuyˆe´ttru.´o.c khi l`am c`ang nhiˆ` u c`e ang tˆo´t c´ac b`ai tˆa.p cuˆo´i mˆo˜i chu.o.ng

Viˆe.c su’ du.ng cuˆo´n s´ach n`ay s˜e d¯˘a.c biˆe.t thuˆa.n lo i nˆe´u ngu.`o.i d¯o.c coi n´o l`a phˆa. ` n

mˆo.t cu’a mˆo.t bˆo s´ach m`a phˆa` n hai cu’a n´o l`a cuˆo´n D - a.i sˆo´ d¯a.i cu.o.ng cu’a c`ung t´ac

gia’, do Nh`a xuˆa´t ba’n Gi´ao du.c H`a Nˆo.i ˆa´n h`anh n˘am 1998 v`a t´ai ba’n n˘am 1999.T´ac gia’ chˆan th`anh ca’m o.n Ban d¯iˆ` u h`e anh Chu.o.ng tr`ınh d¯`ao ta.o Cu’ nhˆ. an khoaho.c t`ai n˘ang, D- a.i ho.c Khoa ho.c tu nhiˆen H`a Nˆo.i, d¯˘a.c biˆe.t l`a Gi´ao su D- `am Trung

D- ˆo`n v`a Gi´ao su Nguyˆ˜n Duy Tiˆe´n, d¯˜a ta.o mo.i d¯iˆee ` u kiˆe.n thuˆa.n lo i d¯ˆe’ t´ac gia’ gia’ngda.y cho sinh viˆen cu’a Chu.o.ng tr`ınh trong ba n˘am qua v`a viˆe´t cuˆo´n s´ach n`ay trˆen

co so.’ nh˜u.ng b`ai gia’ng d¯´o

T´ac gia’ mong nhˆa.n d¯u.o c su chı’ gi´ao cu’a c´ac d¯ˆo.c gia’ v`a d¯ˆo`ng nghiˆe.p vˆe` nh˜u.ngthiˆe´u s´ot kh´o tr´anh kho’i cu’a cuˆo´n s´ach

H`a Nˆo.i, 12/1999

Chu.o.ng 0

KIˆ E ´N TH ´ U . C CHU ˆ A ’ N BI.

Nhiˆe.m vu cu’a chu.o.ng n`ay l`a tr`ınh b`ay du.´o.i da.ng gia’n lu.o c nhˆa´t mˆo.t sˆo´ kiˆe´nth´u.c chuˆa’n bi cho phˆa` n c`on la.i cu’a cuˆo´n s´ach: Tˆa.p ho p, quan hˆ. e., ´anh xa., nh´om,v`anh, tru.`o.ng, d¯a th´u.c Tru.`o.ng sˆo´ thu. c s˜e d¯u.o. c xˆay du. ng ch˘a.t ch˜e o.§5 Nhu.ng

v`ı c´ac t´ınh chˆa´t cu’a n´o rˆa´t quen thuˆo.c v´o.i nh˜u.ng ai d¯˜a ho.c qua chu.o.ng tr`ınh trungho.c phˆo’ thˆong, cho nˆen ch´ung ta vˆa˜n n´oi t´o.i tru.`o.ng n`ay trong c´ac v´ı du o.’ c´ac tiˆe´t

tu ’ cu’a tˆa.p ho p d¯´. o (Tˆa´t nhiˆen, mˆo ta’ n´oi trˆen khˆong pha’i l`a mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa cu’a

tˆa.p ho p, n´. o chı’ diˆe˜n d¯a.t kh´ai niˆe.m tˆa.p ho p qua mˆo.t kh´ai niˆe.m c´o ve’ gˆa`n g˜ui ho.nl`a “quˆ` n tu.” Tuy vˆa.y, ba’n thˆan kh´ai niˆe.m quˆaa ` n tu la.i chu.a d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa.)Ngu.`o.i ta c˜ung thu.`o.ng go.i t˘a´t tˆa.p ho p l`. a “tˆa.p”

D

- ˆe’ c´o mˆo.t sˆo´ v´ı du., ch´ung ta c´o thˆe’ x´et tˆa.p ho p c´ac sinh viˆen cu’a mˆo.t tru.`o.ngd¯a.i ho.c, tˆa.p ho p c´. ac xe ta’i cu’a mˆo.t cˆong ty, tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ nguyˆen tˆo´

C´ac tˆa.p ho p thu. .`o.ng d¯u.o c k´y hiˆe.u bo.’i c´ac ch˜u in hoa: A, B, C, , X, Y, Z

C´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a mˆo.t tˆa.p ho p thu. `o.ng d¯u.o c k´y hi.ˆeu bo.’i c´ac ch˜u in thu.`o.ng:

a, b, c, , x, y, z D - ˆe’ n´oi x l`a mˆo.t phˆa`n tu.’ cu’a tˆa.p ho p X, ta viˆe´t x ∈ X v`a d¯o.c l`a

“x thuˆ o.c X” Tr´ai la.i, d¯ˆe’ n´oi y khˆong l`a phˆa` n tu.’ cu’a X, ta viˆe´t y 6∈ X, v`a d¯o.c l`a

“y khˆong thuˆo.c X”.

D

- ˆe’ x´ac d¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho p, ngu.`o.i ta c´o thˆe’ liˆe.t kˆe tˆa´t ca’ c´ac phˆa`n tu.’ cu’a n´o.Ch˘a’ng ha.n,

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Ngu.`o.i ta c˜ung c´o thˆe’ x´ac d¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho p bo. ’ i mˆ. o.t t´ınh chˆa´t d¯˘a.c tru.ng P(x) n`ao

d¯´o cu’a c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a n´o Tˆa.p ho p X c´. ac phˆ` n tu.a ’ x c´o t´ınh chˆa´t P(x) d¯u.o c k´y

hiˆe.u l`a

X = {x| P(x)},

ho˘a.c l`a

X = {x : P(x)}.

V´ı du.:

N = {x| x l`a sˆo´ tu nhiˆen},

Z = {x| x l`a sˆo´ nguyˆen },

Q = {x| x l`a sˆo´ h˜u.u ty’},

R = {x| x l`a sˆo´ thu c}.

Nˆe´u mo.i phˆa` n tu.’ cu’a tˆa.p ho p A c˜. ung l`a mˆo.t phˆa` n tu.’ cu’a tˆa.p ho p X th`ı ta n´. oi

A l`a mˆo.t tˆa.p ho p con cu’a X, v` . a viˆe´t A ⊂ X Tˆa.p con A gˆo`m c´ac phˆa`n tu.’ x cu’a X

c´o t´ınh chˆa´t P(x) d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a

A = {x ∈ X| P(x)}.

Hai tˆa.p ho p X v`. a Y d¯u.o. c go.i l`a b˘ a `ng nhau nˆe´u mˆo˜i phˆa` n tu.’ cu’a tˆa.p ho p n`. ayc˜ung l`a mˆo.t phˆa` n tu.’ cu’a tˆa.p ho p kia v`. a ngu.o. c la.i, t´u.c l`a X ⊂ Y v`a Y ⊂ X Khi

d¯´o ta viˆe´t X = Y

Tˆa.p ho p khˆ. ong ch´u.a mˆo.t phˆa` n tu.’ n`ao ca’ d¯u.o. c k´y hiˆe.u bo’ i. ∅, v`a d¯u.o c go.i l`a

tˆ a p rˆ o ˜ng Ta quy u.´o.c r˘a`ng ∅ l`a tˆa.p con cu’a mo.i tˆa.p ho p Tˆa.p ho p rˆo˜ng rˆa´t tiˆe.n

lo o d¯´ong vai tr`o nhu sˆ o´ khˆ ong trong khi l`am to´an v´o.i c´ac tˆa.p ho.

C´ac ph´ep to´an ho. p, giao v`a hiˆe.u cu’a hai tˆa.p ho p d¯u. o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau.Cho c´ac tˆa.p ho p A v`. a B.

Ho p cu’a A v` a B d¯u.o. c k´y hiˆe.u bo’ i A. ∪ B v`a d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau

Nˆe´u B ⊂ A th`ı A\B d¯u.o c go.i l`a phˆa`n b`u cu’a B trong A, v`a d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a C A (B).

C´ac ph´ep to´an ho. p, giao v`a hiˆe.u c´o c´ac t´ınh chˆa´t so cˆa´p sau d¯ˆay:

Gia’ su.’ A i l`a mˆo.t tˆa.p ho p v´. o.i mˆo˜i i thuˆo.c mˆo.t tˆa.p chı’ sˆo´ I (c´o thˆe’ h˜u.u ha.n hay

vˆo ha.n) Khi d¯´o, ho p v`. a giao cu’a ho tˆa.p ho p {A. i } i ∈I d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau:

A i = {x| x ∈ A i v´o.i mo.i i ∈ I}.

Ta c´o da.ng tˆo’ng qu´at cu’a cˆong th´u.c De Morgan:

Viˆe.c su’ du.ng qu´a rˆo.ng r˜ai kh´ai niˆe.m tˆa.p ho p d¯˜a dˆa˜n t´o.i mˆo.t sˆo´ nghi.ch l´y Mˆo.t.trong sˆo´ d¯´o l`a nghi.ch l´y Cantor sau d¯ˆay.

Ta n´oi tˆa.p ho p X l`. a b`ınh thu.` o.ng nˆ e´u X 6∈ X X´et tˆa.p ho p

X = {X| X l`a tˆa.p b`ınh thu.`o.ng}.

Nˆe´u X ∈ X th`ı theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a X , n´o l`a mˆo.t tˆa.p b`ınh thu.`o.ng Do d¯´o, theo

d¯i.nh ngh˜ıa tˆa.p b`ınh thu.`o.ng, X 6∈ X Tr´ai la.i, nˆe´u X 6∈ X , th`ı X l`a mˆo.t tˆa.p khˆong

b`ınh thu.`o.ng, v`a do d¯´oX ∈ X Ca’ hai tru.`o.ng ho p d¯ˆe`u dˆa˜n t´o.i mˆau thuˆa˜n.

D

- ˆe’ tr´anh nh˜u.ng nghi.ch l´y loa.i nhu vˆa.y, ngu.`o.i ta s˜e khˆong d`ung kh´ai niˆe.m tˆa.p

ho. p d¯ˆe’ chı’ “nh˜u.ng thu. c thˆe’ qu´a l´o.n” Ta s˜e n´oi “l´ o.p tˆ a´t ca’ c´ ac tˆ a p ho p”, ch´ . u.khˆong n´oi “tˆ a p ho p tˆ . a´t ca’ c´ ac tˆ a p ho p” Theo quan niˆ . e.m n`ay X chı’ l`a mˆo.t l´o.p ch´u.khˆong l`a mˆo.t tˆa.p ho p V`ı thˆ. e´, ta tr´anh d¯u.o. c nghi.ch l´y n´oi trˆen.

Phˆ` n c`a on la.i cu’a tiˆe´t n`ay d¯u.o c d`anh cho viˆe.c tr`ınh b`ay so lu.o c vˆe` lu.o ng t`u phˆo’biˆe´n v`a lu.o. ng t`u tˆ`n ta.i.o

Ta thu.`o.ng cˆ` n pha’i ph´a at biˆe’u nh˜u.ng mˆe.nh d¯ˆe` c´o da.ng: “Mo.i phˆa ` n tu ’ x cu’a tˆ a p

ho p X d ¯ˆ ` u c´ e o t´ınh chˆ a´t P(x)” Ngu.`o.i ta quy u.´o.c k´y hiˆe.u mˆe.nh d¯ˆe` d¯´o nhu sau:

∀x ∈ X, P(x).

D˜ay k´y hiˆe.u trˆen d¯u.o c d¯o.c l`a “V´o.i mo.i x thuˆo.c X, P(x)”.

K´y hiˆe.u ∀ d¯u o c go.i l`a lu.o ng t`u phˆo’ biˆe´n.

Tu.o.ng tu. , ta c˜ung hay g˘a.p c´ac mˆe.nh d¯ˆe` c´o da.ng: “Tˆo `n ta.i mˆo.t phˆa ` n tu ’ x cu’a

X c´ o t´ınh chˆ a´t P(x)” Mˆe.nh d¯ˆe` n`ay d¯u.o c quy u.´o.c k´y hiˆe.u nhu sau:

∃x ∈ X, P(x).

D˜ay k´y hiˆe.u d¯´o d¯u.o c d¯o.c l`a “Tˆo`n ta.i mˆo.t x thuˆo.c X, P(x)”.

K´y hiˆe.u ∃ d¯u o c go.i l`a lu.o ng t`u tˆo`n ta.i.

Mˆe.nh d¯ˆe` “Tˆ `n ta.i duy nhˆa´t mˆo.t phˆa o ` n tu ’ x cu’a X c´ o t´ınh chˆ a´t P(x)” d¯u.o c viˆe´t

nhu sau:

∃!x ∈ X, P(x).

Lu.o. ng t`u phˆo’ biˆe´n v`a lu.o. ng t`u tˆ`n ta.i c´o mˆo´i quan hˆe quan tro.ng sau d¯ˆay.o

Go.i P l`a phu’ d¯i.nh cu’a mˆe.nh d¯ˆe` P Ta c´o

∀x ∈ X, P(x) ≡ ∃x ∈ X, P(x),

∃x ∈ X, P(x) ≡ ∀x ∈ X, P(x).

Ch´ung tˆoi d¯ˆ` nghi d¯ˆo.c gia’ tu ch´u.ng minh nh˜u.ng kh˘a’ng d¯i.nh trˆen xem nhu mˆo.t b`aie

tˆa.p

T´ıch tru. c tiˆe´p (hay t´ıch Descartes) cu’a hai tˆa.p ho p X v`. a Y l`a tˆa.p ho p sau d¯ˆ. ay:

X × Y = {(x, y)| x ∈ X, y ∈ Y }.

Tru.`o.ng ho. p d¯˘a.c biˆe.t, khi X = Y , ta c´o t´ıch tru c tiˆ. e´p X × X cu’a tˆa.p X v´o.i ch´ınh

n´o

D

- i.nh ngh˜ıa 2.1 Mˆo˜i tˆa.p con R cu’a tˆa.p ho p t´ıch X × X d¯u.o c go.i l`a mˆo.t quan hˆe.

hai ngˆ oi trˆ en X Nˆ e´u (x, y) ∈ R th`ı ta n´oi x c´o quan hˆe R v´o.i y, v`a viˆe´t xRy.

Ngu.o. c la.i, nˆe´u (x, y) 6∈ R th`ı ta n´oi x khˆong c´o quan hˆe R v´o.i y, v`a viˆe´t xRy.

Ch˘a’ng ha.n, nˆe´u R = {(x, y) ∈ Z × Z| x chia hˆe´t cho y}, th`ı 6R2, nhu ng 5R3.

D

- i.nh ngh˜ıa 2.2 Quan hˆe hai ngˆoi R trˆen X d¯u.o c go.i l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng

nˆe´u n´o c´o ba t´ınh chˆa´t sau d¯ˆay:

(a) Pha’n xa.: xRx, ∀x ∈ X.

(b) D- ˆo´i x´u.ng: Nˆe´u x Ry, th`ı yRx, ∀x, y ∈ X.

(c) B˘a´c cˆa` u: Nˆe´u x Ry, yRz, th`ı xRz, ∀x, y, z ∈ X.

C´ac quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng thu.`o.ng d¯u.o c k´y hiˆe.u bo.’i dˆa´u ∼.

Gia’ su.’ ∼ l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen X L´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan hˆe.

∼ cu’a mˆo.t phˆa`n tu.’ x ∈ X d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau:

[x] = {y ∈ X| x ∼ y} ⊂ X.

Bˆ o’ d ¯ˆ` 2.3 Gia’ su.e ’ ∼ l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng Khi d¯´o, v´o.i mo.i x, y ∈ X, c´ac l´ o.p [x] v` a [y] ho˘ a c tr` ung nhau, ho˘ a c r` o.i nhau (t´ u.c l` a [x] ∩ [y] = ∅).

Ch´ u.ng minh: Gia’ su.’ [x] ∩ [y] 6= ∅ Ta s˜e ch´u.ng minh r˘a`ng [x] = [y] Lˆa´y mˆo.t

phˆ` n tu.a ’ z ∈ [x] ∩ [y] Ta c´o x ∼ z v`a y ∼ z.

Do t´ınh d¯ˆo´i x´u.ng cu’a quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng, x ∼ z k´eo theo z ∼ x Gia’ su.’

t ∈ [x], t´u.c l`a x ∼ t Do t´ınh b˘a´c cˆa`u, z ∼ x v`a x ∼ t k´eo theo z ∼ t Tiˆe´p theo,

y ∼ z v`a z ∼ t k´eo theo y ∼ t Ngh˜ıa l`a t ∈ [y] Nhu vˆa.y, [x] ⊂ [y] Do vai tr`o

nhu nhau cu’a c´ac l´o.p [x] v` a [y], ta c˜ung c´o bao h`am th´u.c ngu.o. c la.i, [y] ⊂ [x] Vˆa.y

Theo bˆo’ d¯ˆ` n`e ay, nˆe´u y ∈ [x] th`ı y ∈ [x] ∩ [y] 6= ∅, do d¯´o [x] = [y] V`ı thˆe´, ta

c´o thˆe’ d`ung t`u l´ o.p tu.o.ng d ¯u.o.ng d¯ˆe’ chı’ l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a bˆa´t k`y phˆ` n tu.a ’ n`aotrong l´o.p d¯´o Mˆo˜i phˆa` n tu.’ cu’a mˆo.t l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng d¯u.o c go.i l`a mˆo.t d¯a.i biˆe’u cu’a

l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng n`ay

Dˆe˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng X l`a ho p r`o.i ra.c cu’a c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan hˆe ∼.

(N´oi c´ach kh´ac, X l`a ho. p cu’a c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan hˆe ∼, v`a c´ac l´o.p n`ayr`o.i nhau.) Ngu.`o.i ta c˜ung n´oi X d¯u.o. c phˆan hoa.ch bo’ i c´. ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng

D

- i.nh ngh˜ıa 2.4 Tˆa.p ho p c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a X theo quan hˆe ∼ d¯u.o c go.i

l`a tˆ a p thu o.ng cu’a X theo ∼ v`a d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a X/∼.

V´ı du 2.5 Gia’ su’ n l`. a mˆo.t sˆo´ nguyˆen du.o.ng bˆa´t k`y Ta x´et trˆen tˆa.p X = Z quan

hˆe sau d¯ˆay:

∼ = {(x, y) ∈ Z × Z| x − y chia hˆe´t cho n}.

R˜o r`ang d¯´o l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng Ho.n n˜u.a x ∼ y nˆe´u v`a chı’ nˆe´u x v`a y c´o

c`ung phˆ` n du trong ph´ep chia cho n V`ı thˆe´, Z/a ∼ l`a mˆo.t tˆa.p c´o d¯´ung n phˆa`n tu.’ :

Z/ ∼ = {[0], [1], , [n − 1]}.

N´o d¯u.o. c go.i l`a tˆ a p c´ ac sˆ o´ nguyˆ en modulo n, v`a thu.`o.ng d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a Z/n.

D- i.nh ngh˜ıa 2.6 Gia’ su.’ ≤ l`a mˆo.t quan hˆe hai ngˆoi trˆen X N´o d¯u.o c go.i l`a mˆo.t

quan hˆ e th´u tu nˆe´u n´o c´o ba t´ınh chˆa´t sau d¯ˆay:

(a) Pha’n xa.: x ≤ x, ∀x ∈ X.

(b) Pha’n d¯ˆo´i x´u.ng: Nˆe´u x ≤ y v`a y ≤ x th`ı x = y, ∀x, y ∈ X.

(c) B˘a´c cˆa` u: Nˆe´u x ≤ y, y ≤ z, th`ı x ≤ z, ∀x, y, z ∈ X.

Tˆa.p X d¯u o c trang bi mˆo.t quan hˆe th´u tu d¯u.o c go.i l`a mˆo.t tˆa.p d¯u.o c s˘a´p Nˆe´u

x ≤ y, ta n´oi x d¯´u.ng tru.´o.c y, hay x nho’ ho.n ho˘a.c b˘a`ng y.

Ta n´oi X d¯u.o. c s˘a´p to`an phˆa ` n (hay tuyˆe´n t´ınh) bo ’ i quan hˆe ≤ nˆe´u v´o.i mo.i

x, y ∈ X, th`ı x ≤ y ho˘a.c y ≤ x Khi d¯´o ≤ d¯u.o c go.i l`a mˆo.t quan hˆe th´u tu to`an

phˆ` n (hay tuyˆe´n t´ınh) trˆen X.a

Ch˘a’ng ha.n, tru.`o.ng sˆo´ h˜u.u ty’ Q l`a mˆo.t tˆa.p d¯u.o c s˘a´p to`an phˆa`n d¯ˆo´i v´o.i quan

hˆe th´u tu ≤ thˆong thu.`o.ng Mˆo.t v´ı du kh´ac: nˆe´u X l`a tˆa.p ho p tˆa´t ca’ c´ac tˆa.p con

cu’a mˆo.t tˆa.p A n`ao d¯´o, th`ı X d¯u.o c s˘a´p theo quan hˆe bao h`am D- ˆay khˆong pha’i l`a

mˆo.t th´u tu to`an phˆa`n nˆe´u tˆa.p A ch´u.a nhiˆe`u ho.n mˆo.t phˆa`n tu.’.

Bˆay gi`o ta chuyˆe’n qua x´et c´ac ´anh xa

Ngu.`o.i ta thu.`o.ng mˆo ta’ c´ac ´anh xa mˆo.t c´ach tru c gi´. ac nhu sau.

Gia’ su.’ X v` a Y l`a c´ac tˆa.p ho p Mˆ. o.t ´anh xa f t`u X v`ao Y l`a mˆo.t quy t˘a´c d¯˘a.t

tu.o.ng ´u.ng mˆo˜i phˆa` n tu.’ x ∈ X v´o.i mˆo.t phˆa`n tu.’ x´ac d¯i.nh y = f(x) ∈ Y ´Anh xa.

d¯´o d¯u.o. c k´y hiˆe.u bo’ i f : X. → Y

Tˆa´t nhiˆen mˆo ta’ n´oi trˆen khˆong pha’i l`a mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa ch˘a.t ch˜e, v`ı ta khˆongbiˆe´t thˆe´ n`ao l`a mˆo.t quy t˘a´c N´oi c´ach kh´ac, trong d¯i.nh ngh˜ıa n´oi trˆen quy t˘a´c chı’l`a mˆo.t tˆen go.i kh´ac cu’a ´anh xa

Ta c´o thˆe’ kh˘a´c phu.c d¯iˆe` u d¯´o b˘a`ng c´ach d¯u.a ra mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa ch´ınh x´ac nhu.ngho.i cˆ`ng kˆeo ` nh vˆe` ´anh xa nhu sau

Mˆo˜i tˆa.p con R cu’a t´ıch tru c tiˆe´p X × Y d¯u.o c go.i l`a mˆo.t quan hˆe gi˜u.a X v`a Y

Quan hˆe R d¯u o c go.i l`a mˆo.t ´anh xa t`u X v`ao Y nˆe´u n´o c´o t´ınh chˆa´t sau: v´o.i mo.i

x ∈ X c´o mˆo.t v`a chı’ mˆo.t y ∈ Y d¯ˆe’ cho (x, y) ∈ R Ta k´y hiˆe.u phˆa`n tu.’ duy nhˆa´t

d¯´o l`a y = f (x) Khi d¯´o

R = {(x, f(x))| x ∈ X}.

´

Anh xa n`ay thu.`o.ng d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a f : X → Y v`a quan hˆe R d¯u.o c go.i l`a d¯ˆo` thi.

cu’a ´anh xa f.

C´ac tˆa.p X v`a Y d¯u o c go.i lˆa`n lu.o t l`a tˆa.p nguˆo`n v`a tˆa.p d¯´ıch cu’a ´anh xa f Tˆa.p

ho. p f (X) = {f (x)| x ∈ X} d¯u o c go.i l`a tˆa.p gi´a tri cu’a f.

Gia’ su.’ A l`a mˆo.t tˆa.p con cu’a X Khi d¯´o, f(A) = {f(x)| x ∈ A} d¯u.o c go.i l`a a’nh

cu’a A bo ’ i f Nˆe´u B l`a mˆo.t tˆa.p con cu’a Y , th`ı f −1 (B) = {x ∈ X| f(x) ∈ B} d¯u.o c

go.i l`a nghi.ch a’nh cu’a B bo ’ i f Tru.`. o.ng ho. p d¯˘a.c biˆe.t, tˆa.p B = {y} chı’ gˆo`m mˆo.td¯iˆe’m y ∈ Y , ta viˆe´t d¯o.n gia’n f −1 (y) thay cho f −1({y}).

D- i.nh ngh˜ıa 2.7 (a) ´Anh xa f : X → Y d¯u.o c go.i l`a mˆo.t d¯o.n ´anh nˆe´u v´o.i mo.i

x 6= x 0 , (x, x 0 ∈ X) th`ı f(x) 6= f(x 0).

(b) ´Anh xa f : X → Y d¯u o c go.i l`a mˆo.t to`an ´anh nˆe´u v´o.i mo.i y ∈ Y tˆo`n ta.i (´ıt

nhˆa´t) mˆo.t phˆa` n tu.’ x ∈ X sao cho f(x) = y.

(c) ´Anh xa f : X → Y d¯u o c go.i l`a mˆo.t song ´anh (hay mˆo.t tu.o.ng ´u.ng mˆo.t-mˆo.t)

nˆe´u n´o v`u.a l`a mˆo.t d¯o.n ´anh v`u.a l`a mˆo.t to`an ´anh

Gia’ su.’ f : X → Y l`a mˆo.t song ´anh Khi d¯´o, v´o.i mˆo˜i y ∈ Y tˆo`n ta.i duy nhˆa´t phˆa`n

tu.’ x ∈ X sao cho f(x) = y Ta k´y hiˆe.u phˆa`n tu.’ x d¯´o nhu sau: x = f −1 (y) Nhu.

thˆe´, tu.o.ng ´u.ng y 7→ x = f −1 (y) x´ac d¯i.nh mˆo.t ´anh xa., d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a f −1 : Y → X

v`a d¯u.o. c go.i l`a ´anh xa ngu.o c cu’a f Hiˆe’n nhiˆen, f −1 c˜ung l`a mˆo.t song ´anh, ho.nn˜u.a (f −1)−1 = f

Cho c´ac ´anh xa f : X → Y v`a g : Y → Z Khi d¯´o ´anh xa h : X → Z d¯u.o c x´acd¯i.nh bo’ i.

h(x) = g(f (x)), ∀x ∈ X,

d¯u.o. c go.i l`a ´ anh xa t´ıch (hay ´ anh xa ho p) cu’a f v` . a g, v`a d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a h = gf

ho˘a.c h = g ◦ f.

Ch´ung tˆoi d¯ˆ` nghi d¯ˆo.c gia’ tu ch´u.ng minh hai mˆe.nh d¯ˆee ` sau d¯ˆay

Mˆ e.nh d¯ˆe` 2.8 Ho. p th` anh cu’a hai d ¯o.n ´ anh la i l` a mˆ o t d ¯o.n ´ anh Ho p th` anh cu’a hai to` an ´ anh la i l` a mˆ o t to` an ´ anh Ho p th` anh cu’a hai song ´ anh la i l` a mˆ o t song ´ anh.

Go.i id X : X → X l`a ´anh xa d¯ˆo`ng nhˆa´t trˆen X, d¯u.o c x´ac d¯i.nh nhu sau

id X (x) = x, ∀x ∈ X.

Mˆ e.nh d¯ˆe ` 2.9 (i) Gia’ su ’ f : X → Y v`a g : Y → Z l`a c´ac ´anh xa Khi d¯´o, nˆe´u

gf l` a mˆ o t d ¯o.n ´ anh th`ı f c˜ ung vˆ a y; nˆ e´u gf l` a mˆ o t to` an ´ anh th`ı g c˜ ung vˆ a y.

(ii) ´ Anh xa f : X → Y l` a mˆ o t song ´ anh nˆ e´u v` a chı’ nˆ e´u tˆ `n ta.i mˆo.t ´anh xa o

g : Y → X sao cho gf = id X , f g = id Y

3 Lu c lu o ng cu’a tˆa.p ho p

D

- ˆo´i v´o.i c´ac tˆa.p ho p h˜u.u ha.n, khi cˆa`n x´et xem tˆa.p n`ao c´o nhiˆe` u phˆ` n tu.a ’ ho.n, ngu.`o.i

ta d¯ˆe´m sˆo´ phˆ` n tu.a ’ cu’a ch´ung Nhu.ng d¯ˆo.ng t´ac d¯o.n gia’n ˆa´y khˆong thu c hiˆe.n d¯u.o cd¯ˆo´i v´o.i c´ac tˆa.p c´o vˆo ha.n phˆa` n tu.’ D- ˆe’ so s´anh “sˆo´ lu.o ng phˆa`n tu.’” cu’a c´ac tˆa.p vˆoha.n, ngu.`o.i ta tro.’ la.i v´o.i c´ach l`am cu’a ngu.`o.i nguyˆen thuy’ khi chu.a biˆe´t d¯ˆe´m Cu.thˆe’ l`a, nˆe´u muˆo´n xem sˆo´ r`ıu tay c´o d¯u’ cho mˆo˜i ngu.`o.i mˆo.t chiˆe´c hay khˆong ngu.`o.i

ta ph´at cho mˆo˜i ngu.`o.i mˆo.t chiˆe´c r`ıu, t´u.c l`a lˆa.p mˆo.t tu.o.ng ´u.ng gi˜u.a tˆa.p ho p ngu.`o.iv`a tˆa.p ho p r`ıu..

D

- i.nh ngh˜ıa 3.1 Ta n´oi tˆa.p ho p X c`ung lu c lu.o ng v´o.i tˆa.p ho p Y nˆe´u tˆo`n ta.i mˆo.t

song ´anh t`u X v` ao Y

R˜o r`ang quan hˆe c`ung lu c lu. o ng l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng

Gia’ su.’ tˆa.p A c´o n phˆa` n tu.’ D- iˆe` u n`ay c´o ngh˜ıa l`a c´o mˆo.t tu.o.ng ´u.ng mˆo.t-mˆo.tgi˜u.a c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a A v´o.i c´ac sˆo´ tu. nhiˆen 1, 2, 3, , n N´oi c´ach kh´ac, A c´ o n phˆ` na

tu.’ nˆe´u v`a chı’ nˆe´u n´o c`ung lu. c lu.o ng v´o.i tˆa.p ho p {1, 2, 3, , n}.

Sau d¯ˆay ch´ung ta s˜e kha’o s´at l´o.p c´ac tˆa.p ho p vˆ. o ha.n c´o “´ıt phˆa` n tu.’ nhˆa´t”, d¯´ol`a c´ac tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c

D

- i.nh ngh˜ıa 3.2 Tˆa.p X d¯u.o c go.i l`a d¯ˆe´m d¯u.o c nˆe´u n´o c`ung lu c lu.o ng v´o.i tˆa.p ho p

N c´ac sˆo´ tu. nhiˆen

Ch˘a’ng ha.n, Z l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c Thˆa.t vˆa.y, ´anh xa f : N → Z x´ac d¯i.nh bo.’i

cˆong th´u.c

f (2n − 1) = −n + 1,

f (2n) = n (n = 1, 2, 3, )

l`a mˆo.t song ´anh

Tu.o.ng tu. , tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ tu. nhiˆen ch˘a˜n v`a tˆa.p ho p c´ac sˆo´ tu nhiˆen le’ d¯ˆe`u l`ac´ac tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c

C´ac v´ı du trˆen cho thˆa´y mˆo.t tˆa.p vˆo ha.n c´o thˆe’ c´o c`ung lu c lu. o ng v´o.i mˆo.t tˆa.pcon thˆa.t su cu’a n´. o Ta c´o

Mˆ e.nh d¯ˆe` 3.3 Mˆ o ˜i tˆa.p con vˆo ha.n cu’a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c c˜ung l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d

¯u.o c.

Ch´ u.ng minh: Gia’ su.’ A = {a1, a2, a3, } l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c, v`a B l`a mˆo.t tˆa.p

con vˆo ha.n cu’a A Go.i i1 l`a sˆo´ tu. nhiˆen nho’ nhˆa´t sao cho a i1 ∈ B, i2 l`a sˆo´ tu. nhiˆennho’ nhˆa´t sao cho a i2 ∈ B \ {a i1} Mˆo.t c´ach quy na.p, i n l`a sˆo´ tu. nhiˆen nho’ nhˆa´t sao

Mˆ e.nh d¯ˆe` 3.4 T´ıch tru. c tiˆ e´p cu’a hai tˆ a p d ¯ˆ e´m d ¯u.o c c˜ ung l` a mˆ o t tˆ a p d ¯ˆ e´m d ¯u.o c.

Ch´ u.ng minh: Khˆong gia’m tˆo’ng qu´at, ta chı’ cˆ` n ch´a u.ng minh N×N l`a d¯ˆe´m d¯u.o c.

Ta xˆe´p tˆa´t ca’ c´ac phˆ` n tu.a ’ (a, b) cu’a N × N th`anh mˆo.t d˜ay vˆo ha.n b˘a`ng c´ach

sau Tru.´o.c hˆe´t ta xˆe´p c˘a.p (a, b) v´o i a + b = 2 Gia’ su.’ d¯˜a xˆe´p xong c´ac c˘a.p (a, b)

v´o.i a + b = n − 1, ta xˆe´p tiˆe´p c´ac c˘a.p (a, b) v´o.i a + b = n, trong d¯´o c˘a.p (a, b) d¯u.o c

xˆe´p tru.´o.c c˘a.p (a 0 , b 0) nˆe´u a + b = a 0 + b 0 = n v` a a < a 0

Nhu vˆa.y, N × N l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c 2

Hˆe qua’ 3.5 Tˆa.p ho p Q c´ . ac sˆ o´ h˜ u.u ty’ l` a mˆ o t tˆ a p d ¯ˆ e´m d ¯u.o. c.

Ch´ u.ng minh: Ta s˜e ch´u.ng minh tˆa.p ho p Q. + c´ac sˆo´ h˜u.u ty’ du.o.ng l`a d¯ˆe´m d¯u.o. c

Do d¯´o Q = Q− ∪ {0} ∪ Q+ c`ung lu. c lu.o ng v´o.i Z = N− ∪ {0} ∪ N, trong d¯´o Q − l`a

tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ h˜u.u ty’ ˆam v`a N− l`a tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ nguyˆen ˆam V`ı thˆe´ Q l`a d¯ˆe´md¯u.o. c.

Mˆo˜i sˆo´ h˜u.u ty’ du.o.ng d¯u.o. c biˆe’u thi duy nhˆa´t du.´o.i da.ng mˆo.t phˆan sˆo´ p

q, trongd¯´o p, q ∈ N v`a c˘a.p p, q nguyˆen tˆo´ c`ung nhau Tu.o.ng ´u.ng p

q 7→ (p, q) l`a mˆo.t song

´

anh t`u Q+lˆen mˆo.t tˆa.p con cu’a t´ıch tru c tiˆ. e´p N× N Do d¯´o, theo hai mˆe.nh d¯ˆe` trˆen

Ch´ung ta th`u.a nhˆa.n kˆe´t qua’ sau d¯ˆay, v`ı muˆo´n ch´u.ng minh n´o ta cˆa`n mˆo.t hiˆe’ubiˆe´t sˆau s˘a´c ho.n vˆe` c´ac sˆo´ thu

Mˆ e.nh d¯ˆe` 3.6 Tˆ a p ho p R c´ . ac sˆ o´ thu c l` a mˆ o t tˆ a p khˆ ong d ¯ˆ e´m d ¯u.o c.

Ngu.`o.i ta n´oi tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ thu. c c´o lu. c lu.o ng continum.

4 Nh´ om, V` anh v` a Tru.` o.ng

C´ac kh´ai niˆe.m nh´om, v`anh v`a tru.`o.ng d¯u.o c gi´o.i thiˆe.u trong tiˆe´t n`ay chı’ d`u.ng o.’m´u.c d¯u’ d`ung cho c´ac diˆ˜n d¯a.t trong phˆa`n sau cu’a cuˆo´n s´ach.e

Gia’ su.’ G l`a mˆo.t tˆa.p ho p Mˆ. o˜i ´anh xa

◦ : G × G → G

d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t ph´ep to´an hai ngˆoi (hay mˆo.t luˆa.t ho p th` . anh) trˆ en G A’ nh cu’a c˘a.pphˆ` n tu.a ’ (x, y) ∈ G × G bo.’i ´anh xa ◦ s˜e d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a x ◦ y, v`a d¯u.o c go.i l`a t´ıch

hay ho p th` anh cu’a x v` a y.

D- i.nh ngh˜ıa 4.1 Mˆo.t nh´om l`a mˆo.t tˆa.p ho p kh´ac rˆo˜ng G d¯u.o c trang bi mˆo.t ph´ep

to´an hai ngˆoi ◦ thoa’ m˜an ba d¯iˆe`u kiˆe.n sau d¯ˆay:

(G1) Ph´ep to´an c´o t´ınh kˆe´t ho. p:

Phˆ` n tu.a ’ trung lˆa.p cu’a mˆo.t nh´om l`a duy nhˆa´t Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u e v`a e 0 d¯ˆ` u l`e a c´acphˆ` n tu.a ’ trung lˆa.p cu’a nh´om G th`ı

e = e ◦ e 0 = e 0 .

V´o.i mo.i x ∈ G, phˆa` n tu.’ nghi.ch d¯a’o x 0 n´oi o.’ mu.c (G3) l`a duy nhˆa´t Thˆa.t vˆa.y,

nˆe´u x 01 v`a x 02 l`a c´ac phˆ` n tu.a ’ nghi.ch d¯a’o cu’a x th`ı

nghi.ch d¯a’o z 0 cu’a z t`u bˆen pha’i

Nˆe´u ph´ep to´an◦ c´o t´ınh giao ho´an, t´u.c l`a

x ◦ y = y ◦ x, ∀x, y ∈ G,

th`ı G d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t nh´om giao ho´an (hay abel).

Theo th´oi quen, luˆa.t ho p th`. anh ◦ trong mˆo.t nh´om abel thu.`o.ng d¯u.o c k´y hiˆe.u

theo lˆo´i cˆo.ng “+” Ho p th`. anh cu’a c˘a.p phˆa` n tu.’ (x, y) d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a x +y v`a d¯u.o c

go.i l`a tˆo’ng cu’a x v`a y Phˆa` n tu.’ trung lˆa.p cu’a nh´om d¯u.o c go.i l`a phˆa`n tu.’ khˆong, k´y

hiˆe.u 0 Nghi.ch d¯a’o cu’a x (x´ac d¯i.nh bo’ i d¯iˆe. ` u kiˆe.n (G3)) d¯u.o c go.i l`a phˆa ` n tu ’ d¯ˆ o´i

cu’a x, k´y hiˆe.u (−x).

Tru.`o.ng ho. p tˆo’ng qu´at, ph´ep to´an◦ trong nh´om thu.`o.ng d¯u.o c k´y hiˆe.u theo lˆo´i

nhˆan “· ” Ho p th`anh cu’a c˘a.p phˆa`n tu.’ (x, y) d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a x · y, hay d¯o.n gia’n

xy, v`a d¯u.o. c go.i l`a t´ıch cu’a x v` a y Phˆ` n tu.a ’ trung lˆa.p cu’a nh´om d¯u.o c go.i l`a phˆa`n

tu ’ d¯o.n vi Phˆa` n tu.’ nghi.ch d¯a’o cu’a x d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a x −1

V´ı du

(a) C´ac tˆa.p ho p sˆ. o´ Z, Q, R lˆa.p th`anh nh´om abel d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng.

(b) C´ac tˆa.p Z∗ = {±1}, Q ∗ = Q\ {0}, R ∗ = R\ {0} l`am th`anh nh´om abel d¯ˆo´i

v´o.i ph´ep nhˆan

(c) Ta d¯i.nh ngh˜ıa ph´ep cˆo.ng trong Z/n nhu sau:

[x] + [y] = [x + y].

Dˆ˜ kiˆe’m tra r˘a`ng ph´ep to´an n`ay khˆong phu thuˆo.c d¯a.i biˆe’u cu’a c´ac l´o.p tu.o.nge

d¯u.o.ng [x] v` a [y] Ho.n n˜ u.a, Z/n c`ung v´o.i ph´ep cˆo.ng n´oi trˆen lˆa.p th`anh mˆo.tnh´om abel

(d) Mˆo˜i song ´anh t`u tˆa.p ho p {1, 2, , n} v`. ao ch´ınh n´o d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t ph´ep thˆe´(hay ph´ep ho´an vi.) trˆen n phˆa` n tu.’ Tˆa.p ho p S. n tˆa´t ca’ c´ac ph´ep thˆe´ trˆen n

phˆ` n tu.a ’ l`am th`anh mˆo.t nh´om d¯ˆo´i v´o.i ph´ep ho p th`anh c´ac ´anh xa

(α · β)(i) = α(β(i)), ∀α, β ∈ S n , 0 ≤ i ≤ n.

S n d¯u.o. c go.i l`a nh´ om d ¯ˆ o´i x´ u.ng trˆ en n phˆ ` n tu a ’ D- ˆay l`a mˆo.t nh´om khˆong abel

khi n > 2 (Xem chi tiˆe´t o.’ Chu.o.ng III.)

(e) Trong Chu.o.ng II ch´ung ta s˜e kha’o s´at mˆo.t l´o.p nh´om khˆong abel rˆa´t quantro.ng d¯ˆo´i v´o.i mˆon D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh, d¯´o l`a nh´om GL(V ) c´ac biˆe´n d¯ˆo’i tuyˆe´n

t´ınh khˆong suy biˆe´n trˆen khˆong gian v´ecto V

D- i.nh ngh˜ıa 4.2 Gia’ su.’ G v`a G 0 l`a c´ac nh´om (v´o.i ph´ep to´an viˆe´t theo lˆo´i nhˆan).

N´o c˜ung chuyˆe’n phˆ` n tu.a ’ nghi.ch d¯a’o cu’a x th`anh phˆa` n tu.’ nghi.ch d¯a’o cu’a ϕ(x):

ϕ(x −1 ) = ϕ(x) −1 , ∀x ∈ G.

D - i.nh ngh˜ıa 4.3 (a) Mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u nh´om d¯ˆo`ng th`o.i l`a mˆo.t d¯o.n ´anh d¯u.o c go.i l`a

mˆo.t d¯o n cˆa´u nh´om.

(b) Mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u nh´om d¯ˆ`ng th`o o.i l`a mˆo.t to`an ´anh d¯u.o c go.i l`a mˆo.t to`an cˆa´u

(a) ´Anh xa m˜u exp : R → R+, exp(x) = e x l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u t`u nh´om cˆo.ng c´ac

sˆo´ thu. c R v`ao nh´om nhˆan c´ac sˆo´ thu. c du.o.ng R+

Bˆay gi`o ta chuyˆe’n sang kha’o s´at c´ac v`anh v`a tru.`o.ng

D

- i.nh ngh˜ıa 4.4 Mˆo.t v`anh l`a mˆo.t tˆa.p ho p R 6= ∅ d¯u.o c trang bi hai ph´ep to´an hai

ngˆoi, gˆ`m ph´ep cˆo o.ng

(R1) R l`a mˆo.t nh´om abel d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng.

(R2) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh chˆa´t kˆe´t ho. p:

(a) C´ac tˆa.p ho p sˆ. o´ Z, Q l`a c´ac v`anh giao ho´an v`a c´o d¯o.n vi d¯ˆo´i v´o.i c´ac ph´ep to´an

cˆo.ng v`a nhˆan thˆong thu.`o.ng Tˆa.p ho p sˆo´ tu nhiˆen N khˆong l`a mˆo.t v`anh, v`ı

n´o khˆong l`a mˆo.t nh´om d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng

(b) Ta d¯i.nh ngh˜ıa ph´ep nhˆan trˆen nh´om cˆo.ng Z/n c´ac sˆo´ nguyˆen modulo n nhu.

sau:

[x][y] = [xy], ∀x, y ∈ Z/n.

Ph´ep nhˆan n`ay khˆong phu thuˆo.c d¯a.i biˆe’u cu’a c´ac l´o.p [x] v`a [y] N´o biˆe´n nh´om

cˆo.ng Z/n th`anh mˆo.t v`anh giao ho´an v`a c´o d¯o.n vi., d¯u.o c go.i l`a v`anh c´ac sˆo´nguyˆen modulo n.

(c) Trong Chu.o.ng II ta s˜e x´et mˆo.t l´o.p v`anh d¯˘a.c biˆe.t quan tro.ng d¯ˆo´i v´o.i mˆon D- a.i

sˆo´ tuyˆe´n t´ınh, d¯´o l`a v`anh M (n × n, K) c´ac ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n v´o.i c´ac phˆa`n

tu.’ trong tru.`o.ng K.

- i.nh ngh˜ıa 4.5 Gia’ su.’ R v`a R 0 l`a c´ac v`anh ´Anh xa ϕ : R → R 0 d¯u.o. c go.i l`a mˆo.td¯ˆ`ng cˆo a´u v`anh nˆe´u

ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ R.

C´ac kh´ai niˆe.m d¯o.n cˆa´u v`anh, to`an cˆa´u v`anh, d¯˘a’ng cˆa´u v`anh d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıatu.o.ng tu. nhu d¯ˆo´i v´o.i tru.`o.ng ho p nh´om

Ch˘a’ng ha.n, ph´ep nh´ung Z ⊂ Q l`a mˆo.t d¯o n cˆa´u v`anh Ph´ep chiˆe´u pr : Z → Z/n

l`a mˆo.t to`an cˆa´u v`anh

Phˆ` n tu.a ’ x trong mˆo.t v`anh c´o d¯o.n vi R d¯u.o c go.i l`a kha’ nghi.ch nˆe´u tˆo`n ta.i phˆa`n

tu.’ x 0 ∈ R sao cho

xx 0 = x 0 x = 1.

Dˆ˜ ch´e u.ng minh r˘a`ng phˆa` n tu.’ x 0 c´o t´ınh chˆa´t nhu vˆa.y nˆe´u tˆo`n ta.i th`ı duy nhˆa´t N´od¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a x −1

D

- i.nh ngh˜ıa 4.6 Mˆo.t v`anh giao ho´an, c´o d¯o.n vi 1 6= 0 sao cho mo.i phˆa`n tu.’ kh´ac 0

trong n´o d¯ˆ` u kha’ nghi.ch d¯u.o c go.i l`a mˆo.t tru.`o.ng.e

V`anh Q l`a mˆo.t tru.`o.ng V`anh sˆo´ nguyˆen Z khˆong l`a mˆo.t tru.`o.ng, v`ı c´ac sˆo´ kh´ac

±1 d¯ˆe`u khˆong kha’ nghi.ch trong Z.

D- i.nh ngh˜ıa 4.7 Gia’ su.’ ≤ l`a mˆo.t quan hˆe th´u tu trˆen tru.`o.ng K Khi d¯´o K d¯u.o c

go.i l`a mˆo.t tru `o.ng d¯u.o c s˘a´p d¯ˆo´i v´o.i th´u tu ≤ nˆe´u c´ac d¯iˆe`u kiˆe.n sau d¯ˆay d¯u.o c thoa’

m˜an:

(a) Nˆe´u x ≤ y th`ı x + z ≤ y + z, v´o.i mo.i z ∈ K;

(b) Nˆe´u x ≤ y v`a 0 ≤ z th`ı xz ≤ yz.

Tru.`o.ng sˆo´ h˜u.u ty’ Q l`a mˆo.t tru.`o.ng d¯u.o c s˘a´p d¯ˆo´i v´o.i th´u tu thˆong thu.`o.ng.Du.´o.i d¯ˆay ta s˜e x´et xem khi n`ao th`ı v`anh Z/n l`a mˆo.t tru.`o.ng

- i.nh ngh˜ıa 4.8 Nˆe´u v`anh R ch´u.a c´ac phˆa`n tu.’ a 6= 0, b 6= 0 sao cho ab = 0 th`ı ta

n´oi R c´ o u.´ o.c cu’a khˆ ong.

Tr´ai la.i, nˆe´u t`u d¯˘a’ng th´u.c ab = 0 (v´o.i a, b ∈ R) suy ra ho˘a.c a = 0 ho˘a.c b = 0,

th`ı v`anh R d¯u.o. c go.i l`a khˆ ong c´ o u.´ o.c cu’a khˆ ong.

V`anh Z/6 c´o u.´o.c cu’a khˆong, bo.’ i v`ı [2]6= 0, [3] 6= 0 v`a

[2][3] = [6] = [0] = 0.

N´oi chung, nˆe´u n l`a mˆo.t ho p sˆ. o´ th`ı Z/n c´o u.´o.c cu’a khˆong Thˆa.t vˆa.y, v`ı n l`a

mˆo.t ho p sˆ. o´ cho nˆen n = rs trong d¯´ o 0 < r, s < n Khi d¯´ o, [r] 6= 0, [s] 6= 0 v`a

[r][s] = [n] = [0] = 0.

Mˆ e.nh d¯ˆe` 4.9 Mˆ o ˜i tru.`o.ng d¯ˆe ` u l` a mˆ o t v` anh khˆ ong c´ o u.´ o.c cu’a khˆ ong.

Ch´ u.ng minh: Gia’ su ’ K l`a mˆo.t tru.`o.ng, a v`a b l`a c´ac phˆa`n tu.’ thuˆo.c K v´o.i ab = 0.

Nˆe´u a 6= 0 th`ı a kha’ nghi.ch Ta c´o

b = 1b = (a −1 a)b = a −1 (ab) = a −1 0 = 0.

Mˆ e.nh d¯ˆe` 4.10 Z/n l` a mˆ o t tru `o.ng nˆe´u v`a chı’ nˆe´u n l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen tˆo´.

Ch´ u.ng minh: Nˆe´u n l`a mˆo.t ho p sˆ. o´ th`ı Z/n c´o u.´o.c cu’a khˆong, do d¯´o khˆong l`a

mˆo.t tru.`o.ng

Gia’ su.’ n = p l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen tˆo´ Mˆo˜i phˆa` n tu.’ kh´ac khˆong trong Z/p d¯ˆ` u c´e o

da.ng [q] trong d¯´o d¯a.i biˆe’u q thoa’ m˜an d¯iˆe ` u kiˆe.n 0 < q < p Khi d¯´o p v`a q nguyˆen

tˆo´ c`ung nhau, v`ı thˆe´ c´o c´ac sˆo´ nguyˆen k v` a ` sao cho kp + `q = 1 Hay l`a

[`][q] = [1] − [kp] = [1]

trong Z/p D- iˆe` u n`ay c´o ngh˜ıa l`a [q] kha’ ngi.ch, v`a [q] −1 = [`] 2

Tru.`o.ng Z/p thu.`o.ng d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a Fp.

Trong v`anh Z/n c´o hiˆe.n tu.o ng sau d¯ˆay:

¯˘ a c sˆ o´ cu’a v` anh R Ngu.o. c la.i, nˆe´u khˆong c´o sˆo´ nguyˆen du.o.ng n n`ao nhu thˆe´ th`ı

ta n´oi R c´ o d ¯˘ a c sˆ o´ b˘a`ng 0 D- ˘a.c sˆo´ cu’a R d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a Char(R).

V´ı du : Char(Z) = Char(Q) = 0,

Char(Z/n) = n, v´o.i mo.i sˆo´ nguyˆen du.o.ng n.

Mˆ e.nh d¯ˆe` 4.12 Nˆe´u K l` a mˆ o t tru .`o.ng th`ı Char(K) ho˘a.c b˘a`ng 0 ho˘a.c l`a mˆo.t sˆo´

nguyˆ en tˆ o´.

Ch´ u.ng minh: D- ˘a.t m · 1 = 1 + 1 + · · · + 1| {z }

m

∈ K Gia’ su.’ n = Char(K) l`a mˆo.t ho p

sˆo´ v´o.i phˆan t´ıch n = rs (0 < r, s < n) Dˆ ˜ thˆa´y r˘a`ng ne · 1 = (r · 1)(s · 1) = 0 V`ı

tru.`o.ng K khˆong c´o u.´o.c cu’a khˆong, nˆen ho˘a.c (r · 1) = 0 ho˘a.c (s · 1) = 0 D- iˆe` u n`ay

mˆau thuˆa˜n v´o.i d¯i.nh ngh˜ıa cu’a d¯˘a.c sˆo´, v`ı r v`a s l`a c´ac sˆo´ tu nhiˆen nho’ ho.n n 2

5 Tru.` o.ng sˆ o´ thu c

Tˆa´t ca’ c´ac ho.c tr`o tˆo´t nghiˆe.p trung ho.c phˆo’ thˆong d¯ˆe` u d¯˜a t´ınh to´an thuˆ` n thu.c v´o.iac´ac sˆo´ thu. c Thˆe´ nhu.ng, nˆe´u ho’i ho “Sˆo´ thu c l`. a g`ı?” th`ı ch˘a´c ch˘a´n ho s˜e khˆong tra’l`o.i d¯u.o. c Thˆa.t ra, d¯´o l`a mˆo.t vˆa´n d¯ˆe` rˆa´t kh´o

Trong tiˆe´t n`ay, ch´ung ta s˜e xˆay du. ng tru.`o.ng sˆo´ thu c R nhu l`a mˆo.t “bˆo’ sung”

cu’a tru.`o.ng sˆo´ h˜u.u ty’ Q, nh˘a`m gia’i quyˆe´t t`ınh tra.ng kh´o xu.’ m`a Pythagore d¯˜a g˘a.pt`u ho.n 2000 n˘am tru.´o.c, d¯´o l`a: Nˆe´u chı’ d`ung c´ac sˆo´ h˜u.u ty’ th`ı d¯u.`o.ng ch´eo cu’a

mˆo.t h`ınh vuˆong d¯o.n vi s˜e khˆong c´o d¯ˆo d`ai N´oi c´ach kh´ac, khˆong tˆo`n ta.i sˆo´ h˜u.u

ty’ a thoa’ m˜an hˆe th´u.c a2 = 2 Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’ a c´. o da.ng phˆan sˆo´ tˆo´i gia’n p q, v´o.i

p, q ∈ Z, q 6= 0, khi d¯´o ( p

q)2 = 2 Hay l`a p2 = 2q2 T`u d¯´o suy ra p l`a mˆo.t sˆo´ ch˘a˜n

Ta d¯˘a.t p = 2p1 trong d¯´o p1 ∈ Z D - ˘a’ng th´u.c trˆen tro.’ th`anh 2p2

1 = q2 Do d¯´o q c˜ungl`a mˆo.t sˆo´ ch˘a˜n D- iˆe` u n`ay mˆau thuˆa˜n v´o.i gia’ thiˆe´t n´oi r˘a`ng p

q l`a mˆo.t phˆan sˆo´ tˆo´igia’n

D

- i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay d¯u.o c go i ´y t`u mˆo.t nhˆa.n x´et tru c gi´ac l`a: mˆo˜i l´at c˘a´t v`ao

“d¯u.`o.ng th˘a’ng sˆo´ thu. c” d¯ˆ` u “cha.m” pha’i mˆo.t sˆo´ thu c duy nhˆa´t.e

(c) α khˆong c´o phˆ` n tu.a ’ l´o.n nhˆa´t

Ch˘a’ng ha.n, tˆa.p ho p sau d¯ˆ. ay (d¯u.o. c k´y hiˆe.u bo’ i. √

2) l`a mˆo.t l´at c˘a´t trong Q:

D- ˆe’ ´y r˘a`ng r = min(Q \ r ∗).

D- i.nh ngh˜ıa 5.2 Gia’ su.’ α l`a mˆo.t l´at c˘a´t Nˆe´u c´o sˆo´ nho’ nhˆa´t trong tˆa.p ho p Q \ α

th`ı α d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t l´at c˘a´t h˜u.u ty’ Tr´ai la.i, nˆe´u khˆong c´o sˆo´ nho’ nhˆa´t trong tˆa.p

ho. p Q \ α th`ı α d¯u.o c go.i l`a mˆo.t l´at c˘a´t vˆo ty’

Tˆa´t nhiˆen, mo.i l´at c˘a´t h˜u.u ty’ d¯ˆe` u c´o da.ng r ∗ v´o.i mˆo.t sˆo´ h˜u.u ty’ r n`ao d¯´o.

Tˆa.p ho. ac l´at c˘a´t d¯u.o c s˘a´p th´u tu theo quan hˆe ≤ sau d¯ˆay.

- i.nh ngh˜ıa 5.3 Gia’ su.’ α, β l`a c´ac l´at c˘a´t Ta n´oi α < β (hay β > α) nˆe´u β\α 6= ∅.

Ta n´oi α ≤ β (hay β ≥ α) nˆe´u α < β ho˘a.c α = β Mˆo.t l´at c˘a´t d¯u.o c go.i l`a du.o.ng

hay ˆ am tu`y theo n´o l´o.n ho.n hay nho’ ho.n l´at c˘a´t 0∗

Ph´ep cˆo.ng c´ac l´at c˘a´t d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau

D

- i.nh ngh˜ıa 5.4 Gia’ su.’ α, β l`a c´ac l´at c˘a´t Khi d¯´o l´at c˘a´t sau d¯ˆay d¯u.o c go.i l`a tˆo’ng

cu’a α v` a β, k´y hiˆe.u l`a α + β:

α + β = {r + s| r ∈ α, s ∈ β}.

Dˆ˜ d`ang kiˆe’m tra la.i r˘a`ng tˆa.p ho p α + β trong d¯i.nh ngh˜ıa n´oi trˆen l`a mˆo.t l´at c˘a´te

trong Q.

V´o.i mˆo˜i l´at c˘a´t α tˆo `n ta.i duy nhˆa´t mˆo.t l´at c˘a´t, d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a −α, sao cho

α + ( −α) = (−α) + α = 0 ∗ L´at c˘a´t n`ay d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau:

−α = {−r| r ∈ (Q \ α), r khˆong l`a sˆo´ nho’ nhˆa´t trong Q \ α}.

Ch´ung ta g˘a.p mˆo.t sˆo´ kh´o kh˘an vˆe` k˜y thuˆa.t khi d¯i.nh ngh˜ıa t´ıch hai l´at c˘a´t D- ˆe’tr´anh nh˜u.ng kh´o kh˘an d¯´o, ch´ung ta d¯u.a ra kh´ai niˆe.m gi´a tri tuyˆe.t d¯ˆo´i

D- i.nh ngh˜ıa 5.5 Gi´a tri tuyˆe.t d¯ˆo´i (c`on go.i t˘a´t l`a tri tuyˆe.t d¯ˆo´i) cu’a l´at c˘a´t α l`a l´at

Tˆa´t nhiˆen |α| ≥ 0 v´o.i mo.i α, ho.n n˜u.a |α| = 0 khi v`a chı’ khi α = 0.

Gia’ su.’ α v` a β l`a c´ac l´at c˘a´t v´o.i α ≥ 0 ∗ , β ≥ 0 ∗ Khi d¯´o tˆa.p ho p sau d¯ˆ. ay l`a mˆo.tl´at c˘a´t, d¯u.o c go.i l`a t´ıch cu’a α v`a β, v`a d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a αβ:

αβ = Q − ∪ {rs| r ∈ α, r ≥ 0, s ∈ β, s ≥ 0}.

Bˆay gi`o t´ıch cu’a hai l´at c˘a´t bˆa´t k`y d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau:

- i.nh ngh˜ıa 5.6 Gia’ su.’ α, β l`a c´ac l´at c˘a´t Khi d¯´o l´at c˘a´t sau d¯ˆay d¯u.o c go.i l`a t´ıch

cu’a α v` a β, k´y hiˆe.u l`a αβ:

αβ =







|α||β| nˆe´u α ≥ 0 ∗ , β ≥ 0 ∗ ho˘a.c α < 0 ∗ , β < 0 ∗ ,

−(|α||β|) nˆe´u α < 0 ∗ , β ≥ 0 ∗ ho˘a.c α ≥ 0 ∗ , β < 0 ∗

D - i.nh ngh˜ıa 5.7 Ta k´y hiˆe.u bo.’i R tˆa.p ho p tˆa´t ca’ c´ac l´at c˘a´t trong Q.

D

- i.nh l´y sau d¯ˆay d¯u.o c ch´u.ng minh khˆong mˆa´y kh´o kh˘an, nhu.ng d¯`oi ho’i mˆo.t laod¯ˆo.ng tı’ mı’

D- i.nh l´y 5.8 Tˆa.p ho p R d¯u.o c trang bi hai ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan n´oi trˆen l`a

mˆ o t tru `o.ng c´o d¯˘a.c sˆo´ b˘a`ng 0 Tru.`o.ng n`ay d¯u.o c s˘a´p d¯ˆo´i v´o.i th´u tu ≤ ´Anh xa.

Q→ R, r 7→ r ∗ l` a mˆ o

t d ¯o.n cˆ a´u tru.` o.ng ba’o to` an th´ u tu.

Trˆen co so.’ d¯i.nh l´y n`ay, mˆo˜i l´at c˘a´t trong Q d¯u.o c go.i l`a mˆo.t sˆo´ thu. c Mˆo˜i l´atc˘a´t h˜u.u ty’ r ∗ d¯u.o. c d¯ˆ`ng nhˆo a´t v´o.i sˆo´ h˜u.u ty’ r Mˆo˜i l´at c˘a´t vˆo ty’ d¯u.o c go.i l`a mˆo.t

sˆ o´ vˆ o ty’.

So v´o.i tru.`o.ng sˆo´ h˜u.u ty’ Q th`ı tru.`o.ng sˆo´ thu. c R u.u viˆe.t ho.n o.’ t´ınh d¯u’ D- ˆe’ diˆe˜n

d¯a.t t´ınh d¯u’ cu’a R ta cˆa ` n d¯i.nh ngh˜ıa l´at c˘a´t trong R Ba.n d¯o.c h˜ay so s´anh d¯i.nh

ngh˜ıa sau d¯ˆay v´o.i D- i.nh ngh˜ıa 5.1 vˆe` l´at c˘a´t trong Q.

D

- i.nh ngh˜ıa 5.9 Tˆa.p ho p α c´ac sˆo´ thu c d¯u.o c go.i l`a mˆo.t l´at c˘a´t (trong R) nˆe´u:

(a) α 6= ∅, α 6= R,

(b) Nˆe´u r ∈ α, v`a s ∈ R, s < r, th`ı s ∈ α,

(c) α khˆong c´o phˆ` n tu.a ’ l´o.n nhˆa´t

Theo d¯i.nh ngh˜ıa, l´at c˘a´t α trong Q l`a h˜u u ty’ hay vˆo ty’ tu`y theo tˆa.p ho p Q \ α

c´o phˆ` n tu.a ’ nho’ nhˆa´t hay khˆong N´oi mˆo.t c´ach tru c gi´. ac, c´ac l´at c˘a´t vˆo ty’ khˆong

“cha.m” pha’i phˆa` n tu.’ n`ao cu’a Q Mˆo.t trong nh˜u.ng biˆe’u hiˆe.n cu’a t´ınh d¯u’ cu’atru.`o.ng sˆo´ thu. c l`a mo.i l´at c˘a´t trong R d¯ˆe` u “cha.m” pha’i mˆo.t sˆo´ thu c n`ao d¯´o Cu.thˆe’, ta c´o

- i.nh l´y 5.10 (T´ınh d¯u’ cu’a tru.`o.ng sˆo´ thu c) V´o.i mo.i l´at c˘a´t α trong R, phˆa`n b`u

cu’a n´ o R \ α luˆon luˆon c´o phˆa`n tu.’ nho’ nhˆa´t.

Ch´ u.ng minh: D- ˘a.t ¯α := α ∩ Q Khi d¯´o ¯α l`a mˆo.t l´at c˘a´t trong Q N´oi c´ach kh´ac,

¯

α l`a mˆo.t sˆo´ thu c Dˆ. e˜ d`ang ch´u.ng minh r˘a`ng v´o.i mo.i s ∈ α v`a mo.i t ∈ R \ α, ta

c´o s < ¯ α ≤ t Kˆe´t ho p d¯iˆe`u d¯´o v´o.i su kiˆe.n α khˆong c´o phˆa`n tu.’ l´o.n nhˆa´t, ta suy ra

¯

α 6∈ α V`ı thˆe´ ¯α = min(R \ α). 2

Ch´ung ta tro.’ la.i v´o.i b`ai to´an d¯o d¯ˆo d`ai cu’a d¯u.`o.ng ch´eo cu’a h`ınh vuˆong d¯o.n vi

Sˆo´ (l´at c´at) vˆo ty’

√

2 :={r ∈ Q| r2 < 2 }

ch´ınh l`a sˆo´ thu. c thoa’ m˜an phu.o.ng tr`ınh X2 = 2

Mˆo.t c´ach tˆo’ng qu´at, c´o thˆe’ ch´u.ng minh d¯u.o c r˘a`ng nˆe´u d¯˜a cho.n mˆo.t d¯o.n vi d¯ˆo.d`ai th`ı mˆo˜i d¯oa.n th˘a’ng d¯ˆe` u c´o d¯ˆo d`ai l`a mˆo.t sˆo´ thu c n`. ao d¯´o Ngu.o. c la.i, mˆo˜i sˆo´thu. c d¯ˆ` u l`e a d¯ˆo d`ai cu’a mˆo.t d¯oa.n th˘a’ng c´o hu.´o.ng n`ao d¯´o

6 Tru.` o.ng sˆ o´ ph´ u.c

Mo.’ d¯ˆ` u tiˆe´t tru.´a o.c, ch´ung ta d¯˜a ch´u.ng minh r˘a`ng phu.o.ng tr`ınh X2− 2 = 0 khˆong

c´o nghiˆe.m h˜u.u ty’ D- ´o ch´ınh l`a d¯iˆe’m kho.’i d¯ˆa` u cho viˆe.c xˆay du ng tru.`o.ng sˆo´ thu c

R nhu l`a mˆo.t “bˆo’ sung” cu’a tru.`o.ng sˆo´ h˜u.u ty’ Q, nh˘a`m t`ım nghiˆe.m cho phu.o.ng

tr`ınh d¯´o

C´o mˆo.t t`ınh tra.ng tu.o.ng tu l`a phu.o.ng tr`ınh X2+ 1 = 0 khˆong c´o nghiˆe.m thu c,.

bo.’ i v`ı b`ınh phu.o.ng cu’a mo.i sˆo´ thu c d¯ˆe` u khˆong ˆam D- ˆe’ tho´at ra kho’i t`ınh tra.ngn`ay, ta cˆ` n “mo.a ’ rˆo.ng” tru.`o.ng sˆo´ thu c R b˘a`ng c´ach xˆay du ng thˆem “c´ac sˆo´ m´o.i”.

Ta go.i i l`a mˆo.t k´y hiˆe.u h`ınh th´u.c (t´u.c mˆo.t “sˆo´ m´o.i”) l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ngtr`ınh n´oi trˆen, t´u.c l`a

i2 =−1.

Ta muˆo´n thu. c hiˆe.n d¯u.o c mo.i ph´ep to´an cˆo.ng, tr`u., nhˆan v`a chia (cho c´ac sˆo´ kh´ac 0)sau khi d¯˜a gh´ep thˆem i v`ao tru.`o.ng sˆo´ thu - iˆe` u n`ay dˆa˜n ta t´o.i viˆe.c chˆa´p nhˆa.n

c´ac “sˆo´ m´o.i” da.ng a + bi, trong d¯´o a, b ∈ R Tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ nhu vˆa.y kh´ep k´ın d¯ˆo´iv´o.i bˆo´n ph´ep to´an n´oi trˆen Thˆa.t vˆa.y, su’ du.ng hˆe th´u.c i. 2 =−1 ta c´o:

(a + bi) ± (c + di) = (a + c) ± (b + d)i,

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i,

(v´o.i c + di 6= 0, t´u.c l`a c 6= 0 ho˘a.c d 6= 0).

Tuy nhiˆen, vˆa˜n c`on mˆo.t cˆau ho’i: “Vˆa.y i l`a c´ai g`ı ?”.

D

- ˆe’ tr´anh t`ınh tra.ng kh´o su.’ n`ay ta h˜ay d¯ˆo`ng nhˆa´t a + bi v´o.i c˘a.p sˆo´ thu c (a, b).

Nh˜u.ng phˆan t´ıch o.’ trˆen dˆa˜n ta t´o.i d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay

D

- i.nh ngh˜ıa 6.1 Mˆo.t c˘a.p c´o th´u tu hai sˆo´ thu c (a, b) d¯u.o c go.i l`a mˆo.t sˆo´ ph´u.c.

Tˆa.p ho p tˆ. a´t ca’ c´ac sˆo´ ph´u.c d¯u.o. c k´y hiˆe.u bo’ i C:.

C ={(a, b)|a, b ∈ R}.

Ta d¯i.nh ngh˜ıa c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan c´ac sˆo´ ph´u.c nhu sau:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc).

Mˆe.nh d¯ˆe` sau d¯ˆay d¯u.o. c kiˆe’m tra mˆo.t c´ach dˆe˜ d`ang

Mˆ e.nh d¯ˆe` 6.2 Tˆ a p c´ ac sˆ o´ ph´ u.c C c` ung v´ o.i hai ph´ ep to´ an cˆ o ng v` a nhˆ an d ¯i.nh ngh˜ıa

o ’ trˆen lˆ a p nˆ en mˆ o t tru `o.ng c´o d¯˘a.c sˆo´ b˘a`ng khˆong 2

Phˆ` n tu.a ’ trung lˆa.p d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng l`a 0 = (0, 0) D- o.n vi cu’a ph´ep nhˆan l`a

1 = (1, 0) Nghi.ch d¯a’o cu’a sˆo´ ph´u c (a, b) 6= 0 l`a

(a, b) −1 = ( a , −b

).

Nhˆ a.n x´et: Theo d¯i.nh ngh˜ıa, hai sˆo´ ph´u.c (a, b) v`a (c, d) b˘a`ng nhau nˆe´u v`a chı’ nˆe´u

a = c, b = d.

Ta c´o

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0).

N´oi c´ach kh´ac, ´anh xa

ι : R → C,

a 7→ (a, 0)

l`a mˆo.t d¯o.n cˆa´u v`anh V`ı thˆe´, ta c´o thˆe’ d¯ˆo`ng nhˆa´t sˆo´ thu c a ∈ R v´o.i sˆo´ ph´u.c c´o

da.ng (a, 0) Khi d¯´o tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ thu. c R d¯u.o c d¯ˆo`ng nhˆa´t v´o.i tˆa.p ho p c´ac sˆo´ ph´u.c

da.ng {(a, 0)|a ∈ R} Ngu.`o.i ta n´oi tru.`o.ng sˆo´ thu c R l`a mˆo.t tru.`o.ng con cu’a tru.`o.ng

sˆo´ ph´u.c C.

D

- ˘a.t i = (0, 1) ∈ C Ta c´o i2 = (0, 1)(0, 1) = ( −1, 0) ≡ −1 Nhu thˆe´, ta d¯˜a c´o

“vˆa.t liˆe.u” d¯ˆe’ xˆay du ng “sˆ. o´ m´o.i” i Ta go.i i l`a d¯o n vi a’o.

Mˆo˜i sˆo´ ph´u.c z = (a, b) c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng

z = (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi.

trong d¯´o a, b ∈ R D - ´o l`a da.ng d¯a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c Ta go.i a l`a phˆa`n thu c cu’a z, k´y

hiˆe.u a = Rez, c`on b l`a phˆa ` n a’o cu’a z, k´y hiˆe.u Imz.

Sˆo´ ph´u.c z m` a Imz = 0 ch´ınh l`a mˆo.t sˆo´ thu c Sˆ. o´ ph´u.c z c´ o Rez = 0 d¯u.o. c go.il`a mˆo.t sˆo´ thuˆa ` n a’o.

Bˆay gi`o ta x´et biˆ e’u diˆ e ˜n h`ınh ho.c cu’a c´ac sˆo´ ph´u.c.

Trˆen m˘a.t ph˘a’ng x´et mˆo.t hˆe tru.c toa d¯ˆo Descartes vuˆong g´oc Oxy Sˆo´ ph´u.c

z = a + bi d¯u.o. c biˆe’u diˆ˜n trˆen m˘a.t ph˘a’ng bo.’i d¯iˆe’m M c´o toa d¯ˆo (a, b), ho˘a.c bo.’iev´ec to ~ OM d¯i t`u d¯iˆe’m gˆo´c toa d¯ˆo O t´o i d¯iˆe’m M Cˆo.ng c´ac sˆo´ ph´u.c ch´ınh l`a cˆo.ng

c´ac v´ecto tu.o.ng ´u.ng v´o.i ch´ung

6

-O

ϕ

x y

ZZ ~

¯

z

M˘a.t ph˘a’ng toa d¯ˆo d¯u.o c go.i l`a m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c C´ac sˆo´ thu c d¯u.o c biˆe’u diˆe˜n

trˆen tru.c Ox, d¯u o c go.i l`a tru.c thu c C´ac sˆo´ thuˆa`n a’o d¯u.o c biˆe’u diˆe˜n trˆen tru.c Oy,

d¯u.o. c go.i l`a tru c a’o.

Ph´ep d¯ˆo´i x´u.ng qua tru.c thu c d¯u. o c go.i l`a ph´ep liˆen ho p ph´u.c Cu thˆe’ ho.n, tac´o

D

- i.nh ngh˜ıa 6.3 Sˆo´ ph´u.c ¯z = a − bi d¯u.o c go.i l`a liˆen ho p cu’a sˆo´ ph´u.c z = a + bi,

trong d¯´o a, b l`a c´ac sˆo´ thu. c.

Ta dˆe˜ d`ang kiˆe’m tra la.i r˘a`ng

z + t = z + ¯¯ t,

zt = z¯¯t.

Phˆ` n cuˆa o´i cu’a tiˆe´t n`ay d¯u.o. c d`anh cho viˆe.c kha’o s´at da.ng lu o ng gi´ac cu’a sˆo´

ph´u.c Da.ng lu.o ng gi´ac d¯˘a.c biˆe.t thuˆa.n tiˆe.n cho viˆe.c nˆang lˆen lu˜y th`u.a v`a khai c˘anc´ac sˆo´ ph´u.c

Gia’ su.’ z = a + bi 6= 0 (t´u.c l`a a2+ b2 6= 0) Ta c´o

z = √

a2+ b2(√ 2a 2 + √ 2b 2i).

Khi d¯´o z = r(cos ϕ + i sin ϕ).

D- i.nh ngh˜ıa 6.4 Sˆo´ thu c khˆong ˆam r = √ a2+ b2 d¯u.o. c go.i l`a mˆ od ¯un cu’a sˆo´ ph´u.c

z = a + bi, k´y hiˆe.u r = |z|; c`on g´oc ϕ d¯u o c go.i l`a argument cu’a z, k´y hiˆe.u ϕ = arg z.

Argument cu’a sˆo´ ph´u.c z = 0 khˆong d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa.

Gia’ su.’ z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ), t = |t|(cos ψ + i sin ψ) Khi d¯´o

zt = |z||t|[(cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + i(sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ)]

= |z||t|(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)).

N´oi c´ach kh´ac

|zt| = |z||t|, arg(zt) = arg(z) + arg(t),

trong d¯´o d¯iˆ` u kiˆe.n d¯ˆe’ c´o d¯˘a’ng th´u.c cuˆo´i l`a arg(z) v`a arg(t) d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa.eN´oi riˆeng, ta c´o

z n= (|z|(cos ϕ + i sin ϕ)) n=|z| n (cos nϕ + i sin nϕ).

D- ˘a.c biˆe.t, v´o.i |z| = 1, ta c´o Cˆong th´u.c Moivre:

(cos ϕ + i sin ϕ)) n = cos nϕ + i sin nϕ.

Tiˆe´p theo, ta x´et b`ai to´an khai c˘ an bˆ a c n cu’a sˆo´ ph´u.c z, t´u.c l`a t`ım tˆa´t ca’ c´ac

sˆo´ ph´u.c u sao cho u n = z.

Nˆe´u z = 0 th`ı u = 0 l`a l`o.i gia’i duy nhˆa´t

Nˆe´u z 6= 0, ta d¯˘a.t z = |z|(cos ϕ+i sin ϕ) v`a t`ım u du.´o.i da.ng u = |u|(cos θ+i sin θ).

Ta c´o

u n = z ⇐⇒ |u| n (cos nθ + i sin nθ) = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)

Nhu vˆa.y, c´o d¯´ung n c˘an bˆa.c n cu’a mˆo˜i sˆo´ ph´u c z 6= 0, ´u.ng v´o.i c´ac gi´a tri k =

1, 2, , n − 1 C´ac c˘an n`ay lˆa.p nˆen n d¯ı’nh cu’a mˆo.t d¯a gi´ac d¯ˆe`u n ca.nh v´o.i tˆam ta.i

gˆo´c toa d¯ˆo

N´oi riˆeng, c´o d¯´ung n c˘an bˆa.c n cu’a d¯o.n vi 1, d¯´o l`a

Tˆa´t ca’ c´ac c˘an bˆa.c n cu’a mˆo˜i sˆo´ ph´u c z d¯ˆe` u nhˆa.n d¯u.o c b˘a`ng c´ach nhˆan mˆo.tc˘an nhu thˆe´ v´o.i tˆa´t ca’ c´ac c˘an bˆa.c n cu’a d¯o.n vi

Viˆe.c kha’o s´at c´ac c˘an ph´u.c d¯˜a cho thˆa´y tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c “phong ph´u” ho.n rˆa´tnhiˆ` u so v´e o.i tru.`o.ng sˆo´ thu. c Tro’ la.i x´et phu.o.ng tr`ınh X. 2+ 1 = 0, ta d¯˜a biˆe´t r˘a`ngn´o c´o d¯´ung hai nghiˆe.m ph´u.c (±i), l`a c´ac c˘an bˆa.c hai cu’a (−1) Trong tiˆe´t sau ta

s˜e thˆa´y tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c cung cˆa´p “d¯u’ nghiˆe.m” cho tˆa´t ca’ c´ac d¯a th´u.c hˆe sˆo´ ph´u.c

7 D - a th´ u.c

Ch´ung ta tr`ınh b`ay o.’ d¯ˆay mˆo.t c´ach hiˆe’u tru c gi´. ac nhˆa´t vˆ` d¯a th´e u.c

Gia’ su.’ K l`a mˆo.t tru.`o.ng Biˆe’u th´u.c h`ınh th´u.c

f (X) = a n X n + a n −1 X n −1+· · · + a1X + a0,

trong d¯´o a0, a1, , a n ∈ K, d¯u.o c go.i l`a mˆo.t d¯a th´u.c cu’a ˆa’n X (hay biˆe´n X) v´o.i hˆe.

sˆo´ trong K.

Nˆe´u a n 6= 0 th`ı ta n´oi f(X) c´o bˆa.c n, v`a viˆe´t deg f(X) = n; c`on a n d¯u.o. c go.i l`a

hˆe sˆo´ bˆa.c cao nhˆa´t cu’a f(X) Nˆe´u a0 = a1 =· · · = a n = 0 th`ı f (X) d¯u.o. c go.i l`a d¯ath´u.c 0, v`a d¯u.o. c coi l`a c´o bˆa.c b˘a`ng −∞.

Tˆa.p ho p c´. ac d¯a th´u.c ˆa’n X v´o.i hˆe sˆo´ trong K d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a K[X] Ta trang

bi cho tˆa.p ho p n`. ay hai ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan nhu sau:

Ch´ u.ng minh: Nhˆa.n x´et r˘a`ng d¯ˆo´i v´o.i c´ac d¯a th´u.c f(X) v`a g(X) ta c´o

deg(f (X)g(X)) = deg f (X) + deg g(X).

T´ınh chˆa´t n`ay dˆa˜n t´o.i su kiˆe.n K[X] khˆong c´o u.´o.c cu’a khˆong.

C´ac kh˘a’ng d¯i.nh c`on la.i cu’a mˆe.nh d¯ˆe` d¯ˆe` u dˆe˜ kiˆe’m tra 2

Ta th`u.a nhˆa.n d¯i.nh l´y sau d¯ˆay

D

- i.nh l´y 7.2 (Ph´ep chia Euclid v´o.i du.) Gia’ su.’ f(X) v`a g(X) 6= 0 l`a c´ac d¯a th´u.c

cu’a v` anh K[X] Khi d ¯´ o tˆ `n ta.i duy nhˆa´t c´ac d¯a th´u.c q(X) v`a r(X) trong K[X] sao o cho

f (X) = g(X)q(X) + r(X),

trong d ¯´ o deg r(X) < deg g(X).

C´ac d¯a th´u.c q(X) v` a r(X) d¯u.o. c go.i tu.o.ng ´u.ng l`a thu.o.ng v`a phˆa ` n du trong

ph´ep chia f (X) cho g(X) Nˆ e´u r(X) = 0, t´u.c l`a f (X) = g(X)q(X), ta n´ oi f (X)

chia hˆ e´t cho g(X) trong K[X], ho˘ a.c g(X) l`a mˆo.t u .´o.c cu’a f(X) trong K[X].

Phˆ` n tu.a ’ c ∈ K d¯u.o c go.i l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a d¯a th´u.c f(X) = a n X n+· · ·+a1X +a0

nˆe´u

f (c) = a n c n+· · · + a1c + a0 = 0 ∈ K.

Ta c´o d¯i.nh l´y sau d¯ˆay liˆen hˆe gi˜u.a nghiˆe.m v`a t´ınh chia hˆe´t cu’a d¯a th´u.c

D

- i.nh l´y 7.3 (B´ezout) D - a th´u.c f(X) ∈ K[X] nhˆa.n c ∈ K l`a mˆo.t nghiˆe.m nˆe´u v`a

chı’ nˆ e´u tˆ `n ta.i mˆo.t d¯a th´u.c q(X) ∈ K[X] sao cho o

f (X) = (X − c)q(X).

Ch´ u.ng minh: Nˆe´u f (X) = (X − c)q(X) th`ı f(c) = (c − c)q(c) = 0 ∈ K Do d¯´o c

l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a f(X).

Ngu.o. c la.i, gia’ su’ c l`. a mˆo.t nghiˆe.m cu’a f(X) Ta chia f(X) cho d¯a th´u.c kh´ackhˆong (X − c):

f (X) = (X − c)q(X) + r(X),

trong d¯´o q(X), r(X) ∈ K[X] v`a deg r(X) < deg(X − c) = 1 Nhu thˆe´, deg r(X)

ho˘a.c b˘a`ng 0 ho˘a.c b˘a`ng −∞ Trong ca’ hai tru `o.ng ho p r(X) d¯ˆe`u l`a d¯a th´u.c h˘a`ng,

r(X) = r ∈ K Ta c´o

0 = f (c) = (c − c)q(c) + r = r.

D- i.nh ngh˜ıa 7.4 Phˆa`n tu.’ c ∈ K d¯u.o c go.i l`a mˆo.t nghiˆe.m bˆo.i k cu’a d¯a th´u.c f(X)

nˆe´u f (X) chia hˆ e´t cho (X − c) k, nhu.ng khˆong chia hˆe´t cho (X − c) k+1 trong K[X].

V´ı du : D- a th´u.c f(X) = X(X − 1)2 c´o c´ac nghiˆe.m X = 0 v´o i bˆo.i 0 v`a X = 1 v´o.i

bˆo.i 2

- i.nh ngh˜ıa 7.5 D- a th´u.c f(X) ∈ K[X] d¯u.o c go.i l`a bˆa´t kha’ quy trˆen K nˆe´u n´o

c´o bˆa.c du.o.ng v`a nˆe´u n´o khˆong th`u.a nhˆa.n mˆo.t phˆan t´ıch n`ao c´o da.ng f(X) =

g(X)h(X), trong d¯´o c´ac d¯a th´u.c g(X), h(X) ∈ K[X] d¯ˆe`u c´o bˆa.c nho’ ho.n deg f(X).

Mˆo.t d¯a th´u.c d¯u.o c go.i l`a kha’ quy trˆen K nˆe´u n´o khˆong bˆa´t kha’ quy trˆen K.

N´oi c´ach kh´ac, d¯a th´u.c f (X) ∈ K[X] l`a bˆa´t kha’ quy trˆen K nˆe´u n´o c´o bˆa.c

du.o.ng v`a chı’ chia hˆe´t cho c´ac d¯a th´u.c bˆa.c du.o.ng c´o da.ng kf(X) ∈ K[X], trong

d¯´o k ∈ K \ {0}.

V´ı du :

(1) Mo.i d¯a th´u.c bˆa.c nhˆa´t d¯ˆe`u bˆa´t kha’ quy

(2) D- a th´u.c bˆa.c hai bˆa´t kha’ quy trˆen K nˆe´u v`a chı’ nˆe´u n´o vˆo nghiˆe.m trong K.

(3) D- a th´u.c bˆa.c l´o.n ho.n 1 c´o nghiˆe.m trong K th`ı khˆong bˆa´t kha’ quy trˆen K

(4) D- a th´u.c X2− 2 bˆa´t kha’ quy trˆen Q nhu.ng kha’ quy trˆen R.

(5) D- a th´u.c X2+ 1 bˆa´t kha’ quy trˆen R, nhu.ng kha’ quy trˆ en C.

Ch´ung ta th`u.a nhˆa.n d¯i.nh l´y sau d¯ˆay, n´oi vˆe` t´ınh d¯´ ong d ¯a i sˆ o´ cu’a tru.`o.ng sˆo´ph´u.c

D

- i.nh l´y 7.6 (D- i.nh l´y co ba’n cu’a D- a.i sˆo´ ho.c)

Mo i d ¯a th´ u.c bˆ a c du o.ng v´o.i hˆe sˆo´ ph´u.c d¯ˆe`u c´o nghiˆe.m ph´u.c.

N´oi c´ach kh´ac, mˆo.t d¯a th´u.c hˆe sˆo´ ph´u.c l`a bˆa´t kha’ quy trˆen C khi v`a chı’ khi n´o

l`a mˆo.t d¯a th´u.c bˆa.c nhˆa´t

Nhu vˆa.y, nˆe´u f(X) ∈ C[X] c´o bˆa.c n th`ı n´o th`u.a nhˆa.n phˆan t´ıch

f (X) = a n (X − z1)· · · (X − z n)trong d¯´o a n 6= 0 l`a hˆe sˆo´ bˆa.c cao nhˆa´t cu’a f(X), v`a z1, , z nl`a c´ac sˆo´ ph´u.c n`ao d¯´o

Cho t´o.i nay, mo.i ch´u.ng minh d¯˜a biˆe´t cu’a d¯i.nh l´y n`ay d¯ˆe`u mang ba’n s˘a´c Tˆopˆo,H`ınh ho.c ho˘a.c Gia’i t´ıch Chu.a c´o mˆo.t ch´u.ng minh thuˆa`n tu´y d¯a.i sˆo´ n`ao cho d¯i.nhl´y n`ay.

Nh˘a´c la.i r˘a`ng tam th´u.c bˆa.c hai hˆe sˆo´ thu c aX2+ bX + c khˆong c´o nghiˆe.m thu c.

nˆe´u v`a chı’ nˆe´u biˆe.t th´u.c cu’a n´o ∆ = b2− 4ac < 0.

Mˆo.t ´u.ng du.ng cu’a d¯i.nh l´y co ba’n cu’a d¯a.i sˆo´ ho.c l`a kh˘a’ng d¯i.nh sau d¯ˆay

D- i.nh l´y 7.7 Mˆo.t d¯a th´u.c hˆe sˆo´ thu c l`a bˆa´t kha’ quy trˆen R nˆe´u v`a chı’ nˆe´u n´o ho˘a.c

l` a mˆ o t d ¯a th´ u.c bˆ a c nhˆ a´t ho˘ a c l` a mˆ o t d ¯a th´ u.c bˆ a c hai v´ o.i biˆ e.t th´u c ˆam Ho.n n˜u.a,

mo i d ¯a th´ u.c f (X) ∈ R[X] d¯ˆe`u th`u.a nhˆa.n phˆan t´ıch

am d¯ˆ` u bˆe a´t kha’ quy trˆen R Kh˘a’ng d¯i.nh ngu.o c la.i d¯u.o c bao h`am trong phˆan t´ıch

cˆ` n t`ım cho mo.i d¯a th´u.c f(X) n´oi trong d¯i.nh l´y.a

Go.i x1, , x r l`a tˆa´t ca’ c´ac nghiˆe.m thu c cu’a f (X) v´. o.i bˆo.i tu.o.ng ´u.ng b˘a`ng

k1, , k r Ta c´o

f (X) = a n (X − x1)k1· · · (X − x r)k r P (X),

trong d¯´o P (X) l`a mˆo.t d¯a th´u.c hˆe sˆo´ thu c nhu.ng khˆong c´o nghiˆe.m thu c Gia’ su.’ z1

l`a mˆo.t nghiˆe.m ph´u.c cu’a P (X), khi d¯´o ¯z1 c˜ung l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a P (X) Thˆa.t vˆa.y,

P (X) c´o da.ng

P (X) = d m X m+· · · + d1X + d0,

trong d¯´o d m , , d0 l`a c´ac sˆo´ thu. c, t´u.c l`a ¯d i = d i Dˆ˜ thˆa´y r˘a`nge

0 = P (z ) = d z m+· · · + d z + d

Q(X) thay cho P (X) Bo ’ i v`ı deg Q(X) < deg P (X), cho nˆen ta nhˆa.n d¯u.o c phˆan

t´ıch cu’a f (X) nhu n´ oi trong d¯i.nh l´y b˘a`ng c´ach quy na.p theo deg P (X) 2

B` ai tˆ a.p

1 Ch´u.ng minh c´ac t´ınh chˆa´t kˆe´t ho. p, giao ho´an, phˆan phˆo´i cu’a c´ac ph´ep to´an

ho. p v`a giao trˆen tˆa.p ho p Ch´. u.ng minh cˆong th´u.c d¯ˆo´i ngˆa˜u De Morgan chohiˆe.u cu’a ho p v`. a giao cu’a mˆo.t ho tu`y ´y c´ac tˆa.p ho p..