Phép toán ma trận a Cộng 2 ma trận A,B:m xn A+B có được bằng cách cộng các phần tử tương ứng của A và B b Phép nhân vô hướng Cho Amxn , Ma trận A có được bằng cách nhân VD: c Phép chuyển
Trang 1ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
CHƯƠNG 1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH MỨC
I- Ma trận
- Một ma trận A cấp m x n là 1 bảng gồm m dòng và n cột
A =
- Ma trận đơn vị cấp n
In = n x m
1 Phép toán ma trận
a) Cộng 2 ma trận A,B:m xn
A+B có được bằng cách cộng các phần tử tương ứng của A và B
b) Phép nhân vô hướng
Cho Amxn ,
Ma trận A có được bằng cách nhân
VD:
c) Phép chuyển vị
Cho A:mxn, ma trận chuyển vị của A được kí hiệu là AT, Có được từ A bằng cách xoay các dòng của A thành các cột tương ứng của AT
VD:
A=2x3
AT= 3x2
- Cho A và B là ma trận cấp mx n, R, khi đó:
Ta lấy (AT)T = A
(A+B)T=AT+BT
(AT
d) Phép nhân ma trận
Cho
ABmxn được xác định bởi quy tắc:
Trang 2(AB)ij= ai1bij + ai2b2j + a1pbpj
Đường i của A nhân với cột j của B
Ai1 ai2…… ain
b1j
bpj
VD:
A= 3x3
B= 3x1
AB= 3x1
AB=A =
B3x1, A3x3 không tồn tại
VD2:
A=2X2; B=2X2
AB= X= =
PHÉP NHÂN MA TRẬN KHÔNG CÓ TÍNH GIAO HOÁN
MỆNH ĐỀ: cho Amp, Bpq, Cqn khi đó: (AB)C=A(BC) tính kết hợp, THỨ TỰ KHÔNG ĐC THAY ĐỔI
Nếu Anxn ( ma trận vuông cấp n) thì:
AIn = A = InA
Trong đó In là phần tử đơn vị( vai trò như số 1)
- Cho Amp; B&C là cấp ma trận pn:
A(B+C) = AB + AC
- Cho , khi đó:
(A+B)C = AC + BC
- Cho , trong đó:
A(==(
- Cho Amp, Bpn khi đó: (AB)T= BTAT
** GHI CHÚ: cho Anxn và K là số nguyên dương Ta định nghĩa:
Ak = A.A.A….A = AK-1A
Trang 3QUY ƯỚC: A0= In
VD:
= x =
II- ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN
Cho A=(aij)mxm Định thức của A là 1 số thực, kí hiệu: DetA hoặc |A|, được xác định như sau:
n=1, A=(a11) => detA=a11
n=2, A = => detA = a11a22 - a21a12
VD: A= => Det A = (1x4) – (3x2)= -2
Cấp n 3 : A = , với mỗi i và mỗi j gồm mij lầ định thức có được từ a= cách xóa dòng I và cột j
VD: A=
Giải: M11= = (5X9)-(8X6)= -3 ( GẠCH BỎ DÒNG 1, CỘT 1)
M12= = (4X9) – (7X6)= -6 ( GẠCH BỎ DÒNG 1 CỘT 2)
M32 = = (2X6)-(5X3) =-6 ( GẠCH BỎ DONG 3 CỘT 2)
Định thức của A có thể tính bằng cách khai triển theo dong hoặc theo cột
+ khai triển theo dòng: chọn 1 dòng bất kỳ chẳng hạn dòng i
ai1 ai2… ain
detA = (-1)i+1.Mi1 + (-1)1+2ai2
+ khai triển theo cột:
A= triển khai cột 1
detA = (-1)1+1.3+ (-1)2+17 + (-1)3+12 = 0+49-28=21
định thức không phụ thuộc vào dòng hoặc cột khai triển nghĩa là xác định duy nhất
HỆ QUẢ: nếu trong ma trận chứa 1 dòng hoặc 1 cột nào đó bằng 0 thì định thức của
ma trận sẽ bằng 0
Trang 4QUY TẮC SARRUS ( THUỘC)
Khi định thức cấp 3 ngoài các khải triển theo dòng hoặc theo cột, ta có thể dung sơ đồ sau:
= (a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2) – (c1b2a3 + c2b3a1 + c3b1a2)
TRONG MA TRẬN CÓ THAM SỐ THÌ DÙNG QUY TẮC SARRUS
TÍNH CHẤT
a) Det (A)T= Det A
b) Khi đổi chỗ 2 dòng hoặc 2 cột thì định thức chỉ việc đổi dấu mà thôiDo đó nếu trog ma trận chứa 2 dòng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của ma trận sẽ bằng 0
c) Nếu 1 dòng ( cột) của định thức có thừa số chung thì ta có thể đưa thừa số chung ra trước dấu định thức
VD: =
d) Khi lấy dòng cộng hoặc trừ với lần dòng khác thì định thức không thay đổi
Tương tự đối với cột
VD1/ D =
= (b-a)(c-a)
(b-a)(c-a)(-1)1+11
VD2/ D=
(-1)1+1(m+6) = (m+6)(m-3)2
VD3/ D =
= có thừa số chung
= (a+b+c) vì có 2 cột giống nhau nên = 0
e) Cho A & B là các ma trận cấp nxn
VD: Det(AAT) = DetA.detAT ( mà detA= detAT) = (DetA)2
MODE -> (6) MATRIX -> MAT A, B,C -> CHỌN CẤP -> NHẬP MA TRẬN -> PHÍM AC
SAU ĐÓ SHIFT -> 4 -> (7) DET ->SHIFT ->4 -> CHỌN MAT A
Det(AB) = detA.detB
Trang 5III- MA TRÂN ĐẢO PHẢI LÀ MA TRẬN VUÔNG (THI) 1) Định nghĩa: AIn = A = InA
Cho Anxn nếu có Bnxn thỏa: AB = In =BA thì:
Đặt B=A-1
Vậy AA -1 = I n =A -1 A