Dai so chuong 5 toán cao cấp

Các vectơ khác không là nghiệm của hệ 0 A I X n 0, được gọi là các vectơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng Nói cách khác, tập các vectơ riêng của ma trận ứng với giá trị... Hơn

Chương 5

DẠNG TOÀN PHƯƠNG

NỘI DUNG CHÍNH 5.1 – Trị riêng, vectơ riêng

5.2 – Chéo hoá ma trận

5.3 – Dạng toàn phương

5.4 – Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

5.1 Trị riêng, vectơ riêng

Định lí 5.1.1 (Cayley – Hamilton) Mỗi ma trận vuông A là nghiệm của đa thức đặc trưng của nó, tức là

Giải Đa thức đặc trưng của A là

5.1.2 Giá trị riêng, vectơ riêng

Định nghĩa 5.1.2 Cho A là ma trận vuông cấp n. Các nghiệm thực của đa thức đặc trưng p A( ) được gọi là giá trị riêng của ma trận .

A

Nếu 0 là một giá trị riêng của A thì det(A 0I n) 0. Do đó, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

1 0

Định nghĩa 5.1.3 Cho 0 là một giá trị riêng của A Tập hợp tất

cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

0

(A I X n) 0,

được gọi là không gian con riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng

0 và được kí hiệu là E( ).0

Định nghĩa 5.1.4 Cho 0 là một giá trị riêng của A Các vectơ

khác không là nghiệm của hệ

0

(A I X n) 0,

được gọi là các vectơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng

Nói cách khác, tập các vectơ riêng của ma trận ứng với giá trị

5.1.3 Phương pháp tìm giá trị riêng, vectơ riêng

Bước 1: Tìm đa thức đặc trưng p A( ) det(A I n).

Bước 2: Giải phương trình p A( ) 0 để tìm các trị riêng i.

Bước 3: Đối với mỗi trị riêng i, tìm các vectơ riêng tương ứng bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (A i n I X) 0.

Ví dụ 5.1.3 Tìm giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận

1 3

.

2 4

A

Giải Bước 1: Tìm đa thức đặc trưng của ma trận A

2 2

y

Hay

2x 3y 0.

Nghiệm của hệ trên là : x 3 ,a y 2 ,a a .

Không gian con riêng của A ứng với 1 1 là

 Với 2 2 : Ta giải hệ phương trình

Các vectơ riêng của A ứng với 2 2 có dạng ( , ),b b với b 0.

Ta có dim (2)E 1 và A có một vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với 2 2 là u2 (1,1).

Định lí 5.1.2 Nếu u u1 2, , ,u m lần lượt là m vectơ riêng ứng với

m trị riêng phân biệt 1 2, , , m (m n) của ma trận vuông A cấp

n thì hệ vectơ { , , ,u u1 2 u m} là độc lập tuyến tính

Nói cách khác, các vectơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau của

A tạo thành một hệ vectơ độc lập tuyến tính

Chứng minh Ta chứng minh hệ vectơ { , , ,u u1 2 u m} độc lập tuyến tính bằng quy nạp như sau:

Nếu m 1 thì hệ gồm một vectơ { }u1 độc lập tuyến tính vì

1 [ ] 0,

k

i i i

k

i i i

u cho k 1, ta được

1 1

Vì các trị riêng phân biệt, tức k 1 i nên i 0, i 1, k

Thay kết quả này vào lại đẳng thức

1 1

[ ] 0

k

i i i

5.2 Chéo hóa ma trận

5.2.1 Ma trận vuông chéo hóa đƣợc

Định nghĩa 5.2.1 Ma trận vuông A cấp n được gọi là chéo hóa

được nếu tồn tại ma trận P vuông cấp n khả nghịch sao cho P AP1

là ma trận chéo

Khi đó, ma trận P được gọi là ma trận làm chéo hóa A hay ma

trận A được chéo hóa bởi ma trận P

Câu hỏi đặt ra là những ma trận vuông nào là chéo hóa được, trong trường hợp chéo hóa được thì tìm ma trận P như thế nào? Định lí sau

sẽ trả lời câu hỏi đó

Định lí 5.2.1 (Điều kiện chéo hóa được) Ma trậnA M n( ) chéo

hóa được khi và chỉ khi A có đủ n vectơ riêng độc lập tuyến tính, tức

với 1, , k là tất cả các giá trị riêng của A Hơn nữa, ma trận P làm chéo hóa A là ma trận có các cột là n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A.

Nói cách khác, các cột của P là các cơ sở của các không gian con riêng của A

Từ Định lí 5.2.1, suy ra phương pháp chéo hóa ma trận vuông A

như sau

Bước 1: Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng độc lập tuyến tính

của A.

Bước 2:

 Nếu tổng số các vectơ riêng độc lập tuyến tính của A bé hơn n

thì A không chéo hóa được (tức là không tồn tại P M n( ) để

1

P AP là ma trận chéo)

 Nếu tổng số vectơ riêng độc lập tuyến tính của A bằng n thì

A chéo hóa được Khi đó, ma trận P cần tìm là ma trận mà các cột của nó chính là các vectơ riêng độc lập tuyến tính của A viết theo cột

5.2.2 Chéo hóa ma trận đối xứng bằng ma trận trực giao

Định nghĩa 5.2.2 Ma trận vuông P cấp n được gọi là ma trận trực giao nếu P khả nghịch và P T P 1. Khi đó, P P T PP T I n.

Định lí 5.2.2 Ma trận vuông P cấp n là ma trận trực giao khi và chỉ khi các cột của P lập thành một hệ vectơ trực chuẩn với tích vô hướng trên n.

Tiếp theo chúng ta nghiên cứu vấn đề chéo hóa ma trận trong trường hợp A là ma trận đối xứng và ma trận làm chéo hóa A là ma trận trực giao P.

Ta biết rằng không phải ma trận vuông nào cũng chéo hóa được, tuy nhiên đối với ma trận đối xứng chúng ta có kết quả sau

Định lí 5.2.3 Ma trận vuông A là ma trận đối xứng khi và chỉ khi tồn tại một ma trận trực giao P làm chéo hóa A.

Định lí 5.2.4 ChoA là ma trận đối xứng Khi đó, các vectơ riêng thuộc những không gian riêng khác nhau sẽ trực giao theo tích vô hướng Euclide trong n.

Chứng minh Giả sử , là hai giá trị riêng phân biệt của ma trận

Nhận xét 5.2.1 1) Trong Định lí 5.2.3, ma trận P có thể chọn là

ma trận có các cột là hệ vectơ trực chuẩn các vectơ riêng của A thu được bằng cách trực chuẩn hóa Gram-Schmidt hệ các vectơ riêng độc lập tuyến tính của A.

2) Theo Định lí 5.2.4, ta chỉ cần áp dụng quá trình trực chuẩn hóa Gram-Schmidt vào mỗi cơ sở của các không gian con riêng của A để được một cơ sở trực chuẩn cho mỗi không gian riêng

Ví dụ 5.2.3 Tìm ma trận trực giao P làm chéo hóa ma trận đối

Giải Đa thức đặc trưng của A là

2 3

Khi đó Q x( ) được viết lại dưới dạng ma trận

Ví dụ 5.3.2 Tìm ma trận của dạng toàn phương

5.3.2 Dạng chính tắc của dạng toàn phương

Dạng toàn phương Q x( ) được gọi là ở dạng chính tắc nếu

Ví dụ 5.3.3 Trong 3 các dạng toàn phương sau ở dạng chính tắc

5.3.3 Phân loại dạng toàn phương

Định nghĩa 5.3.2 Dạng toàn phương Q x( ) được gọi là

5) Nếu có thể nhận giá trị âm và cũng có thể nhận giá trị

dương thì ta nói không xác định dấu

( )

Q x

( )

Q x

Ví dụ 5.3.4

1) Q x( ) 2x12 x22 là dạng toàn phương xác định dương trên 2

2) Q x( ) x12 2x32 là dạng toàn phương nửa xác định dương trên

3

3) Q x( ) x12 2x22 là dạng toàn phương không xác định dấu trên

2

5.4 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Ta thấy rằng, một dạng toàn phương ở dạng chính tắc có biểu thức

và ma trận đơn giản, do đó dễ nghiên cứu và phân loại

Trong phần còn lại của chương này, chúng ta xét một vài phương pháp đổi biến số để đưa dạng toàn phương Q x( ) về dạng chính tắc

5.4.1 Phương pháp biến đổi trực giao

Định lí 5.4.1 Cho dạng toàn phương Q x( ) X AX T . Giả sử

1 , 2 , , n là các giá trị riêng của ma trận A và P là ma trận trực giao làm chéo hóa A (tức là P AP1 D là ma trận chéo) Khi đó,

bằng cách đổi biến X PY ta được

Bước 1: Viết ma trận A của dạng toàn phương

Bước 2: Chéo hóa A bởi ma trận trực giao P (tức là tìm ma trận

trực giao P sao cho P AP1 D là ma trận chéo)

với 1, ,2 , n là các trị riêng của A.

Chú ý ở bước 2, ma trận trực giao P làm chéo A phải có các cột

là các vectơ trực chuẩn, do đó ta phải trực chuẩn hóa hệ các vectơ riêng độc lập tuyến tính của A.

Ví dụ 5.4.1 Đưa dạng toàn phương

5.4.2 Phương pháp Lagrange

Nội dung của phương pháp Lagrange là biến đổi biểu thức tọa độ của dạng toàn phương thành các tổng bình phương Thuật toán Lagrange có thể chia làm các bước sau:

Khi đó, sẽ xuất hiện số hạng chứa y i2.

Bước 2: Tách biểu thức tọa độ của dạng toàn phương thành hai

nhóm, một nhóm có chứa x k, nhóm còn lại không chứa x k.

Bước 3: Trong nhóm thứ nhất ta lập thành tổng bình phương

Bước 4: Quay lại bước 1, 2, 3 cho nhóm thứ hai và cứ thế tiếp tục

cho đến khi tìm được dạng chính tắc

Ví dụ 5.4.2 Đưa dạng toàn phương

Ví dụ 5.4.3 Đưa dạng toàn phương Q x( ) 2x x1 2 2x x1 3 6x x2 3

Như trên ta đã thấy, một dạng toàn phương có thể có nhiều dạng chính tắc khác nhau Tuy nhiên, các dạng chính tắc này đều có đặc điểm chung là số các hệ số dương và âm không đổi, được gọi là chỉ số quán tính dương (hoặc âm)

Định lí 5.4.2 Chỉ số quán tính dương (âm) trong dạng chính tắc

của một dạng toàn phương không phụ thuộc vào phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Định lí 5.4.3 Cho dạng toàn phương Q x( ) trên n. Q x( ) xác định dương (âm) khi và chỉ khi chỉ số quán tính dương (âm) bằng

.

n

5.4.3 Luật quán tính

Ví dụ 5.4.4 1) Trong 3, dạng toàn phương

có chỉ số quán tính dương bằng 3 nên nó xác định dương

2) Trong 4, dạng toàn phương Q x( ) 5x12 2x22 x32 3x42 có chỉ số quán tính âm bằng 4 nên nó xác định âm

Nhận xét 5.4.1. 1) Một dạng toàn phương xác định dương (âm) khi và chỉ khi ma trận của nó chỉ có các trị riêng dương (âm)

2) Một dạng toàn phương là nửa xác định dương (âm) khi và chỉ khi ma trận của nó có trị riêng bằng không và các trị riêng còn lại đều dương (âm)

Định lí 5.4.4 (Sylvester) Cho dạng toàn phương Q có ma trận là

A Khi đó, ta có

1) Q xác định dương khi và chỉ khi các định thức con chính k

của A đều dương;

2) Q xác định âm khi và chỉ khi các định thức con chính của A

đan dấu với 1 0

Ví dụ 5.4.5 Xác định dấu của dạng toàn phương