Dai so chuong 2 toán cao cấp

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định nghĩa 2.1.1.. Với các kí hiệu như trên, hệ phương trình tuyến tính 2.1 được viết lại dưới dạng ma trận như sau.. Ngược lại, ta gọi là hệ phương

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

NỘI DUNG CHÍNH

2.1 – Hệ phương trình tuyến tính

2.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

2.1.2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

2.2 – Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

2.2.1 Phương pháp Cramer 2.2.2 Phương pháp Gauss

2.1 Hệ phương trình tuyến tính

2.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Định nghĩa 2.1.1 Hệ phương trình gồm m phương trình đại số

Ta kí hiệu 21 22 2

,

b

n

x X

x

A được gọi là ma trận hệ số, B được gọi là ma trận cột hệ số tự do

và X được gọi là ma trận cột ẩn số của hệ phương trình tuyến tính (2.1).Kí hiệu

Với các kí hiệu như trên, hệ phương trình tuyến tính (2.1) được viết lại dưới dạng ma trận như sau

.

AX B

Khi B 0, hệ (2.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần

nhất Ngược lại, ta gọi là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất

2.1.2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Định nghĩa 2.1.2 Bộ số ( , , , ) c c1 2 cn được gọi là một nghiệm của

hệ phương trình tuyến tính (2.1) nếu x1 c x1 2, c2, , xn cn thỏa (2.1)

nhất một nghiệm là (0,0, ,0) và nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường

Quá trình đi tìm tập các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gọi

là giải hệ phương trình tuyến tính ấy

Định lí 2.1.1 Với một hệ phương trình tuyến tính cho trước Khi

đó, có một và chỉ có một trong ba khả năng sau đây xảy ra:

1) hệ có nghiệm duy nhất;

2) hệ có vô số nghiệm;

3) hệ vô nghiệm

Từ Định lí 2.1.1, suy ra rằng hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

có duy nhất nghiệm tầm thường hoặc có vô số nghiệm (trong đó có nghiệm tầm thường)

Giả sử

1 2

n

c c X

c

là một (ma trận cột) nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Khi đó, bằng cách thay trực tiếp vào hệ (2.2) ta thấy

1

2 ,

n

c c X

c

cũng là một nghiệm của (2.2)

Giả sử

1 2

n

d d Y

d

là một nghiệm khác X của (2.2) Lập luận tương tự như trên thì ,

Định nghĩa 2.1.3 Hai hệ phương trình tuyến tính có cùng số ẩn

(số phương trình có thể khác nhau) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm

Định lí 2.1.2 Cho hai hệ phương trình tuyến tính có cùng m

phương trình ( m 2) và n ẩn số với các ma trận mở rộng lần lượt là

( | ) A B và ( | ) A B Khi đó, nếu ( | ) A B nhận được từ ( | ) A B bởi một

số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng thì hai hệ phương trình tuyến tính đã cho là tương đương

2.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

2.2.1 Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính

Định nghĩa 2.2.1 Hệ phương trình tuyến tính (2.1) được gọi là hệ

Cramer nếu m n và det A 0.

Như vậy, hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính có dạng

Định lí 2.2.1 Mỗi hệ Cramer dạng (2.3) đều có một nghiệm duy

nhất Đặt det( ),A j (j 1, )n là định thức có được bằng cách thay cột j của A bởi cột hệ số tự do Khi đó, hệ phương trình Cramer

(2.3) có nghiệm duy nhất được xác định theo công thức

Hệ đã cho được viết lại AX B. Suy ra

6,1,2

x x x

m

ii) Nếu A 0 m 1 hoặc m 2 Theo Định lí 2.2.1, hệ đã cho có nghiệm duy nhất Ta có

2.2.2 Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính

Định lí 2.2.2 (Kronecker – Capelli) Cho hệ phương trình tuyến

tính (2.1) Khi đó, hệ (2.1) có nghiệm khi và chỉ khi r A ( ) r A B ( | ).

Hơn nữa,

1) Nếu r A ( ) r A B ( | ) n thì hệ (2.1) có nghiệm duy nhất

2) Nếu r A ( ) r A B ( | ) r n thì hệ (2.1) có vô số nghiệm phụ thuộc ( n r ) tham số

Từ hai Định lí 2.1.2 và 2.2.2 ở trên ta đi đến phương pháp giải hệ (2.1) như sau:

r A r A B r n thì hệ (2.1) có vô số nghiệm Khi đó, ta chọn

(n r) ẩn là tùy ý, sau đó giải các ẩn còn lại theo các ẩn đã chọn Nếu

( ) ( | )

r A r A B thì hệ vô nghiệm