BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1... DẠNG 3 TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Phần 1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Bài 1.
Trang 1B BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
2
1
d
x
x
−
=
−
3 3
2
d 1
x
=
−
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 3 5ln 3
2
Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
2
1
d 1
x
x x
+
=
+
2 0
1
d 4
x x
x
−
=
−
∫
Hướng dẫn và đáp số
2
Bài 3. Tính các tích phân sau:
a)
4
2
3
d
x
+
=
4 3
2 2
d
=
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I =18 ln 2−7 ln 3 b) Đáp số: I= 18 − 35 ln 3.
Bài 4. Tính các tích phân sau:
a)
2
2
1
d
x
=
2 2
1
d
x
−
−
=
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 1ln 3 1
Bài 5. Tính các tích phân sau:
a)
3
2
0
4
d 9
x
=
+
2 0
1
d 1
x
x
+
=
+
Hướng dẫn và đáp số
Trang 2a) Đáp số: 2
9
Bài 6. Tính các tích phân sau:
a)
3 1
1
d
x
−
=
+
3 2
3 2
2
d 1
x
x
−
=
−
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: ln 4
5
8
Bài 7. Tính các tích phân sau:
a)
3
2 2
1
d
=
2 2
d
x
=
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 1ln3 1
Bài 8. Tính các tích phân sau:
a)
1
3
1
2
d 1
x
x
−
=
+
0
d
=
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: ln 2 1ln 3 3
I = − + + π b) Đáp số: I = −ln 2+2 ln 7
Bài 9. Tính các tích phân sau:
a)
3
1
d
x
−
=
1
1 2
1
d
x
−
=
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 3ln 5 1ln 37
I = −
Bài 10. Tính các tích phân sau:
a)
1 5
1
1
d 1
x
+
+
=
1
0
d 1
x I
=
∫
Hướng dẫn và đáp số
Trang 3a) Ta có
2
Đồng nhất ta tìm được 0; 1; 0; 1
4
I =π
Cách 2. (Chỉ áp dụng cho cận khác 0 )
Ta có
2 2
2
− + − +
Đặt t x 1 dt 1 12 dx
= − ⇒ = +
b) Ta có
Đáp số: 3 1ln 3
Bài 1 Tính các tích phân sau:
a)
27
3 2 1
2
d
x
−
=
+
0
3 1
d
x
x
−
=
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đặt t=6x , … ta được
2
12
b) Đáp số: 199 3 ln 2 3
Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
4 3 3
4 d
x
x
=
1
2
Trang 4Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 1 1ln 3
Bài 3. Tính các tích phân sau:
a)
4
0
d
x I
=
3
2
3
d
x
−
=
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 1 2 ln 2
2
2
I = − +
Bài 4. Tính các tích phân sau:
a)
2
2 1
d 1
x
=
0
d 1
x
=
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Nhân lượng liên hiệp Đáp số: 7 3 3
3
b) Nhân lượng liên hiệp Đáp số: 2 1
3
Bài 5. Tính các tích phân sau:
a)
3
2
0
1 2
d
x
+ −
=
2
1
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: ln4
15
I =
Bài 6. Tính các tích phân sau:
a)
4
2 0
1
d
x
x
+
=
3
d
x
=
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 2 ln 2 1
4
−
Trang 5Bài 7. Tính các tích phân sau:
a)
5
1
d
x
=
2
d
=
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 1 ln15
Bài 8. Tính các tích phân sau:
a)
1
2 0
d
x I
=
3
3 0
d
x I
=
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 1ln 3
2
Bài 9. Tính các tích phân sau:
a)
3
2
3 2
3 3
2
d 9
x I
x
−
=
−
2
2 0
1
d
1 2
=
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 4 3
27
2
I = π
Bài 10. Tính các tích phân sau:
a)
2
2
d
x
x
−
3
3 2 3 3
d 1
x I
x
−
=
+
∫
Lời giải
4
I = − π b) Đáp số:
2
=
Trang 6DẠNG 3 TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
Phần 1
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Bài 1 Tính các tích phân sau:
a)
2
0
cos d
π
2 2
0 cos d
π
c)
2
3
0
cos d
π
2 4
0 cos d
π
Hướng dẫn và đáp số
4
I =π
c) Đáp số: 2
3
16
Bài 2 Tính các tích phân sau:
a)
6
0
1
d cos
x
π
6 2 0
1 d cos
x
π
c)
6
3 0
1
d cos
x
π
6 4 0
1 d cos
x
π
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 1ln 3
2
3
I =
c) Đáp số: 1ln 3 1
27
I =
Bài 3 Tính các tích phân sau:
a)
4
6
1
d tan
x
π
π
4 2
6
1 d tan
x
π
π
c)
4
3
6
1
d tan
x
π
π
4 4
6
1 d tan
x
π
π
Hướng dẫn và đáp số
Trang 7a) Đáp số: 1ln 2.
2
12
c) Đáp số: 1 1ln 2
2
3 12
Bài 4. Tính các tích phân sau:
a)
3
d
x I
π
π
=
0
cos
d
1 cos
x
x
π
= +
Hướng dẫn và đáp số
a) Ta có
1 2
6
I
x
π
Đặt
6
t= −x π, ta được
2
2
sin
I
t
π
Đáp số: 3
3
I =
b) Đáp số: 3 2
4
Bài 5 Tính các tích phân sau:
a)
2
0
sin d sin 2 cos cos
2
x x I
x
π
=
+
0
sin 3 sin 3
d
1 cos 3
x
π
−
=
+
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I =ln 2
sin 3x−sin 3x=sin 3x 1 sin 3− x =sin 3 cos 3 x x
Đáp số: 1 1ln 2
I = − +
Bài 6 Tính các tích phân sau:
a)
0
1 2 sin
d
1 sin 2
x
x
π
−
=
+
4
cos
d
1 sin
x
x
π
π
= +
Hướng dẫn và đáp số
Trang 8a) Đáp số: 1ln 2.
2
4
Bài 7 Tính các tích phân sau:
a)
6
2 0
cos 3
d
2 sin 1
x
x
π
=
+
6
0
cos
d
2 sin 3
x
x
π
=
+
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 1 ln 2
2
Bài 8 Tính các tích phân sau:
0
sin 2 1 sin d
π
4
2 0
sin 4
d
1 cos
x
x
π
= +
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 15
4
b) Ta có
4
2 0
2 sin 2 cos 2
1 cos
x
π
=
+
∫
1 cos
Đáp số: 2 6 ln 4
3
Bài 9 Tính các tích phân sau:
a)
0
4
sin 4
d
x
π
−
=
4 0
cos 2
d
4
x
π
π
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I = − +6 8 ln 2 b) Đáp số: I = 2− 1
Bài 10 Tính các tích phân sau:
a)
6
0
tan
4 d cos 2
x
x
π − π
3
d sin cos
x I
π
π
Trang 9Hướng dẫn và đáp số
a) Ta có
2 0
x
x
π
+
= = −
+
2
b) Ta có:
sin 2 cos
2 sin cos cos
I
Áp dụng công thức chia đôi ta có sin 2 2 tan2
1 tan
x x
x
= +
3
4
1 tan tan cos
I
π
π
+
=∫ Đặt t=tanx Đáp số: 16 3 ln 3
3
Phần 2
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài 1 Tính các tích phân sau:
a)
2
4
0
sin d
π
1 sin ln d
e
Hướng dẫn và đáp số
2
e
Bài 2 Tính các tích phân sau:
a)
3
0
d
1 cos 2
x
x
π
=
+
4
2 0
cos 2
d
1 sin 2
x
π
=
+
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 3 1ln 1
16 4
Bài 3 Tính các tích phân sau:
a)
4
2
0
tan d
π
0 sin cos d
π
Hướng dẫn và đáp số
Trang 10a) Đáp số:
2 2
I =π −π+ +π
π
=
Bài 4 Tính các tích phân sau:
a)
2
3
0
sin 5 d
x
π
1
2
0
x
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số:
3 2
34
e I
π
+
2
1 4
e
π
−
= +
Phần 3
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN LIÊN KẾT Bài 1 Tính các tích phân sau:
a)
2015 2015 0
sin
d
x
π
=
+
2
0
3 sin 2 cos
d sin cos
π
−
=
+
Hướng dẫn và đáp số
a) Đặt
2
x= − Đáp số: π t
4
I =π
b) Ta có
Tính
2
0
sin sin cos
x
π
=
+
2
x = − , … suy ra A B π t =
2
A+ = =B π Đáp số:
4
I =π
Bài 2 Tính các tích phân sau:
a)
2
0
1 sin
1 cos
x
x
π
0 sin 4 ln 1 tan d
π
Hướng dẫn và đáp số
a) Đặt
2
x= − Đáp số: π t I = 0
b) Đặt
4
x= − Đáp số: π t 1ln 2
4
I =
Trang 11DẠNG 4 TÍCH PHÂN HÀM LOGARIT
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1
1
ln d
e
x
x
+
0
ln 1 d 1
x
x
+
+
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 2 3
4
e
2
Bài 2. Tính các tích phân sau:
2
1
−
1
ln 1 ln
d
x
+
=∫
Hướng dẫn và đáp số
2
Bài 3. Tính các tích phân sau:
2 1
1 2 ln
d 1
x
=
+
1
2 0
d 2
x
=
+
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Ta có
( )2
ln 2 1
x
x
+
I
−
b) Ta có
x x
+
I = − +
Bài 4. Tính các tích phân sau:
3
2 1
1 ln
d 1
x
x
+
=
+
( )
2
d
ln ln
e
e
x I
=∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Ta có
3
2 1
1
x
+ +
=
+
4
I =
b) Ta có
2
ln 1 ln
e
e
dx I
=
+
3
I =
Trang 12Bài 5. Tính các tích phân sau:
a)
2 1
d
x
x
+
3 2
1
d
x
x
+
=∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 3 2ln 2
12
2 3
ln 5 2 ln 2 8
Bài 6. Tính các tích phân sau:
a)
2
3 1
ln
d 1
x
+
=
+
2 0
d 1
x
=
+
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 17ln 2 1ln 3 1
Bài 7. Tính các tích phân sau:
1
d
=
+
1
d
=
−
∫
Hướng dẫn và đáp số
I = +A B= − +e +e b) Đáp số:
3
2 ln
e I
e
−
−
Bài 8. Tính các tích phân sau:
1
1 ln
d ln
=
+
1
ln
d
1 2 ln
e
x
=
+
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số:
2 3
ln 2
2
e
3
I =
Bài 9. Tính các tích phân sau:
a)
1
3 2 ln
d
1 2 ln
e
x
−
=
+
3 3 2 1
log
d
1 3 ln
e
x
=
+
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 10 2 11
3
Trang 13b) Ta có ( ) 3
3
27
e
I =
Bài 10. Tính các tích phân sau:
1
ln
3 ln d
1 ln
e
x
2 3
1
ln 2 ln
d
e
x
+
=∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số:
3
3
e
8
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
0
d 1
x x
e
e
−
−
=
+
1
0
d
x
e
=
+
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: ln 1 1
2
e I
e
+
e
Bài 2 Tính các tích phân sau:
a)
ln 5
ln 3
d
x I
=
ln 2 3 2
3 0
2
d
x
e
=
+ +
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: ln 3
2
3 10
I =
Bài 3 Tính các tích phân sau:
a)
ln 4 2
0
d 1
x
x
e
e
=
+
ln 5 2
ln 2
d 1
x
x
e
e
=
−
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 2 ln2 11
3
I =
Trang 14Bài 4 Tính các tích phân sau:
a)
3 ln 2
2 3
0
d 2
x
x I
e
=
+
ln 3
3 0
d 1
x
x
e
e
=
+
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 3 ln3 1
I = −
Bài 5. Tính các tích phân sau:
a)
ln 2
3
0
1 d
x
16 ln 3
8 ln 3
3 x 4d
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 3 ln 2 3
3
3
Bài 6 Tính các tích phân sau:
a)
ln 6
0
d
x
e
=
0
d
x
e
=
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 1ln 2 3ln 6
Bài 7 Tính các tích phân sau:
a)
1
2
0
d
x x
e
− +
=
3 1
2
1 d
x
x
+ −
Hướng dẫn và đáp số
1
x
t
x
−
=
+ Đáp số:
1 2
e I e
−
= b) Ta có
+ − +
= = + −
Đặt t x 1
x
= + Đáp số:
5
2 3 2
2
Trang 15Bài 8 Tính các tích phân sau:
a)
4 tan 2
2 0
d cos
x
e
x
π
+
0
d
x
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 3 2
Bài 9 Tính các tích phân sau:
1
3
0
2
1
d
x
Hướng dẫn và đáp số
2
e
Bài 10 Tính các tích phân sau:
a)
2
0
cos 2 d
x
π
2 cos
0 sin 2 d
x
π
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 2 1
5
e I
π
− −
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
2
2
0
1 2 2 0
d
x
−
=
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: I = 4
b) Đáp số: I = −14 ln 7+13 ln 3+19 ln 2
Bài 2. Tính các tích phân sau:
2
−
2
2
−
Hướng dẫn và đáp số
Trang 16Bài 3. Tính các tích phân sau:
a)
3
6
π
π
2
1
2d
−
Hướng dẫn và đáp số
2 cot 2x dx 2 cot 2x dx 2 cot 2x dx
Đáp số: 2 ln 3
2
I = −
b) Ta có
2
= + + + −
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
3 1
4
d
x
1
d
e
=
+
∫
Hướng dẫn và đáp số
a) Đáp số: 2
3
3
Bài 2. Tính các tích phân sau:
0
d 1
x
x
x xe
xe
+ +
=
+
1
d
e
=
+
∫
Hướng dẫn và đáp số
1+ +2 x xe x= = + 1 xe x −2 1+xe x +2e x 1+xe x
Đáp số: I =2e−2 ln 1( + e)
Trang 17b) Đặt t= +1 xlnx Đáp số: I = +e ln 1( + e)
Bài 3. Tính các tích phân sau:
1
d
e
=
+
1
1 ln
d ln
e
=
+
∫
Hướng dẫn và đáp số
Đáp số:
3
ln
Đáp số: 2 1 ln 2 2 ln 2
2
e
Bài 4. Tính các tích phân sau:
0
d sin cos
π
+ +
=
+
0
sin cos
d
π
+
=
+
∫
Hướng dẫn và đáp số
I = +π π+
Đáp số: 3 ln 6
I = − + π
Bài 5. Tính các tích phân sau:
a)
2
2 0
1 2 sin
d sin
x
x
π
−
=
−
2 1
2 0
1
d 1
x
x
+
=
+
∫
Hướng dẫn và đáp số
1 2− e xsinx= = sinx−e x + sinx−e x cosx+e x
2
2 1
e I
e
π
π
−
Trang 18
b) Ta có ( 2 ) ( )2 ( )
Đáp số: I = 1