LÝ THUYẾT VÀ BÀI tập NGUYÊN HÀM

§ 1 NGUYÊN HÀM Câu hỏi rất bình thường '' nguyên hàm là gì?. '' hầu như vẫn chưa cĩ cách giải đáp thỏa đáng về mặt ý nghĩa, đa phần chỉ '' buộc '' định nghĩa nguyên hàm trên cơng thức, k

§ 1 NGUYÊN HÀM

Câu hỏi rất bình thường '' nguyên hàm là gì? '' hầu như vẫn chưa cĩ cách giải đáp thỏa đáng về mặt ý nghĩa, đa phần chỉ '' buộc '' định nghĩa nguyên hàm trên cơng thức, khái niệm tốn học

Trong bài này chúng ta làm quen với khái niệm nguyên hàm Đây là khái niệm cơ bản, rất quan trọng của giải tích, cĩ liên hệ mật thiết với khái niệm đạo hàm Bài tốn nguyên hàm là bài tốn ngược với bài tốn đạo hàm Việc tìm nguyên hàm của một hàm số thường được đưa về tìm nguyên hàm của các hàm số đơn giản hơn

MỤC TIÊU

1 Kiến thức

- Hiểu được định nghĩa nguyên hàm của hàm số trên K , phân biệt rõ

một nguyên hàm với họ nguyên hàm của một hàm số

- Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm

2 Kỹ năng

- Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào

bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa

Cho hàm số f x( ) xác định trên khoảng K Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) nếu F'( )x = f x( ) với mọi x K∈

Nhận xét Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) thì F x( )+C, (C∈ ℝ )

cũng là nguyên hàm của f x( )

Ký hiệu:

( )d ( )

f x x=F x +C

2 Tính chất

( ∫ f x( )dx)/= f x( )

∫ a f x ( )dx=a.∫ f x( )d x a( ∈ℝ, a≠0)

∫ f x( )±g x( )dx=∫ f x( )dx±∫ g x( )dx

3 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Bảng nguyên hàm

d

k x=kx+C

∫ , k là hằng số

1

1

x

α α

α α

+

+

1

1

1

ax b

a

α α

α

+

+

+

∫

1

dx ln x C

+

∫

d

x x

e x=e +C

d

ax b ax b

a

∫

d

ln

x

x a

a

.ln

mx n

mx n a

+

∫

cos dx x =sinx+C

a

∫

sin dx x= −cosx+C

a

∫

2

1

d tan cos x x= x+C

cos ax b x=a ax+ +b C

+

∫

2

1

sin x x= − x+C

sin ax b x= −a ax+ +b C

+

∫

B VÍ DỤ MINH HỌA

Bài 1

a) Tính đạo hàm của hàm số F x( )=sinx−xcosx + , với C là hằng số C

b) Từ đĩ suy ra ∫ xsin d x x

Lời giải

a) Ta cĩ /( ) ( )/ ( )/ ( )/

=cosx−cosx+ −x( sinx)=xsin x

b) Từ kết quả câu a và theo định nghĩa ta suy ra F x( ) là nguyên hàm của hàm số f x( )=xsin x

Vậy ∫ xsin dx x=sinx−xcosx+C

Bài 2

a) Tính đạo hàm của hàm số ( ) 2

F x = x+ x + + , với C là hằng số C

b) Từ đó suy ra

2

d 1

x

x +

∫

Lời giải

a) Theo công thức ( )/ /

lnu u

u

2 /

2

1 1

F x

=

( 2 )/

2 /

1

1

x

b) Từ kết quả câu a và theo định nghĩa ta suy ra F x( ) là nguyên hàm của hàm số ( ) 21

1

f x

x

=

+

1

dx

+

∫

1 ; 0

x

F x

≥

= + + <





hàm của hàm số ( ) ; 0

2 1 ; 0

x

f x



= + <

 trên ℝ

Lời giải

Để tính đạo hàm của hàm số F x( ) ta xét hai trường hợp sau:

● Với x≠ , ta có 0 '( ) ; 0

2 1 ; 0

x

F x

>

= + <





● Với x= , ta có 0

0

1 0

0

0

F

−

+

+ + −

−

−

−

Ta có F' 0( )− =F' 0( )+ = nên suy ra 1 F' 0( )= nghĩa là hàm số 1 F x( ) có đạo hàm tại điểm x= 0

2 1 ; 0

x

≥

= + <



Vậy F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên ℝ

Bài 4 Tìm nguyên hàm của hàm số F x( )=∫ (2x+1 d) x, biết F( )1 = 5

Lời giải

2

x

F x =∫ x+ dx= + + =x C x + +x C

F = ⇔ + + = ⇔ = C C

Vậy ( ) 2

3

F x =x + + x

F x =mx + m+ x − x+ là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2

f x = x + x−

Lời giải

f x dx= x + x− dx=x + x − x+C

Yêu cầu bài toán ⇔

1

1

3 3

m

m m

C C

 =

 + = ⇔

 =



Vậy m= là giá trị cần tìm thỏa yêu cầu bài toán 1

F x = mx + m+ x − x+

2 ( )

3mx 2 3m 2 x 4

Vì F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) nên ta có F'( )x = f x( ), ∀ x

3mx +2 3m+2 x− =4 3x +10x− 4

Đồng nhất hệ số hai vế ta có

1

1

m

m m

 =

Bài 6 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) ( ) 3 2 3

3x x 2 5x 3

f x

x

2

f x

x

Lời giải

a) Ta có f x dx( ) 3x3 x2 23 5x 3dx 3 2 52 33 dx

2 3

2

2



2

∫

b) Ta có ( ) 3 2 4 3 2

2 2

x

x x



=  + − + 

∫

x

∫

Bài 7 Tìm các nguyên hàm sau:

a)

2

x x

+

x

+

c) x 3 x 1dx

x

1

x x

−

−

Lời giải

a) Ta có

3

1 3

3

x

x

C

Vậy

3

3

x

∫

b) Ta có

2

x

−

Vậy x x 2 x dx 2 x 2 C

∫

c) Ta có

1

2

1 3

3

x

x

−

5x 7x 2x C

Vậy

3

x

∫

d) Ta có ( ) 1

1

x x

−

4

x x

Vậy

4

1

x

−

∫

Bài 8 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

2

2

= −  + 

2

1 x

f x

x

 − 



= 

Lời giải

2

−

=  −  +  = − + −

4 2

1

x

x

x

x

∫

b) Ta có

2

x

Vậy f x dx( ) 1 2 ln x x C

x

∫

Bài 9 Tìm các nguyên hàm sau:

a)

2

d

x x

+

3

1 d 1

x

x x

− +

Lời giải

a) Ta có

2

dx x

x

x

=

+



∫

∫

Vậy

x

+

∫

b) Ta có

2

1



3 2 2 ln 1

Vậy

1

2 ln 1

x

+

∫

Bài 10 Tìm các nguyên hàm sau:

x − x−

x

x

x − x+

Lời giải

a) Ta có

( )( )

( ) ( ) ( )( ) 2

+ − −

dx

x

x



=  − − + 

−

+

∫

x

−

∫

( )( ) 2

x

x

∫

Bài 11 Tìm các nguyên hàm sau:

a) ∫ sin 2016( x+2017 d) x b)

2

1

d cos 2x+3 x

∫

Lời giải

a) Áp dụng công thức sin(ax b)dx 1cos(ax b) C

a

2016

∫

b) Áp dụng công thức

2

tan cos ax b dx=a ax+ +b C

+

2

cos 2x 3 dx=2 x+ +C

+

∫

Bài 12 Tìm các nguyên hàm sau:

4 cos x xd

1+2 sinx dx

Lời giải

2

x

2 sin 2 2 sin 2

2

x



=  + + = + +

4 cos xdx=2x+sin 2x+C

∫

1+2 sinx dx= 1+4 sinx+4 sin x dx

1 4 sin 4.1 cos 2 (3 4 sin 2 cos 2 )

2

3 4 cos sin 2

x



1+2 sinx dx=3x−4 cosx−sin 2x+C

∫

Bài 13 Tìm các nguyên hàm sau:

8 cos 2x−1 sin x xd

Lời giải

a) Ta có sin 3 cos 5 1 (sin 8 sin 2 ) 1 cos 8 cos 2



Vậy sin 3 cos 5 1 cos 8 cos 2

x xdx= − + +C



∫

x− xdx=  +  − dx

1

3 4 cos 4 1 cos 2

2

1

3 3 cos 2 4 cos 4 4 cos 4 cos 2

2

1

3 5 cos 2 4 cos 4 2 cos 6

2

3 5 sin 2 sin 4 sin 6

C

∫

∫

∫

∫

Bài 14 Tìm các nguyên hàm sau:

a) 2 1 2 d

sin xcos x x

4 cos x−4 cos x+1 x

Lời giải

sin xcos x x= sin 2x dx= sin 2x dx

4 1cot 2 2 cot 2



= − + = − +

sin xcos x x= − x+C

∫

b) Ta có

4 cos x 4 cos x 1dx= 2 cos x 1 dx

12 tan 2

x

x

x

∫

Bài 15 Tìm các nguyên hàm sau:

a) 2

10 dx

x

x

x x e

−

Lời giải

ln100

x

.ln

mx n

mx n a

+

2

2 ln10 ln100

x

∫

x

x

x dx x dx x dx dx e dx

−

 



 

2

2

ln

x

x

x

e

e e

 

 

 

Vậy

ln 2 1

x

−

−

∫

C – BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1 Tìm hàm số f x( ) biết rằng f '( )x 2x 1 2

x



= +  và f ( )1 = 2

Hướng dẫn và đáp số

Theo giả thiết bài tốn, ta cĩ f x( )=∫ f '( )x dx

Đáp số: ( ) 4 3 4 1 7

x

x

x

f x =x e Tìm , , a b c để ( ) ( 2 )

x

F x = ax +bx+c e là một nguyên hàm của hàm số f x( )

Lời giải

F x = =ax + a+b x+c e

Vì F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) nên ta cĩ F'( )x = f x( ), ∀ x

Đáp số: (a b c; ; ) (= −1; 2;0 )

Bài 3 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) ( ) 16 4 9

x

f x

x

−

=

f x

=

− −

Hướng dẫn và đáp số

x

f x

−

3

f x dx= x + x + x + x+C

b) Ta cĩ ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) 2

f x

Đáp số: ( ) 1(ln 5 ln 1)

4

f x dx= x− − x+ +C

Bài 4 Tìm các nguyên hàm sau:

a)

3

2 d

x x

−

x+ + x−

Hướng dẫn và đáp số

a) Ta có ( 2 2)2 ( )

Đáp số: ln 14

4

x

1

=

Đáp số: ( 1) 1 ( 1) 1

C

Bài 5 Tìm các nguyên hàm sau:

tan x xd

∫

Hướng dẫn và đáp số

a) Đáp số: sin 2

2

x

b) Ta có 2

2

1

cos

x

x

= − Đáp số: tanx− + x C

Bài 6 Tìm các nguyên hàm sau:

a) ∫ (cosx+sin 2x+2 cos 3 cosx x)dx b) ∫ sin 5 cos 7 d x x x

Hướng dẫn và đáp số

a) Đáp số: sin cos 2 sin 4 sin 2

b) Đáp số: 1 cos12 cos 2

Bài 7 Tìm các nguyên hàm sau:

3−cos 2x dx

2

5

sin

x

Hướng dẫn và đáp số

a) Đáp số: 19 3 sin 2 sin 4

x

b) Đáp số: 21 sin 2 25 cot

x C

Bài 8 Tìm các nguyên hàm sau:

sin 2 dx x

sin x xd

∫

Hướng dẫn và đáp số

a) Đáp số: 3cos 2 1 cos 6

2

x

Đáp số: 3 sin 2 sin 4

C

Bài 9 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) ( ) 3 8

2

x x

e

f x

e

−

=

3x 4x

Hướng dẫn và đáp số

2

8

x

x x

e

−

2

x x

e

f x dx= + e + x+C

∫

ln 9 ln12 ln16

∫

Bài 10 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

3 cos 2x

2 3 5

x x x x x

e

f x

e

−

+

Hướng dẫn và đáp số

a) Đáp số: ( ) 3 sin 3 1

ln 3

x

−

∫

b) Ta có ( ) 3

2

12 5

x x

f x e

e

 



= + 

2

3 ln12 ln 5 2 5

x x

e

 



= + − −   +

∫